Skript - Frank Reinhold
Skript - Frank Reinhold
Skript - Frank Reinhold
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem<br />
(1, 1, 0) = (sin ωt + cos ωt, − sin ωt + cos ωt, 0) (5.129)<br />
ˆx ′ = (cos ωt, sin ωt, 0) (5.130)<br />
ŷ ′ = (− sin ωt, cos ωt, 0) (5.131)<br />
ẑ ′ = (0, 0, 1) (5.132)<br />
(1, 1, 0) = x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ (5.133)<br />
Geschwindigkeit für Beobachter O ausgedrückt in Koordinaten von O ′ (berücksichtigen, dass ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′<br />
zeitabhängig sind).<br />
⃗v = dx′<br />
dt ˆx′ + dy′<br />
dt ŷ′ + dz′<br />
dt ẑ′ +x ′ dˆx′<br />
} {{ }<br />
dt<br />
⃗v ′<br />
+ y′<br />
dŷ′<br />
dt<br />
+ z′<br />
dẑ′<br />
dt<br />
(5.134)<br />
Änderung der Einheitsvektoren<br />
dˆx ′<br />
dt = ⃗ω × ˆx′ (5.135)<br />
dŷ ′<br />
dt = ⃗ω × ŷ′ (5.136)<br />
dẑ ′<br />
dt = ⃗ω × ẑ′ (5.137)<br />
(5.138)<br />
Damit wird<br />
x ′ dˆx′<br />
dt<br />
+ y′<br />
dŷ′<br />
dt<br />
dẑ′<br />
+ z′<br />
dt = x′ (⃗ω × ˆx ′ ) + y ′ (⃗ω × ŷ ′ ) + z ′ (⃗ω × ẑ ′ ) = (5.139)<br />
= ⃗ω × (x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ ) = ⃗ω × ⃗r ′ (5.140)<br />
⇒ ⃗v = ⃗v ′ + ⃗ω × ⃗r ′ (5.141)<br />
Beschleunigung für Beobachter O in Koordinaten von O ′<br />
⃗a = d2 x ′<br />
dt 2 ˆx′ + d2 y ′<br />
dt 2 ŷ′ + d2 z ′ ( dx<br />
′<br />
dˆx ′<br />
dt 2 ẑ′ + 2<br />
} {{ }<br />
dt dt + dy′ dŷ ′<br />
dt dt + dz′ dẑ ′ )<br />
+ x ′ d2ˆx ′<br />
dt dt dt<br />
} {{ }<br />
2 + y′ d2 ŷ ′<br />
dt 2 + z′ d2 ẑ ′<br />
dt 2 = (5.142)<br />
} {{ }<br />
=⃗a ′ =⃗ω×⃗v ′ ⃗ω×(⃗ω×⃗r ′ )<br />
= ⃗a ′ + 2 · (⃗ω × ⃗v ′ ) + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ) (5.143)<br />
Wirkt auf einen Körper eine äußere Kraft ⃗ F , dann stellt der Beobachter in O ′ eine Kraft ⃗ F ′ fest<br />
⃗F ′ = m⃗a ′ = F ⃗ − 2m(⃗ω × ⃗v ′ ) − m(⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ))<br />
} {{ } } {{ }<br />
Corioliskraft Zentrifugalkraft<br />
(5.144)<br />
73