Skript - Frank Reinhold

5.4 Rotationsenergie
Beispiel: Körper rollt schiefe Eben hinab, ohne zu gleiten
Abbildung 5.17: Schiefe Ebene
Momentane Drehachse A. Berührungspunk ⃗ω und ⃗ L zeigen aus Heftebene heraus. Änderung des Drehimpulses
⃗ M = d⃗ L
dt und Gesamtmasse M 0.
⃗M zeigt in gleiche Richtung wie ⃗ L
⇒ ⃗ L nimmt zu.
Bewegungsgleichung (1-dimensional mit Beträgen)
⃗M = ⃗r × ⃗ F (5.58)
| ⃗ M| = M 0 gr sin α (5.59)
zurückgelegte Strecke
| ⃗ M| = dL
dt = d dt (Iω) = I · d2 ϕ
dt 2 (5.60)
s = rϕ (5.61)
Translationsgeschwindigkeit
v trans = r dϕ
dt
(5.62)
Trägheitsmoment bezüglich Rotationsachse A (Steinerscher Satz)
I = I s + M 0 r 2 (5.63)
⇒ d2 ϕ
dt 2 = | M| ⃗ = M 0gr sin α
I I s + M 0 r
Integration (= gleichmäßig beschleunigte Bewegung)
(5.64)
Translationsbeschleunigung
ϕ = | ⃗ M|
2I t2 + ω 0 t + ϕ 0 (5.65)
a = r d2 ϕ
dt 2 = g sin α
1 + Is
M 0r 2
= g sin α
1 + k
k :=
I s
M 0 r 2 (5.66)
Geschwindigkeit am Ende der Bahn
63