Skript - Frank Reinhold
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Universität Regensburg<br />
Fakultät Physik<br />
Experimentalphysik 1<br />
Mechanik<br />
PD Dr. Ulrich T. Schwarz<br />
Wintersemester 2007/2008<br />
L A TEX: <strong>Frank</strong> <strong>Reinhold</strong>
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einführung 7<br />
2 Grundbegriffe der Bewegung 9<br />
2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
a) Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
b) Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
c) Allgemeine krummlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
3 Newtonsche Axiome 21<br />
3.1 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.2 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.3 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
a) Hrafreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
b) Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
c) Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
d) Strömungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.4 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
a) Torsionswaage - Cavendich Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
b) Fallgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
c) Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.5 Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
4 Energie- und Impulserhaltung 31<br />
4.1 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
4.4 Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
4.6 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
4.7 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
4.8 Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
a) Vollkommen inelastischer zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
b) Vollkommen elastischer zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.9 Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.10 Masseschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.11 Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.12 Stoßprozesse, Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
a) Elastischer Stoß im Laborsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
b) Elastische Stöße im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
5 Rotation 53<br />
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
a) Drehmoment und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
3
Inhaltsverzeichnis<br />
b) Erhaltung der Drehimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
5.2 System von Massepunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
a) Drehimpuls und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
b) Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
5.3 Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
a) Allgemeine freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
b) Bewegung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
c) Bestimmung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
d) Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
e) Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5.4 Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.6 Der symmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
a) Kräftefreier symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
b) Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
c) Präzession des symmetrischen Kreisels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
a) Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
b) Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
6 Die feste Materie 77<br />
6.1 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
6.2 Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
6.3 Scherung und Torionsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
7 Schwingungen 81<br />
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
a) Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
b) Energie im harmonischen Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
7.2 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
a) Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
b) Energie des gedämpften harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
c) Die Güte des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
d) Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
e) Starke Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
7.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
7.4 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
a) Gekoppeltes Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
b) N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos 97<br />
8.1 Nichtlinearer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
a) exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
b) Berechnung der Schwingungsperiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
c) Beschreibung im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
8.2 Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
8.3 Selbsterregende Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
a) Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
b) Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
9 Mechanische Wellen 107<br />
4
Inhaltsverzeichnis<br />
9.1 Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
a) Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
b) Sinusförmige (harmonische) Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
c) Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
d) Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
e) Reflexion am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
f) Eigenschwingung einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
g) Energietransport einer harmonischen Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
9.2 Schallwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
a) Longitudinale Wellen in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
b) Stehende Schallwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
c) Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
d) Wellen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
e) Akustischer Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
f) Mach’scher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
9.3 Wasserwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
9.4 Frequenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
a) Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten . . . . . . . . 123<br />
b) Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
Abbildungsverzeichnis 125<br />
Literaturverzeichnis 129<br />
5
Inhaltsverzeichnis<br />
6
1 Einführung<br />
Abbildung 1.1: Die klassische Mechanik<br />
Klassische Mechanik:<br />
• Zeit hängt nicht vom Bezugssystem ab<br />
• Massepunkte, asugedehnte Körper<br />
7
1 Einführung<br />
8
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes<br />
kartesische Koordinaten<br />
Abbildung 2.1: kartesische Koordinaten<br />
Zylinderkoordinaten<br />
⃗r = (x, y, z) (2.1)<br />
Abbildung 2.2: Zylinderkoordinaten<br />
9
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
⃗r = (r, ϕ, z) (2.2)<br />
x = r cos ϕ (2.3)<br />
y = r sin ϕ (2.4)<br />
z = z (2.5)<br />
Beispiel: Pendel in der Tafelebene<br />
Abbildung 2.3: Pendel in der Tafelebene<br />
⃗r(t) = (L, ϕ(t), 0) (2.6)<br />
⇒ Reduktion auf 1-dimensionales System<br />
Sphärische Koordinaten (Kugelkoordinaten)<br />
10
2.2 Geschwindigkeit<br />
Abbildung 2.4: Kugelkoordinaten<br />
⃗r = (r, ϑ, ϕ) (2.7)<br />
x = r sin ϑ cos ϕ (2.8)<br />
y = r sin ϑ sin ϕ (2.9)<br />
z = r cos ϑ (2.10)<br />
2.2 Geschwindigkeit<br />
Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t ist<br />
∆⃗r<br />
∆t<br />
[ m<br />
s<br />
]<br />
(2.11)<br />
Abbildung 2.5: Geschwindigkeit<br />
Die Momentangeschwindigkeit ⃗v eines Massepunktes ist die Änderung des Ortsvektors ⃗r in einer<br />
infinitesimal kleinen Zeit<br />
∆⃗r<br />
⃗v = lim<br />
∆t→0 ∆t = d⃗r<br />
dt = ˙⃗r (2.12)<br />
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor<br />
⃗r = (v x , v y , v z ) =<br />
( dx<br />
dt , dy<br />
dt , dz )<br />
= (ẋ, ẏ, ż) (2.13)<br />
dt<br />
⃗v ist tangential zur Bahnkurve<br />
11
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
Weg-Zeit-Diagramm<br />
Abbildung 2.6: Tangentenvektor<br />
Abbildung 2.7: Weg-Zeit-Diagramm<br />
1-dimensionale Bewegung, Projektion auf 1-Achse<br />
v z (t 0 ) = dz<br />
∣ (2.14)<br />
dt t=t0<br />
Betrag der Geschwindigkeit<br />
|⃗v| = v =<br />
√<br />
v 2 x + v 2 y + v 2 z (2.15)<br />
Geradlinig gleichförmige Bewegung<br />
Geschwindigkeit ist zeitabhängig<br />
⃗v(t) = d⃗r<br />
dt = ⃗v 0 (2.16)<br />
Versuch: Luftkissenfahrzeug<br />
12
2.2 Geschwindigkeit<br />
Abbildung 2.8: Luftkissenfahrzeug<br />
∆x = 2rπ<br />
n Löcher (2.17)<br />
n<br />
x = ∑ ∆x i (2.18)<br />
i<br />
v = ∆x<br />
∆t ≈ dx<br />
dt<br />
∫ t<br />
d⃗r<br />
⃗r(t) =<br />
dt ′ dt′ =<br />
0<br />
∫ t<br />
0<br />
für kleine ∆x (2.19)<br />
⃗v 0 t + const. (2.20)<br />
⇒ ⃗r(t) = ⃗v 0 t + ⃗r 0 (2.21)<br />
Integrationskonstante aus Anfangsbedingung ⃗r(t = 0) = ⃗r 0 .<br />
Beispiel: Wähle Koordinatensystem so, dass ⃗v 0 ‖ê x .<br />
⇒ 1-dimensionale Bewegung<br />
x(t) = v x t + x 0 (2.22)<br />
Abbildung 2.9: 1-dimensionale Bewegung<br />
Bewegte Bezugssysteme<br />
• Der Raum ist isotrop und homogen<br />
• Die Grundgesetze der Physik sind für zwei gleichförmig zueinander bewegte Beobachter gleich<br />
System S ′ (z.B. Zug) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit ⃗u relativ zum System S (z.B. Bahnsteig)<br />
13
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
Abbildung 2.10: Bewegte Bezugssysteme<br />
Galilei-Transformation<br />
⃗r = ⃗r ′ + ⃗ut (2.23)<br />
⃗v = ⃗v ′ + ⃗u (2.24)<br />
t = t ′ (2.25)<br />
• Mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Bezugssysteme heißen Inertialsysteme<br />
• Zeit ist unabhängig vom Intertialsystem (für |⃗u| ≪ c)<br />
• Die Gesetze der klassischen Mechanik sin invariant gegen Galilei-Transformation, d.h. gleiches Cerhalten<br />
unabhängig vom gewählten Inertialsystem<br />
2.3 Beschleunigung<br />
Bechleunigung ⃗a (acceleration) definiert als Änderung der Geschwindigkeit ⃗v in einem infinitesimalen<br />
Zeitraum<br />
Die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit<br />
⃗a = d⃗v<br />
dt = d ( ) d⃗r<br />
= d ˙⃗r<br />
dt dt dt = ¨⃗r<br />
Im kartesischen Koordinatensystem ist<br />
⃗a = (a x , a y , a z ) =<br />
∆⃗v<br />
⃗a = lim<br />
∆t→0 ∆t = d⃗v<br />
dt = ˙⃗v (2.26)<br />
[ m<br />
s 2 ]<br />
( dvx<br />
dt , dv y<br />
dt , dv ) (<br />
z d 2 )<br />
r x<br />
=<br />
dt dt 2 , d2 r y<br />
dt 2 , d2 r z<br />
dt 2<br />
a) Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung<br />
Beschleunigung ⃗a = ⃗a 0 ist zeitunabhängig.<br />
Geschwindigkeit:<br />
⃗v(t) − ⃗v 0 =<br />
∫ t<br />
0<br />
d⃗v<br />
dt ′ dt ′ =<br />
∫ t<br />
0<br />
(2.27)<br />
(2.28)<br />
⃗a 0 dt ′ = ⃗a 0 · t (2.29)<br />
14
2.3 Beschleunigung<br />
Integrationskonstante ⃗v 0 : ⃗v(t = 0) = ⃗v 0 Anfangsgeschwindigkeit.<br />
Ort:<br />
⃗r(t) − ⃗r 0 =<br />
∫ t<br />
0<br />
d⃗r<br />
dt ′ dt ′ =<br />
∫ t<br />
0<br />
⃗v(t ′ ) dt ′ =<br />
Integrationskonstante ⃗r 0 : ⃗r(t = 0) = ⃗r 0 Anfangsort.<br />
∫ t<br />
0<br />
⃗a 0 t ′ + ⃗v 0 dt ′ = 1 2 ⃗a 0t 2 + ⃗v 0 t (2.30)<br />
⃗r(t) = 1 2 ⃗a 0t 2 + ⃗v 0 t + ⃗r 0 (2.31)<br />
⃗v(t) = ⃗a 0 t + ⃗v 0 (2.32)<br />
⃗a(t) = ⃗a 0 (2.33)<br />
Beispiel: Freier Fall mit horizontaler Bewegung<br />
Abbildung 2.11: Freier Fall mit horiontaler Bewegung<br />
x-Richtung<br />
r x = 1 2 gt2 + v 0,x t + r 0,x = 1 2 gt2 (2.34)<br />
y-Richtung<br />
r y = 1 2 a 0,yt 2 + v 0,y t + r 0,y = v 0 t (2.35)<br />
Zeit bis zum Aufschlag<br />
r x = 1 2 gt2 = h t =<br />
√<br />
2h<br />
g<br />
(2.36)<br />
15
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
Bahnkurve<br />
x = 1 2 gt2 (2.37)<br />
y = v 0 t (2.38)<br />
⃗r(t) = 1 2<br />
⇒ x = 1 2 g y2<br />
⎛<br />
⎝ g 0<br />
0<br />
⎞<br />
v 2 0<br />
⎠ t 2 +<br />
⎛<br />
⎝ 0 v 0<br />
0<br />
⎞<br />
⎠ t +<br />
(2.39)<br />
⎛<br />
⎝ 0 ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
2<br />
0⎠ = ⎝<br />
gt2<br />
v 0 t ⎠ = (2.40)<br />
0 0<br />
= 1 2 ⃗at2 + ⃗v 0 t + ⃗r 0 (2.41)<br />
b) Gleichförmige Kreisbewegung<br />
(nicht konstante Beschleunigung), Betrag der Geschwindigkeit ist konstant |⃗v| = const., ⃗v ‖ momentanen<br />
Tangente, Richtung von ⃗v ändert sich ständig.<br />
Kreisbogen<br />
Betrag der Geschwindigkeit<br />
Abbildung 2.12: Gleichförmige Kreisbewegung<br />
∆s = 2πR ∆ϕ(Grad)<br />
360 ◦ = 2πR ∆ϕ(Bogenmaß) = ∆ϕR (2.42)<br />
2π<br />
∆s<br />
v = lim<br />
∆t→0 ∆t = ds<br />
dt = d dϕ<br />
(ϕR) = R<br />
dt dt<br />
(2.43)<br />
Definition: Winkelgeschwindigkeit<br />
ω = dϕ<br />
dt = ˙ϕ<br />
[ 1<br />
s<br />
]<br />
(2.44)<br />
Damit folgt<br />
v = Rω<br />
[ m<br />
s<br />
]<br />
(2.45)<br />
16
2.3 Beschleunigung<br />
Zeit für Umlauf (Periode)<br />
vT = 2πR (2.46)<br />
RωT = 2πR (2.47)<br />
ω = 2π<br />
T<br />
(2.48)<br />
Frequenz<br />
f = 1 T = ω 2π<br />
(2.49)<br />
Richtung der Beschleunigung<br />
⃗v 2 = v 2 = const. (2.50)<br />
d⃗v 2<br />
dt<br />
d⃗v<br />
= 2⃗v = 2⃗v⃗a = 0<br />
dt<br />
(2.51)<br />
⇒ ⃗v⊥ d⃗v bzw. ⃗v⊥⃗a<br />
dt<br />
(2.52)<br />
Beschleunigung ist senkrecht auf Geschwindigkeit für die gleichmäßige Kreisbewegung, ⃗v‖ˆt Einheitstangente<br />
ˆt, ⃗a‖ˆr Radiusvektor ˆr, ⃗a zeigt zum Mittelpunkt des Kreises.<br />
Betrag der Beschleunigung<br />
Abbildung 2.13: Betrag der Beschleunigung<br />
∆⃗v = ⃗v(t + ∆t) − ⃗v(t) (2.53)<br />
∆⃗v ≈ v sin(∆ϕ) ≈ v∆ϕ kleine Winkel (2.54)<br />
|∆⃗v|<br />
|⃗a| = lim = v dϕ<br />
∆t→0 ∆t dt = vω = ω2 R (2.55)<br />
⃗a = −Rω ⃗ 2 Zentripetalbeschleunigung (2.56)<br />
für gleichmäßige Kreisbewegung.<br />
Alternative Betrachtung<br />
17
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
gleichmäßige Kreisbewegung ϕ = ωt<br />
Abbildung 2.14: Alternative Betrachtung<br />
Vektorielle Schreibweise der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω:<br />
( ) R cos(ωt)<br />
⃗R(t) = (2.57)<br />
R sin(ωt)<br />
⃗v(t) = d R(t) ⃗ ( )<br />
−Rω sin(ωt)<br />
=<br />
(2.58)<br />
dt Rω cos(ωt)<br />
⃗a(t) = d⃗v(t) ( )<br />
−Rω<br />
=<br />
2 cos(ωt)<br />
dt −Rω 2 = −ω 2 R(t) ⃗ (2.59)<br />
sin(ωt)<br />
Abbildung 2.15: Vektorielle Schreibweise ⃗ω<br />
⃗ω ‖ Drehachse, ⃗v = ⃗ω × ⃗r, ⃗v steht senkrecht auf ⃗ω und ⃗r (und ⃗ R).<br />
⃗v, ⃗ω und ⃗r bilden ein Rechtssystem<br />
ω ist axialer Vektor (Pseudovektor), ⃗r, ⃗v, ⃗a sind polare Vektoren.<br />
Punktspiegelung<br />
|⃗v| = |⃗ω × ⃗r| = ωr sin ϑ = ωR (2.60)<br />
⃗r, ⃗v,⃗a −→ − ⃗r, −⃗v, −⃗a (2.61)<br />
⃗ω −→ ⃗ω (2.62)<br />
⃗v = ⃗ω × ⃗r −→ (−⃗v) = ⃗ω × (−⃗r) (2.63)<br />
18
2.3 Beschleunigung<br />
c) Allgemeine krummlinige Bewegung<br />
⃗v ändert sich ini Betrag und Richtung<br />
⃗v = vˆt, Einheitsvektor in tangentiale Richtung ˆt.<br />
Beschleunigung<br />
Abbildung 2.16: Allgemeine krummlinige Bewegung<br />
Tangential- und Normalbeschleunigung<br />
⃗a = d⃗v<br />
dt = d dt (vˆt) = dv<br />
dt ˆt + v dˆt<br />
dt<br />
(2.64)<br />
19
2 Grundbegriffe der Bewegung<br />
20
3 Newtonsche Axiome<br />
3.1 Kraft<br />
Eigenschaften:<br />
Betrag, Richtung, Angriffspunkt<br />
Kraft als Vektor<br />
Überlagerung von Kräften: Vektor-Addition<br />
⃗F = (F x , F y , F z ) (3.1)<br />
⃗F = ∑ i<br />
⃗F i Superpositionsprinzip (3.2)<br />
Abbildung 3.1: Superpositionsprinzip<br />
Kraft kann z.B. durch Verformung eines Körpers gemessen werden: Federwaage<br />
Abbildung 3.2: Hook’sches Gesetz<br />
21
3 Newtonsche Axiome<br />
Hook’sches Gesetz<br />
mit F x ist Rückstellkraft, C ist Federkonstante Kraftfelder:<br />
Jedem Punkt im Raum kann eine Kraft zugeordnet werden<br />
Beispiel: Schwerefeld der Erde = Zentralkraftfeld<br />
F x = −C · ∆x (3.3)<br />
⃗F = ⃗ F (⃗r) (3.4)<br />
Abbildung 3.3: Schwerefeld der Erde<br />
mit Masse der Erde M und Gravitationskonstante G<br />
3.2 Newtonsche Axiome<br />
⃗F = −G mM ˆr (3.5)<br />
r2 1. Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip)<br />
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine<br />
Kraft auf ihn wirkt.<br />
Impuls als Maß für Bewegungszustand eines Körpers der trägen Masse m<br />
[ ] kg · m<br />
⃗p = m⃗v<br />
s<br />
(3.6)<br />
Der Impuls eines freien Körpers ist konstant.<br />
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)<br />
Wenn eine Kraft ⃗ F auf einen Körper wirkt, ändert sich sein Impuls ⃗p = m⃗v so, dass<br />
Für m = const. gilt<br />
⃗F = d⃗p<br />
dt<br />
(3.7)<br />
⃗F = d (m⃗v) = md⃗v = m⃗a (3.8)<br />
dt dt<br />
22
3.3 Reibung<br />
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse m und direkt proportional<br />
zur Kraft, die auf ihn wirkt<br />
F<br />
⃗a = ⃗ [F ] = kg · m<br />
m<br />
s 2 = N (3.9)<br />
Das 2. Newtonsche Axiom gilt auch, wenn sich die Masse ändert<br />
⃗F = d⃗p<br />
dt = md⃗v dt + v dm<br />
dt<br />
(3.10)<br />
Wirken mehrere Kräfte ⃗ F i auf einen Körper, so erfolgt die Beschleunigung ⃗a in Richtung der resultierenden<br />
Kraft ⃗ F = ∑ i ⃗ F i .<br />
3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip)<br />
Wenn eine Kraft ⃗ F , die auf einen Körper wirkt, ihren Ursprung in einem anderen Körper hat, so wirkt<br />
auf diesen die entgegengesetzte gleiche Kraft − ⃗ F .<br />
actio = reactio (3.11)<br />
⃗F 12 = − ⃗ F 21 (3.12)<br />
Definition der Masse über die Beschleunigung:<br />
Kraft F wirkt auf m 1 → a 1<br />
Kraft F wirkt auf m 2 → a 2<br />
a 1<br />
F = m 1 a 1 = m 2 a 2 ⇒ m 2 = m 1<br />
a 2<br />
(3.13)<br />
⇒ Massenskala über Verhältnis der Beschleunigungen (Primärnormal-Platin-Iridium-Zylinder)<br />
Einheit der Kraft:<br />
1N entspricht der Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1kg mit 1 m s 2<br />
F<br />
⃗a = ⃗ [ m<br />
m<br />
s kg]<br />
2 = N<br />
zu beschleunigen.<br />
(3.14)<br />
3.3 Reibung<br />
Ursprung der Reibung ist die Anziehung der Atome/Moleküle zweier eng beieinander liegenden Kontaktflächen<br />
a) Hrafreibung<br />
Maximale Haftkraft ∝ Normalkraft F N zwischen beiden Flächen<br />
Haftreibungskoeffizient µ h<br />
F h,max = µ h · F N (3.15)<br />
Abbildung 3.4: Haftreibung<br />
23
3 Newtonsche Axiome<br />
b) Gleitreibung<br />
F g = µ g · F N (3.16)<br />
Gleitreibungskoeffizient µ g<br />
µ g und µ h hängen von der Oberflächenstruktur ab, aber nicht von der makroskopischen Berührungsfläche.<br />
c) Rollreibung<br />
F R = µ R · F N (3.17)<br />
Rollreibungskoeffizient µ R<br />
d) Strömungswiderstand<br />
Geschwindigkeitsabhängige Reibung<br />
F S = b · v n (3.18)<br />
Formabhängiger Reibungskoeffizient b, n liegt zwischen 1 (niedrige Geschwindigkeit) und 2 (hohe Geschwindigkeit).<br />
Beispiel: Fallschirmspringer<br />
Abbildung 3.5: Fallschirmspringer<br />
⇒ Grenzgeschwindigkeit<br />
F = mg − bv 2 = ma (3.19)<br />
mg = bv 2 Gleichgewicht (3.20)<br />
v =<br />
√ mg<br />
b<br />
(3.21)<br />
3.4 Gravitationsgesetz<br />
Alle Körper des Universums ziehen sich gegenseitig an.<br />
24
3.4 Gravitationsgesetz<br />
Abbildung 3.6: Gravitationsgesetz<br />
⃗F 12 = γ · m1m 2<br />
r 2 · ˆr 12 (3.22)<br />
−11 Nm2<br />
mit schweren Massen m 1 und m 2 und Gravitationskonstante γ = 6, 67428(67) · 10<br />
kg 2<br />
a) Torsionswaage - Cavendich Experiment<br />
siehe Online-Handout<br />
b) Fallgesetz<br />
Alle Körper erfahren beim freien Fall die gleiche Beschleunigung unabhängig von Größe, Form oder sonstiger<br />
Beschaffenheit.<br />
Beschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche<br />
a = F m = γ · m · M E<br />
m · R 2 E<br />
(3.23)<br />
a = g = γ · ME<br />
R 2 E<br />
mit Erdmasse M E = 5, 975 · 10 24 kg, Erdradius (Äquator) R E = 6, 378 · 10 6 m<br />
= 9, 81 N kg = 9, 81m s 2 (3.24)<br />
c) Äquivalenzprinzip<br />
Sind schwere Masse m S im Gravitationsgesetz F = γ m S1m S2<br />
r12<br />
2<br />
Axiom a = F m T<br />
identisch?<br />
Fallbeschleunigung<br />
g = γ m SM E<br />
m T R 2 E<br />
Experiment zeigt, dass alle Körper gleich schnell fallen<br />
und träge Masse m T<br />
im 2. Newtonschen<br />
(3.25)<br />
m S = m T = m (3.26)<br />
so festge-<br />
−11 Nm2<br />
Eigentlich folgt nur m S ∝ m T . Die Proportionalitätskonstante ist durch γ = 6, 67 · 10<br />
kg 2<br />
legt, dass m S = m T ist.<br />
Genaueres Experiment (Newton):<br />
Für Pendelschwingungen ist die Periodendauer T unabhängig von der Art des Pendelkörpers.<br />
25
3 Newtonsche Axiome<br />
Abbildung 3.7: Pendelschwingung<br />
F T = −G sin ϕ = −m S g sin ϕ (3.27)<br />
G = m s g (3.28)<br />
Weg<br />
s(t) = rϕ(t) (3.29)<br />
Beschleunigung<br />
Aktionsprinzip<br />
a = d2 (rϕ)<br />
dt 2<br />
= r d2 ϕ<br />
dt 2 r = const. (3.30)<br />
Bewegungsgleichung<br />
Ansatz: periodische Bewegung<br />
in (3.33)<br />
m T a = F (3.31)<br />
m T r d2 ϕ<br />
dt 2 = −msg sin ϕ ≈ −m Sgϕ (3.32)<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2<br />
= − m Sg<br />
m T r ϕ (3.33)<br />
ϕ(t) = A cos(ωt + φ) (3.34)<br />
dϕ(t)<br />
= −Aω sin(ωt + φ)<br />
dt<br />
(3.35)<br />
d 2 ϕ(t)<br />
dt 2 = −Aω 2 cos(ωt + φ) = −ω 2 ϕ(t) (3.36)<br />
−ω 2 ϕ(t) = − m S g<br />
ϕ(t) (3.37)<br />
m T r<br />
26
3.5 Keplersche Gesetze<br />
ist zu allen Zeiten erfüllt für<br />
ω =<br />
√<br />
mS g<br />
m T r<br />
(3.38)<br />
Anfangsbedingungen (z.B.): maximale Auslenkung ϕ 0 zur Zeit t = 0 und dϕ<br />
dt = 0 für t = 0<br />
A = ϕ 0 φ = 0 (3.39)<br />
ϕ(t) = ϕ 0 cos(ωt) (3.40)<br />
Abbildung 3.8: Periodische Bewegung<br />
√<br />
Schwingungsperiode T = 2π ω = 2π mT ·r<br />
m S·g ist unabhängig von der Art der Pendelmasse, wenn m S =<br />
m T = m. Dann gilt<br />
√ g<br />
ω =<br />
r<br />
(3.41)<br />
Historie:<br />
Baron Eötvös (1898), R. H. Diche (1961), Gleichheit von m S und m T mit relativem Fehler 10 −12 .<br />
3.5 Keplersche Gesetze<br />
1. Keplersches Gesetz<br />
Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf Ellipsenbahnen und die Sonne steht in einem der beiden<br />
Brennpunkte der Ellipse.<br />
Abbildung 3.9: 1. Keplersches Gesetz<br />
27
3 Newtonsche Axiome<br />
Ellipsenform in Polarkoordinaten<br />
r = a ·<br />
r − ε 2<br />
r − ε cos ϕ<br />
(3.42)<br />
mit großer Halbachse a und Elliptizität ε, Brennpunkte F und F ′ .<br />
2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)<br />
Zieht man einen Radiusvektor von der Sonne zum Planeten, so überstreicht er in gleichen Zeiten gleiche<br />
Flächen.<br />
Fläche des Dreiecks<br />
Abbildung 3.10: 2. Keplersches Gesetz<br />
Abbildung 3.11: Flächensatz<br />
A = 1 2<br />
Definition: Vektor ⃗ V A , dessen Betrag die Flächengeschwindigkeit ist.<br />
|⃗r| · |d⃗r | sin γ (3.43)<br />
dt<br />
⃗V A = 1 d⃗r<br />
⃗r ×<br />
2 dt<br />
(3.44)<br />
1. und 2. Keplersches Gesetz: ⃗ V A ändert weder Richtung noch Betrag.<br />
dV ⃗ A<br />
dt<br />
dV ⃗ A<br />
dt<br />
= 0 (3.45)<br />
= d (<br />
⃗r × d⃗r )<br />
= d⃗r<br />
dt dt dt × d⃗r<br />
dt + ⃗r × d2 ⃗r<br />
dt 2 = 0 (3.46)<br />
⇒ ⃗r × d2 ⃗r<br />
= ⃗r × ⃗a = 0<br />
dt2 (3.47)<br />
⇒ ⃗r‖⃗a (3.48)<br />
⇒ ⃗r‖ ⃗ F (3.49)<br />
28
3.5 Keplersche Gesetze<br />
Die Kraft ist immer parallel zur Verbindungslinie Sonne-Planet:<br />
⇒ Zentralkraft<br />
3. Keplersches Gesetz<br />
Das Verhältnis aus dem Quadrat der Umlaufzeit zur dritten Potenz der längeren Halbachse ist für alle<br />
Planetenbahnen gleich.<br />
Annahme:<br />
Planetenbahnen ∼ Kreisbahnen<br />
⇒ Zentripetalbeschleunigung<br />
a 3<br />
m3<br />
= 3, 354 · 1018 = const. (3.50)<br />
T<br />
2<br />
s2 Ersetze 1<br />
T 2<br />
⇒<br />
a = ω 2 r = 4π2<br />
T 2 r (3.51)<br />
mit c<br />
r 3 a = 4π 2 · c · 1<br />
r 2 (3.52)<br />
F = ma = 4π 2 · c · m<br />
r 2 (3.53)<br />
m<br />
r 2 -Abhängigkeit des Gravitationsgesetzes.<br />
”Der Mond fällt wie der Apfel”:<br />
Kreisbahn<br />
Beschleunigung<br />
In ∆t = 1s zurückgelegte ”Fallstrecke”<br />
Apfel fällt<br />
R M = 3, 8 · 10 8 m ∼ 60R E (3.54)<br />
T M = 27, 3 Tage (3.55)<br />
a r = ωM 2 R M = 4π2<br />
TM<br />
2 R M (3.56)<br />
∆r M = 1 2 a rt 2 = 2π2<br />
T 2 R M = 1, 3mm (3.57)<br />
∆r A = g 2 ∆t2 = 4, 9m ≈ 3700∆r M (3.58)<br />
passt zu F ∝ 1<br />
r 2 , da R M<br />
RE<br />
∼ 60.<br />
29
3 Newtonsche Axiome<br />
30
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Erfahrungstatsache:<br />
In einem abgeschlossenen System bleibt die Energie erhalten.<br />
Formen der Energie:<br />
Gravitationsenergie, kinetische Energie, Wräme, elastische Energie, chemische Energie, Strahlungsenergie,<br />
Kernenergie, Massenenergie, elektrische Energie.<br />
Abgeschlossenes System:<br />
Energie kann zugeführt werden, indem Arbeit am System verrichtet wird, oder abgeführt, wenn das<br />
System Arbeit verrichtet.<br />
4.1 Arbeit und kinetische Energie<br />
Einfaches Beispiel: Ein Körper wird mit konstanter Kraft beschleunigt (keine Reibung).<br />
Abbildung 4.1: Arbeit und kinetische Energie<br />
Arbeit = Kraft in Bewegungsrichtung × Verschiebung<br />
W = F x · ∆x = | ⃗ F | · ∆x · cos ϕ = ⃗ F · δ⃗x (4.1)<br />
kg · m2<br />
[W ] = N · m =<br />
s 2 = J (4.2)<br />
konstante Kraft ⇒ konstante Beschleunigung (m = const.).<br />
2. Newtonsches Axiom<br />
F x = m · a x (4.3)<br />
Mittlere Geschwindigkeit<br />
v = a x t + v 0 ⇒ t = v − v 0<br />
a x<br />
(4.4)<br />
〈v〉 = 1 2 (v + v 0) (4.5)<br />
∆x = 〈v〉t (4.6)<br />
⇒ ∆x = 1 2 (v + v 0) · v − v 0<br />
= 1 v 2 − v0<br />
2 (4.7)<br />
a x 2 a x<br />
∆x · a x = 1 2 (v2 − v 2 0) (4.8)<br />
31
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Arbeit<br />
F x · ∆x = 1 2 mv2 − 1 2 mv2 0<br />
Änderung der kinetischen Energie (4.9)<br />
Kinetische Energie<br />
Allgemeine Herleitung: 2. Newtonsches Axiom<br />
Eliminiere dt<br />
Mit Impuls ⃗p = m⃗v<br />
E kin = 1 2 mv2 = p2<br />
2m<br />
⃗p = m⃗v (4.10)<br />
kg · m2<br />
[E kin ] =<br />
s 2 = J (4.11)<br />
d⃗p = ⃗ F · dt | · ⃗v (4.12)<br />
⃗v · d⃗p = ⃗v · ⃗F · dt (4.13)<br />
d⃗r = ⃗v · dt | · ⃗F (4.14)<br />
⃗F · d⃗r = ⃗ F · ⃗v · dt (4.15)<br />
⃗v · d⃗p − ⃗ F · d⃗r = 0 (4.16)<br />
Etwas Mathe<br />
⃗p · d⃗p<br />
m<br />
− ⃗ F ˙ d⃗r = 0 (4.17)<br />
dp 2 = d(⃗p · ⃗p) = ⃗pd⃗p + d⃗p · ⃗p = 2⃗p · d⃗p (4.18)<br />
( ) ⃗p<br />
2<br />
⇒ d − F<br />
2m } ⃗ {{<br />
· d⃗r<br />
}<br />
= 0 (4.19)<br />
} {{ } Arbeit<br />
Änderung der E kin<br />
⇒ dE kin − dW = 0 (4.20)<br />
Abbildung 4.2: Arbeit und kinetische Energie<br />
∆E kin > 0 (4.21)<br />
∆W = F ⃗ · ∆x > 0 (4.22)<br />
Arbeit, die entlang einer Bahnkurve geleistet wird<br />
W =<br />
∫ ⃗r(t)<br />
⃗r(t 0)<br />
⃗F · d⃗r ′ [J] ”Kraft mal Weg” (4.23)<br />
Nur die Tangentialkomponente der Kraft trägt zur Arbeit bei<br />
32
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie<br />
Abbildung 4.3: Tangentialkomponente der Kraft<br />
⃗F r · d⃗r = 0 (4.24)<br />
Leistung:<br />
Rate, mit der eine Kraft Arbeit verrichtet<br />
P = dW dt<br />
[ J<br />
s = W ]<br />
(4.25)<br />
dW = ⃗ F · d⃗r = ⃗ F⃗v · dt (4.26)<br />
⇒ ⃗p = ⃗ F · ⃗v (4.27)<br />
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie<br />
Beispiel: Arbeit und potentielle Energie bei der Deformation einer Feder.<br />
Abbildung 4.4: Deformation einer Feder<br />
W =<br />
∫ x<br />
0<br />
F dx = c<br />
∫ x<br />
0<br />
x dx = c 2 x2 (4.28)<br />
Arbeit wird am System verrichtet<br />
⇒ Erhöhung der potentiellen Energie E pot<br />
33
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Abbildung 4.5: Potentielle Energie E pot<br />
Allgemein<br />
dE kin + dE pot − dW = 0 (4.29)<br />
Abgeschlossenes System (dW = 0)<br />
d(E kin + E pot ) = 0 (4.30)<br />
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten.<br />
Beispiel: Fadenpendel<br />
Abbildung 4.6: Fadenpendel<br />
34
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie<br />
Verrichtete Arbeit<br />
∫ ⃗r2<br />
∫ h<br />
W = −m⃗g · d⃗r = mg dz = mgh (4.31)<br />
⃗r 1 0<br />
E kin + E pot = E ges = mgh (4.32)<br />
1<br />
2 mv2 + mgz = mgh (4.33)<br />
⇒ v(z) = √ 2g(h − z) (4.34)<br />
Maximalgeschwindigkeit<br />
v max = √ 2gh (4.35)<br />
Energieerhaltung/Feder<br />
Abbildung 4.7: Energieerhaltung (Feder)<br />
E kin = E tot − E pot = 1 2 cx2 max − 1 2 cx2 (4.36)<br />
1<br />
2 mv2 = 1 2 c(x2 max − x 2 ) (4.37)<br />
v =<br />
√ c<br />
m (x2 max − x 2 ) (4.38)<br />
Frei fallender Körper/Erdbeschleunigung<br />
35
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Abbildung 4.8: Erdbeschleunigung<br />
Anfangsbedingung<br />
v 0 = v(z = 0) = 0 (4.39)<br />
E tot = E kin + E pot = 0 (4.40)<br />
= E kin (z = 0) + E pot (z = 0) = 0 (4.41)<br />
⇒ E kin = 1 2 mv2 = −mgz z < 0 (4.42)<br />
v = √ −2gz (4.43)<br />
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz<br />
Abbildung 4.9: E pot beim Gravitationsgesetz<br />
Kraft<br />
⃗F = γ m 1m 2<br />
r 2 ˆr (4.44)<br />
36
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz<br />
Arbeit<br />
W ABC =<br />
W AB′ C =<br />
∫ ⃗r2<br />
⃗r 1<br />
∫ ⃗r2<br />
∫ B ∫ C<br />
F ⃗ d⃗r = ⃗F d⃗r + ⃗F d⃗r (4.45)<br />
A<br />
B<br />
} {{ }<br />
=0 ( ⃗ F ⊥d⃗r)<br />
∫ C<br />
∫ B<br />
′<br />
F ⃗ d⃗r = ⃗F d⃗r + F ⃗ d⃗r = W ABC (4.46)<br />
⃗r 1 A<br />
B<br />
} ′<br />
{{ }<br />
=0 ( ⃗ F ⊥d⃗r)<br />
Zerlege beliebigen Weg in Wegstücke mit ⃗ F ⊥d⃗r (W = 0) und ⃗ F ‖d⃗r (W ≠ 0).<br />
⇒ Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endradius |⃗r 1 | und |⃗r 2 | ab.<br />
W =<br />
∫ r2<br />
r 1<br />
γ m 1m 2<br />
r 2 dr = −γm 1 m 2 ·<br />
( 1<br />
r 2<br />
− 1 r 1<br />
)<br />
(4.47)<br />
Abbildung 4.10: r-E pot -Diagramm<br />
Bezugspunkt R E möglich<br />
( 1<br />
E pot = γm 1 M E − 1 )<br />
R E r<br />
(4.48)<br />
Geschickter: Bezugspunkt r 1 → ∞<br />
E pot = −γ m 1M E<br />
r<br />
(4.49)<br />
2. kosmische Geschwindigkeit<br />
E kin + E pot = 0 (4.50)<br />
1<br />
2 mv2 0 − γm M √<br />
E<br />
= 0 ⇒ v 0 = 2γ M E<br />
= 11, 2 km (4.51)<br />
R E R E s<br />
37
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
4.4 Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen<br />
Abbildung 4.11: Ausgedehnte Masseverteilung<br />
Gesamtarbeit um m 0 nach ∞ zu verschieben<br />
E pot =<br />
Verallgemeinerung für N Massen<br />
∫ ∞<br />
r 01<br />
⃗ F01 d⃗r +<br />
∫ ∞<br />
r 02<br />
(<br />
F02 ⃗ m1<br />
d⃗r = −γm 0 + m )<br />
2<br />
r 01 r 02<br />
(4.52)<br />
E pot = −γm 0 ·<br />
Potentielle Energie einer Masse m 0 in der Nähe einer Kugelschale der Masse M<br />
N∑<br />
i=1<br />
m i<br />
r 0i<br />
(4.53)<br />
Abbildung 4.12: Potential einer Kugelschale<br />
1. Fall:<br />
außerhalb der Kugelschale<br />
2. Fall:<br />
innerhalb der Kugelschale<br />
E pot = −γm 0<br />
∫<br />
M<br />
E pot = −γ m 0M<br />
r<br />
E pot = −γ m 0M<br />
R<br />
dm<br />
s<br />
(4.54)<br />
(4.55)<br />
= const. (4.56)<br />
38
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie<br />
Abbildung 4.13: E-r- und F -r-Diagramm einer Kugelschale<br />
m 0 kann innerhalb der Kugelschale ohne Arbeit verschoben werden (kräftefrei). Außerhalb E pot ∝ 1 r wie<br />
Punktmasse.<br />
Potential einer Vollkugel (analog)<br />
Abbildung 4.14: E-r- und F -r-Diagramm einer Vollkugel<br />
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie<br />
Äquipotentialflächen:<br />
Orte gleicher Energie<br />
E pot (x, y, z) = const. (4.57)<br />
Verschiebung entöang der Äquipotentialflächen benötigt keine Kraft (W = 0). Allgemein gilt<br />
dE pot = dW = − ⃗ F · d⃗r (4.58)<br />
Kraft steht senkrecht auf Äquipotentialflächen. In Richtung der Kraftlinien gilt<br />
Vektoriell geschrieben mit Gradienten-Operator<br />
Skalares Feld E pot (⃗r) ⇒ Vektorfeld ⃗ F (⃗r)<br />
dE pot = −F dr (4.59)<br />
oder F = − dE pot<br />
dr<br />
⎛<br />
⎜<br />
⃗F = −gradE pot = −∇E pot = − ⎝<br />
dE pot<br />
dx<br />
dE pot<br />
dy<br />
dE pot<br />
dz<br />
⎞<br />
(4.60)<br />
⎟<br />
⎠ (4.61)<br />
39
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Beispiel: Potential einer Punktfläche<br />
4.6 Konservative Kräfte<br />
E pot = −γ mM 0<br />
= −γmM 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 2 (4.62)<br />
r<br />
d<br />
dx (x2 + y 2 + z 2 ) − 1 1<br />
2 = −<br />
2 (x2 + y 2 + z 2 ) − 3 x<br />
2 2x = −<br />
r 3 (4.63)<br />
⎛<br />
− ∇E pot = γmM 0<br />
⎝ − ⎞<br />
x<br />
r 3<br />
− y ⎠<br />
1<br />
r<br />
= −γmM 3<br />
0<br />
− z<br />
r 2 · ⃗r r = −γmM 1<br />
0 · ˆr (4.64)<br />
r2 r 3<br />
Eine Kraft ist konservativ, wenn die Gesamtarbeit, die sie an einem Teilchen verrichtet, das sich auf einer<br />
beliebigen geschlossenen Bahn bewegt, gleich Null ist.<br />
Abbildung 4.15: Konservative Kraft<br />
Konservative Kräfte...<br />
• hängen nur von Ortskoordinaten ab.<br />
W 12 (Weg A) = −W 21 (Weg B) = W 12 (Weg B) (4.65)<br />
• Potentielle Energie kann unabhängig vom Integrationsweg definiert werden.<br />
• Erhaltung von E tot = E pot + E kin (energy is conserved).<br />
Nicht-konservative Kräfte...<br />
• geschwindigkeitsabhängige Kräfte (Reibung).<br />
• zeitabhängige Kräfte.<br />
• E tot ist abhängig vom Weg und bleibt nich erhalten.<br />
4.7 Impulserhaltung<br />
Konsequenz aus dem 3. Newtonschen Axiom.<br />
Zwei wechselwirkende Körper. Keine Kraft von außen.<br />
40
4.7 Impulserhaltung<br />
Abbildung 4.16: Zwei wechselwirkende Körper ohne äußere Kräfte<br />
Für beliebige Kräfte (Gravitation, elastischer und inelastischer Stoß, ...) gilt<br />
Mit dem 2. Newtonschen Axiom<br />
Gesamtimpuls<br />
actio = reactio ⃗ F12 = − ⃗ F 21 (4.66)<br />
⃗F 12 + F ⃗ 21 = d⃗p 1<br />
dt + d⃗p 2<br />
dt = d(m 1⃗v 1 )<br />
+ d(m 2⃗v 2 )<br />
= 0<br />
dt dt<br />
(4.67)<br />
d<br />
dt (⃗p 1 + ⃗p 2 ) = d ⃗p = 0<br />
dt<br />
(4.68)<br />
⃗p = m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2 = const. (4.69)<br />
Der Gesamtimpuls ⃗p eines Systems zweier Körper ändert sich nicht unter dem Einfluss innerer Kräfte<br />
zwischen den Körpern.<br />
Allgemein für N Körper<br />
Abbildung 4.17: Gesamtimpuls für N Körper<br />
N∑<br />
⃗F ik = 0 (4.70)<br />
i,k=1<br />
i≠k<br />
Kräftepaare sind entgegengesetzt gleich groß.<br />
41
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Änderung der einzelnen Impulse<br />
⇒<br />
d<br />
dt<br />
N∑<br />
i=1<br />
N∑<br />
i=1<br />
d⃗p i<br />
dt =<br />
d⃗p i<br />
dt =<br />
4.8 Stoßprozesse<br />
N ∑<br />
i,k=1<br />
i≠k<br />
N ∑<br />
i,k=1<br />
i≠k<br />
Abgeschlossenes System ohne äußere Kräfte<br />
⃗F ik Gesamtkraft auf i-ten Körper (4.71)<br />
⃗F ik = 0 (4.72)<br />
⃗p i = d ⃗p = 0 Gesamtimpuls bleibt erhalten (4.73)<br />
dt<br />
N∑<br />
⃗p i = const. (4.74)<br />
i=1<br />
Gesamtimpuls vor Stoß = Gesamtimpuls nach Stoß.<br />
Zwei Körper (Atome, Billardkugeln)<br />
Versuch: Wasserrakete<br />
m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2 = m 1 ⃗v ′ 1 + m 2 ⃗v ′ 2 (4.75)<br />
Abbildung 4.18: Wasserrakete<br />
m R v R = m T v T (4.76)<br />
v R = m T<br />
m R<br />
v T (4.77)<br />
Raketengleichung<br />
Treibstoff Luft: m T ≪ m R ⇒ v R ≪ v T (4.78)<br />
Treibstoff Wasser: m T = m R ⇒ v R = v T (4.79)<br />
Fall A:<br />
Kinetische Energie bleibt beim Stoß erhalten<br />
v R = ln m R + m T<br />
m R<br />
v T (4.80)<br />
E kin = p2 1<br />
+ p2 2<br />
= p′2 1<br />
+ p′2 2<br />
= E kin ′ (4.81)<br />
2m 1 2m 2 2m 1 2m 2<br />
42
4.8 Stoßprozesse<br />
Fall B:<br />
Teil der kinetischen Energie wird in andere Energieformenumgewandelt (Reibung, Verformung)<br />
für Q = 0: elastischer Stoß<br />
für Q ≠ 0: inelastischer Stoß<br />
E kin = p2 1<br />
+ p2 2<br />
= p′2 1<br />
+ p′2 2<br />
+ Q = E kin ′ + Q (4.82)<br />
2m 1 2m 2 2m 1 2m 2<br />
a) Vollkommen inelastischer zentraler Stoß<br />
Körper bewegen sich vor und nach dem Stoß auf der gleichen Geraden (Luftschiene).<br />
keine Energieerhaltung<br />
aber Impulserhaltung<br />
Im bewegeten Bezugssystem<br />
Abbildung 4.19: Inelastischer Stoß<br />
Q ≠ 0 (4.83)<br />
m 1 ⃗v 1 + m 2 · 0 = (m 1 + m 2 )⃗v 1 ′ (4.84)<br />
⇒ ⃗v 1 ′ m 1<br />
= ⃗v 1<br />
m 2 + m 1<br />
(4.85)<br />
⃗u = − 1 2 ⃗v 1 m 1 = m 2 (4.86)<br />
Abbildung 4.20: Inelastischer Stoß im bewegten Bezugssystem<br />
b) Vollkommen elastischer zentraler Stoß<br />
Impulserhaltung<br />
Energieerhaltung<br />
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 (4.87)<br />
1<br />
2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 1v ′2<br />
1 + 1 2 m 2v ′2<br />
2 (4.88)<br />
43
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
2 Gleichungen, 2 Unbekannte<br />
m 1<br />
2 (v2 1 − v 1 ′2 ) = m 2<br />
2 (v2 2 − v 2 ′2 ) (4.89)<br />
m 1 (v 1 − v 1)(v ′ 1 + v 1) ′ = m 2 (v 2 − v 2)(v ′ 2 + v 2) ′ (4.90)<br />
m 1 (v 1 − v 1) ′ = m 2 (v 2 − v 2) ′ (4.91)<br />
v 1 + v 1 ′ = v 2 + v 2 ′ (4.92)<br />
⇒ v 2 ′ − v 1 ′ = −(v 2 − v 1 ) (4.93)<br />
Umkehrung der Relativgeschwindigkeiten<br />
Versuch: elastischer Stoß auf ruhende Masse<br />
Umkehrung der Relativgeschwindigkeit<br />
Impulserhalt<br />
Abbildung 4.21: Elastischer Stoß auf ruhende Masse<br />
v ′ 2 − v ′ 1 = −(v 2 − v 1 ) (4.94)<br />
v ′ 2 − v ′ 1 = v 1 (4.95)<br />
m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 = m 1 v 1 v ′ 1 = v ′ 2 − v 1 (4.96)<br />
m 1 (v ′ 2 − v 1 ) + m 2 v ′ 2 = m 1 v 1 (4.97)<br />
m 2 v ′ 2 = m 1 v 1 − m 1 v ′ 2 + m 1 v 1 (4.98)<br />
m 2 v ′ 2 = 2m 1 v 1 − m 1 v ′ 2 | + m 1 v ′ 2 (4.99)<br />
v ′ 2(m 1 + m 2 ) = 2m 1 v 1 (4.100)<br />
v ′ 2 = 2m 1<br />
m 1 + m 2<br />
v 1 (4.101)<br />
Fall 1: m 1 = m 2<br />
v ′ 2 = 2m 1<br />
m 1 + m 1<br />
v 1 = v 1 (4.102)<br />
v ′ 1 = v ′ 2 − v 1 = v 1 − v 1 = 0 (4.103)<br />
Fall 2: m 1 = 2m 2<br />
v ′ 2 =<br />
4m 2<br />
m 2 + 2m 2<br />
v 1 = 4 3 v 1 (4.104)<br />
v ′ 1 = v ′ 2 − v 1 = 1 3 v 1 (4.105)<br />
44
4.9 Kraftstoß<br />
Fall 3: m 1 = 1 2 m 2<br />
v ′ 2 =<br />
m 2<br />
1<br />
2 m v 1 = 2<br />
2 + m 2 3 v 1 (4.106)<br />
v ′ 1 = v ′ 2 − v ′ 1 = 2 3 v 1 − v 1 = − 1 3 v 1 (4.107)<br />
Versuch: Astroblaster<br />
Abbildung 4.22: 3-stufiger Astroblaster aus Sicht eines mitbewegten Beobachters<br />
v ′ 2 = 2m 1<br />
m 1 + m 2<br />
v ′ 1 (4.108)<br />
v ′ 3 = 2m 2<br />
m 2 + m 3<br />
v ′ 2 = 2m 2<br />
m 2 + m 3<br />
v ′ 2 ·<br />
0 = dv′ 3<br />
dm 2<br />
=<br />
2m 1<br />
m 1 + m 2<br />
v ′ 1 = (4.109)<br />
4m 1 m 2 v 1<br />
′ =<br />
(m 2 + m 3 )(m 1 + m 2 ) = 4m 1 m 2 v 1<br />
′<br />
m 1 m 2 + m 2 2 + m = (4.110)<br />
1m 3 + m 2 m 3<br />
4m 1 v 1<br />
′ =<br />
(4.111)<br />
m 1 + m 2 + m 3 + m1m3<br />
m 2<br />
)<br />
−4m 1<br />
(1 − m1m3<br />
m 2 2<br />
(<br />
m 1 + m 2 + m 3 + m1m3<br />
m 2<br />
) 2<br />
(4.112)<br />
⇒ 4m2 1m 3<br />
m 2 = 4m 1 (4.113)<br />
2<br />
⇒ m 1m 3<br />
m 2 = 1 (4.114)<br />
2<br />
⇒ m 2 = √ m 1 m 3 (4.115)<br />
geometrisches Mittel ergibt Maximum von ⃗v ′ 3.<br />
4.9 Kraftstoß<br />
2. Newtonsches Axiom<br />
d⃗p = ⃗ F (t) dt (4.116)<br />
45
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Impulsübertrag oder Kraftstoß<br />
4.10 Masseschwerpunkt<br />
Abbildung 4.23: F -t-Diagramm zum Kraftstoß<br />
⃗r s =<br />
⃗J = ∆⃗p =<br />
∑<br />
∑ i m i⃗r i<br />
i m i<br />
∫ tf<br />
t i<br />
⃗ F (t) dt (4.117)<br />
= 1 M · ∑<br />
m i ⃗r i (4.118)<br />
i<br />
Schwerpunktsgeschwindigkeit<br />
Gesamtimpuls<br />
Abbildung 4.24: Massenschwerpunkt<br />
⃗v s = d⃗r s<br />
dt = 1 M · ∑<br />
m i ⃗v i (4.119)<br />
i<br />
⃗p = ∑ ⃗p i = M⃗v s (4.120)<br />
i<br />
Bewegungsgleichung für N Körper<br />
⃗F 1,2 + ⃗ F 1,3 + . . . + ⃗ F 1,N + ⃗ F 1,ext = d dt (m 1⃗v 1 ) (4.121)<br />
. (4.122)<br />
⃗F i,1 + ⃗ F i,2 + . . . + ⃗ F i,N + ⃗ F i,ext = d dt (m i⃗v i ) (4.123)<br />
. (4.124)<br />
⃗F N,1 + ⃗ F N,2 + . . . + ⃗ F N,N−1 + ⃗ F N,ext = d dt (m N⃗v N ) (4.125)<br />
46
4.10 Masseschwerpunkt<br />
Für N ≥ 3 nicht allgemein lösbar.<br />
⇒ Störungsrechnung<br />
⇒ numerisch<br />
Alle Gleichungen addieren<br />
∑<br />
i,k<br />
i≠k<br />
⃗F i,k<br />
} {{ }<br />
=0<br />
+ ∑ i<br />
⃗F i,ext = ∑ i<br />
∑<br />
⃗F i,ext = ∑<br />
i<br />
i<br />
d<br />
dt ⃗p i (4.126)<br />
d<br />
dt ⃗p i (4.127)<br />
Eine äußere Kraft ⃗ F verursacht eine Schwerpunktbeschleunigung ⃗a s<br />
M · ⃗a s = d⃗p<br />
dt = ⃗ F (4.128)<br />
Der Schwerpunkt eines Systems von Körpern bewegt sich wie ein Körper der Masse M auf den eine<br />
äußere Kraft ⃗ F wirkt.<br />
Transformation: Laborsystem ↔ Schwerpunktsystem:<br />
Abbildung 4.25: Transformation: Labor- Schwerpunktsystem<br />
⇒<br />
⃗r i = ⃗r i,s + ⃗r s (4.129)<br />
⃗v i = ⃗v i,s + ⃗v s (4.130)<br />
∑<br />
m i ⃗r i,s = 0<br />
∣ d (4.131)<br />
dt<br />
i<br />
∑ i<br />
m i ⃗v i,s = ∑ i<br />
⃗p i,s = 0 (4.132)<br />
Die Summe aller Impulse im Schwerpunktsystem ist Null.<br />
47
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
4.11 Reduzierte Masse<br />
Bewegungsgleichung für zwei Körper<br />
Relativgeschwindigkeit<br />
reduzierte Masse<br />
d⃗v 1<br />
dt = ⃗ F 1,2<br />
m 1<br />
(4.133)<br />
d⃗v 2<br />
dt = F ⃗ 2,1<br />
F1,2 ⃗ = −F m ⃗ 2,1 (4.134)<br />
( 2<br />
d<br />
1<br />
dt (⃗v 1 − ⃗v 2 ) = − 1 )<br />
·<br />
m 1 m ⃗F 1,2 (4.135)<br />
2<br />
Bewegung eines Teilchens mit reduzierter Masse<br />
⃗v 1,2 = ⃗v 1 − ⃗v 2 (4.136)<br />
µ = m 1m 2<br />
m 1 + m 2<br />
[kg] (4.137)<br />
⃗F 1,2 = µ d⃗v 1,2<br />
dt<br />
(4.138)<br />
4.12 Stoßprozesse, Teil II<br />
Abbildung 4.26: Wechselwirkungsgebiet<br />
a) Elastischer Stoß im Laborsystem<br />
sinnvoll für ⃗v 2 = 0<br />
Imulserhaltung<br />
⃗p 1 = ⃗p ′ 1 + ⃗p ′ 2 (4.139)<br />
Energieerhaltung<br />
⃗p 2 1<br />
= ⃗p′2 1<br />
+ ⃗p′2 2<br />
(4.140)<br />
2m 1 2m 1 2m 2<br />
48
4.12 Stoßprozesse, Teil II<br />
Abbildung 4.27: Impulserhaltung<br />
⇒<br />
p 2 1<br />
= (p 1 − x) 2 + y 2<br />
2m 1<br />
+ x2 + y 2<br />
(4.141)<br />
2m 1 2m 2<br />
(<br />
x − µ ) 2 ( ) 2 µ<br />
p 1 + y 2 = p 1 (4.142)<br />
m 1 m 1<br />
( )<br />
= Kreis mit Mittepunkt M = µ<br />
m 1<br />
p 1 , 0 und Radius µ m 1<br />
p 1 . Mit m 1 > m 2 ⇒ µ m 1<br />
p 1 < 1 2 .<br />
Abbildung 4.28: Elastischer Stoß im Laborsystem<br />
Maximaler Ablenkwinkel<br />
sin ϑ 1,max = m 2<br />
m 1<br />
(4.143)<br />
Spezialfall: m 1 = m 2 = m ⇒ µ = 1 2 m<br />
Die Teilchen fliegen nach dem Stoß senkrecht auseinander<br />
49
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
Billard-Kugeln:<br />
Abbildung 4.29: Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 = m 2<br />
Spezialfall: m 1 ≪ m 2 ⇒ µ m 1<br />
≈ 1<br />
Abbildung 4.30: Billardkugeln<br />
Maximaler Impulsübertrag<br />
Abbildung 4.31: Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 ≪ m 2<br />
⃗p ′ 2,max = 2⃗p 1 (4.144)<br />
50
4.12 Stoßprozesse, Teil II<br />
Energieübertrag<br />
b) Elastische Stöße im Schwerpunktsystem<br />
sinnvoll, wenn ⃗v 1 ≠ 0 und ⃗v 2 ≠ 0.<br />
Gesamtimpuls ∑ i ⃗p i = 0 im Schwerpunktsystem<br />
∆E kin,max = (2p 1) 2<br />
2m 2<br />
= 4 m 1<br />
m 2<br />
E kin,1 (4.145)<br />
Abbildung 4.32: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem<br />
⃗p 1,s + ⃗p 2,s = ⃗p ′ 1,s + ⃗p ′ 2,s = 0 (4.146)<br />
oder: ⃗p 1,s = −⃗p ′ 1,s (4.147)<br />
⃗p 2,s = −⃗p ′ 2,s (4.148)<br />
Stoß = Drehung der Impulsvektoren.<br />
Jeder Stoßpartner behält im Schwerpunktsystem seine kinetische Energie (elastischer Stoß).<br />
Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem:<br />
Gesamtimpuls bleibt Null.<br />
Abbildung 4.33: Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem, Newton-Diagramm<br />
51
4 Energie- und Impulserhaltung<br />
⃗p ′ 1,s = −⃗p ′ 2,s (4.149)<br />
Energie im Schwerpunktsystem wird gleich aufgeteilt. ”Newton-Diagramm”.<br />
52
5 Rotation<br />
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt<br />
a) Drehmoment und Drehimpuls<br />
Abbildung 5.1: Drehmoment<br />
Bewegungsgleichung<br />
⃗F = m · d⃗v<br />
(<br />
dt<br />
⃗r × F ⃗ = m ⃗r × d⃗r )<br />
dt<br />
d d⃗r<br />
(⃗r × ⃗v) =<br />
dt dt × ⃗v<br />
} {{ }<br />
=⃗v×⃗v=0<br />
∣<br />
∣⃗r× (5.1)<br />
= m d (⃗r × ⃗v) (5.2)<br />
dt<br />
+⃗r × d⃗v<br />
dt<br />
(5.3)<br />
Drehmoment<br />
⃗M = ⃗r × ⃗ F ⇒ ⃗ M⊥⃗r, ⃗ M⊥ ⃗ F (5.4)<br />
M = rF sin ϕ (5.5)<br />
Drehimpuls<br />
Abbildung 5.2: Drehimpuls<br />
53
5 Rotation<br />
Rotation<br />
⃗L = m(⃗r × ⃗v) = ⃗r × ⃗p ⇒ ⃗ L⊥⃗r, ⃗ L⊥⃗p (5.6)<br />
L = rp sin δ (5.7)<br />
d ⃗ L<br />
dt = ⃗ M<br />
(<br />
Translation: d⃗p )<br />
dt = F ⃗<br />
(5.8)<br />
b) Erhaltung der Drehimpulse<br />
Wenn ⃗ M = 0 ⇒ d⃗ L<br />
dt = 0 ⇒ ⃗ L = const. nach Betrag und Richtung.<br />
Beispiel: Planetenbewegung<br />
Zentralkraft, Gravitationskraft<br />
Abbildung 5.3: Planetenbewegung<br />
⃗r‖ F ⃗ G (5.9)<br />
⃗M = ⃗r × F ⃗ G = 0 (5.10)<br />
⇒ L ⃗ = const. (5.11)<br />
Keplerscher Flächensatz<br />
dA wird in dt überschritten<br />
Abbildung 5.4: Keplerscher Flächensatz<br />
dA = 1 2 r · dr · sin ϕ = 1 |⃗r × d⃗r| (5.12)<br />
2<br />
dA<br />
dt = 1 d⃗r<br />
2 ∣⃗r × dt ∣ = 1 L<br />
|⃗r × ⃗v| = = const. (5.13)<br />
2 2m<br />
54
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt<br />
Polarkoordinaten r, ϕ<br />
Gravitationskraft<br />
Potentielle Energie<br />
Gesamtenergie<br />
v r = dr<br />
dt ,<br />
Abbildung 5.5: Polarkoordinaten<br />
v t = r · dϕ<br />
dt ,<br />
v = √<br />
v 2 r + v 2 t (5.14)<br />
F r = γ M Sonnem<br />
r 2 , F t = 0 (5.15)<br />
E pot = −γ M 0m<br />
r<br />
= − c r<br />
(5.16)<br />
E = 1 2 m(v2 r + v 2 t ) − c r<br />
(5.17)<br />
Drehimpuls<br />
L = m|⃗r × ⃗v| = mrv sin ϕ = mrv t<br />
E = 1 2 mv2 r +<br />
Effektive Potentielle Energie<br />
L 2<br />
2mr 2 − c r<br />
} {{ }<br />
eff. pot. Energie E ′ pot<br />
E ′ pot =<br />
L2<br />
2mr 2 − c r<br />
v t = L mr<br />
(5.18)<br />
(5.19)<br />
(5.20)<br />
55
5 Rotation<br />
Abbildung 5.6: Effektive Potentielle Energie<br />
Man kann zeigen, dass die große Halbachse a der Ellipse nur von Gesamtenergie E abhängt<br />
a =<br />
c<br />
2|E|<br />
(5.21)<br />
5.2 System von Massepunkten<br />
a) Drehimpuls und Drehmoment<br />
Zunächst 3 Massepunkte<br />
innere Kräfte: Fjk i (z.B. Gravitation)<br />
Abbildung 5.7: Drehimpuls und Drehmoment bei 3 Massepunkten<br />
d(m 1 ⃗v 1 )<br />
= F<br />
dt<br />
1 = F ⃗ 12 i + F ⃗ 13 i + F ⃗ 1 e |⃗r 1 × (5.22)<br />
d(m 2 ⃗v 1 )<br />
= F<br />
dt<br />
2 = F ⃗ 23 i + F ⃗ 21 i + F ⃗ 2 e |⃗r 2 × (5.23)<br />
d(m 3 ⃗v 1 )<br />
= F<br />
dt<br />
3 = F ⃗ 31 i + F ⃗ 32 i + F ⃗ 3 e |⃗r 3 × (5.24)<br />
⃗F ij i = −F ⃗ ji i (5.25)<br />
interne Kräfte fallen weg, nur externe Kräfte gehen ein<br />
N∑<br />
j=1<br />
(<br />
⃗r j × F ⃗ )<br />
j<br />
e = d dt ·<br />
Gesamtes Drehmoment (Vektoren werden addiert)<br />
N∑<br />
m j (⃗r j × ⃗v j ) (5.26)<br />
j=1<br />
⃗M =<br />
N∑<br />
j=1<br />
(<br />
⃗r j × F ⃗ )<br />
j<br />
e<br />
(5.27)<br />
Gesamter Drehimpuls (Vektoren werden addiert)<br />
N∑<br />
⃗L = m j (⃗r j × ⃗v j ) (5.28)<br />
j=1<br />
56
5.3 Starre Körper<br />
b) Drehimpulserhaltung<br />
keine äußeren Kräfte ⇒ ⃗ M = 0 ⇒ ⃗ L = const. nach Betrag und Richtung<br />
5.3 Starre Körper<br />
a) Allgemeine freie Bewegung<br />
Abbildung 5.8: Linienflüchtigkeit der Kraft<br />
Überlagerung einer Rotation um den Schwerpunkt und Translation des Schwerpunktes.<br />
Abbildung 5.9: Allgemeine freie Bewegung<br />
⃗F ′ = − ⃗ F ′′ (5.29)<br />
| ⃗ F | = | ⃗ F ′ | = | ⃗ F ′′ | (5.30)<br />
⃗F ′ und ⃗ F Kräftepaar übt nur ein Drehmoment aus (Rotation). ⃗ F ′′ greift am Schwerpunkt an (Translation).<br />
b) Bewegung des Schwerpunktes<br />
m d2 ⃗r<br />
dt 2 = ⃗ F e =<br />
N∑<br />
⃗F j e (5.31)<br />
j=1<br />
57
5 Rotation<br />
c) Bestimmung des Schwerpunktes<br />
Beispiel: Scheibe<br />
Abbildung 5.10: Bestimmung des Schwerpunktes<br />
Drehmoment auf ∆m i durch Schwerkraft<br />
∆M i = ⃗r i × (∆m i ⃗g) (5.32)<br />
Gesamtdrehmoment<br />
N∑<br />
⃗M = (⃗r i × (∆m i ⃗g)) = (5.33)<br />
i=1<br />
( N<br />
)<br />
∑<br />
= ∆m i ⃗r i × ⃗g (5.34)<br />
i=1<br />
Schwerpunkt<br />
⃗r s = 1 N∑<br />
m · m i ⃗r i (5.35)<br />
i=1<br />
⃗M = m⃗r s × ⃗g (5.36)<br />
Stabile Aufhängung, wenn ⃗ M = 0<br />
⇒ für ⃗r s ‖⃗g, S liegt unter Aufhängepunkt.<br />
d) Trägheitsmoment<br />
Beispiel: Rotierende Platte<br />
58
5.3 Starre Körper<br />
Abbildung 5.11: Rotierende Platte<br />
Winkelgeschwindigkeit ⃗ω<br />
Definition: Umlaufgeschwindigkeit<br />
⃗v j = r j ω (5.37)<br />
Drehimpuls der Platte (r bzw. r j ist Abstand zur Drehachse)<br />
N∑<br />
⃗L = m j (⃗r j × ⃗v j ) (5.38)<br />
j=1<br />
∣ ∣∣∣∣∣ | L| ⃗ N∑<br />
N∑<br />
=<br />
m j r j v j =<br />
m j rj 2 ω<br />
(5.39)<br />
∣<br />
∣ ∣<br />
j=1<br />
N∑<br />
⃗L = m j rj 2 ⃗ω (5.40)<br />
j=1<br />
Trägheitsmoment<br />
N∑<br />
I = m j rj 2 (5.41)<br />
j=1<br />
j=1<br />
kontinuierliche Massenverteilung<br />
∫<br />
I = r 2 dm (5.42)<br />
M<br />
Drehimpuls (im Allgemeinen haben ⃗ L und ⃗ω verschiedene Richtungen)<br />
⃗L = I⃗ω (Translation ⃗p = m⃗v) (5.43)<br />
Berechnung von Trägheitsmomenten<br />
Hohlzylinder:<br />
59
5 Rotation<br />
Abbildung 5.12: Trägheitsmoment eines Hohlzylinders<br />
Masse M HZ .<br />
Trägheitsmoment<br />
∫<br />
∫<br />
I HZ = r 2 dm = r0<br />
2<br />
M HZ<br />
dm = r0M 2 HZ<br />
M HZ<br />
(5.44)<br />
Kugel:<br />
Abbildung 5.13: Trägheitsmoment einer Kugel<br />
60
5.3 Starre Körper<br />
Masse M K<br />
Trägheitsmoment<br />
Dichte ϱ = const., r ist Abstand zur Drehachse<br />
Kugelkoordinaten R, θ, ϕ:<br />
mit 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ R < ∞<br />
∫<br />
∫<br />
I = r 2 dm = ϱ<br />
M K<br />
r 2 dm<br />
V K<br />
(5.45)<br />
Volumenelement<br />
Trägheitsmoment<br />
I = ϱ<br />
∫ 2π ∫ π<br />
ϕ=0<br />
(∫ 2π<br />
= ϱ ·<br />
= ϱ · (2π) ·<br />
e) Steinerscher Satz<br />
θ=0<br />
dϕ<br />
ϕ=0<br />
Abbildung 5.14: Kugelkoordinaten R, θ, ϕ<br />
∫ r0<br />
dV = (dR)(R dθ)(R sin θ dϕ) = (5.46)<br />
= R 2 dR · sin θ dθ dϕ (5.47)<br />
(R 2 sin 2 θ) · (R 2 dR · sin θ dθ dϕ) = (5.48)<br />
R=0 } {{ } } {{ }<br />
=r 2 =dV<br />
) (∫ π<br />
) (∫ r0<br />
)<br />
· sin 3 θ dθ · R 4 dR = (5.49)<br />
θ=0<br />
R=0<br />
) )<br />
(<br />
− cos θ + 1 3 cos3 θ<br />
·<br />
( 1<br />
5 r5 0<br />
Trägheitsmoment für eine Achse A, die nicht durch den Schwerpunkt geht.<br />
= ϱ · 4<br />
3 πr3 0 · 2<br />
5 r2 0 = 2 5 M Kr 2 0 (5.50)<br />
61
5 Rotation<br />
Abbildung 5.15: Steinerscher Satz<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
I A = ⃗r 2 dm = (⃗a + ⃗r s ) 2 dm = ⃗r s 2 dm + 2⃗a ⃗r s dm +⃗a 2 dm = (5.51)<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
} {{ } } {{ }<br />
=0<br />
=M<br />
= I S + Ma 2 (5.52)<br />
5.4 Rotationsenergie<br />
Kinetische Energie eines starren Körpers um eine feste Achse<br />
E rot = ∑ i<br />
1<br />
2 m iv 2 i = ∑ i<br />
r i,⊥ ist senkrechter Abstand zur Drehachse. Mit Drehimpuls ⃗ L = I⃗ω folgt<br />
1<br />
2 m ir 2 i,⊥ω 2 = 1 2 Iω2 (5.53)<br />
E rot = L2<br />
2I<br />
Kinetische Energie bei Translation und Rotation um Achse des Schwerpunktes<br />
(5.54)<br />
E kin = 1 2<br />
= 1 2<br />
Abbildung 5.16: Rotation um Schwerpunktachse<br />
∫<br />
∫<br />
V<br />
V<br />
( ) 2 d⃗r<br />
dt<br />
∫<br />
V<br />
(<br />
(<br />
dR<br />
⃗ ) 2 ∫<br />
dR<br />
dm + d⃗r s<br />
dt<br />
V dt dt dm + 1 ∫<br />
2<br />
} {{ }<br />
=0<br />
d( R ⃗ ) 2<br />
+ ⃗r s )<br />
dm = (5.55)<br />
dt<br />
V<br />
( ) 2 d⃗rs<br />
dm = (5.56)<br />
dt<br />
= 1 2 M⃗v2 s + 1 2 Iω2 = E kin + E rot (5.57)<br />
62
5.4 Rotationsenergie<br />
Beispiel: Körper rollt schiefe Eben hinab, ohne zu gleiten<br />
Abbildung 5.17: Schiefe Ebene<br />
Momentane Drehachse A. Berührungspunk ⃗ω und ⃗ L zeigen aus Heftebene heraus. Änderung des Drehimpulses<br />
⃗ M = d⃗ L<br />
dt und Gesamtmasse M 0.<br />
⃗M zeigt in gleiche Richtung wie ⃗ L<br />
⇒ ⃗ L nimmt zu.<br />
Bewegungsgleichung (1-dimensional mit Beträgen)<br />
⃗M = ⃗r × ⃗ F (5.58)<br />
| ⃗ M| = M 0 gr sin α (5.59)<br />
zurückgelegte Strecke<br />
| ⃗ M| = dL<br />
dt = d dt (Iω) = I · d2 ϕ<br />
dt 2 (5.60)<br />
s = rϕ (5.61)<br />
Translationsgeschwindigkeit<br />
v trans = r dϕ<br />
dt<br />
(5.62)<br />
Trägheitsmoment bezüglich Rotationsachse A (Steinerscher Satz)<br />
I = I s + M 0 r 2 (5.63)<br />
⇒ d2 ϕ<br />
dt 2 = | M| ⃗ = M 0gr sin α<br />
I I s + M 0 r<br />
Integration (= gleichmäßig beschleunigte Bewegung)<br />
(5.64)<br />
Translationsbeschleunigung<br />
ϕ = | ⃗ M|<br />
2I t2 + ω 0 t + ϕ 0 (5.65)<br />
a = r d2 ϕ<br />
dt 2 = g sin α<br />
1 + Is<br />
M 0r 2<br />
= g sin α<br />
1 + k<br />
k :=<br />
I s<br />
M 0 r 2 (5.66)<br />
Geschwindigkeit am Ende der Bahn<br />
63
5 Rotation<br />
Abbildung 5.18: Geschwindigkeit am Ende der Bahn<br />
Geschwindigkeit aus Energieerhaltung<br />
Kugel: k = 2 5 , Vollzylinder: k = 1 2 , Hohlzylinder: k = 1<br />
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers<br />
Bisher: Drehimpuls ⃗ L‖ Winkelgeschwindigkeit ⃗ω<br />
Allgemein: ⃗ L ̸ ‖⃗ω<br />
Beispiel: Hantel<br />
s = 1 2 at2 (5.67)<br />
v = at (5.68)<br />
⇒ v = √ √ √<br />
2gs sin α 2gh<br />
2as =<br />
=<br />
(5.69)<br />
1 + k 1 + k<br />
E rot + E trans = E pot (5.70)<br />
1<br />
2 I sω 2 + 1 2 mv2 = mgh (5.71)<br />
v 2<br />
I s<br />
r 2 + mv2 = 2mgh (5.72)<br />
v 2 (k + 1) = 2gh (5.73)<br />
√<br />
2gh<br />
⇒ v =<br />
(5.74)<br />
k + 1<br />
⇒ v Kugel > v Vollzylinder > v Hohlzylinder (5.75)<br />
Abbildung 5.19: Hantel<br />
64
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers<br />
⃗L = m 1 (⃗r 1 × ⃗v 1 ) + m 2 (⃗r 2 × ⃗v 2 ) m 1 = m 2 = m, ⃗v 1 = −⃗v 2 (5.76)<br />
⃗L = m(⃗r 1 − ⃗r 2 ) × ⃗v 1 = m⃗r H × ⃗v 1 (5.77)<br />
⃗L ist nicht parallel zu ⃗ω. Widerspruch zu ⃗ L = I⃗ω mit Skalar I!<br />
⃗L verändert sich ständig.<br />
⇒ Drehmoment wirkt auf Hantel (und Lagerachse), ”Unwucht”<br />
Trägheitstensor Ĩ eines beliebig geformten Körpers<br />
Abbildung 5.20: Trägheitstensor Ĩ<br />
Drehimpuls<br />
⃗L i = ∆m i (⃗r i × ⃗v i ) = ∆m i (⃗r i × (⃗ω × ⃗r i )) = (5.78)<br />
= ∆m i [⃗r i 2 ω 2 − (⃗r i ⃗ω)⃗r i ] ⃗a × ( ⃗ b × ⃗v) = (⃗a⃗c) ⃗ b − (⃗a ⃗ b)⃗c (5.79)<br />
Gesamtdrehimpuls<br />
∫<br />
⃗L = ⃗r 2 ⃗ω − (⃗r⃗ω)⃗r dm (5.80)<br />
V<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
L x I xx I xy I xz ω x<br />
⃗L = ⎝L y<br />
⎠ = ⎝I yx I yy I yz<br />
⎠ · ⎝ω y<br />
⎠ (5.81)<br />
L z I zx I zy I zz ω z<br />
mit<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
I xx = y 2 + z 2 dm I yy = x 2 + z 2 dm I zz = x 2 + y 2 dm (5.82)<br />
V<br />
V<br />
V<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
I xy = I yx = − xy dm I xz = I zx = − xz dm I yz = I zy = − yz dm (5.83)<br />
V<br />
V<br />
V<br />
65
5 Rotation<br />
Tensorschreibweise<br />
Der Trägheitstensor ist ein Tensor 2. Stufe.<br />
⃗L = Ĩ⃗ω (5.84)<br />
Rotationsenergie<br />
Beispiel: rotationssymmetrischer Körper, ⃗ω‖ẑ (feste Achse)<br />
E rot = 1 2 ⃗ωT Ĩ⃗ω (5.85)<br />
Symmetrie<br />
Drehimpuls<br />
Abbildung 5.21: Rotationssymmetrischer Körper<br />
I xz = I zx = 0 (5.86)<br />
I zy = I yz = 0 (5.87)<br />
I xy = I yx = 0 (5.88)<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
L x I xx 0 0 0<br />
⎝L y<br />
⎠ = ⎝ 0 I yy 0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ (5.89)<br />
L z 0 0 I zz ω z<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
⃗L = ⎝ 0 ⎠ ∥ 0<br />
⎝ 0 ⎠ (5.90)<br />
L z ω z<br />
L z = I zz ω z (5.91)<br />
∫<br />
∫<br />
I zz = x 2 + y 2 dm = r⊥ 2 dm (5.92)<br />
v<br />
Hauptträgheitsachsen:<br />
Für jeden noch so komplizierten Körper gibt es drei aufeinander senkrecht stehende Drehachsen, die sich<br />
dadurch auszeichnen, dass für eine Rotation um die Achsen L‖⃗ω ⃗ gilt. In diesem Hauptachsensystem gilt<br />
⎛ ⎞<br />
I a 0 0<br />
Ĩ = ⎝ 0 I b 0 ⎠ I a ≤ I b ≤ I c (5.93)<br />
0 0 I c<br />
V<br />
66
5.6 Der symmetrische Kreisel<br />
Abbildung 5.22: Hauptachsensystem<br />
Drehimpuls im Hauptachsensystem<br />
⃗L = (L a , L b , L c ) = (ω a I a , ω b I b , ω c I c ) (5.94)<br />
Rotationsenergie<br />
E rot = 1 2 (ω2 aI a + ωb 2 I b + ωc 2 I c ) (5.95)<br />
Asymmetrischer Kreisel (”Schuhkarton”, NO 2 -Molekül): I a ≠ I b ≠ I c ≠ I a<br />
Symmetrischer Kreisel<br />
• prolat: I a < I b = I c (Zigarre)<br />
• oblat: I a = I b < I c (Frisbee)<br />
Hauptachsen = Freie Achsen<br />
Einfache Rotation um freie Achse ohne äußeres Drehmoment möglich. Allerdings: Nur Rotation um Achse<br />
mit kleinstem und größtem Trägheitsmoment sind stabil!<br />
5.6 Der symmetrische Kreisel<br />
Rotation um eine frei orientierbare Achse.<br />
Abbildung 5.23: Kräftefreier (l.) und schwerer (r.) Kreisel<br />
a) Kräftefreier symmetrischer Kreisel<br />
z.B. oblater Kreisel I a = I b = I ⊥ < I c<br />
67
5 Rotation<br />
Abbildung 5.24: oblater Kreisel<br />
â, ˆb, ĉ Einheitsvektoren in Richtung der Hauptachsen (körperfestes Bezugssystem).<br />
Momentane Drehachse<br />
kinetische Energie<br />
⃗ω = ω a â + ω bˆb + ωc ĉ = (ω a , ω b ω c ) (5.96)<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
I a 0 0 ω a<br />
⃗L = ⎝ 0 I b 0 ⎠ ⎝ω b<br />
⎠ = I a ω a â + I b ω bˆb + Ic ω c ĉ (5.97)<br />
0 0 I c ω c<br />
E rot = 1 2 (I aω 2 a + I b ω 2 b + I c ω 2 c ) (5.98)<br />
b) Euler-Gleichungen<br />
Vorsicht: â, ˆb, ĉ rotieren mit Kreisel, sind zeitlich nicht konstant.<br />
dL<br />
⃗<br />
dt = I dω a<br />
a<br />
dt â + I dω b<br />
b<br />
dt ˆb dω c<br />
+ I c<br />
dt ĉ + I dâ<br />
aω a<br />
dt + I dˆb<br />
bω b<br />
dt + I dĉ<br />
cω c<br />
dt<br />
(5.99)<br />
Das körperfeste Bezugssystem dreht sich mit ⃗ω.<br />
Damit ist<br />
dâ<br />
= ⃗ω × â<br />
dt<br />
(5.100)<br />
dˆb<br />
dt = ⃗ω × ˆb (5.101)<br />
dĉ<br />
= ⃗ω × ĉ<br />
dt<br />
(5.102)<br />
dL<br />
⃗<br />
dt = d⃗ L ′<br />
dt + ⃗ω × L ⃗ (5.103)<br />
68
5.6 Der symmetrische Kreisel<br />
dL ⃗ ′<br />
dt<br />
Drehimpulsänderung durch Änderung der ω a , ω b , ω c im körperfesten System. Für die Komponenten<br />
im Hauptachsensystem folgen die Euler-Gleichungen<br />
Weiter mit Kräftefreier Kreisel<br />
Daraus folgt<br />
I a<br />
dω a<br />
dt + (I c − I b )ω c ω b = M a (5.104)<br />
I b<br />
dω b<br />
dt + (I a − I c )ω a ω c = M b (5.105)<br />
I c<br />
dω c<br />
dt + (I b − I a )ω b ω a = M c (5.106)<br />
⃗M = 0 I a = I b Ω := I c − I a<br />
I a<br />
ω c (5.107)<br />
Lösung (mit Konstanten A, C)<br />
dω a<br />
dt + Ωω b = 0 (5.108)<br />
dω b<br />
dt + Ωω a = 0 (5.109)<br />
dω c<br />
= 0<br />
dt<br />
(5.110)<br />
ω a = A cos(Ωt) (5.111)<br />
ω b = A sin(Ωt) (5.112)<br />
ω c = C (5.113)<br />
Abbildung 5.25: Rastpol- und Nutationskegel<br />
c) Präzession des symmetrischen Kreisels<br />
schwerer Kreisel<br />
⃗L‖⃗ω‖Figurenachse (5.114)<br />
⇒ keine Nutation<br />
69
5 Rotation<br />
Abbildung 5.26: schwerer Kreisel<br />
⃗M = ⃗ R × m⃗g (5.115)<br />
⃗M = d⃗ L<br />
dt<br />
führt zur Präzessionsbewegung ⊥ ⃗ R und ⃗g<br />
Abbildung 5.27: schwerer Kreise (von oben)<br />
⃗M = ⃗ R × m⃗g (5.116)<br />
⃗M⊥ ⃗ L ⇒ d ⃗ L⊥ ⃗ L (5.117)<br />
⇒ Betrag von ⃗ L ändert sich nicht.<br />
d ⃗ L = ⃗ Mdt<br />
d ⃗ L<br />
dt = Ldϕ dt = M (5.118)<br />
⇒ Präzessionsfrequenz<br />
ω p = dϕ<br />
dt = M L<br />
(5.119)<br />
70
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem<br />
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem<br />
a) Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem<br />
Abbildung 5.28: Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem<br />
⃗r = ⃗r ′ + ⃗ut + 1 2 ⃗at2 (5.120)<br />
⃗v = ⃗v ′ + ⃗u + ⃗at (5.121)<br />
t = t ′ (5.122)<br />
Keine Reibung zwischen Kugel und Wagen.<br />
Laborsystem<br />
Abbildung 5.29: Kugel auf Wagen<br />
d⃗p Kugel<br />
dt<br />
= 0 (5.123)<br />
71
5 Rotation<br />
Beschleunigtes Bezugssystem (Scheinkraft)<br />
b) Rotierendes Bezugssystem<br />
d⃗p ′ Kugel<br />
dt ′ = −⃗am = ⃗ F (5.124)<br />
Allgemein gilt ⃗ω beliebig<br />
Inertialsystem O (z.B. Laborsystem)<br />
Beobachter im rotierenden Bezugssystem O ′<br />
r und r ′ bezeichnen den selben Punkt.<br />
Abbildung 5.30: Rotierendes Bezugssystem<br />
⃗r = xˆx + yŷ + zẑ = (x, y, z) (5.125)<br />
⃗v = dx dy ˆx +<br />
dt dt ŷ + dz<br />
dt ẑ (5.126)<br />
⃗r ′ = x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ (5.127)<br />
⃗v ′ = d⃗r′<br />
dt = dx′<br />
dt ˆx′ + dy′<br />
dt ŷ′ + dz′<br />
dt ẑ′ (5.128)<br />
Abbildung 5.31: Rotierendes Bezugssystem<br />
72
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem<br />
(1, 1, 0) = (sin ωt + cos ωt, − sin ωt + cos ωt, 0) (5.129)<br />
ˆx ′ = (cos ωt, sin ωt, 0) (5.130)<br />
ŷ ′ = (− sin ωt, cos ωt, 0) (5.131)<br />
ẑ ′ = (0, 0, 1) (5.132)<br />
(1, 1, 0) = x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ (5.133)<br />
Geschwindigkeit für Beobachter O ausgedrückt in Koordinaten von O ′ (berücksichtigen, dass ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′<br />
zeitabhängig sind).<br />
⃗v = dx′<br />
dt ˆx′ + dy′<br />
dt ŷ′ + dz′<br />
dt ẑ′ +x ′ dˆx′<br />
} {{ }<br />
dt<br />
⃗v ′<br />
+ y′<br />
dŷ′<br />
dt<br />
+ z′<br />
dẑ′<br />
dt<br />
(5.134)<br />
Änderung der Einheitsvektoren<br />
dˆx ′<br />
dt = ⃗ω × ˆx′ (5.135)<br />
dŷ ′<br />
dt = ⃗ω × ŷ′ (5.136)<br />
dẑ ′<br />
dt = ⃗ω × ẑ′ (5.137)<br />
(5.138)<br />
Damit wird<br />
x ′ dˆx′<br />
dt<br />
+ y′<br />
dŷ′<br />
dt<br />
dẑ′<br />
+ z′<br />
dt = x′ (⃗ω × ˆx ′ ) + y ′ (⃗ω × ŷ ′ ) + z ′ (⃗ω × ẑ ′ ) = (5.139)<br />
= ⃗ω × (x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ ) = ⃗ω × ⃗r ′ (5.140)<br />
⇒ ⃗v = ⃗v ′ + ⃗ω × ⃗r ′ (5.141)<br />
Beschleunigung für Beobachter O in Koordinaten von O ′<br />
⃗a = d2 x ′<br />
dt 2 ˆx′ + d2 y ′<br />
dt 2 ŷ′ + d2 z ′ ( dx<br />
′<br />
dˆx ′<br />
dt 2 ẑ′ + 2<br />
} {{ }<br />
dt dt + dy′ dŷ ′<br />
dt dt + dz′ dẑ ′ )<br />
+ x ′ d2ˆx ′<br />
dt dt dt<br />
} {{ }<br />
2 + y′ d2 ŷ ′<br />
dt 2 + z′ d2 ẑ ′<br />
dt 2 = (5.142)<br />
} {{ }<br />
=⃗a ′ =⃗ω×⃗v ′ ⃗ω×(⃗ω×⃗r ′ )<br />
= ⃗a ′ + 2 · (⃗ω × ⃗v ′ ) + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ) (5.143)<br />
Wirkt auf einen Körper eine äußere Kraft ⃗ F , dann stellt der Beobachter in O ′ eine Kraft ⃗ F ′ fest<br />
⃗F ′ = m⃗a ′ = F ⃗ − 2m(⃗ω × ⃗v ′ ) − m(⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ))<br />
} {{ } } {{ }<br />
Corioliskraft Zentrifugalkraft<br />
(5.144)<br />
73
5 Rotation<br />
Abbildung 5.32: Coriolis- und Zentrifugalkraft<br />
Coriolis-Kraft<br />
tritt nur auf, wenn sich Körper im rotierenden System bewegt.<br />
⃗F ′ c = −2m(⃗ω × ⃗v ′ ) (5.145)<br />
Beispiel: Hoch- und Tiefdruckgebiet Betrag der Corioliskraft parallel zur Erdoberfläche (geographische<br />
Breite α)<br />
Foucaultsches Pendel<br />
F ′ c = 2mv ′ ω sin α (5.146)<br />
Bewegungsgleichungen<br />
a = d2 (rϕ)<br />
dt 2<br />
Abbildung 5.33: Focaultsches Pendel<br />
= r d2 ϕ<br />
dt 2<br />
+ r<br />
ϕd2 dt 2 = r d2 ϕ<br />
dt 2 = F = − sin ϕ ≈ −gϕ (5.147)<br />
m<br />
74
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem<br />
Mit x ′ = r sin ϕ ≈ rϕ folgt<br />
d 2 x ′<br />
dt 2 = −g r x′ (5.148)<br />
Mit ω 2 = g r folgt d 2 x ′<br />
Lösungsansatz<br />
dt 2 = −ω2 x ′ (5.149)<br />
x = A sin(ωt) (5.150)<br />
2-dimensionales Pendel<br />
Geschwindigkeit mit Ω im rotierenden Bezugssystem<br />
( ) dx<br />
⃗v ′ ′<br />
=<br />
dt , dy′<br />
dt<br />
d 2 x ′<br />
dt 2 = −ω2 x ′ (5.151)<br />
d 2 y ′<br />
dt 2 = −ω2 y ′ (5.152)<br />
(5.153)<br />
Corioliskraft in ˆx ′ -ŷ ′ -Ebene<br />
)<br />
⃗F c ′ = 2m( Ω ⃗ × ⃗v ′ ) = 2m<br />
(Ω dy′<br />
dt , −Ωdx′ dt<br />
(5.154)<br />
⇒ Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem<br />
d 2 x ′<br />
dt 2<br />
d 2 y ′<br />
dt 2<br />
= −ω2 x ′ + 2Ω sin α dy′<br />
dt<br />
= −ω2 y ′ − 2Ω sin α dx′<br />
dt<br />
(5.155)<br />
(5.156)<br />
Abbildung 5.34: Foucaultsches Pendel<br />
Rotaionsdauer der Schwindungsebene von<br />
ω s = sin α · ω E (5.157)<br />
ν s = sin α · ν E ν E = 1<br />
24h<br />
(5.158)<br />
T =<br />
1<br />
ν E sin α = 24h = 31, 8h (5.159)<br />
sin 49◦ 75
5 Rotation<br />
76
6 Die feste Materie<br />
Kristalle<br />
• regelmäßige Anordnung der Atome im Gitter.<br />
• Nah- und Fernordnung.<br />
• Eigenschaften können anisotrop sein.<br />
Amorphe Festkörper<br />
• keine Fernordnung<br />
• Eigenschaften sind isotrop<br />
6.1 Hookesches Gesetz<br />
Elastische Dehnung des Drahts/Stabs um ∆L ≪ L<br />
Abbildung 6.1: Hookesches Gesetz<br />
F<br />
A = E ∆L<br />
L<br />
(6.1)<br />
Mit Elastizitätsmodul E [1 N m 2<br />
= 1Pascal] (Youngscher Modulus).<br />
Hookesches Gesetz<br />
σ = E · ε (6.2)<br />
77
6 Die feste Materie<br />
mit Zugspannung (Kraft pro Fläche) σ = F A<br />
und relativer Dehnung ε =<br />
∆L<br />
L .<br />
Kugel-Feder-Modell<br />
Abbildung 6.2: Kugel-Feder-Modell<br />
r Abstand zwischen Nachbarn, r 0 Gleichgewichtsabstand.<br />
Potentielle Energie ∼ Parabel in Umgebung des Gleichgewichtes.<br />
Kraft<br />
⇒ F ist linear in r.<br />
⇒ ”Federkonstante”<br />
F = − dE pot(r)<br />
dr<br />
Große Auslenkung<br />
⇒ Nichtlinearer Zusammenhang zwischen σ und ε aber noch elastisch.<br />
Plastische Verformung (Fließen).<br />
(6.3)<br />
dF<br />
dr = d2 E pot (r)<br />
dr 2 = const. (6.4)<br />
Abbildung 6.3: σ-ε-Diagramm<br />
6.2 Querkontraktion<br />
Ländenänderung ist mit Volumen- und Querschnittsveränderung verbunden.<br />
78
6.3 Scherung und Torionsmodul<br />
Abbildung 6.4: Querkontraktion<br />
⇒ ∆V<br />
V<br />
∆V = (d + ∆d) 2 (L + ∆L) − d 2 L = (6.5)<br />
= d 2 ∆L + 2Ld∆d + (L∆d 2 + 2d∆d∆L + ∆L∆d 2 ) ≈ (6.6)<br />
≈ d 2 ∆L + 2Ld∆d ∆L ≪ L, ∆d ≪ d (6.7)<br />
=<br />
d2 ∆L + 2Ld∆d<br />
d 2 L<br />
Definition: Poissonzahl µ<br />
Mit Hookschen Gesetz folgt<br />
= ∆L<br />
L<br />
⇒ ∆V<br />
V<br />
µ = −<br />
+ 2∆d d<br />
∆d<br />
d<br />
∆L<br />
L<br />
= ∆L<br />
L<br />
= Querkontraktion<br />
Dehnung<br />
( )<br />
1 + 2<br />
∆d<br />
d<br />
∆L<br />
L<br />
(6.8)<br />
(6.9)<br />
= ∆L (1 − 2µ) (6.10)<br />
L<br />
∆V<br />
V = σ (1 − 2µ) (6.11)<br />
E<br />
Volumenveränderung durch (hypostatischen) Druck von allen Seiten mit Kompressionsmodul k<br />
∆p = −k ∆V<br />
V<br />
(6.12)<br />
Zusammenhang zwischen Kompressivität κ, k, E<br />
κ = 1 k = 3 (1 − 2µ) (6.13)<br />
E<br />
6.3 Scherung und Torionsmodul<br />
Kraft greift tangential auf Fläche an<br />
79
6 Die feste Materie<br />
Abbildung 6.5: Scherung und Torsion<br />
Scherung<br />
A = d 2 (6.14)<br />
Torsion<br />
dA = rdϕdr (6.15)<br />
Scherspannung<br />
Für Scherwinkel α gilt mit Schubmodul G<br />
⃗τ = ⃗ F<br />
A<br />
(6.16)<br />
Füranisotrope Körper (viele Kristalle) ist das Elastizitätsmodul ein Tensor.<br />
τ = Gα (6.17)<br />
80
7 Schwingungen<br />
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung<br />
Rückstellkraft<br />
Bewegungsgleichung des Federpendels<br />
Abbildung 7.1: Federpendel<br />
a) Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators<br />
x allgemeine Auslenkung, ω 0 = √ c<br />
m<br />
F = −cz (7.1)<br />
m d2 z<br />
= −cz (7.2)<br />
dt2 d 2 x<br />
dt 2 + ω2 0x = 0 (7.3)<br />
für Federpendel<br />
Allgemeine Lösung<br />
Ableitungen<br />
v = dx(t)<br />
dt<br />
x(t) = A cos(ωt + ϕ 0 ) (7.4)<br />
= −ωA sin(ωt + ϕ 0 ) (7.5)<br />
a = d2 x(t)<br />
dt 2 = −ω 2 A cos(ωt + ϕ 0 ) = −ω 2 x(t) (7.6)<br />
81
7 Schwingungen<br />
Einsetzung in die Bewegungsgleichung<br />
−ω 2 x(t) + ω 2 x(t) = 0 (7.7)<br />
Also ist x(t) eine Lösung für ω = ω 0 .<br />
Harmonische Schwingung<br />
Abbildung 7.2: Harmonische Schwingung<br />
Amplitude A und Phase ϕ 0 werden durch die Anfangsbedingungen x(t = 0) und v(t = 0) festgelegt.<br />
Diverse Pendel:<br />
1. Federpendel<br />
Abbildung 7.3: Federpendel<br />
ma + F = 0 (7.8)<br />
mẍ + kx = 0 (7.9)<br />
ẍ + k m x = 0<br />
ω2 0 = k m<br />
(7.10)<br />
2. Torsionspendel<br />
82
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung<br />
Abbildung 7.4: Torsionspendel<br />
dL<br />
dt = M (7.11)<br />
I ¨ϕ + Dϕ = 0 (7.12)<br />
¨ϕ + D I ϕ = 0<br />
ω2 0 = D I<br />
(7.13)<br />
3. Fadenpendel<br />
Abbildung 7.5: Fadenpendel<br />
ml ¨ϕ + mg sin ϕ = 0 sin ϕ ≈ ϕ (7.14)<br />
¨ϕ + g l ϕ = 0<br />
ω2 0 = g l<br />
(7.15)<br />
4. U-Rohr<br />
83
7 Schwingungen<br />
Abbildung 7.6: U-Rohr<br />
Rücktreibende Kraft F = 2xAϱg, Beschleunigt wird Gesamtmasse M = lAϱ (l ist Länge der Säule).<br />
Mẍ + mg = 0 (7.16)<br />
lAϱẍ + 2Aϱgx = 0 (7.17)<br />
ẍ + 2 g l x = 0<br />
ω2 0 = 2 g l<br />
(7.18)<br />
b) Energie im harmonischen Oszillator<br />
E kin = 1 2 mv2 = 1 ( ) 2 dx<br />
2 m = 1 dt 2 mω2 0A 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) (7.19)<br />
E pot = −<br />
∫ x<br />
F dx =<br />
∫ x<br />
0<br />
0<br />
cx dx = 1 2 cx2 = 1 2 mω2 0A 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) (7.20)<br />
E pot + E kin = 1 2 mω2 0A 2 ( sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) + cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) ) = 1 2 mω2 0A 2 = const. (7.21)<br />
Gesamtenergie bleibt konstant und oszilliert zwischen E pot und E kin .<br />
Komplexe Schreibweise (mit komplexem c und ω)<br />
x(t) = ce iωt + c ∗ e −iω∗ t<br />
(7.22)<br />
7.2 Freie gedämpfte Schwingung<br />
Reibungskraft entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit<br />
F R = γ R<br />
dx<br />
dt<br />
z.B. Stoke’sche Reibung (Kugel in Flüssigkeit: γ R = 6πηr)<br />
(7.23)<br />
a) Bewegungsgleichung<br />
d 2 x<br />
dt 2 + γ R dx<br />
m dt + ω2 0x = 0 (7.24)<br />
84
7.2 Freie gedämpfte Schwingung<br />
Ansatz<br />
x(t) = Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) (7.25)<br />
Ableitungen<br />
in Bewegeungsgleichung<br />
v(t) = −βAe −βt cos(ωt + ϕ 0 ) − ωAe −βt sin(ωt + ϕ 0 ) (7.26)<br />
a(t) = β 2 Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) + 2ωβAe −βt sin(ωt + ϕ 0 ) − ω 2 Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) (7.27)<br />
Ae −βt { cos(ωt + ϕ 0 )<br />
Nur dann erfüllt, wenn [. . .]-Terme Null sind<br />
⇒ β = γ R<br />
2m<br />
[<br />
β 2 − ω 2 − γ ]<br />
[<br />
R<br />
m β + ω2 0 + sin(ωt + ϕ 0 ) 2ωβ − γ ]}<br />
R<br />
m ω = 0 (7.28)<br />
Die Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators wird durch Dämpfung verringert.<br />
ω =<br />
√<br />
ω 2 0 − β2 (7.29)<br />
Abbildung 7.7: Exponentielles Abklingen der Amplitude<br />
b) Energie des gedämpften harmonischen Oszillators<br />
E kin + E pot = 1 2 mv2 + 1 2 mω2 0x 2 = (7.30)<br />
= 1 2 m [ −βAe −βt cos(ωt + ϕ 0 ) − ωAe−βt sin(ωt + ϕ 0 ) ] 2<br />
+<br />
1<br />
2 mω2 0A 2 e −2βt cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = (7.31)<br />
= 1 2 mA2 e −2βt [ β 2 cos 2 +2βω cos sin +ω 2 sin 2 +ω 2 0 cos 2] ≈ 1 2 mω2 0A 2 e −2βt (7.32)<br />
für β ≪ ω 0 , d.h. schwache Dämpfung<br />
85
7 Schwingungen<br />
Abbildung 7.8: Energie des gedämpften harmonischen Oszillators<br />
Gesamtenergie fällt nach der Zeit t = τ = 1<br />
2β<br />
auf den e-ten Teil.<br />
Allgemeine Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators<br />
d 2 x dx<br />
+ 2β<br />
dt2 dt − ω2 0x = 0 (7.33)<br />
c) Die Güte des Oszillators<br />
Gütefaktor<br />
gespeicherte Energie<br />
Q =<br />
im Zeitintervall 1 ω = T =<br />
E<br />
2π<br />
abgegebene Energie ∆E<br />
(7.34)<br />
Für schwach gedämpften Oszillator β ≪ ω 0 ≈ ω oder ω 0 τ = ω0<br />
2β ≈ 1.<br />
d) Aperiodischer Grenzfall<br />
E = E 0 e − t τ (7.35)<br />
dE<br />
dt = − 1 τ E 0e − t τ<br />
1 = −<br />
τ E (7.36)<br />
∆E = ∆t dE<br />
dt = − 1 τ E 1<br />
0<br />
ω 0<br />
(7.37)<br />
⇒ Q = ω 0 τ (7.38)<br />
β = ω 0 ⇒ ω =<br />
In diesem Spezialfall gibt es eine weitere Lösung<br />
Lösung<br />
Schnellstmögliche Rückkehr in Ruhelage!<br />
√<br />
ω 2 0 − β2 = 0 (7.39)<br />
⇒ x(t) = Ae −βt cos ϕ = A ′ e −βt (7.40)<br />
x(t) = Bte −βt (7.41)<br />
x(t) = (A + Bt)e −βt (7.42)<br />
86
7.3 Erzwungene Schwingung<br />
e) Starke Dämpfung<br />
β > ω 0 ⇒ ω =<br />
Schwingung Ae iωt geht über in exponentielles Abklingen e −kt .<br />
Ansatz<br />
in Bewegungsgleichung<br />
Lösung<br />
√<br />
ω 2 0 − β2 wird imaginär (7.43)<br />
x(t) = Ae kt (7.44)<br />
v(t) = kAe kt = kx(t) (7.45)<br />
a(t) = k 2 Ae kt = k 2 x(t) (7.46)<br />
k 2 x(t) + 2βkx(t) + ω 2 0x(t) = 0 (7.47)<br />
k 2 + 2βk + ω0 2 = 0 (7.48)<br />
√<br />
k = −β ±<br />
√β 2 − ω0 2 = −β ± α α = β 2 − ω0 2 reell (7.49)<br />
x(t) = e −βt [ A 1 e αt + A 2 e −αt] (7.50)<br />
A 1 und A 2 aus Anfangsbedingungen x(0) und v(0).<br />
⇒ exponentielles Abklingen mit zwei Zeitkonstanten β ±α und langsamer als im aperiodischen Grenzfall.<br />
7.3 Erzwungene Schwingung<br />
Periodische äußere Kraft<br />
F = F 0 cos ωt (7.51)<br />
F = −c(z − z 0 ) = −cz + cA ext cos ωt (7.52)<br />
⇒ F 0 = cA ext (7.53)<br />
Abbildung 7.9: Erzwungene Schwingung<br />
87
7 Schwingungen<br />
Bewegungsgleichung<br />
m d2 z<br />
dt 2 = −cz − γ dz<br />
R<br />
dt + F 0 cos ωt (7.54)<br />
Die von außen vorgegebene Kreisfrequenz ω und Kraft F 0 können unabhängig von ω 0 und β gewählt<br />
werden.<br />
Allgemeine Bewegungsgleichung des getriebenen gedämpften harmonischen Oszillators<br />
Für Federpendel<br />
d 2 x dx<br />
+ 2β<br />
dt2 dt + ω2 0x = k cos(ωt) (7.55)<br />
ω 2 0 = c m<br />
2β = γ R<br />
m<br />
k = F 0<br />
m<br />
(7.56)<br />
Ansatz<br />
x = A cos(ωt + ϕ) ω = anregende Frequenz (7.57)<br />
v = dx<br />
dt<br />
Einsetzen in Bewegungsgleichung<br />
Verschiebe Zeitenursprung<br />
Additionstheorem<br />
= −ωA sin(ωt + ϕ) (7.58)<br />
a = d2 x<br />
dt 2 = −ω2 A cos(ωt + ϕ) (7.59)<br />
−ω 2 A cos(ωt ′ + ϕ) − 2βωA sin(ωt ′ + ϕ) + ω 2 0A cos(ωt ′ + ϕ) = k cos(ωt ′ ) (7.60)<br />
ωt ′ −→ ωt − ϕ (7.61)<br />
cos(ωt − ϕ) = cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ (7.62)<br />
⇒ (ω 2 0 − ω 2 )A cos(ωt) − 2βωA sin(ωt) = k (cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ) (7.63)<br />
Koeffizienten von cos(ωt) und sin(ωt) müssen auf beiden Seiten gleich sein<br />
(ω0 2 − ω 2 )A = k cos ϕ (7.64)<br />
− ω τ A = k sin ϕ τ = 1<br />
2β<br />
(7.65)<br />
Phasenverschiebung ϕ zwischen Anregung und Schwingung<br />
tan ϕ =<br />
Amplitude der Schwingung (Gleichungen quadrieren und addieren)<br />
− ω<br />
τ<br />
ω 2 0 − ω2 (7.66)<br />
(ω0 2 − ω 2 ) 2 A 2 + ω2<br />
τ 2 A2 = k 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = k 2 (7.67)<br />
k<br />
⇒ A = √<br />
(7.68)<br />
(ω0 2 − ω2 ) 2 + ω2<br />
τ 2<br />
88
7.3 Erzwungene Schwingung<br />
Abbildung 7.10: Phasenverschiebung<br />
Geringe Dämpfung ⇒ schnelle Phasenänderung bei ω 0 .<br />
Amplitude<br />
F 0<br />
m<br />
c<br />
m<br />
A(ω = 0) = k ω0<br />
2 = = F 0<br />
c<br />
(7.69)<br />
A(ω → ∞) = 0 (7.70)<br />
Maximale Amplitude = Minimum des Nenners<br />
)<br />
d<br />
((ω 0 2 − ω 2 ) 2 + ω2 ∣∣∣ωR<br />
dω<br />
τ 2 = 0 (7.71)<br />
−4ω R (ω0 2 − ωR) 2 + 2ω R<br />
τ 2 = 0 (7.72)<br />
√<br />
⇒ ω R = ω0 2 − 1 √<br />
2τ 2 = ω0 2 − 2β2 ≠ √ ω 0 − β freier gedämpfter Oszillator (7.73)<br />
Für große Gütefaktoren Q = ω 0 τ ≫ 1 gilt ω R ≈ ω 0<br />
A(ω R )<br />
A(ω = 0) ≈ A(ω 0)<br />
A(ω = 0) = kτ<br />
ω 0<br />
k<br />
ω 2 0<br />
= ω 0 τ = Q (7.74)<br />
Q bestimmt die Amplitudenüberhöhung.<br />
89
7 Schwingungen<br />
Abbildung 7.11: A-ω-Diagramm<br />
Einschwingverhalten (inhomogene Differentialgleichung)<br />
d 2 x dx<br />
+ 2β<br />
dt2 dt + ω2 0x = k cos ωt (7.75)<br />
Lösung: allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL<br />
x(t) = A 1 e −βt cos(ω ′ t + ϕ ′ ) + A 2 cos(ωt + ϕ)<br />
} {{ } } {{ }<br />
gedämpfte Schwingung erzwungene Schwingung<br />
Einschwingverhalten<br />
stationär<br />
ω ′ =<br />
√<br />
ω 2 0 − β2 (7.76)<br />
Absorbierte Leistung<br />
P (t, ω) = F (t) dx<br />
dt = (7.77)<br />
= F 0 cos ωt(−ωA sin(ωt + ϕ)) = (7.78)<br />
= −F 0 ωA [cos(ωt) sin(ωt) cos(ϕ) + cos(ωt) cos(ωt) sin(ϕ)] = (7.79)<br />
[ cos ϕ<br />
= −F 0 ωA sin(2ωt) + sin ϕ cos(2ωt) + sin ϕ ]<br />
(7.80)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Mittelung über viele Perioden<br />
1<br />
¯P (ω) = lim<br />
t→∞ t<br />
∫ t<br />
0<br />
P (t ′ , ω) dt ′ = −F 0 ωA sin ϕ<br />
2<br />
(7.81)<br />
= 1 ω 2<br />
2 mk2 τ<br />
(ω0 2 − (7.82)<br />
ω2 ) + ω2<br />
τ 2<br />
90
7.4 Gekoppelte Oszillatoren<br />
Abbildung 7.12: ¯P -ω-Diagramm<br />
Linienbreite<br />
2∆ω = 1 τ<br />
(7.83)<br />
Schärfe des Resonanzmaximums<br />
2∆ω<br />
ω 0<br />
= 1<br />
ω 0 τ = 1 Q<br />
(7.84)<br />
7.4 Gekoppelte Oszillatoren<br />
a) Gekoppeltes Federpendel<br />
Abbildung 7.13: Gekoppeltes Federpendel<br />
im Folgenden m 1 = m 2 = m, c 1 = c 2 = c.<br />
Zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen<br />
m d2 x 1<br />
dt 2 = −cx 1 − c 12 (x 1 − x 2 ) (7.85)<br />
m d2 x 2<br />
dt 2 = −cx 2 − c 12 (x 2 − x 1 ) (7.86)<br />
⇒ m d2 (x 1 + x 2 )<br />
dt 2 = −c(x 1 + x 2 ) (7.87)<br />
m d2 (x 1 − x 2 )<br />
dt 2 = −c(x 1 − x 2 ) − 2c 12 (x 1 − x 2 ) (7.88)<br />
91
7 Schwingungen<br />
Führe neue Koordinaten ein<br />
Zwei unabhängige DGL vom Typ freier, ungedämpfter Oszillator<br />
q 1 = 1 2 (x 1 + x 2 ) (7.89)<br />
q 2 = 1 2 (x 1 − x 2 ) (7.90)<br />
⇒ d2 q 1<br />
dt 2 + c m q 1 = 0 (7.91)<br />
d 2 (<br />
q 2 c<br />
dt 2 + m + 2c )<br />
12<br />
q 2 = 0 (7.92)<br />
m<br />
q 1 = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )<br />
√ c<br />
ω 1 =<br />
m<br />
q 2 = A 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )<br />
√<br />
c<br />
ω 2 =<br />
m + 2c 12<br />
m<br />
(7.93)<br />
(7.94)<br />
Eine Überlagerung beider Lösungen löst auch ursprüngliche Bewegungsgleichung. Normalschwingung:<br />
Bewegungszustand, bei dem nur eine Normalkoordinate von Null verschieden ist.<br />
Rücktransformation<br />
Normalschwingungen<br />
Abbildung 7.14: Normalschwingung<br />
x 1 = q 1 + q 2 x 2 = q 1 − q 2 (7.95)<br />
1. q 2 = 0 ⇒ x 1 = x 2 = −q 1<br />
Beide Massen schwingen in Phase mit ω 1 = √ c<br />
m<br />
Abbildung 7.15: 1. Normalschwingung<br />
2. q 1 = 0 ⇒ x 1 = −x 2 = q 2<br />
√<br />
c<br />
Beide Massen schwingen gegenseitig mit ω 2 =<br />
m + 2c12<br />
m<br />
92
7.4 Gekoppelte Oszillatoren<br />
Abbildung 7.16: 2. Normalschwingung<br />
Schwebung (für A 1 = A 2 = A)<br />
x 1 = A {cos(ω 1 t + ϕ 1 + cos(ω 2 t + ϕ 2 )} = (7.96)<br />
{ (<br />
ω1 + ω 2<br />
= 2A cos t + ϕ ) (<br />
1 + ϕ 2 ω1 − ω 2<br />
cos t + ϕ )}<br />
1 + ϕ 2<br />
(7.97)<br />
2 2<br />
2 2<br />
{ (<br />
ω1 + ω 2<br />
x 2 = −2A sin t + ϕ ) (<br />
1 + ϕ 2 ω1 − ω 2<br />
sin t + ϕ )}<br />
1 + ϕ 2<br />
(7.98)<br />
2 2<br />
2 2<br />
Abbildung 7.17: Schwebung<br />
b) N gekoppelte Oszillatoren<br />
Abbildung 7.18: N gekoppelte Oszillatoren<br />
d 2 x<br />
dt 2<br />
= c m (x 1 − x 2 ) + c m (x 3 − x 2 ) = c m x 1 − 2c<br />
m x 2 + c m x 3 (7.99)<br />
⇒ Gleichungssystem<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
ẍ 1 −2d d 0 0 x 1<br />
⎜ẍ 2<br />
⎟<br />
⎝ẍ 3<br />
⎠ = ⎜ d −2d d 0<br />
⎟ ⎜x 2<br />
⎟<br />
⎝ 0 d −2d d ⎠ ⎝x 3<br />
⎠ (7.100)<br />
ẍ 4 0 0 d −2d x 4<br />
93
7 Schwingungen<br />
Ansatz<br />
x i = A i cos(ωt) (7.101)<br />
d 2 x i<br />
dt 2 = −ω2 x i (7.102)<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
x 1 −2d d 0 0 x 1<br />
ω 2 ⎜x 2<br />
⎟<br />
⎝x 3<br />
⎠ = ⎜ d −2d d 0<br />
⎟ ⎜x 2<br />
⎟<br />
⎝ 0 d −2d d ⎠ ⎝x 3<br />
⎠ (7.103)<br />
x 4 0 0 d −2d x 4<br />
⇒ Eigenwertproblem (Eigenwerte: Frequenzen ω, Eigenvektoren: Amplituden A i (ω).<br />
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung<br />
Schiffschaukel:<br />
Verlagerung des Schwerpunktes, Veränderung der effektiven Pendellänge<br />
Abbildung 7.19: Schiffschaukel<br />
Fliehkraft maximal bei ϕ = 0 und Null bei ϕ max .<br />
Aufstehen bei ϕ = 0 ⇒ Leiste Arbeit ∆E = mω 2 l∆x.<br />
In die Knie gehen bei ϕ max ⇒ ohne Arbeit ∆E = 0.<br />
Abschätzung<br />
Energiegewinn pro Periode<br />
E kin (ϕ = 0) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 l 2 (7.104)<br />
∆E<br />
E<br />
= 2mω2 l∆x<br />
1<br />
= 4 ∆x<br />
2 mω2 l 2 l<br />
(7.105)<br />
⇒ Anwachsen der Schwingung<br />
E = E 0 e − t τ τ = T l<br />
4∆x<br />
(7.106)<br />
94
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung<br />
Bewegungsgleichung:<br />
Periodische Änderung der Fadenlänge l mit Frequenz ω führt zu periodischer Änderung der Frequenz<br />
ω 0 (t).<br />
mit ω 2 0(t) =<br />
g<br />
l(t)<br />
und l(t) = l(1 − ε sin ωt).<br />
Resonanz bei ω = 2ω 0 .<br />
Parameter ω 2 0 wird moduliert. ⇒ parametrisierter Oszillator.<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0(t)ϕ = 0 (7.107)<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0(1 + ε sin ωt)ϕ = 0 (7.108)<br />
95
7 Schwingungen<br />
96
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
8.1 Nichtlinearer Oszillator<br />
a) exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels<br />
Taylorentwicklung von sin ϕ um ϕ = 0<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0 sin ϕ = 0 ω 0 =<br />
√ g<br />
l<br />
(8.1)<br />
sin ϕ = ϕ − ϕ3<br />
3! + ϕ5<br />
5! − . . . (8.2)<br />
Abbruch nach 1. Term sin ϕ ≈ ϕ ⇒ harmonischer Oszillator<br />
Abschätzung<br />
ϕ = 5 ◦ ⇒ ϕ3<br />
3!<br />
ϕ = 45 ◦ ⇒ ϕ3<br />
3!<br />
Mitnahme des ϕ 3 -Terms führt zu nichtlinearer DGL<br />
1<br />
ϕ = 10−3 (8.3)<br />
1<br />
= 0, 1 (8.4)<br />
ϕ<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0ϕ − ω2 0<br />
6 ϕ3 = 0 (8.5)<br />
Bewegungsgleichung eines anharmonischen Oszillators<br />
Potentielle Energie<br />
Abbildung 8.1: Stangenpendel und E pot -ϕ-Diagramm<br />
E pot = mgh = mgl(1 − cos ϕ) (8.6)<br />
Taylor-Entwicklung von f(ϕ) = 1 − cos ϕ um ϕ = 0<br />
f(ϕ) = f(0) + 1 df(ϕ)<br />
∣ · ϕ + 1 d 2 f(ϕ)<br />
∣<br />
∣∣ϕ=0<br />
1! dϕ ϕ=0 2! dϕ 2 · ϕ 2 + . . . = (8.7)<br />
= 0 + sin(ϕ = 0)ϕ + 1 2 cos(ϕ = 0)ϕ2 − 1 6 sin(ϕ = 0)ϕ3 − 1 24 cos(ϕ = 0)ϕ4 + . . . (8.8)<br />
{ 1<br />
E pot = mgl<br />
2 ϕ2 − 1 }<br />
24 ϕ4 + . . .<br />
(8.9)<br />
97
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
Für harmonische Näherung: Abbruch nach 1. Term<br />
E pot = m g lϕ2 (8.10)<br />
Kraft<br />
⃗F = −gradE pot (8.11)<br />
für harmonische Näherung gilt<br />
F = − dE pot<br />
ds<br />
= − d ds<br />
( 1<br />
2 mg l s2 )<br />
= −m g s = −mgϕ (8.12)<br />
l<br />
exakt<br />
F = − d ds<br />
( (<br />
mgl 1 − cos s ))<br />
= −mg sin s l<br />
l<br />
= −mg sin ϕ (8.13)<br />
b) Berechnung der Schwingungsperiode<br />
Gesamtenergie<br />
E = E kin + E pot = E pot (ϕ 0 ) ϕ 0 = Maximalauslenkung (8.14)<br />
1<br />
2 mv2 + mgl(1 − cos ϕ) = mgl(1 − cos ϕ 0 ) (8.15)<br />
( ) 2<br />
1 dϕ<br />
2 ml2 = mgl(cos ϕ − cos ϕ 0 ) (8.16)<br />
dt<br />
√<br />
dϕ 2g<br />
dt = l (cos ϕ − cos ϕ 0) (8.17)<br />
Integration über 1 4 Periode<br />
√<br />
l<br />
2g<br />
∫ ϕ0<br />
0<br />
∫ T<br />
1<br />
4<br />
√ dϕ = dt = 1 cos ϕ − cos ϕ0 0 4 T (8.18)<br />
T = √ 4 ∫ ϕ0<br />
1<br />
√ dϕ (8.19)<br />
2ω0 cos ϕ − cos ϕ0<br />
0<br />
Elliptisches Integral, nicht analytisch lösbar!<br />
c) Beschreibung im Phasenraum<br />
Bisher: Bewegungsgleichung 2. Ordnung<br />
Darstellung von ϕ(t), ˙ϕ(t), ¨ϕ(t).<br />
Überführung in ein System aus DGL 1. Ordnung<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0 sin ϕ = 0 (8.20)<br />
dω<br />
dt = −ω2 0 sin ϕ (8.21)<br />
dϕ<br />
dt = ω (8.22)<br />
98
8.1 Nichtlinearer Oszillator<br />
Allgemein<br />
a = dv<br />
dt = f 1(v, x) (8.23)<br />
v = dx<br />
dt = f 2(v, x) (8.24)<br />
Beschreibe den Zustand des Systems durch N zeitabhängige Größen ζ(t),die zu einem Vektor X(t) im<br />
Phasenraum zusammengefasst werden<br />
Beispiel: gedämfter harmonischer Oszillator<br />
Phasenraum<br />
X(t) = {ζ 1 (t), ζ 2 (t), . . .} (8.25)<br />
hier X(t) = {ω, ϕ} (8.26)<br />
x(t) = Ae −βt cos(ωt) (8.27)<br />
v(t) = −Aωe −βt sin(ωt) β ≪ ω 0 (8.28)<br />
Zeitliche Änderung<br />
Fixpunkt X(t) = 0.<br />
Stangenpendel<br />
Abbildung 8.2: Trajektorie im Phasenraum<br />
{<br />
d d<br />
dt X(t) = dt ζ 1(t), d }<br />
dt ζ 2(t), . . .<br />
Ẋ = { −ω0 2 sin ϕ, ω } { d<br />
=<br />
dt f 1(ω, ϕ), d }<br />
dt f 2(ω, ϕ)<br />
(8.29)<br />
(8.30)<br />
ist ein deterministisches und ein autonomes System. Die Änderung Ẋ von X hängt nur vom Zustand<br />
Xab (vom Ort X im Phasenraum) ⇒ unterschiedliche Trajektorien überschneiden sich nicht.<br />
Trajektorien für Stangenpendel<br />
E kin + E pot = 1 2 ml2 ω 2 − mgl cos ϕ = E ges (8.31)<br />
ω 2 = 2<br />
ml 2 (mgl cos ϕ + E ges) = 2ω0 2 cos ϕ + c (8.32)<br />
√<br />
ω = ± cos ϕ + c (8.33)<br />
2ω 2 0<br />
99
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
8.2 Duffing-Oszillator<br />
Spiegelsymmetrisches Potential<br />
E pot (x) = 1 2 cx2 + 1 4 cεx4 (8.34)<br />
Rüchtreibende Kraft<br />
F = − dE pot<br />
dx = −cx − cεx3 = −c(x + εx 3 ) (8.35)<br />
Oft: Taylorentwicklung eines Potentials um Ruhelage. Inversionssymmetrie ⇒ x n -Terme mit ungeradzahligem<br />
n verschwinden. Fall: c > 0, ε > 0<br />
mit |x| zunehmende Federkonstante<br />
Fall c > 0, ε < 0<br />
Abbildung 8.3: E pot -x-Diagramm, c > 0, ε > 0<br />
Abbildung 8.4: E pot -x-Diagramm, c > 0, ε < 0<br />
100
8.2 Duffing-Oszillator<br />
Schwingung möglich, mit Amplitude abnehmende Federkonstante, z.B. Fadenpendel in Näherung sin ϕ ≈<br />
ϕ − ϕ3<br />
6 = Duffing-Oszillator mit c = ω2 0, ε = − 1 6 .<br />
Fall: c < 0, ε < 0<br />
Doppelnullpotential<br />
Bewegungsgleichung<br />
Abbildung 8.5: E pot -x-Diagramm, c < 0, ε < 0<br />
= getriebener Oszillator + anharmonischer Term<br />
⇒ Frequenz wird abhängen von ω 2 0, β und Amplitude εx 2 .<br />
d 2 x dx<br />
+ 2β<br />
dt2 dt + ω2 0(x + εx 3 ) = k cos(ω t + ϕ) (8.36)<br />
Lösung enthält Terme ∼ cos[(2i + 1)ωt + ϕ 0 ] mit i = 0, 1, 2, . . .. cos(ωt) ist dominanter Term.<br />
Iterative Lösung<br />
Bemerkung<br />
x 0 = A 0 cos(ωt) (8.37)<br />
d 2 x 1<br />
dt 2 = −2β dx 0<br />
dt − ω2 0(x + εx 3 ) + k cos(ωt + ϕ) (8.38)<br />
x 1 (t) = A 1,0 cos(ωt) + A 1,1 cos(3ωt + ϕ 1,1 ) (8.39)<br />
x 2 (t) = A 2,0 cos(ωt) + A 2,1 cos(3ωt + ϕ 2,1 ) + A 2,2 cos(5ωt + ϕ 2,2 ) (8.40)<br />
n∑<br />
x n (t) = A n,i cos [(2i + 1)ωt + ϕ n,i ] (8.41)<br />
i=0<br />
101
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
Iterative Lösung in DGL einsetzen und integrieren<br />
d 2 x 1 (t)<br />
dt<br />
= −2βA 0 ω sin(ωt) − ω 2 0A 0 cos(ωt) − εω 2 0A 3 0 cos 3 (ωt) + k cos(ωt + ϕ) (8.42)<br />
cos 3 (ωt) = 3 4 cos(ωt) + 1 cos(3ωt)<br />
4<br />
(8.43)<br />
k cos(ωt + ϕ) = H cos(ωt) + G sin(ωt) (8.44)<br />
H = k cos ϕ, G = k sin ϕ, k = √ G 2 + H 2 (8.45)<br />
⇒ x 1 (t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) + 1 εω0A 2 3 0<br />
36 ω 2 cos(3ωt) (8.46)<br />
a = 1 (ω 2<br />
ω 2 0A 0 + 3 )<br />
4 εω2 0A 3 0 − H , b = − 1 ω 2 (2ωβA 0 − G) (8.47)<br />
Koeffizientenvergleich ⇒ a = A 1,0 , b = 0<br />
Phasenwinkel<br />
H = (ω 2 0 − ω 2 )A 0 + 3 4 εω2 0A 3 0 (8.48)<br />
G = 2βωA 0 (8.49)<br />
tan ϕ = G H = 2βωA 0<br />
(ω 2 0 − ω2 )A 0 + 3 4 εω2 0 A3 0<br />
(8.50)<br />
Amplitude<br />
√ {<br />
(ω 2 0 − ω2 )A 0 + 3 4 εω2 0 A3 0<br />
} 2<br />
+ (2βωA 0 ) 2 = k (8.51)<br />
Amplitude des 3ωt-Terms<br />
A 1,1 = 1 εω0A 2 3 0<br />
36 ω 2 (8.52)<br />
Resonanzkurve (ω 2 0 > 0, ε > 0)<br />
Abbildung 8.6: Resonanzkurve des Duffing-Oszillators<br />
102
8.3 Selbsterregende Schwingungen<br />
Zwischen ω − und ω + exisitieren 3 Lösungen, von denen eine instabil ist.<br />
⇒ Bistabilität<br />
⇒ Hysterese<br />
Phänomene<br />
• Periodenverdopplung (Bifurkation)<br />
• Chaos<br />
8.3 Selbsterregende Schwingungen<br />
Beispiel: Geigensaite, Uhr, Radiosender (Generator)<br />
Prinzip: Oszillator + Energiequelle (Bogen, Feder, Batterie). Oszillator holt zum selbstbestimmten Zeitpunkt<br />
Energie ab und entdämpft sich damit.<br />
Van-der-Pol-Oszillator<br />
Abbildung 8.7: Gesrichene Geigen- oder Cello-Saite<br />
d 2 x<br />
dt 2 − µ(1 − x2 ) dx<br />
dt + ω2 0x = 0 (8.53)<br />
negative Dämpfung −µ für kleine Amplituden<br />
positive Dämpfung −µ(1 − x 2 ) für große Amplituden<br />
⇒ Amplitude wächst, bis das System einen Grenzzyklus erreicht, bei dem sich Energiezufuhr und Dämpfung<br />
kompensieren. Realisierung z.B. mit elektronischen Bauelementen.<br />
Getriebener Van-der-Pol-Oszillator<br />
Phänomene<br />
• periodische oder quasiüeriodische Trajektorien<br />
• Frequenzkamm<br />
d 2 x<br />
dt 2 − µ(1 − x2 ) dx<br />
dt + ω2 0x = k cos(ωt) (8.54)<br />
• Synchronisation (”locking”) des Oszillators mit der treibenden Frequenz<br />
103
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos<br />
Beispiel: Populationsdynamik<br />
a) Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung)<br />
A Geburtsnrate-Sterberate, N st Sättigungszustand.<br />
Lösung<br />
dN<br />
dt = AN (<br />
1 − N N st<br />
)<br />
(8.55)<br />
”Sättigungskurve”, eponetielles Wachstum bis zur Sättigung bei N st .<br />
N st<br />
N = N 0<br />
N 0 + (N st − N 0 )e −At (8.56)<br />
b) Diskret<br />
Jedes Jahr eine Generation, logistische Gleichung<br />
N i+1 = aN i<br />
(<br />
1 − N k<br />
)<br />
(8.57)<br />
Erwarteter stationärer Zustand<br />
N i+1 = N i = N (8.58)<br />
(<br />
N = aN 1 − N )<br />
(8.59)<br />
k<br />
(<br />
⇒ N = k 1 − 1 )<br />
(8.60)<br />
a<br />
a < 1 ⇒ N → 0 Aussterben<br />
Normierung<br />
x = N k<br />
(8.61)<br />
⇒ logistische Gleichung<br />
x i+1 = ax i (1 − x i ) (8.62)<br />
Iteration<br />
104
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos<br />
3 < a < a ∞ : die x n oszillieren zwischen 2 k Werten.<br />
3 < a < 3, 449: k = 1<br />
3, 449 < a < 3, 544: k = 2 = Bifurkation<br />
Abbildung 8.8: Iteration<br />
Für k ≫ 1 gilt<br />
Mit Feigenbaumkonstante δ<br />
a k = a ∞ − c<br />
δ k (8.63)<br />
a k geht gegen den Grenzwert a ∞ = 3, 5699456 . . .<br />
a k − a k−1<br />
δ = lim<br />
= 4, 669201609 . . . (8.64)<br />
k→∞ a k+1 − a k<br />
Ab a ∞ setzt Chaos ein. Für große Werte von a (a > a ∞ ) gibt es Lücken mit regulärem Verhalten<br />
(Intermittenz).<br />
105
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
106
9 Mechanische Wellen<br />
Schwingungen:<br />
harmonische Oszillation eines (oder mehrerer) Körper: x(t).<br />
Welle:<br />
Kopplung räumlich benachbarter Punkte (Bereiche) ⇒ Ausbreitung einer Welle y(x, t).<br />
Beispiel:<br />
1-dimensional: Seilwelle, Luftsäule in Rohr (Orgelpfeife)<br />
2-dimensional: Wasseroberfläche, Membran (Pauke)<br />
3-dimensional: Schallwelle (Gas, Flüssigkeit, Festkörper), elektromagnetische Wellen (Radio, Licht, Röntgen,<br />
γ)<br />
Was ist die zugrunde liegende Bewegungsgleichung?<br />
9.1 Seilwelle<br />
Transversalschwingung eines Seils oder Saite.<br />
Näherung<br />
• kleine Auslenkung dy<br />
dx ≪ 1<br />
Abbildung 9.1: Seilwelle<br />
• Zugkraft immer tangentialund vom Betrag konstant<br />
• keine Schwerung oder Torsion (1-dimensionales Problem, dünnes Seil)<br />
• keine nicht-linearen Effekte<br />
• keine Dämpfung<br />
• Gravitation vernachlässigbar<br />
2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM<br />
107
9 Mechanische Wellen<br />
Abbildung 9.2: 2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM<br />
A Querschnittsfläche [m 2 ]<br />
ϱ Dichte [ kg<br />
m<br />
] 3<br />
σ Zugspannung [ N m<br />
] konstant, gegeben durch Vorspannung des Seils<br />
2<br />
dM Massenelement [kg]<br />
y Auslenkung [m]<br />
α Winkel zur x-Achse<br />
F y y-Komponente der Kraft N<br />
Wir suchen α(x, t) ⇒ Wellenform y(x, t).<br />
Taylorentwicklung<br />
für kleine Auslenkungen sin α ≈ tan α ≈ ∂y<br />
∂t<br />
Resultierende Kraft auf Massenelement dM<br />
2. Newton<br />
⇒ Wellengleichung<br />
F y (x, t) = Aσ sin(α(x, t)) (9.1)<br />
sin α = α − 1 6 α3 + . . . (9.2)<br />
tan α = α + 1 3 α3 + . . . (9.3)<br />
F y = Aσ ∂y<br />
∂x<br />
(9.4)<br />
∂F y<br />
∂x = Aσ ∂2 y<br />
∂x 2 (9.5)<br />
F y (x + dx) − F y (x) = ∂F y<br />
∂x dx = Aσ ∂2 y<br />
dx (9.6)<br />
∂x2 dM ∂2 y<br />
∂t 2<br />
= ϱAdx∂2 y<br />
∂t 2<br />
∂ 2 y<br />
∂t 2<br />
= σ ϱ<br />
Welche Funktionen y = F (x, t) lösen diese Wellengleichung?<br />
= Aσ ∂2 y<br />
dx (9.7)<br />
∂x2 ∂y 2<br />
∂x 2 (9.8)<br />
108
9.1 Seilwelle<br />
a) Puls<br />
Beliebiger Puls, der mit der Geschwindigkeit c in ±x-Richtung läuft, ohne seine Form zu ändern.<br />
Abbildung 9.3: Puls<br />
y(x, t) = F (x ∓ ct) = F (a) a = x ∓ ct (9.9)<br />
Setze t 1 = 0 ⇒ Pulsform y = F (x). Nach Zeit ∆t: y = F (x−c∆t) = Verschiebung um c∆t in +x-Richtung.<br />
Einsetzen in Wellengleichung<br />
∂y<br />
∂t = ∂F<br />
∂a<br />
∂ 2 y<br />
∂t 2<br />
∂a<br />
∂t = ∂F<br />
∂a<br />
( =<br />
∂2 F ∂a<br />
∂a 2 ∂t<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 = ∂2 F<br />
∂a 2 ( ∂a<br />
∂x<br />
(∓c) (9.10)<br />
) 2<br />
+ ∂F ∂ 2 a<br />
∂a ∂t 2 = ∂2 F<br />
∂a 2 c2 (9.11)<br />
) 2<br />
+ ∂F ∂ 2 a<br />
∂a ∂x 2 = ∂2 F<br />
∂a 2 (9.12)<br />
⇒ ∂2 F<br />
∂a 2 c2 = σ ∂ 2 F<br />
ϱ ∂a 2 (9.13)<br />
y(x, t) = F (x ∓ ct) erfüllt Wellengleichung für c = ∓√<br />
σ<br />
ϱ<br />
. c ist die Geschwindigkeit des Pulses. Damit<br />
kann die Wellengleichung geschrieben werden als<br />
∂ 2 y<br />
∂t 2<br />
b) Sinusförmige (harmonische) Welle<br />
= c2 ∂2 y<br />
∂x 2 (9.14)<br />
( )<br />
2π<br />
y(x, t) = A 0 sin<br />
λ (x − ct) = (9.15)<br />
⇒ Welle läuft mit Geschwindigkeit c in +x-Richtung.<br />
Amplitude zu festen Zeitpunkt<br />
= A 0 sin(kx − ωt) = F (a) a = x − ct (9.16)<br />
109
9 Mechanische Wellen<br />
Wellenlänge λ<br />
Wellenzahl k = 2π λ<br />
Abbildung 9.4: Amplitude zu festen Zeitpunkt<br />
Amplitude an festem Ort<br />
Periode T<br />
Abbildung 9.5: Amplitude an festem Ort<br />
Kreisfrequenz ω = 2π<br />
T<br />
= 2πf mit Frequenz f.<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 = −k2 A 0 sin(kx − ωt) (9.17)<br />
∂ 2 y<br />
∂t 2 = −ω2 A 0 sin(kx − ωt) (9.18)<br />
in Wellengleichung einsetzen<br />
−ω 2 A 0 sin(kx − ωt) = −c 2 k 2 A 0 sin(kx − ωt) (9.19)<br />
Erfüllt für alle Zeiten t und Orte x, wenn<br />
ω<br />
k = ±c<br />
oder fλ = ±c<br />
[ m<br />
]<br />
[<br />
s<br />
m<br />
]<br />
s<br />
(9.20)<br />
(9.21)<br />
mit c =<br />
√<br />
σ<br />
ϱ<br />
für Seilwelle<br />
c) Superpositionsprinzip<br />
Gilt für lineare Wellengleichungen. Sind y 1 (x, t) und y 2 (x, t) Lösungen der Wellengleichung, dann ist auch<br />
y 1 (x, t) + y 2 (x, t) Lösung der Wellengleichung.<br />
110
9.1 Seilwelle<br />
Abbildung 9.6: Superpositionsprinzip<br />
d) Reflexion am festen Ende<br />
Randbedingung y(x e , t) = 0 wird erfüllt durch Überlagerung einer ein- und auslaufenden Welle.<br />
Abbildung 9.7: Reflexion am festen Ende<br />
Der reflektierte Puls ist invertiert!<br />
Refelxion einer harmonischen Welle F (x − ct) = A 0 sin(kx − ωt) am festen Ende.<br />
y(x, t) = A 0 sin(kx − ωt) − A 0 sin(−kx − ωt) = (9.22)<br />
= A 0 [sin(kx) cos(ωt) − cos(kx) sin(ωt) + sin(kx) cos(ωt) + cos(kx) sin(ωt)] = (9.23)<br />
= 2A 0 sin(kx) cos(ωt) (9.24)<br />
Stehende Welle<br />
111
9 Mechanische Wellen<br />
Abbildung 9.8: Stehende Welle<br />
mit Schwingungsknoten bei x = 0 und bei kx = 2π λ<br />
x = nπ mit n = 0, 1, 2, 3, . . .<br />
⇒ x = n λ 2<br />
Feste Position für Schwingungsknoten und -bäuche.<br />
e) Reflexion am offenen Ende<br />
Keine Kraft in y-Richtung, F y = Aσ ∂y<br />
∂x = 0 bei x e = 0.<br />
⇒ Randbedingung ∂y<br />
∂x = 0 bei x e.<br />
Abbildung 9.9: Reflexion am offenen Ende<br />
Reflektierte Welle ist nicht invertiert!<br />
y(x, t) = F (x − ct) + F (−x − ct) (9.25)<br />
Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende<br />
y(x, t) = A 0 sin(kx − ωt) + A 0 sin(−kx − ωt) = . . . = (9.26)<br />
= 2A 0 cos(kx) sin(ωt) (9.27)<br />
Abbildung 9.10: Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende<br />
112
9.1 Seilwelle<br />
Schwingungsknoten bei kx = 2π λ x = nπ + π 2 oder x = (2n + 1) λ 4<br />
mit n = 0, 1, 2, . . .<br />
∂y<br />
∣ = 2A 0 k sin(kx) sin(ωt) ∣ = 0 (9.28)<br />
∂x x=0 x=0<br />
⇒ Randbedinung erfüllt.<br />
f) Eigenschwingung einer Saite<br />
Saite der Länge L, die an beiden Enden fest eingespannt ist.<br />
Wellengeschwindigkeit<br />
Abbildung 9.11: Saite der Länge L<br />
√ σ<br />
c =<br />
ϱ<br />
(9.29)<br />
Randbedingungen<br />
y(x = 0, t) = 0 y(x = L, t) = 0 (9.30)<br />
Lösung: stehende Wellen mit Schwingungsknoten bei x = 0, x = L<br />
Abbildung 9.12: Stehende Wellen<br />
113
9 Mechanische Wellen<br />
Stehende Wellen<br />
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt) (9.31)<br />
y(0, t) = 0 ∀t (9.32)<br />
y(L, t) = 2A sin(kL) cos(ωt) = 0 ∀t, wenn kL = 2π L = nπ<br />
λ<br />
(9.33)<br />
Für Wellenlängen gilt<br />
λ = 2L n<br />
(9.34)<br />
Für Frequenzen gilt<br />
Harmonische (reine) Stimmung<br />
f = c λ = n c<br />
2L<br />
c 131 Hz n = 1<br />
c 262 Hz n = 2<br />
g 393 Hz n = 3<br />
c’ 524 Hz n = 4<br />
e’ 655 Hz n = 5<br />
Oktave 2 : 1<br />
Quinte 3 : 2<br />
Quarte 4 : 3<br />
große Terz 5 : 4<br />
Das Obertonspektrum eines Saiteninstruments folgt diese Frequenzreihe ⇒ Klangfarbe<br />
( 3<br />
12) 12<br />
(9.35)<br />
2 7 = 1, 01364 . . . (9.36)<br />
12<br />
Temperierte Stimmung: 12 Halbtonschritte je Oktave, Frequenzintervall<br />
√ 2 ≈ 1, 059<br />
Quinte (7 Halbtonschritte): (1, 059) 7 = 1, 489 ≠ 3 2<br />
g) Energietransport einer harmonischen Seilwelle<br />
Abbildung 9.13: Energietransport einer harmonischen Seilwelle<br />
114
9.2 Schallwelle<br />
Übertragene Lesitung<br />
Folgt<br />
P = f y v y = −Aσ ∂y ∂y<br />
∂x ∂t<br />
y = A 0 sin(kx − ωt) (9.37)<br />
Mittelung über eine (oder viele) Perioden<br />
P = −AσA 2 0k(−ω) cos 2 (kx − ωt) (9.38)<br />
〈cos 2 (kx − ωt)〉 = 1 2<br />
(9.39)<br />
Verwende ω k = c und c = √<br />
σ<br />
ϱ und ϱ 1d = Aϱ<br />
〈P 〉 = 1 2 ϱ 1dcω 2 A 2 0 (9.40)<br />
Energie, die in einem Zeitintervall ∆t an x 1 vorbei transportiert wird<br />
〈∆E〉 = 〈P 〉 · ∆t (9.41)<br />
Diese Energie ist in einem Stück des Seils der Länge ∆x = c · ∆t gespeichert.<br />
〈∆E〉 = 1 2 ϱ 1dcω 2 A 2 0∆t = 1 2 ϱ 1dω 2 A 2 0∆x (9.42)<br />
9.2 Schallwelle<br />
a) Longitudinale Wellen in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern<br />
1-dimensional: Dichtewelle in Rohr<br />
Volumen<br />
Abbildung 9.14: Dichtewelle in Rohr<br />
V = A · ∆x (9.43)<br />
Kraft<br />
2. Newtonsches Gesetz: ma = F<br />
F = −A ·<br />
∂P<br />
∂x ∆x<br />
} {{ }<br />
Druckdifferenz<br />
(9.44)<br />
ϱA∆x ∂v<br />
∂t = −A∂P ∆x<br />
∂x<br />
(9.45)<br />
⇒ ∂v<br />
∂t = − 1 ∂P<br />
ϱ ∂x<br />
(9.46)<br />
115
9 Mechanische Wellen<br />
Volumenänderung<br />
∂v<br />
∂x ∆x<br />
} {{ }<br />
Geschwindigkeitsdifferenz<br />
·∆t (9.47)<br />
= ∂v ∆t<br />
∂x<br />
(9.48)<br />
∆V = A ·<br />
Volumen- und Druckänderung hängen über Kompressibilität κ zusammen<br />
∆V<br />
V<br />
Daraus folgt<br />
Wellengleichung für Druck<br />
(9.46) ∂<br />
∂x ⇒<br />
(9.50) ∂ ∂t<br />
⇒<br />
∆V<br />
= −κ · ∆P (9.49)<br />
V<br />
⇒ ∂P<br />
∂t = − 1 ∂v<br />
(9.50)<br />
κ ∂x<br />
∂ 2 v<br />
∂t∂x = − 1 ∂ 2 P<br />
ϱ ∂x 2 (9.51)<br />
∂ 2 P<br />
∂t 2 = − 1 ∂ 2 v<br />
κ ∂t∂x<br />
(9.52)<br />
∂ 2 P<br />
∂t 2 = 1 ∂ 2 P<br />
κϱ ∂x 2 (9.53)<br />
Lösung: harmonische Welle<br />
P 0 Amplitude der Druckdifferenz zum statischen Druck.<br />
P (x, t) = P 0 sin(kx − ωt) (9.54)<br />
(9.46) ∂ ∂t<br />
⇒<br />
(9.50) ∂<br />
∂x ⇒<br />
⇒ Wellengleichung für Schallschnelle v<br />
∂ 2 v<br />
∂t 2 = − 1 ∂ 2 P<br />
ϱ ∂x∂t<br />
(9.55)<br />
∂ 2 P<br />
∂t∂x = − 1 ∂ 2 v<br />
κ ∂x 2 (9.56)<br />
∂ 2 v<br />
∂t 2 = 1<br />
κϱ<br />
∂ 2 v<br />
∂x 2 (9.57)<br />
Lösung<br />
v(x, t) = v 0 sin((kx − ωt) + ϕ) (9.58)<br />
Schallgeschwindigkeit<br />
c =<br />
√ 1<br />
κϱ<br />
(9.59)<br />
Luft (Normaldruck)<br />
Raumtemperatur<br />
Helium<br />
Wasser<br />
c = 332(1 + 0, 00166 ∆T ◦ C ) m s<br />
c = 343 m s<br />
c = 965 m s<br />
c = 1497 m s<br />
116
9.2 Schallwelle<br />
Aus Zusammenhang ∂v<br />
∂t = − 1 ∂P<br />
ϱ ∂x<br />
folgt<br />
− ωv 0 cos(kx − ωt + ϕ) = − 1 ϱ kP 0 cos(kx − ωt) (9.60)<br />
⇒ ϕ = 0 (9.61)<br />
d.h. v und P sind in Phase für laufende Welle.<br />
P 0 = ϱcv 0 (9.62)<br />
Definition: Impedanz = Wellenwiderstand<br />
z = P 0<br />
v 0<br />
= ϱc (9.63)<br />
Luft: 428(1, 0 − 0, 0017 ∆T ◦ C ) kg<br />
m 2 s<br />
b) Stehende Schallwelle<br />
Geschlossene Enden:<br />
v = 0 Reflexion am festen Ende.<br />
∆P maximal: Reflexion am losen Ende.<br />
v = v 0 sin(kx − ωt) − v 0 sin(−kx − ωt) = 2v 0 sin(kx) cos(ωt) (9.64)<br />
P = P 0 sin(kx − ωt) + P 0 sin(−kx − ωt) = 2P 0 cos(kx) sin(ωt) (9.65)<br />
Abbildung 9.15: Stehende Schallwelle (geschlossene Enden)<br />
offenes Ende:<br />
P = Umgebungsdruck ⇒ P 0 = 0 festes Ende.<br />
∆v maximal loses Ende.<br />
117
9 Mechanische Wellen<br />
geschlossenes Ende: Impedanz z = P0<br />
v 0<br />
= ∞.<br />
offenes Ende: Impedanz z = P0<br />
v 0<br />
= 0.<br />
c) Intensität<br />
Abbildung 9.16: Stehende Schallwelle (offenes Ende)<br />
I =<br />
mittlere Leistung<br />
Fläche<br />
= 1 P0<br />
2<br />
2 ϱc<br />
(9.66)<br />
Lautstärke wird logarithmischen Skalen in dB gemessen.<br />
β = 10 log I (9.67)<br />
I 0<br />
I 0 = 10 −12 W m 2 (9.68)<br />
I 0 ist die Intensität an der Hörschwelle bei 1kHz.<br />
d) Wellen im Raum<br />
Ebene Wellen mit beliebiger Ausbreitungsrichtung<br />
Abbildung 9.17: Ebene Welle im Raum<br />
118
9.2 Schallwelle<br />
ζ = A sin( ⃗ k⃗r − ωt) (9.69)<br />
ζ Auslenkung<br />
A Amplitude<br />
⃗ k Wellenvektor definiert Ausbreitungsrichtung und Wellenlänge | ⃗ k| =<br />
2π<br />
λ .<br />
3d-Wellengleichung<br />
Kugelwelle<br />
∆ζ = 1 c 2 ∂ 2 ζ<br />
∂t 2<br />
∆ = ∂2<br />
∂x 2 + ∂2<br />
∂y 2 + ∂2<br />
∂z 2 (9.70)<br />
Abbildung 9.18: Kugelwelle<br />
ζ = A 1 sin(kr − ωt) (9.71)<br />
r<br />
ζ löst 3d-Wellengleichung (3. Semester). Durch jede konzentrische Kugelschale geht gleiche Leistung<br />
(Intensität × Fläche)<br />
e) Akustischer Dopplereffekt<br />
1<br />
2<br />
(P 0<br />
1<br />
r )2<br />
ϱc<br />
Schallquelle bewegt sich mit Geschwindigkeit u.<br />
⇒ Wellenlänge vor (nach) Quelle wird verkürzt (verlängert) auf<br />
4πr 2 = const. (9.72)<br />
λ = λ 0 ∓ uT T = 1 f = λ 0<br />
c<br />
(<br />
λ = λ 0 1 ∓ u )<br />
c<br />
(9.73)<br />
(9.74)<br />
⇒ gemessene Frequenz vor (hinter) Quelle<br />
Beobachter bewegt sich mit u.<br />
⇒ Schallgeschwindigkeit relativ zum Beobachter<br />
⇒ Frequenz<br />
f = c λ = c<br />
λ 0 (1 ∓ u c ) = f 1<br />
0<br />
1 ∓ u c<br />
(9.75)<br />
c ′ = c ± u (9.76)<br />
f = c ± u = f 0<br />
(1 ± u )<br />
λ 0 c<br />
(9.77)<br />
119
9 Mechanische Wellen<br />
f) Mach’scher Kegel<br />
Quelle bewegt sich schneller als die Schallgeschwindigkeit u > c.<br />
⇒ Schall wird in Kegel mit Öffnungswinkel α abgestrahlt.<br />
Abbildung 9.19: Mach’scher Kegel<br />
Mach-Zahl<br />
9.3 Wasserwelle<br />
Oberflächenwelle<br />
sin α = c u<br />
u<br />
c = 1<br />
sin α<br />
(9.78)<br />
(9.79)<br />
1. Schwerewelle: rücktreibende Kraft: Gravitation<br />
2. Kapillarwelle: rücktreibende Kraft: Oberflächenspannung σ<br />
Abbildung 9.20: Overflächenwelle<br />
c 2 =<br />
( gλ<br />
2π + 2πσ )<br />
tanh 2πh<br />
ϱλ λ<br />
(9.80)<br />
h Wassertiefe<br />
Näherung für Schwerewelle<br />
h > λ ⇒ c = sqrt gλ<br />
2π<br />
(9.81)<br />
Flaches Wasser (h ≪ λ)<br />
Dispersion: c hängt von λ ab<br />
tanh 2πh<br />
λ<br />
≈ 2πh<br />
λ<br />
⇒ c = √ gh (9.82)<br />
120
9.4 Frequenzspektrum<br />
Abbildung 9.21: Dispersion<br />
9.4 Frequenzspektrum<br />
Jede periodische Funktion lässt sich als Summe harmonischer Funktionen darstellen.<br />
räumlich<br />
zeitlich<br />
F (x) = a ∞ 0<br />
2 + ∑<br />
a n sin(nk 0 x + ϕ n ) (9.83)<br />
n=1<br />
˜F (t) = ã0<br />
∞<br />
2 + ∑<br />
ã n sin(nω 0 t + ˜ϕ n ) (9.84)<br />
n=1<br />
Periodische Funktion ⇒ diskrete Fourier-Transformation<br />
k 0 = 2π<br />
λ 0<br />
ω 0 = 2π<br />
T<br />
(9.85)<br />
Beispiel: Rechteckkurve<br />
F (x) = sin(k 0 x) + 1 3 2 sin(3k 0x) + 1 5 2 sin(5k 0x) − . . . (9.86)<br />
Beispiel: Sägezahnkurve<br />
F (x) = sin(k 0 x) + 1 2 sin(2k 0x) + 1 3 sin(3k 0x) + . . . (9.87)<br />
Übergang zu nicht periodischen Vorgängen<br />
Abbildung 9.22: Fouriertransformation<br />
121
9 Mechanische Wellen<br />
Ein einzlener Puls λ 0 → ∞, k 0 → 0.<br />
Fourierreihe → Fourierintegral<br />
Beispiel: endlicher Wellenzug<br />
Ortsraum/k-Raum:<br />
Abbildung 9.23: Nicht periodische Vorgänge<br />
Abbildung 9.24: Ortsraum<br />
Fourier-Transformtion (Integral)<br />
a(k) = c∆x sin ( 1<br />
2 (k − k p)∆x )<br />
1<br />
2 (k − k p)∆x<br />
(9.88)<br />
Abbildung 9.25: Fourier-Transformation<br />
Nullstellen bei<br />
kurzer Puls → breites Spektrum.<br />
1<br />
2 (k − k p)∆x = π (9.89)<br />
∆x ∝ 1<br />
∆k<br />
(9.90)<br />
Es gilt (in etwa, hängt von den Einhüllenden ab)<br />
Zeit- und Frequenzraum:<br />
Ersetze x → t, F (x) → ˜F (t), k → ω, a(k) → ã(ω).<br />
∆x∆k ≥ 2π (9.91)<br />
122
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit<br />
Zeitverlauf ↔ Frequenzspektrum<br />
Es gilt<br />
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit<br />
∆ω∆t ≥ 2π (9.92)<br />
a) Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten<br />
y(x, t) = y 1 + y 2 = sin(k 1 x − ω 1 t) + sin(k 2 x − ω 2 t) = (9.93)<br />
(<br />
k1 + k 2<br />
= 2 sin x − ω ) (<br />
1 + ω 2 k1 − k 2<br />
t cos x − ω )<br />
1 − ω 2<br />
t = (9.94)<br />
2 2<br />
2 2<br />
( )<br />
1<br />
= 2 sin(kx − ωt) cos<br />
2 (∆kx − ∆ωt) (9.95)<br />
k = k1+k2<br />
2<br />
, ω = ω1+ω2<br />
2<br />
, ∆k = k 1 − k 2 , ∆ω = ω 1 − ω 2 .<br />
2 sin(kx − ωt): laufende Welle mit Phasengeschwindigkeit<br />
c Ph = ω k<br />
(9.96)<br />
cos( 1 2 (∆kx − ∆ωt)): Modulation, breitet sich mit Gruppengeschwindigkeit v Gr aus. Position des Maximums<br />
der Einhüllenden ∆kx max − ∆ωt max = 0<br />
b) Allgemein<br />
Gruppengeschwindigkeit<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
c Gr = x max<br />
t max<br />
c Gr =<br />
= ∆ω<br />
∆k<br />
( ) dx<br />
= dω<br />
dt<br />
Gr<br />
dk<br />
c Ph = ω k<br />
(9.97)<br />
(9.98)<br />
(9.99)<br />
c Gr und c Ph sind unterschiedlich, wenn c Ph von ω abhängt (Dispersion). Es gilt<br />
c Gr = c Ph − λ dc Ph<br />
dλ<br />
(9.100)<br />
123
9 Mechanische Wellen<br />
124
Abbildungsverzeichnis<br />
1.1 Die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.1 kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.3 Pendel in der Tafelebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.5 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.6 Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.7 Weg-Zeit-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.8 Luftkissenfahrzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.9 1-dimensionale Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.10 Bewegte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.11 Freier Fall mit horiontaler Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.12 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.13 Betrag der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.14 Alternative Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.15 Vektorielle Schreibweise ⃗ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.16 Allgemeine krummlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
3.1 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.2 Hook’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.3 Schwerefeld der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.4 Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.5 Fallschirmspringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.6 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.7 Pendelschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.8 Periodische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.9 1. Keplersches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.10 2. Keplersches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.11 Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
4.1 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
4.2 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
4.3 Tangentialkomponente der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
4.4 Deformation einer Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
4.5 Potentielle Energie E pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4.6 Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4.7 Energieerhaltung (Feder) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
4.8 Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
4.9 E pot beim Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
4.10 r-E pot -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.11 Ausgedehnte Masseverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.12 Potential einer Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.13 E-r- und F -r-Diagramm einer Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
4.14 E-r- und F -r-Diagramm einer Vollkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
125
Abbildungsverzeichnis<br />
4.15 Konservative Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
4.16 Zwei wechselwirkende Körper ohne äußere Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.17 Gesamtimpuls für N Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.18 Wasserrakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
4.19 Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.20 Inelastischer Stoß im bewegten Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.21 Elastischer Stoß auf ruhende Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
4.22 3-stufiger Astroblaster aus Sicht eines mitbewegten Beobachters . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.23 F -t-Diagramm zum Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.24 Massenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.25 Transformation: Labor- Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
4.26 Wechselwirkungsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.27 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
4.28 Elastischer Stoß im Laborsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
4.29 Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 = m 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.30 Billardkugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.31 Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 ≪ m 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.32 Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.33 Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem, Newton-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
5.1 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
5.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
5.3 Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
5.4 Keplerscher Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
5.5 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
5.6 Effektive Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
5.7 Drehimpuls und Drehmoment bei 3 Massepunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
5.8 Linienflüchtigkeit der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
5.9 Allgemeine freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
5.10 Bestimmung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
5.11 Rotierende Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
5.12 Trägheitsmoment eines Hohlzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
5.13 Trägheitsmoment einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
5.14 Kugelkoordinaten R, θ, ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5.15 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.16 Rotation um Schwerpunktachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.17 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
5.18 Geschwindigkeit am Ende der Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.19 Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.20 Trägheitstensor Ĩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.21 Rotationssymmetrischer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
5.22 Hauptachsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
5.23 Kräftefreier (l.) und schwerer (r.) Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
5.24 oblater Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
5.25 Rastpol- und Nutationskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
5.26 schwerer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
5.27 schwerer Kreise (von oben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
5.28 Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.29 Kugel auf Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.30 Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
5.31 Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
5.32 Coriolis- und Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
5.33 Focaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
126
Abbildungsverzeichnis<br />
5.34 Foucaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.1 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
6.2 Kugel-Feder-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
6.3 σ-ε-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
6.4 Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
6.5 Scherung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
7.1 Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
7.2 Harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
7.3 Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
7.4 Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
7.5 Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
7.6 U-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
7.7 Exponentielles Abklingen der Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
7.8 Energie des gedämpften harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
7.9 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
7.10 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
7.11 A-ω-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
7.12 ¯P -ω-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
7.13 Gekoppeltes Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
7.14 Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
7.15 1. Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
7.16 2. Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
7.17 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
7.18 N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
7.19 Schiffschaukel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
8.1 Stangenpendel und E pot -ϕ-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
8.2 Trajektorie im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
8.3 E pot -x-Diagramm, c > 0, ε > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
8.4 E pot -x-Diagramm, c > 0, ε < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
8.5 E pot -x-Diagramm, c < 0, ε < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
8.6 Resonanzkurve des Duffing-Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
8.7 Gesrichene Geigen- oder Cello-Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
8.8 Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
9.1 Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
9.2 2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
9.3 Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
9.4 Amplitude zu festen Zeitpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
9.5 Amplitude an festem Ort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
9.6 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
9.7 Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
9.8 Stehende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
9.9 Reflexion am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
9.10 Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
9.11 Saite der Länge L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
9.12 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
9.13 Energietransport einer harmonischen Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
9.14 Dichtewelle in Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
9.15 Stehende Schallwelle (geschlossene Enden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
9.16 Stehende Schallwelle (offenes Ende) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
127
Abbildungsverzeichnis<br />
9.17 Ebene Welle im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
9.18 Kugelwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
9.19 Mach’scher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
9.20 Overflächenwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
9.21 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
9.22 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
9.23 Nicht periodische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
9.24 Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
9.25 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
128
Literaturverzeichnis<br />
[1] Demtröder<br />
[2] Anderes Buch<br />
129