Skript - Frank Reinhold

9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Zeitverlauf ↔ Frequenzspektrum
Es gilt
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
∆ω∆t ≥ 2π (9.92)
a) Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
y(x, t) = y 1 + y 2 = sin(k 1 x − ω 1 t) + sin(k 2 x − ω 2 t) = (9.93)
(
k1 + k 2
= 2 sin x − ω ) (
1 + ω 2 k1 − k 2
t cos x − ω )
1 − ω 2
t = (9.94)
2 2
2 2
( )
1
= 2 sin(kx − ωt) cos
2 (∆kx − ∆ωt) (9.95)
k = k1+k2
2
, ω = ω1+ω2
2
, ∆k = k 1 − k 2 , ∆ω = ω 1 − ω 2 .
2 sin(kx − ωt): laufende Welle mit Phasengeschwindigkeit
c Ph = ω k
(9.96)
cos( 1 2 (∆kx − ∆ωt)): Modulation, breitet sich mit Gruppengeschwindigkeit v Gr aus. Position des Maximums
der Einhüllenden ∆kx max − ∆ωt max = 0
b) Allgemein
Gruppengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
c Gr = x max
t max
c Gr =
= ∆ω
∆k
( ) dx
= dω
dt
Gr
dk
c Ph = ω k
(9.97)
(9.98)
(9.99)
c Gr und c Ph sind unterschiedlich, wenn c Ph von ω abhängt (Dispersion). Es gilt
c Gr = c Ph − λ dc Ph
dλ
(9.100)
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