Skript - Frank Reinhold

9 Mechanische Wellen
Volumenänderung
∂v
∂x ∆x
} {{ }
Geschwindigkeitsdifferenz
·∆t (9.47)
= ∂v ∆t
∂x
(9.48)
∆V = A ·
Volumen- und Druckänderung hängen über Kompressibilität κ zusammen
∆V
V
Daraus folgt
Wellengleichung für Druck
(9.46) ∂
∂x ⇒
(9.50) ∂ ∂t
⇒
∆V
= −κ · ∆P (9.49)
V
⇒ ∂P
∂t = − 1 ∂v
(9.50)
κ ∂x
∂ 2 v
∂t∂x = − 1 ∂ 2 P
ϱ ∂x 2 (9.51)
∂ 2 P
∂t 2 = − 1 ∂ 2 v
κ ∂t∂x
(9.52)
∂ 2 P
∂t 2 = 1 ∂ 2 P
κϱ ∂x 2 (9.53)
Lösung: harmonische Welle
P 0 Amplitude der Druckdifferenz zum statischen Druck.
P (x, t) = P 0 sin(kx − ωt) (9.54)
(9.46) ∂ ∂t
⇒
(9.50) ∂
∂x ⇒
⇒ Wellengleichung für Schallschnelle v
∂ 2 v
∂t 2 = − 1 ∂ 2 P
ϱ ∂x∂t
(9.55)
∂ 2 P
∂t∂x = − 1 ∂ 2 v
κ ∂x 2 (9.56)
∂ 2 v
∂t 2 = 1
κϱ
∂ 2 v
∂x 2 (9.57)
Lösung
v(x, t) = v 0 sin((kx − ωt) + ϕ) (9.58)
Schallgeschwindigkeit
c =
√ 1
κϱ
(9.59)
Luft (Normaldruck)
Raumtemperatur
Helium
Wasser
c = 332(1 + 0, 00166 ∆T ◦ C ) m s
c = 343 m s
c = 965 m s
c = 1497 m s
116