Skript - Frank Reinhold

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
Iterative Lösung in DGL einsetzen und integrieren
d 2 x 1 (t)
dt
= −2βA 0 ω sin(ωt) − ω 2 0A 0 cos(ωt) − εω 2 0A 3 0 cos 3 (ωt) + k cos(ωt + ϕ) (8.42)
cos 3 (ωt) = 3 4 cos(ωt) + 1 cos(3ωt)
4
(8.43)
k cos(ωt + ϕ) = H cos(ωt) + G sin(ωt) (8.44)
H = k cos ϕ, G = k sin ϕ, k = √ G 2 + H 2 (8.45)
⇒ x 1 (t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) + 1 εω0A 2 3 0
36 ω 2 cos(3ωt) (8.46)
a = 1 (ω 2
ω 2 0A 0 + 3 )
4 εω2 0A 3 0 − H , b = − 1 ω 2 (2ωβA 0 − G) (8.47)
Koeffizientenvergleich ⇒ a = A 1,0 , b = 0
Phasenwinkel
H = (ω 2 0 − ω 2 )A 0 + 3 4 εω2 0A 3 0 (8.48)
G = 2βωA 0 (8.49)
tan ϕ = G H = 2βωA 0
(ω 2 0 − ω2 )A 0 + 3 4 εω2 0 A3 0
(8.50)
Amplitude
√ {
(ω 2 0 − ω2 )A 0 + 3 4 εω2 0 A3 0
} 2
+ (2βωA 0 ) 2 = k (8.51)
Amplitude des 3ωt-Terms
A 1,1 = 1 εω0A 2 3 0
36 ω 2 (8.52)
Resonanzkurve (ω 2 0 > 0, ε > 0)
Abbildung 8.6: Resonanzkurve des Duffing-Oszillators
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