Skript - Frank Reinhold

7 Schwingungen
Abbildung 7.6: U-Rohr
Rücktreibende Kraft F = 2xAϱg, Beschleunigt wird Gesamtmasse M = lAϱ (l ist Länge der Säule).
Mẍ + mg = 0 (7.16)
lAϱẍ + 2Aϱgx = 0 (7.17)
ẍ + 2 g l x = 0
ω2 0 = 2 g l
(7.18)
b) Energie im harmonischen Oszillator
E kin = 1 2 mv2 = 1 ( ) 2 dx
2 m = 1 dt 2 mω2 0A 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) (7.19)
E pot = −
∫ x
F dx =
∫ x
0
0
cx dx = 1 2 cx2 = 1 2 mω2 0A 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) (7.20)
E pot + E kin = 1 2 mω2 0A 2 ( sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) + cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) ) = 1 2 mω2 0A 2 = const. (7.21)
Gesamtenergie bleibt konstant und oszilliert zwischen E pot und E kin .
Komplexe Schreibweise (mit komplexem c und ω)
x(t) = ce iωt + c ∗ e −iω∗ t
(7.22)
7.2 Freie gedämpfte Schwingung
Reibungskraft entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit
F R = γ R
dx
dt
z.B. Stoke’sche Reibung (Kugel in Flüssigkeit: γ R = 6πηr)
(7.23)
a) Bewegungsgleichung
d 2 x
dt 2 + γ R dx
m dt + ω2 0x = 0 (7.24)
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