Skript - Frank Reinhold

5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
(1, 1, 0) = (sin ωt + cos ωt, − sin ωt + cos ωt, 0) (5.129)
ˆx ′ = (cos ωt, sin ωt, 0) (5.130)
ŷ ′ = (− sin ωt, cos ωt, 0) (5.131)
ẑ ′ = (0, 0, 1) (5.132)
(1, 1, 0) = x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ (5.133)
Geschwindigkeit für Beobachter O ausgedrückt in Koordinaten von O ′ (berücksichtigen, dass ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′
zeitabhängig sind).
⃗v = dx′
dt ˆx′ + dy′
dt ŷ′ + dz′
dt ẑ′ +x ′ dˆx′
} {{ }
dt
⃗v ′
+ y′
dŷ′
dt
+ z′
dẑ′
dt
(5.134)
Änderung der Einheitsvektoren
dˆx ′
dt = ⃗ω × ˆx′ (5.135)
dŷ ′
dt = ⃗ω × ŷ′ (5.136)
dẑ ′
dt = ⃗ω × ẑ′ (5.137)
(5.138)
Damit wird
x ′ dˆx′
dt
+ y′
dŷ′
dt
dẑ′
+ z′
dt = x′ (⃗ω × ˆx ′ ) + y ′ (⃗ω × ŷ ′ ) + z ′ (⃗ω × ẑ ′ ) = (5.139)
= ⃗ω × (x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ ) = ⃗ω × ⃗r ′ (5.140)
⇒ ⃗v = ⃗v ′ + ⃗ω × ⃗r ′ (5.141)
Beschleunigung für Beobachter O in Koordinaten von O ′
⃗a = d2 x ′
dt 2 ˆx′ + d2 y ′
dt 2 ŷ′ + d2 z ′ ( dx
′
dˆx ′
dt 2 ẑ′ + 2
} {{ }
dt dt + dy′ dŷ ′
dt dt + dz′ dẑ ′ )
+ x ′ d2ˆx ′
dt dt dt
} {{ }
2 + y′ d2 ŷ ′
dt 2 + z′ d2 ẑ ′
dt 2 = (5.142)
} {{ }
=⃗a ′ =⃗ω×⃗v ′ ⃗ω×(⃗ω×⃗r ′ )
= ⃗a ′ + 2 · (⃗ω × ⃗v ′ ) + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ) (5.143)
Wirkt auf einen Körper eine äußere Kraft ⃗ F , dann stellt der Beobachter in O ′ eine Kraft ⃗ F ′ fest
⃗F ′ = m⃗a ′ = F ⃗ − 2m(⃗ω × ⃗v ′ ) − m(⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ))
} {{ } } {{ }
Corioliskraft Zentrifugalkraft
(5.144)
73