Skript - Frank Reinhold

7.2 Freie gedämpfte Schwingung
Ansatz
x(t) = Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) (7.25)
Ableitungen
in Bewegeungsgleichung
v(t) = −βAe −βt cos(ωt + ϕ 0 ) − ωAe −βt sin(ωt + ϕ 0 ) (7.26)
a(t) = β 2 Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) + 2ωβAe −βt sin(ωt + ϕ 0 ) − ω 2 Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) (7.27)
Ae −βt { cos(ωt + ϕ 0 )
Nur dann erfüllt, wenn [. . .]-Terme Null sind
⇒ β = γ R
2m
[
β 2 − ω 2 − γ ]
[
R
m β + ω2 0 + sin(ωt + ϕ 0 ) 2ωβ − γ ]}
R
m ω = 0 (7.28)
Die Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators wird durch Dämpfung verringert.
ω =
√
ω 2 0 − β2 (7.29)
Abbildung 7.7: Exponentielles Abklingen der Amplitude
b) Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
E kin + E pot = 1 2 mv2 + 1 2 mω2 0x 2 = (7.30)
= 1 2 m [ −βAe −βt cos(ωt + ϕ 0 ) − ωAe−βt sin(ωt + ϕ 0 ) ] 2
+
1
2 mω2 0A 2 e −2βt cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = (7.31)
= 1 2 mA2 e −2βt [ β 2 cos 2 +2βω cos sin +ω 2 sin 2 +ω 2 0 cos 2] ≈ 1 2 mω2 0A 2 e −2βt (7.32)
für β ≪ ω 0 , d.h. schwache Dämpfung
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