Skript - Frank Reinhold

5.5 Rotation eines beliebigen Körpers
⃗L = m 1 (⃗r 1 × ⃗v 1 ) + m 2 (⃗r 2 × ⃗v 2 ) m 1 = m 2 = m, ⃗v 1 = −⃗v 2 (5.76)
⃗L = m(⃗r 1 − ⃗r 2 ) × ⃗v 1 = m⃗r H × ⃗v 1 (5.77)
⃗L ist nicht parallel zu ⃗ω. Widerspruch zu ⃗ L = I⃗ω mit Skalar I!
⃗L verändert sich ständig.
⇒ Drehmoment wirkt auf Hantel (und Lagerachse), ”Unwucht”
Trägheitstensor Ĩ eines beliebig geformten Körpers
Abbildung 5.20: Trägheitstensor Ĩ
Drehimpuls
⃗L i = ∆m i (⃗r i × ⃗v i ) = ∆m i (⃗r i × (⃗ω × ⃗r i )) = (5.78)
= ∆m i [⃗r i 2 ω 2 − (⃗r i ⃗ω)⃗r i ] ⃗a × ( ⃗ b × ⃗v) = (⃗a⃗c) ⃗ b − (⃗a ⃗ b)⃗c (5.79)
Gesamtdrehimpuls
∫
⃗L = ⃗r 2 ⃗ω − (⃗r⃗ω)⃗r dm (5.80)
V
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
L x I xx I xy I xz ω x
⃗L = ⎝L y
⎠ = ⎝I yx I yy I yz
⎠ · ⎝ω y
⎠ (5.81)
L z I zx I zy I zz ω z
mit
∫
∫
∫
I xx = y 2 + z 2 dm I yy = x 2 + z 2 dm I zz = x 2 + y 2 dm (5.82)
V
V
V
∫
∫
∫
I xy = I yx = − xy dm I xz = I zx = − xz dm I yz = I zy = − yz dm (5.83)
V
V
V
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