Skript - Frank Reinhold

5.3 Starre Körper
Masse M K
Trägheitsmoment
Dichte ϱ = const., r ist Abstand zur Drehachse
Kugelkoordinaten R, θ, ϕ:
mit 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ R < ∞
∫
∫
I = r 2 dm = ϱ
M K
r 2 dm
V K
(5.45)
Volumenelement
Trägheitsmoment
I = ϱ
∫ 2π ∫ π
ϕ=0
(∫ 2π
= ϱ ·
= ϱ · (2π) ·
e) Steinerscher Satz
θ=0
dϕ
ϕ=0
Abbildung 5.14: Kugelkoordinaten R, θ, ϕ
∫ r0
dV = (dR)(R dθ)(R sin θ dϕ) = (5.46)
= R 2 dR · sin θ dθ dϕ (5.47)
(R 2 sin 2 θ) · (R 2 dR · sin θ dθ dϕ) = (5.48)
R=0 } {{ } } {{ }
=r 2 =dV
) (∫ π
) (∫ r0
)
· sin 3 θ dθ · R 4 dR = (5.49)
θ=0
R=0
) )
(
− cos θ + 1 3 cos3 θ
·
( 1
5 r5 0
Trägheitsmoment für eine Achse A, die nicht durch den Schwerpunkt geht.
= ϱ · 4
3 πr3 0 · 2
5 r2 0 = 2 5 M Kr 2 0 (5.50)
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