Skript - Frank Reinhold
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8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos<br />
Beispiel: Populationsdynamik<br />
a) Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung)<br />
A Geburtsnrate-Sterberate, N st Sättigungszustand.<br />
Lösung<br />
dN<br />
dt = AN (<br />
1 − N N st<br />
)<br />
(8.55)<br />
”Sättigungskurve”, eponetielles Wachstum bis zur Sättigung bei N st .<br />
N st<br />
N = N 0<br />
N 0 + (N st − N 0 )e −At (8.56)<br />
b) Diskret<br />
Jedes Jahr eine Generation, logistische Gleichung<br />
N i+1 = aN i<br />
(<br />
1 − N k<br />
)<br />
(8.57)<br />
Erwarteter stationärer Zustand<br />
N i+1 = N i = N (8.58)<br />
(<br />
N = aN 1 − N )<br />
(8.59)<br />
k<br />
(<br />
⇒ N = k 1 − 1 )<br />
(8.60)<br />
a<br />
a < 1 ⇒ N → 0 Aussterben<br />
Normierung<br />
x = N k<br />
(8.61)<br />
⇒ logistische Gleichung<br />
x i+1 = ax i (1 − x i ) (8.62)<br />
Iteration<br />
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