Skript - Frank Reinhold

7 Schwingungen
Abbildung 7.11: A-ω-Diagramm
Einschwingverhalten (inhomogene Differentialgleichung)
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt + ω2 0x = k cos ωt (7.75)
Lösung: allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL
x(t) = A 1 e −βt cos(ω ′ t + ϕ ′ ) + A 2 cos(ωt + ϕ)
} {{ } } {{ }
gedämpfte Schwingung erzwungene Schwingung
Einschwingverhalten
stationär
ω ′ =
√
ω 2 0 − β2 (7.76)
Absorbierte Leistung
P (t, ω) = F (t) dx
dt = (7.77)
= F 0 cos ωt(−ωA sin(ωt + ϕ)) = (7.78)
= −F 0 ωA [cos(ωt) sin(ωt) cos(ϕ) + cos(ωt) cos(ωt) sin(ϕ)] = (7.79)
[ cos ϕ
= −F 0 ωA sin(2ωt) + sin ϕ cos(2ωt) + sin ϕ ]
(7.80)
2
2
2
Mittelung über viele Perioden
1
¯P (ω) = lim
t→∞ t
∫ t
0
P (t ′ , ω) dt ′ = −F 0 ωA sin ϕ
2
(7.81)
= 1 ω 2
2 mk2 τ
(ω0 2 − (7.82)
ω2 ) + ω2
τ 2
90