Skript - Frank Reinhold

7 Schwingungen
Abbildung 7.8: Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
Gesamtenergie fällt nach der Zeit t = τ = 1
2β
auf den e-ten Teil.
Allgemeine Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt − ω2 0x = 0 (7.33)
c) Die Güte des Oszillators
Gütefaktor
gespeicherte Energie
Q =
im Zeitintervall 1 ω = T =
E
2π
abgegebene Energie ∆E
(7.34)
Für schwach gedämpften Oszillator β ≪ ω 0 ≈ ω oder ω 0 τ = ω0
2β ≈ 1.
d) Aperiodischer Grenzfall
E = E 0 e − t τ (7.35)
dE
dt = − 1 τ E 0e − t τ
1 = −
τ E (7.36)
∆E = ∆t dE
dt = − 1 τ E 1
0
ω 0
(7.37)
⇒ Q = ω 0 τ (7.38)
β = ω 0 ⇒ ω =
In diesem Spezialfall gibt es eine weitere Lösung
Lösung
Schnellstmögliche Rückkehr in Ruhelage!
√
ω 2 0 − β2 = 0 (7.39)
⇒ x(t) = Ae −βt cos ϕ = A ′ e −βt (7.40)
x(t) = Bte −βt (7.41)
x(t) = (A + Bt)e −βt (7.42)
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