Skript - Frank Reinhold

7 Schwingungen
Bewegungsgleichung
m d2 z
dt 2 = −cz − γ dz
R
dt + F 0 cos ωt (7.54)
Die von außen vorgegebene Kreisfrequenz ω und Kraft F 0 können unabhängig von ω 0 und β gewählt
werden.
Allgemeine Bewegungsgleichung des getriebenen gedämpften harmonischen Oszillators
Für Federpendel
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt + ω2 0x = k cos(ωt) (7.55)
ω 2 0 = c m
2β = γ R
m
k = F 0
m
(7.56)
Ansatz
x = A cos(ωt + ϕ) ω = anregende Frequenz (7.57)
v = dx
dt
Einsetzen in Bewegungsgleichung
Verschiebe Zeitenursprung
Additionstheorem
= −ωA sin(ωt + ϕ) (7.58)
a = d2 x
dt 2 = −ω2 A cos(ωt + ϕ) (7.59)
−ω 2 A cos(ωt ′ + ϕ) − 2βωA sin(ωt ′ + ϕ) + ω 2 0A cos(ωt ′ + ϕ) = k cos(ωt ′ ) (7.60)
ωt ′ −→ ωt − ϕ (7.61)
cos(ωt − ϕ) = cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ (7.62)
⇒ (ω 2 0 − ω 2 )A cos(ωt) − 2βωA sin(ωt) = k (cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ) (7.63)
Koeffizienten von cos(ωt) und sin(ωt) müssen auf beiden Seiten gleich sein
(ω0 2 − ω 2 )A = k cos ϕ (7.64)
− ω τ A = k sin ϕ τ = 1
2β
(7.65)
Phasenverschiebung ϕ zwischen Anregung und Schwingung
tan ϕ =
Amplitude der Schwingung (Gleichungen quadrieren und addieren)
− ω
τ
ω 2 0 − ω2 (7.66)
(ω0 2 − ω 2 ) 2 A 2 + ω2
τ 2 A2 = k 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = k 2 (7.67)
k
⇒ A = √
(7.68)
(ω0 2 − ω2 ) 2 + ω2
τ 2
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