Skript - Frank Reinhold

7.3 Erzwungene Schwingung
e) Starke Dämpfung
β > ω 0 ⇒ ω =
Schwingung Ae iωt geht über in exponentielles Abklingen e −kt .
Ansatz
in Bewegungsgleichung
Lösung
√
ω 2 0 − β2 wird imaginär (7.43)
x(t) = Ae kt (7.44)
v(t) = kAe kt = kx(t) (7.45)
a(t) = k 2 Ae kt = k 2 x(t) (7.46)
k 2 x(t) + 2βkx(t) + ω 2 0x(t) = 0 (7.47)
k 2 + 2βk + ω0 2 = 0 (7.48)
√
k = −β ±
√β 2 − ω0 2 = −β ± α α = β 2 − ω0 2 reell (7.49)
x(t) = e −βt [ A 1 e αt + A 2 e −αt] (7.50)
A 1 und A 2 aus Anfangsbedingungen x(0) und v(0).
⇒ exponentielles Abklingen mit zwei Zeitkonstanten β ±α und langsamer als im aperiodischen Grenzfall.
7.3 Erzwungene Schwingung
Periodische äußere Kraft
F = F 0 cos ωt (7.51)
F = −c(z − z 0 ) = −cz + cA ext cos ωt (7.52)
⇒ F 0 = cA ext (7.53)
Abbildung 7.9: Erzwungene Schwingung
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