Theoreitsche Physik (Schwerpunkt ... - Frank Reinhold
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Theoretische <strong>Physik</strong><br />
Fragenkatalog zur mündlichen Prüfung bei Prof. Strauch<br />
Examensvorbereitung<br />
<strong>Frank</strong> <strong>Reinhold</strong><br />
29. April 2012<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Mechanik 2<br />
1.1 Newton’sche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.1 Newton’sche Axiome . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.2 Erhaltungssätze und Kräfte . . . . . . . 2<br />
1.1.3 Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.4 Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2 Lagrangeformalismus . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2.1 Langrange-Bewegungsgleichung . . . . . 3<br />
1.2.2 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.3 Kinematik der Keplerbewegung . . . . . . . . . 3<br />
1.3.1 Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.3.2 Kepler’sche Gesetze . . . . . . . . . . . 3<br />
1.3.3 Zwei-Körper-Problem . . . . . . . . . . 4<br />
1.3.4 Lösung des Kepler-Problems . . . . . . 4<br />
1.4 Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
2 Quantenmechanik 5<br />
2.1 Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.1.1 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.1.2 Orts- und Impulsoperator . . . . . . . . 5<br />
2.1.3 Lösung der Schrödinger-Gleichung . . . 5<br />
2.1.4 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . 5<br />
2.1.5 Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung . . 5<br />
2.2 Schrödinger- und Heisenberg-Bild . . . . . . . . 5<br />
2.2.1 Schrödinger-Bild . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.2.2 Heisenberg-Bild (Matrizenmechanik) . . 5<br />
2.2.3 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.3 Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.3.1 Ortsoperator . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.3.2 Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.3.3 Übergang zur klassischen Mechanik . . . 6<br />
2.4 Freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.4.1 Problematik beim Freien Teilchen . . . 6<br />
2.4.2 Eigenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.4.3 Wellenpaket . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.5 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.5.1 Rekursionsmethode . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.5.2 Stufenoperator . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.5.3 Zeichnung der Wellenfunktionen und<br />
Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.6 Stückweise konstante Potentiale . . . . . . . . . 8<br />
2.6.1 Konstantes eindimensionales Potential . 8<br />
2.6.2 Die eindimensionale Potentialstufe . . . 9<br />
2.6.3 Potentialbarriere, Potentialtopf . . . . . 9<br />
2.6.4 Lösung der Schrödinger-Gleichung . . . 10<br />
2.6.5 Gebundene Eigenzustände im Potentialtopf:<br />
Energien . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.6.6 Dreidimensionaler Fall: Entartung . . . 10<br />
2.6.7 Endlich hoher Potentialtopf . . . . . . . 11<br />
2.7 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls 11<br />
2.7.1 <strong>Schwerpunkt</strong>s- und Relativbewegung . . 11<br />
2.7.2 Zentralpotential: Radial- und Winkelbewegung<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.7.3 Starrer Rotator . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.7.4 Eigenschaften des Drehimpulsoperators 12<br />
2.7.5 Radialbewegung im zentralsymmetrischen<br />
Potential . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.8 Teilchen im elektro-magnetischen Feld . . . . . 13<br />
2.8.1 Vektorpotential eines homogenen Magnetfeldes<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.8.2 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.9 Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.9.1 Quantenmechanische Betrachtung . . . 13<br />
2.9.2 Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . 13<br />
2.9.3 Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . 13<br />
2.9.4 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.9.5 Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.9.6 Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.10 Kontinuitätsgleichung in der Quantenmechanik 14<br />
2.11 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.11.1 Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.11.2 Unschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.11.3 Zustandsänderung durch Messung: Projektionspostulat<br />
. . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.12 Kanonischer und generalisierter Impuls . . . . . 14<br />
2.13 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.13.1 Zeitunabhängige Störungstheorie nach<br />
Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.13.2 Stark-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.13.3 Beispiel: Linearer Stark-Effekt am<br />
Wasserstoff-Atom . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.13.4 Variationsrechnung als Alternative . . . 16<br />
2.13.5 Beispiel: Wechselwirkung der Elektronen<br />
im Helium-Atom . . . . . . . . . . . 16<br />
2.14 Kohärente und inkohärente Zustände . . . . . . 16<br />
2.15 Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.15.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . 17<br />
2.15.2 Starrer Rotator . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.15.3 Zweiatomiges Molekül . . . . . . . . . . 17<br />
2.15.4 Berechnung der inneren Energie aus der<br />
kanonischen Zustandssumme . . . . . . 17<br />
2.16 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
3 Elektrodynamik 17<br />
3.1 Maxwell Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
3.1.1 Integrale Form . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
3.1.2 Differentielle Form . . . . . . . . . . . . 17<br />
3.1.3 Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne<br />
Ladungs- und Stromdichten . . . . . . . 17<br />
3.1.4 Grundgleichungen der Elektrostatik . . 17<br />
3.1.5 Maxwell-Hertz’sche Wellengleichungen . 17<br />
3.1.6 Oersted- und Faraday-Experiment . . . 17<br />
3.1.7 Anschauliche Erklärung . . . . . . . . . 18<br />
3.2 Mathematische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.2.1 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.2.2 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.3 Elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.3.1 Transversale Felder . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.3.2 Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.4 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
4 Thermodynamik 19<br />
4.1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . 19<br />
4.1.1 Anschauliche Formulierung . . . . . . . 19<br />
4.1.2 Mathematische Formulierung . . . . . . 19<br />
4.1.3 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1
4.2 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . 19<br />
4.2.1 Anschauliche Formulierung . . . . . . . 19<br />
4.2.2 Mathematische Formulierung . . . . . . 19<br />
4.2.3 Zusammenfassung der Aussagen des<br />
zweiten Hauptsatzes . . . . . . . . . . . 19<br />
4.3 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . 19<br />
4.3.1 Anschauliche Formulierung . . . . . . . 19<br />
4.3.2 Mathematische Formulierung . . . . . . 19<br />
4.4 Thermodynamische Potentiale . . . . . . . . . . 19<br />
4.4.1 Maxwell-Relationen . . . . . . . . . . . 19<br />
4.4.2 Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
4.4.3 Freie Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
4.4.4 Freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
4.4.5 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
4.5 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
4.6 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
4.7 Wärme, Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . 20<br />
4.8 Boltzmann-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1 Mechanik<br />
1.1 Newton’sche Mechanik<br />
1.1.1 Newton’sche Axiome<br />
1. Newton’sches Axiom (Trägheitssatz) Ein Körper<br />
verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation,<br />
sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung<br />
seines Zustands gezwungen wird.<br />
Bzw.: In einem Inertialsystem ist der Impuls eines freien Massenpunktes,<br />
d. h. eines Massenpunktes, auf den keine Kraft<br />
wirkt, erhalten.<br />
⃗F = 0 ⇔ ⃗p(t) = const . (1)<br />
2. Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip) Die<br />
Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung<br />
der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der<br />
Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft<br />
wirkt.<br />
Bzw.: In einem Inertialsystem wird die Änderung des Impulses<br />
eines Massenpunktes durch eine Kraft ⃗ F hervorgerufen, sodass<br />
gilt:<br />
⃗F = d⃗p<br />
dt . (2)<br />
3. Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip) Kräfte<br />
treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen<br />
Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große,<br />
aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A<br />
(reactio).<br />
Bzw.: Für die Kräfte ⃗ F ij und ⃗ F ji , die zwei Massenpunkte i<br />
und j aufeinander ausüben, gilt<br />
⃗F ij = − ⃗ F ji . (3)<br />
Somit sind die Kräfte dem Betrage nach gleich groß und einander<br />
entgegengesetzt gerichtet (Actio = Reactio).<br />
4. Newton’sches Axiom (Superpositionsprinzip) Wirken<br />
auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere<br />
Kräfe ⃗ F 1 , . . . , ⃗ F n so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden<br />
Kraft<br />
auf.<br />
⃗F =<br />
n∑<br />
⃗F i (4)<br />
i=1<br />
Wer kreist um wen? Bei der Bewegung der Erde um<br />
die Sonne kreisen beide Himmelskörper um den gemeinsamen<br />
<strong>Schwerpunkt</strong>. Das Inertialsystem im 1. Axiom ist also<br />
das <strong>Schwerpunkt</strong>system.<br />
1.1.2 Erhaltungssätze und Kräfte<br />
Impulserhaltung<br />
Falls Kraft verschwindet<br />
Die Impulserhaltung folgt dann aus<br />
⃗F = 0. (5)<br />
d⃗p<br />
dt = d dt (m⃗v) = m⃗a = ⃗ F = 0. (6)<br />
Drehimpulserhaltung Falls Kraft zentral, also nur vom<br />
Betrag des Richtungsvektors abhängt und in dessen Richtung<br />
2
Kanonische Impulse<br />
zeigt<br />
0 = d Beweis. Da die Gravitationskraft eine Zentralkraft ist, gilt die<br />
∂L ∂L<br />
−<br />
dt ∂ ˙φ ∂φ . (20) Drehimpulserhaltung L = const . und damit lässt sich der<br />
Flächensatz beweisen.<br />
⃗F (⃗r) = F (r) · ⃗e r. (7)<br />
p x = ∂L<br />
∂ẋ<br />
(21)<br />
Beweis. Die Drehimpulserhaltung folgt dann aus<br />
n∑<br />
H = p xj ẋ j − L. (22)<br />
dL<br />
⃗<br />
dt = d (<br />
m⃗r × ˙⃗r<br />
) ( )<br />
= m ˙⃗r × ˙⃗r + ⃗r × ¨⃗r = ⃗r × F ⃗ j=1<br />
= 0. (8)<br />
dt<br />
Leistung<br />
Energieerhaltung Falls Kraft konservativ, also<br />
P = dW F<br />
= ⃗ d⃗r<br />
= F ⃗ · ˙⃗r. dt dt<br />
(23)<br />
⃗∇ × F ⃗ = 0. (9)<br />
Bzw. F ⃗ Effektives Potential Ein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn,<br />
wenn die Energie gleich dem Minimum des effektiven<br />
(⃗x) ist als Gradient eines skalaren Feldes, dem Potential<br />
V (⃗x), darstellbar, und es gilt<br />
Potentials<br />
⃗F (⃗x) = −∇V ⃗ (⃗x). (10)<br />
V eff (⃗r) = E(⃗r) − T (⃗r) (24)<br />
Beweis. Die Energieerhaltung folgt dann aus<br />
ist.<br />
E = 1 2 m⃗v2 + V (r), (11)<br />
1.2.2 Erhaltungssätze<br />
dE<br />
dt = m¨⃗r · ˙⃗r dV (r)<br />
+ = m¨⃗r · ˙⃗r dV (r) d⃗r<br />
+<br />
dt<br />
d⃗r dt =<br />
Zyklische Koordinaten Ist φ eine zyklische Koordinate,<br />
= F ⃗ (⃗r) · ˙⃗r + ∇V (r) · ˙⃗r = F ⃗ (⃗r) · ˙⃗r − F ⃗ (⃗r) · ˙⃗r = 0. (12) d. h. dL/dφ = 0, so ist die zugehörige Drehimpulskomponente<br />
1.1.3 Scheinkräfte<br />
L z erhalten.<br />
Erhaltung der Hamiltonfunktion Ist die Lagrangefunktion<br />
nicht explizit zeitabhängig, so ist die Hamiltonfunktion<br />
Bei Bewegungen im Nicht-Inertialsystem gilt<br />
H = ∑ ∂L<br />
˙q j − L (25)<br />
m¨⃗r = − ∂V<br />
∂⃗r − m¨⃗r 0 − m ˙⃗ω<br />
∂ ˙q<br />
j j<br />
× ⃗r − 2m(⃗ω × ⃗v) − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r).<br />
(13) erhalten.<br />
Dabei ist<br />
Trägheitskraft der Translation: − m¨⃗r 0 , (14)<br />
Energieerhaltung Ist die kinetische Energie quadratisch in<br />
den Geschwindigkeiten, bzw. die Zwangsbedingung skleronom,<br />
Trähgheitskraft bzgl. Rotation: − m ˙⃗ω × ⃗r, (15) d. h. die Zwangsbedingung hängt nicht explizit von der Zeit<br />
ab, so ist die Hamiltonfunktion gleich der Energie.<br />
Corioliskraft − 2m(⃗ω × ⃗v), (16)<br />
Zentrifugalkraft − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r). (17)<br />
1.3 Kinematik der Keplerbewegung<br />
1.1.4 Trägheitstensor<br />
1.3.1 Gravitationskraft<br />
Der Trägheitstensor ist definiert als<br />
θ jk = ∑ ( ) Zwischen zwei Punktmassen m 1 und m 2 herrscht die Gravitationskraft.<br />
m i ⃗r<br />
2<br />
i δ jk − r ij r ik . (18)<br />
i<br />
⃗F G = −∇V ⃗ G (|⃗x|), V G (|⃗x|) = V G (r) = −G m 1m 2<br />
. (26)<br />
r<br />
Steiner’scher Satz Für die Verschiebung des<br />
Trägheitstensors mit Hilfe des Steiner’schen Satzes gilt<br />
Diese ist eine Zentralkraft.<br />
θ ij ′ = θ ij + M ( δ ij ⃗a 2 )<br />
− a i a j . (19)<br />
1.2 Lagrangeformalismus<br />
1.3.2 Kepler’sche Gesetze<br />
1. Kepler’sches Gesetz (Ellipsensatz) Jeder Planet unseres<br />
Sonnensystems bewegt sich auf einer Ellipsenbahn, in<br />
Konservative Kräfte sind vorausgesetzt, wenn man mit L =<br />
T − V arbeiten will. Ansonsten konstruiert man ein verallgemeinertes<br />
deren einem Brennpunkt die Sonne steht.<br />
Potential und bringt die Kraft in die Bewegungs-<br />
gleichung ein.<br />
2. Kepler’sches Gesetz (Flächensatz) In gleichen Zeiten<br />
überstreicht die gedachte Verbindungslinie zwischen Sonne<br />
1.2.1 Langrange-Bewegungsgleichung<br />
und Planet gleiche Flächen.<br />
Bewegungsgleichungen<br />
3
Löse (39) nach ṙ = Die Fläche eines infinitesimalen Sektors (also ist r dort zeitlich<br />
konstant) ist<br />
dr<br />
dt<br />
V eff (r) =<br />
L2<br />
2mr 2 + V (r). (40)<br />
dA = 1 2 r2 · dϕ, (27) Die Bewegungsgleichung für ϕ(t) ergibt sich aus<br />
2 dA dϕ<br />
= r2<br />
dt dt = r2 ω = L = const . (28)<br />
dϕ<br />
m dr = dϕ dt<br />
dt dr = ˙ϕ 1 ṙ =<br />
1.4 Relativitätstheorie<br />
Abbildung 1: Die Kepler’schen Gesetze:<br />
(l.)1. Kepler’sches Gesetz: Der Ellipsensatz<br />
(r.)2. Kepler’sches Gesetz: Der Flächensatz<br />
3. Kepler’sches Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten<br />
T 1 , T 2 verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen<br />
der Bahnen a 1 , a 2 zweier Planeten<br />
( ) 2 ( ) 3 T1 a1<br />
= · M + m 2<br />
.<br />
T 2 a 2 M + m 1<br />
(29)<br />
Beweis. Für Kreisbeweggungen gilt F G = F Z , also<br />
G m 1m 2<br />
r 2 v 2<br />
= m 1<br />
r , (30)<br />
⇒ Gm 2<br />
= (2πr)2<br />
r T 2 = 4π2 r 2<br />
T 2 , (31)<br />
⇒ T 2<br />
r 3 = 4π2 .<br />
Gm 2<br />
(32)<br />
1.3.3 Zwei-Körper-Problem<br />
Im folgenden werden die Gleichungen zunächst im Allgemeinen<br />
Fall aufgestellt und schließlich für den Fall m 1 = m 2 = m<br />
näher betrachtet.<br />
<strong>Schwerpunkt</strong>masse M = m 1 + m 2 = 2m, (33)<br />
Reduzierte Masse µ = m 1m 2<br />
= m m 1 + m 2 2 , (34)<br />
<strong>Schwerpunkt</strong>skoordinaten R ⃗<br />
⃗r 1 − ⃗r 2 = ,<br />
2<br />
(35)<br />
Relativkoordinaten ⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 2 . (36)<br />
Und damit gilt für die beiden einzelnen Koordinaten<br />
⃗r 1 = R ⃗ + ⃗r/2, (37)<br />
⃗r 2 = R ⃗ − ⃗r/2. (38)<br />
1.3.4 Lösung des Kepler-Problems<br />
Es gelten die Energie- und Drehimpulserhaltung<br />
E = T + V = 1 (<br />
2 m ˙⃗r 2 + r 2 ˙ϕ 2) + V (r) =<br />
= 1 2 m ˙⃗r 2 + L2 + V (r),<br />
2mr2 (39)<br />
auf. Separation der Variablen löst die<br />
Differentialgleichung und liefert die Bewegungsgleichung für<br />
⃗r(t).<br />
L 1<br />
mr 2 ṙ . (41)<br />
4
2 Quantenmechanik<br />
2.1 Schrödinger-Gleichung<br />
Die (zeitunabhängige) Schrödinger-Gleichung<br />
Ĥψ(r, t) = Êψ(r, t) (42)<br />
ist eine heuristische Wellengleichung für nicht-relativistische<br />
Teilchen.<br />
2.1.1 Hamilton-Operator<br />
Der Hamilton-Operator Ĥ entsteht aus der klassischen<br />
Hamilton-Funktion H(r, p, t), typischerweise von der Form<br />
Ĥ = ˆπ2<br />
[c]<br />
+ V (r), V (r) = qΦ, ˆπ = ˆp − q<br />
2m c A (43)<br />
(Masse m, Ladung q), indem man die Variablen Ort und Zeit<br />
durch Operatoren ersetzt.<br />
2.1.2 Orts- und Impulsoperator<br />
Die Ersetzung ist (vorerst, in der Ortsdarstellung)<br />
ˆr → r, ˆp → −i∇, Ê → i∂ t. (44)<br />
Kanonische Vertauschungsrelation Für den Orts- und<br />
den Impulsoperator gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen<br />
[x i , p j ] = iδ ij , [x i , x j ] = [p i , p j ] = 0, i, j ∈ {1, 2, 3} .<br />
(45)<br />
2.1.5 Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung<br />
Jeder Zustand |φ〉 lässt sich als Summe von Eigenzuständen<br />
|ψ j 〉 schreiben<br />
|φ〉 =<br />
k∑<br />
a j |ψ j 〉. (52)<br />
j=1<br />
Für Eigenzustände hat die Zeitentwicklung die einfache Form<br />
(<br />
|ψ j (t)〉 = exp − iE )<br />
jt<br />
· |ψ j 〉 (53)<br />
<br />
|φ(t)〉 =<br />
k∑<br />
a j · exp<br />
j=1<br />
(<br />
− iE jt<br />
<br />
)<br />
· |ψ j 〉. (54)<br />
2.2 Schrödinger- und Heisenberg-Bild<br />
2.2.1 Schrödinger-Bild<br />
Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für<br />
den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Es gelten folgenden<br />
Annahmen:<br />
1. Zustände sind im allgemeinen zeitabhängig: |ψ, t〉 =<br />
|ψ(t)〉.<br />
2. Operatoren können höchstens explizit von der Zeit<br />
abhängen: dÂ<br />
dt = ∂ . Einzige Ausnahme ist der Zeitentwicklungsoperator.<br />
∂t<br />
3. Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die<br />
Schrödinger-Gleichung<br />
i d |ψ, t〉 = Ĥ |ψ, t〉 . (55)<br />
dt<br />
2.1.3 Lösung der Schrödinger-Gleichung<br />
Die Wellenfunktion ψ(r, t) als Lösung der Schrödinger-<br />
Gleichung ist ein Skalarfeld, analog zum Skalarfeld des elektrischen<br />
Skalarpotentials Φ(r).<br />
Die Kopenhagener Deutung der Wellenfunktion ψ(r, t) ist die<br />
einer Wahrscheinlichkeitsamplitude.<br />
Zeitentwicklungsoperator Der zeitabhängige Zustand<br />
|ψ(t)〉 ist gegeben durch den Zustand |ψ(t 0 )〉 zu einem festen<br />
Zeitpunkt t 0 und den unitären Zeitentwicklungsoperator<br />
Û(t, t 0 )<br />
|ψ(t)〉 = Û(t, t 0) |ψ(t 0 )〉 . (56)<br />
Normierung Die physikalische Randbedingung ist die Normierung<br />
der Wahrscheinlichkeitsaplitude<br />
∫<br />
|ψ(r, t)| 2 d 3 r = 1. (46)<br />
R 3<br />
2.1.4 Kontinuitätsgleichung<br />
Die Wahrscheinlichkeitsdichte n(r, t) gehorcht einer Kontinuitätsgleichung<br />
Wellenpaket<br />
ṅ + ∇ · j = 0, (47)<br />
n(r, t) = |ψ(r, t)| 2 , (48)<br />
j(r, t) = 1<br />
2m (ψ∗ ˆπψ + ψ(ˆπψ) ∗ ) . (49)<br />
Ĥφ n(r) = E nφ n(r), (50)<br />
ψ(r, t) = ∑∫ n<br />
A nψ n(r, t), ψ n(r, t) = φ n(r)e −iEnt/ . (51)<br />
2.2.2 Heisenberg-Bild (Matrizenmechanik)<br />
Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für<br />
den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Es gelten folgenden<br />
Annahmen:<br />
1. Zustände sind nicht zeitabhängig: |ψ〉 = const.<br />
2. Operatoren sind zeitabhängig: Â = Â(t).<br />
3. Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenberg’sche<br />
Bewegungsgleichung<br />
2.2.3 Erwartungswert<br />
d<br />
dt Â(t) = ∂ ∂t Â(t) + i [Ĥ(t), Â(t)]<br />
. (57)<br />
<br />
Der Erwartungswert 〈A〉 des Operators  muss in allen Bildern<br />
gleich sein. Dazu bezeichnen wir mit ÂH den Operator<br />
im Heisenberg-Bild und mit ÂS den Operator im Schrödinger-<br />
Bild. Es gilt<br />
 H (t) = Û † (t)ÂS(t)Û(t), (58) 5
und damit auch<br />
Hier wurde die Kraft F (x) als negativer Gradient des Potentials<br />
und damit<br />
ψ n(r, t) = √ 1 e i(knr−ωnt) , k α,nα = π n α, n α ∈ N 0 .<br />
m d2<br />
V<br />
dt 2 〈x〉 = − 〈∇V (x)〉 = 〈F (x)〉 . (67) L α<br />
(79)<br />
〈<br />
〉<br />
eingesetzt. Die Erwartungswerte der Orts- und Impuls-<br />
〈A〉 = ψ S (t)|ÂS(t)|ψ S (t) =<br />
operatoren genügen also aus der Newtonschen Mechanik gewohnten<br />
Gleichungen, wobei wir allerdings statt des zu erwar-<br />
〈<br />
〉<br />
= ψ S (t)|Û(t)Û † (t)ÂS(t)Û(t)Û † (t)|ψ S (t) =<br />
tenden F (〈x〉) den Ausdruck 〈F (x)〉 vorfinden. Das leitet zur<br />
〉<br />
=<br />
〈Û † (t)ψ S (t)|Û † (t)ÂS(t)Û(t)|Û † sogenannten klassischen Näherung über.<br />
(t)ψ S (t) , (59)<br />
〈<br />
〉<br />
〈A〉 = ψ S (0)|Û † (t)ÂS(t)Û(t)|ψ S(0) =<br />
〉<br />
=<br />
〈ψ H |ÂH(t)|ψ H . (60)<br />
2.4 Freies Teilchen<br />
Hamiltonfunktion Der Hamilton-Operator für ein freies<br />
Teilchen (also V = 0) lautet<br />
2.3 Ehrenfest-Theorem<br />
Ĥ = ˆp2<br />
Das Ehrenfest-Theorem, stellt innerhalb der <strong>Physik</strong> einen<br />
2m = − 2 ∆.<br />
2m<br />
(68)<br />
Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der<br />
Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen<br />
die klassischen Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte<br />
Schrödinger-Gleichung Damit ergibt sich für die<br />
der Quantenmechanik gelten, d. h. die klassische Me-<br />
chanik ist also in gewissem Maße in der Quantenmechanik<br />
Schrödinger-Gleichung<br />
enthalten (Korrespondenzprinzip).<br />
− 2<br />
2m ∇2 φ = Eφ, (69)<br />
Mathematische Form Die vollständige Zeitableitung des die mit dem Ansatz<br />
Erwartungswertes eines quantenmechanischen Operators O<br />
steht mit dem Kommutator dieses Operators und des<br />
φ(r) = Ae ikr (70)<br />
Hamilton-Operators H wie folgt in Zusammenhang<br />
gelöst werden kann.<br />
d<br />
dt 〈O〉 = i 〈 〉 ∂O<br />
〈[H, O]〉 + . (61)<br />
∂t<br />
Eigenlösungen Die Eigenlösungen (d. h. die Eigenwerte<br />
2.3.1 Ortsoperator<br />
und Eigenfunktionen) des freien Teilchens sind also<br />
Da der Ortsoperator nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit<br />
E k = 2 k 2<br />
2m = ω k, (71)<br />
dem Ehrenfest-Theorem für dessen Zeitentwicklung<br />
1<br />
d<br />
dt 〈x〉 = i 〈[H, x]〉 = i 〈[ p 2<br />
]〉<br />
φ k (r) =<br />
2m + V (x), x (2π) 3/2 eikr , (72)<br />
=<br />
1<br />
= i 1 〈[<br />
p 2 , x ]〉 = i ψ k (r, t) =<br />
1<br />
(2π) 3/2 ei(kr−ωkt) . (73)<br />
〈p[p, x] + [p, x]p〉 =<br />
2m<br />
2m<br />
= i 1<br />
2m 〈p · (−i) + (−i) · p〉 = 1 〈p〉 .<br />
m<br />
(62) 2.4.1 Problematik beim Freien Teilchen<br />
2.3.2 Impulsoperator<br />
Bei E k handelt sich um einen uneigentlichen Zustand. Es gibt<br />
keine Wahl von A ≠ 0, die zu<br />
∫<br />
Für den Impulsoperator, der ebenfalls nicht explizit<br />
zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem<br />
|φ k (r)| 2 d 3 r = 1 (74)<br />
d<br />
dt 〈p〉 = i 〈[ p 2<br />
]〉<br />
2m + V (x), p = i führt, weil<br />
〈[V (x), p]〉 . (63)<br />
∫<br />
|φ<br />
Mit p = −i∇ gilt weiterhin<br />
k (r)|<br />
∫R 2 d 3 r = |A| 2 d 3 r (75)<br />
3 R 3<br />
[V, −i∇] ψ = −iV ∇ψ − (−i∇(V ψ)) =<br />
= −iV ∇ψ + i(∇V )ψ + iV (∇ψ) =<br />
= i(∇V )ψ, (64)<br />
divergiert. Abhilfe schafft die δ-Normierung<br />
∫<br />
Orthogonalität: d 3 r φ ∗<br />
R 3 k (r)φ k ′(r) = δ(k − k′ ), (76)<br />
∫<br />
und damit gilt<br />
Vollständigkeit: d 3 r φ k (r)φ ∗<br />
R 3 k (r′ ) = δ(r − r ′ ). (77)<br />
d<br />
dt 〈p〉 = i 〈i(∇V (x))〉 = − 〈∇V (x)〉 .<br />
<br />
(65)<br />
2.3.3 Übergang zur klassischen Mechanik<br />
2.4.2 Eigenfunktion<br />
Mit δ-Normierung:<br />
Mit den beiden vorhergehenden Ergebnissen gilt<br />
1<br />
ψ k (r, t) =<br />
m d d<br />
(2π) 3/2 ei(kr−ωkt) . (78)<br />
〈x〉 = 〈p〉 ,<br />
〈p〉 = − 〈∇V (x)〉 , (66)<br />
dt dt Im Kasten V = L xL yL z:<br />
6
Mit periodischen Randbedingungen, V = L xL yL z:<br />
ψ n(r, t) = 1 √<br />
V<br />
e i(knr−ωnt) ,<br />
k α,nα = 2π<br />
L α<br />
n α, n α ∈ Z.<br />
(80)<br />
Diskrete Energieeigenwerte Bei periodischen Randbedingungen<br />
erhält man diskrete Energieeigenwerte, s. o.<br />
2.4.3 Wellenpaket<br />
Die Beschreibung eines freien Teilchens durch periodische<br />
Randbedingungen oder durch den Einschluss in ein endliches<br />
Volumen V macht die Rechnung zwar bequem, aber weder ein<br />
Kasten mit undurchdringlichen Wänden, noch periodischen<br />
Randbedingungen scheint einem realen freien Teilchen angemessen.<br />
Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, ist mit jeder Eigenlösung<br />
ψ k der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung auch<br />
die Überlagerung dieser Eigenlösungen eine Lösung<br />
∫<br />
ψ(r, t) = d 3 k A(k)ψ k (r, t) =<br />
∫<br />
1<br />
=<br />
d 3 k A(k)e i(kr−ωkt) . (81)<br />
(2π) 3/2<br />
φ(r) und A(k) sind Fourier-Transformierte von einander. Das<br />
entspricht einer sog. Darstellung im Ortsraum bzw. im Impulsraum.<br />
aus dem Potentialminimum r 0 kann man um r 0 entwickeln<br />
V (r) = V (r 0 ) + (r − r 0 )V ′ (r 0 ) + 1 2 (r − r 0) 2 V ′′ (r 0 ) + . . .<br />
(87)<br />
Der Energie-Nullpunkt kann beliebig gewählt werden V (r 0 ) =<br />
0. In der Minimumslage r 0 verschwindet die Kraft V ′ (r 0 ) =<br />
0. Der Entwicklungskoeffizient des harmonischen Terms wird<br />
oft als Kraftkonstante V ′′ (r 0 ) = k beziechnet. Die höheren,<br />
anharmonischen Terme werden gegenüber dem harmonischen<br />
Term vernachlässigt. Wählt man schließlich noch r 0 = 0, d. h.<br />
x = r − r 0 , setzt, ist die potentielle Energie eine um den<br />
Urpsrung symmetrische Parabel<br />
V (x) = 1 2 kx2 . (88)<br />
Abbildung 2: (l.) Interatomares Molekül-Potential (ausgezogen)<br />
und Näherung durch ein harmonisches Potential<br />
(gestrichelt),<br />
(r.) Harmonisches Potential in der Standard-<br />
Konfiguration<br />
Eindimensionales Gauß’sches Wellenpaket Ein Beispiel<br />
für ein Wellenpaket ist das Gauß’sche Wellenpaket, bei<br />
welchem die Wellenvektoren eine Gauß-förmige Verteilung um<br />
den Wellenvektor k 0 haben<br />
√ a<br />
A(k) = √π e −(k−k 0 )2 a 2 /2 , (82)<br />
φ(x) =<br />
1<br />
√<br />
a<br />
√ π<br />
e −x2 /2a 2 e ik 0x . (83)<br />
Dreidimensionales Gauß’sches Wellenpaket Weil der<br />
Hamilton-Operator des freien Teilchens im R 3 als Summe geschrieben<br />
werden kann<br />
H = H x + H y + H z =<br />
3∑<br />
α=1<br />
p 2 α<br />
2m<br />
(84)<br />
mit H α wie im Fall des freien Teilchens im R 1 , kann man die<br />
Eigenfunktionen im R 3 als Produkt der Eigenfunktionen im<br />
R 1 schreiben<br />
A(k) =<br />
3∏<br />
( ) 3/2<br />
a<br />
A α(k α) = √π e −(k−k 0 )2 a 2 /2 , (85)<br />
α=1<br />
3∏<br />
1<br />
φ(r) = φ α(α) =<br />
(a √ π) 3/2 e−r2 /2a 2 e ik0r . (86)<br />
α=1<br />
Bemerkung 2.1. Im Folgenden verzichten wir auf die spezielle<br />
Kennzeichnung der Operatoren und schreiben so etwa für<br />
den Hamilton-Operator H statt Ĥ.<br />
2.5 Harmonischer Oszillator<br />
Der harmonische Oszillator ist ein idealisiertes System für verschiedene<br />
Anwendungen. Im Beispiel eines zweiatomigen Moleküls<br />
ist die potentielle Energie V (r) eine Funktion des Abstandes<br />
r der beiden Atome, und bei kleinen Auslenkungen<br />
Hamiltonfunktion Der Hamilton-Operator für ein Teilchen<br />
in einem harmonischen Potential ist<br />
H = p2<br />
2m + 1 2 kx2 = p2<br />
2m + mω2 x 2<br />
. (89)<br />
2<br />
Schrödinger-Gleichung Damit ergibt sich für die<br />
Schrödinger-Gleichung<br />
(− 2 d 2<br />
2m dx 2 + 1 )<br />
2 kx2 φ(x) = Eφ(x). (90)<br />
Es ist geschickt, die Schrödinger-Gleichung durch eine Koordinatentransformation<br />
ε =<br />
E<br />
√ mω0<br />
, ξ = αx, α =<br />
(91)<br />
ω 0 <br />
auf die folgende Form zu bringen<br />
2.5.1 Rekursionsmethode<br />
( d 2<br />
)<br />
dξ 2 − ξ2 + 2ε ˜φ(ξ) = 0. (92)<br />
Die Lösung des Eigenwertproblems mit der Rekursionsmethode<br />
besteht aus mehreren Schritten:<br />
1. Bestimmung des asymptotischen Verhaltens φ as(x) am<br />
Rand des Definitionsbereichs. Die Wellenfunktion φ(x)<br />
lässt sich dann in der Form φ(x) = φ as(x)φ P (x) schreiben.<br />
2. Potenzreihenentwicklung von φ P (x) = ∑ ν cνxν .<br />
3. Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Potenzreihe.<br />
Im Allgemeinen wird die Potenzreihe, abhängig von der<br />
Energie E bzw ε als Parameter, divergieren.<br />
4. Die Normierbarkeitsbedingung erfordert das Abbrechen<br />
der Potenzreihe nach dem Term mit ν = n (für verschiedene<br />
n) und macht aus der Potenzreihe ein Polynom. Die<br />
7
Abbruchbedingung stellt sich als eine Bedingung an die<br />
Energie E bzw. ε dar.<br />
Die Eigenwerte sind dann<br />
ε n = n + 1 2 , En = ω 0<br />
(<br />
n + 1 )<br />
, n ∈ N 0 , (93)<br />
2<br />
und die Eigenfunktionen sind<br />
√ α<br />
φ n(x) =<br />
2 n n! √ π Hn(αx)e−α2 x 2 /2 , (94)<br />
mit den Hermite-Polynomen<br />
H n(ξ) =<br />
n∑<br />
ν=0<br />
2.5.2 Stufenoperator<br />
a νξ ν , a ν+2 = a ν<br />
2(ν − n)<br />
(ν + 1)(ν + 2) . (95)<br />
Mit den bereits angesprochenen Koordinatentransformationen<br />
kann man den Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator<br />
auch folgendermaßen darstellen<br />
H = p2<br />
2m + kx2<br />
2 = − 2<br />
= ω 0<br />
2<br />
)<br />
(ξ 2 − d2<br />
dξ 2 = ω 0<br />
2<br />
d 2<br />
2m dx 2 + mω2 0 x2 =<br />
2<br />
[(<br />
ξ − d dξ<br />
) (<br />
ξ + d ) ]<br />
+ 1 .<br />
dξ<br />
(96)<br />
Nun führt man geschickterweise neue Operatoren, dei sog.<br />
Leiter-, bzw. Stufenoperatoren ein<br />
a = √ 1 (<br />
ξ + d ) √ √<br />
mω0<br />
=<br />
2 dξ 2 · x + i 1<br />
· p, (97)<br />
2mω 0<br />
a † = √ 1 (<br />
ξ − d ) √ √<br />
mω0<br />
=<br />
2 dξ 2 · x − i 1<br />
· p. (98)<br />
2mω 0<br />
Rückkehr zu den ursprünglichen Operatoren Die Umkehrung<br />
ist<br />
√<br />
<br />
(<br />
x =<br />
a + a †) , (99)<br />
2mω 0<br />
√<br />
mω0<br />
(<br />
p = −i a − a †) . (100)<br />
2<br />
Kommutator-Relation Die Operatoren a und a † erfüllen<br />
die Kommutator-Relation<br />
[<br />
a, a †] = 1 (101)<br />
Hamilton-Operator Der Hamilton-Operator nimmt mit<br />
den Stufenoperatoren die folgende Form an<br />
(<br />
H = ω 0 a † a + 1 )<br />
. (102)<br />
2<br />
Anwednung: Erwartungswerte Die Verwendung der<br />
Stufenoperatoren erleichtert die Berechnung von Erwartungswerten<br />
ungemein.<br />
〈<br />
x<br />
2 〉 n = 〈 φ n|x 2 〉<br />
|φ n =<br />
= 〈<br />
φ n|<br />
(a + a †) 〉<br />
2<br />
|φn =<br />
2mω 0<br />
= 〈<br />
〉<br />
φ n|a 2 + aa † + a † a + (a † ) 2 |φ n =<br />
2mω 0<br />
= [0 + (n + 1) + n + 0] =<br />
2mω 0<br />
= (2n + 1). (107)<br />
2mω 0<br />
〈<br />
p<br />
2 〉 n = mω 0<br />
(2n + 1) = (mω 0 ) 2 〈 x 2〉 2<br />
n . (108)<br />
2.5.3 Zeichnung der Wellenfunktionen und Energien<br />
Die Wellenfunktion φ n hat n Knoten. Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit<br />
kommt hier als Grenzfall für hohe<br />
Quantenzahlen heraus und stellt ein Beispiel für das Korrespondenzprinzip<br />
dar.<br />
Abbildung 3: (l.) Potential, Energieniveaus und Wellenfunktionen<br />
der niederenergetischen Zustände des<br />
harmonischen Oszillators,<br />
(r.) Klassische (gestrichelte) und quantenmechanische<br />
(ausgezogene) Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte<br />
des Zustandes mit der Quantenzahl<br />
n = 10<br />
Im quantenmechanischen Grundzustand ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit<br />
Gaußförmig verteilt. Das Maximum ist bei<br />
x = 0 (wo klassisch das Minimum ist) und nicht an den klassischen<br />
Umkehrpunkten.<br />
Auch in den klassisch verbotenen Gebieten x mit E < V (x),<br />
also außerhalb der klassischen Umkehrpunkte, ist die quantenmechanische<br />
Aufenthaltswahrscheinlichkeit ungleich Null.<br />
2.6 Stückweise konstante Potentiale<br />
2.6.1 Konstantes eindimensionales Potential<br />
Für die Stufenope-<br />
Eigenschaften der Leiteroperatoren<br />
ratoren gelten folgenden Gleichungen<br />
aφ n = √ nφ n−1 , (103)<br />
aφ 0 = 0, (104)<br />
a † φ n = √ n + 1φ n+1 , (105)<br />
φ n = 1 √<br />
n!<br />
(a †) n<br />
φ0 . (106)<br />
Abbildung 4: Ein stückweise stetiges (eindimensionales) Potential<br />
8
Schrödinger-Gleichung Die Eigenlösungen der<br />
Schrödinger-Gleichung<br />
p 2<br />
2m φ(x) = (E − V i)φ(x), x ∈ X i (109)<br />
für konstante Potentiale sind ebene Wellen<br />
φ i (x) = a i e ikix + b i e −ikix , x ∈ X i (110)<br />
⎧√ ⎨ 2m<br />
<br />
k i =<br />
2 (E − V i ) E > V i<br />
√ . (111)<br />
⎩iκ i = i 2m<br />
2 (V i − E) E < V i<br />
Wenn die Energie E kleiner ist als das Minimum des Potentials<br />
für asymptotisch große Abstände (d. h. V i < E < V ∞ und<br />
V i < E < V −∞ für mindestens ein i im eindimensionalen<br />
Fall), erhält man eigentliche Zustände mit diskreten, aus der<br />
Normierbarkeitsbedingung bestimmten Eigenwerten E.<br />
Wenn E größer ist als eines der asymptotischen V i (d. h. E ><br />
V ∞ oder E > V −∞ im eindimensionalen Fall), dann erhält<br />
man uneigentliche Zustände mit kontinuierlichen Werten E.<br />
Liegt die Stufe bei x = a statt bei x = 0, so setzt man<br />
( ) ( a1 a1 e<br />
→<br />
ik ) ( ) (<br />
1a a2 a2 e<br />
b 1 b 1 e −ik , →<br />
ik )<br />
2a<br />
1a b 2 b 2 e −ik . (117)<br />
2a<br />
Man unterscheidet zwei Fälle:<br />
V 1 < V 2 < E ⇒ k 1 und k 2 reell,<br />
V 1 < E < V 2 ⇒ k 1 reell und k 2 imaginär.<br />
Streuung (eindimensional) Der erste Fall ist V 1 < V 2 <<br />
E. Man erhält mit b 2 = 0 und in Abhängigkeit der vorgegebenen<br />
Amplitude a 1<br />
a 2 = 2k 1<br />
k 1 + k 2<br />
a 1 , b 1 = k 1 − k 2<br />
k 1 + k 2<br />
a 1 . (118)<br />
Das Verhältnis der Amplituden reflektierten bzw. der transmittierten<br />
Welle relativ zur einfallenden ist<br />
t 21 = a 2<br />
a 1<br />
= 2k 1<br />
k 1 + k 2<br />
, r 21 = b 1<br />
a 1<br />
= k 1 − k 2<br />
k 1 + k 2<br />
. (119)<br />
Abbildung 5: Ein (fast) willkürlich gewähltes eindimensionales<br />
Potential und der Charakter der Zustände<br />
Das Problem ist es, die Wellenfunktionen der verschiedenen<br />
Bereiche X i aneinander anzuschließen. Die allgemeine<br />
(normierbare) Lösung ist dann die Überlagerung der Eigenlösungen.<br />
2.6.2 Die eindimensionale Potentialstufe<br />
Anschlussbedingungen Es werde eine Potentialstufe an<br />
der Stelle x = 0 betrachtet. Es sei<br />
{<br />
V 1 x < 0<br />
V (x) =<br />
V 2 x > 0 . (112)<br />
Abbildung 6: Die eindimensionale Potentialstufe<br />
Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind von der Form<br />
φ i (x) = a i e ikix + b i e −ik ix<br />
(113)<br />
⎧√ ⎨ 2m<br />
<br />
k i =<br />
2 (E − V i ) E > V i<br />
√ , (114)<br />
⎩iκ i = i 2m<br />
2 (V i − E) E < V i<br />
wie wir sie bereits im vorhergehenden Abschnitt behandelt<br />
haben.<br />
Da der Sprung endlich ist, lauten die Anschlussbedingungen<br />
φ 1 (0) = φ 2 (0) ⇒ a 1 + b 1 = a 2 + b 2 , (115)<br />
φ ′ 1 (0) = φ′ 2 (0) ⇒ ik 1(a 1 − b 1 ) = ik 2 (a 2 − b 2 ). (116)<br />
Tunneln Im zweiten Fall V 1 < E < V 2 kann es im Gegensatz<br />
zum ersten behandelten Fall keine aus dem Gebiet x > 0<br />
einfallende Welle geben, sondern nur eine von der Grenzfläche<br />
weg exponentiell abklingende Welle mit k 2 = iκ 2 . Die zweite<br />
Lösung mit exponentiell ansteigender Amplitude muss aus<br />
Normierungsgründen ausgeschlossen werden (b 2 = 0).<br />
Stromdichten<br />
j 1 = k 1<br />
m<br />
Mit b 2 = 0 erhält man die Stromdichten<br />
(<br />
|a1 | 2 − |b 1 | 2) = j e + j r, (120)<br />
j e = k 1<br />
m |a 1| 2 , (121)<br />
j r = − k ∣ ∣<br />
1<br />
∣∣∣<br />
m |b 1| 2 b 1 ∣∣∣ 2 ∣ ∣ ∣∣∣ k 1 − k 2 ∣∣∣ 2<br />
= −j e = −j e , (122)<br />
a 1 k 1 + k 2<br />
j t = k 2<br />
m |a 2| 2 = 4k 1k 2<br />
je. (123)<br />
(k 1 + k 2 ) 2<br />
Reflexions- und Transmissionsvermögen Das<br />
Reflexions- und Transmissionsvermögen ist<br />
∣ T =<br />
j t ∣∣∣ k 2 ∈R 4k 1 k 2<br />
∣ =<br />
j e (k 1 + k 2 ) 2 , (124)<br />
∣ R =<br />
j r ∣∣∣ k 2 ∈R<br />
∣ = (k 1 − k 2 ) 2<br />
j e (k 1 + k 2 ) 2 , (125)<br />
R + T = 1. (126)<br />
Im klassischen Fall wird ein Teilchen mit Energie E < V 2 total<br />
reflektiert. Auch im quantenmechanischen Fall verschwindet<br />
die Stromdichte im Gebiet x > 0. Allerdings ist im quantenmechanischen<br />
Fall im Gegensatz zum klassischen Fall die<br />
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Gebiet x > 0 ungleich Null.<br />
2.6.3 Potentialbarriere, Potentialtopf<br />
Gegeben sei ein Potential<br />
⎧<br />
⎪⎨ V 1 x < x 1<br />
V (x) = V 2 x 1 < x < x 2 . (127)<br />
⎪⎩<br />
V 3 x 2 < x<br />
Die Anschlussbedingungen für die erste Stufe ist bereits aus<br />
dem vorher behandelten Fall bekannt. Die für die zweite Stufe<br />
ist ähnlich. Der Übersicht halber behandeln wir lediglich<br />
folgenden Spezialfall.<br />
9
Symmetrischer Potentialtopf Es sei nun V 1 = V 3 = 0<br />
und x 1,2 = ∓a = ∓1/2L.<br />
Mit der zweiten Randbedingung folgt, dass die Wellenzahl k<br />
nur diskrete Werte k n annehmen darf. Es gilt<br />
0 = φ(L) = A sin(kL) ⇒ k = k n = π n, n ∈ N. (139)<br />
L<br />
Normierung Durch die Normierungsbedingung lässt sich<br />
die Amplitude A bestimmen. Man erhält<br />
Abbildung 7: (l.) Der doppelte Potentialsprung<br />
(r.) Symmetrischer Potentialtopf<br />
A =<br />
√<br />
2<br />
L . (140)<br />
Das Potential ist dann<br />
und es gilt<br />
V (x) =<br />
{<br />
0 |x| > a = 1/2L<br />
V 0 |x| < a = 1/2L , (128)<br />
√<br />
2mE<br />
k 1 = k 3 =<br />
2 , (129)<br />
√<br />
2m(E − V0 )<br />
k 2 =<br />
2 , (130)<br />
k 2 1 − k 2 2 = 2m<br />
2 V 0. (131)<br />
2.6.4 Lösung der Schrödinger-Gleichung<br />
Der Hamilton-Operator des eindimensionalen Problems lautet<br />
in Ortsdarstellung<br />
{<br />
H = − 2 d 2<br />
2m dx 2 + V (x), V (x) = 0 0 ≤ x ≤ L<br />
∞ x < 0, x > L .<br />
(132)<br />
Die Schrödinger-Gleichung<br />
2.6.5 Gebundene Eigenzustände im Potentialtopf:<br />
Energien<br />
Weil Teilchen innerhalb eines Potentialkastens nur in bestimmten<br />
einzelnen Zuständen n existieren können, können sie<br />
auch nur bestimmte diskrete, von n abhängige Energiewerte<br />
haben. Dies gilt auch bei endlich hohen Wänden.<br />
Für die Energie eines Teilchens in Abhängigkeit von n gilt<br />
damit mit den bereits berechneten Beziehungen:<br />
E n = 2 kn<br />
2<br />
2m = 2 π 2<br />
2mL 2 n2 =<br />
h2<br />
8mL 2 n2 , n ∈ N. (141)<br />
Daraus lassen sich drei Schlussfolgerungen ziehen, die das Teilchen<br />
im Potentialkasten qualitativ beschreiben:<br />
1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat<br />
der Quantenzahl n: E ∝ n 2 .<br />
2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie<br />
des Teilchens: E ∝ L −2 .<br />
3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz<br />
zwischen zwei Energieniveaus E n und E n+1 .<br />
i ∂ ψ(x, t) = Hψ(x, t) (133)<br />
∂t<br />
geht mit dem Ansatz<br />
ψ(x, t) = φ(x)e −iEt/ (134)<br />
in die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung<br />
Hφ(x) = Eφ(x) (135)<br />
über, welche im Folgenden zu lösen sein wird (Eigenwertproblem<br />
des Hamilton-Operators).<br />
Zusammenfassung Die Eigenwerte (= mögliche Energiewerte)<br />
und Eigenfunktionen (= Wellenfunktionen) des<br />
Hamilton-Operators für ein Teilchen im Kasten mit unendlich<br />
hohen Potentialwänden sind also<br />
E n = 2 π 2 n 2<br />
2mL 2 , (142)<br />
{√ 2/L sin ( nπx/L) 0 ≤ x ≤ L<br />
φ n(x) =<br />
0 x < 0, x > L . (143)<br />
Innerhalb des Kastens Die stationäre Schrödinger-<br />
Gleichung entspricht innerhalb des Kastens der eines freien<br />
Teilchens. Man erhält für die Energien<br />
E = 2 k 2<br />
2m . (136)<br />
Außerhalb des Kastens Außerhalb des Kastens muss die<br />
Wellenfunktion aufgrund des unendlich hohen Potentials identisch<br />
Null sein. Da die Wellenfunktion jedoch überall stetig<br />
sein muss, werden somit Randbedingungen an die Wellenfunktion<br />
im Kasten gestellt, nämlich dass die Wellenfunktion φ an<br />
den Wänden gleich 0 ist<br />
φ(0) = φ(L) = 0. (137)<br />
Aus der ersten Randbedingung folgt für die Wellenfunktion<br />
innerhalb des Kastens<br />
φ(x) = A sin(kx). (138)<br />
2.6.6 Dreidimensionaler Fall: Entartung<br />
Im dreidimensionalen Kasten (Quader) sieht der Hamilton-<br />
Operator wie folgt aus<br />
Separationsansatz<br />
3∑<br />
H =<br />
(− 2 d 2<br />
2m dx 2 i=1<br />
i<br />
Ein Separationsansatz<br />
)<br />
+ V i (x i ) . (144)<br />
φ(r) = φ 1 (x 2 )φ 2 (x 2 )φ 3 (x 3 ) (145)<br />
separiert das Problem in drei eindimensionale Probleme, da<br />
die eindimensionalen Hamiltonoperatoren H i jeweils nur auf<br />
eine der Funktionen φ i (x i ) wirken.<br />
10
Quader Die Gesamtlösung ist für den Spezialfall L = L 1 =<br />
L 2 = L 3 ist<br />
E n1 ,n 2 ,n 3<br />
= 2 π 2 ( n 2 )<br />
1<br />
2m L 2 + n2 2<br />
L 2 + n2 3<br />
L 2 =<br />
= 2 π 2 (<br />
n<br />
2<br />
2mL 2 1 + n 2 2 + n 2 )<br />
3 , (146)<br />
{∏ 3<br />
(√ 2/L<br />
i=1 sin ( n i πx i/L))<br />
0 ≤ x i ≤ L<br />
φ(r) = .<br />
0 sonst<br />
(147)<br />
Entartung Man spricht von Entartung, wenn unterschiedliche<br />
Wellenfunktionen dieselbe Energie besitzen. Das bedeutet<br />
für den Quader, dass unterschiedliche Quantenzahlen n i zu<br />
derselben Summe führen.<br />
So ist z. B. der Grundzustand nicht entartet, der 1. angeregte<br />
Zustand jedoch bereits dreifach entartet<br />
E (2,1,1) = E (1,2,1) = E (1,1,2) = 6 2 π 2<br />
2.6.7 Endlich hoher Potentialtopf<br />
2mL 2 . (148)<br />
Im unendlich hohen Potentialtopf ist die Wellenfunktion außerhalb<br />
des Topfes gleich Null. Im endlich hohen Potentialtopf<br />
ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Teilchen außerhalb<br />
des Potentialtopfes (= klassisch verbotenes Gebiet)<br />
ungleich Null.<br />
mit der Gesamtmasse M und der Umkehrung<br />
r 1 = R + m 2<br />
M r = R + µ m 1<br />
r, (153)<br />
r 2 = R − m 1<br />
M r = R − µ r,<br />
m 2<br />
(154)<br />
1<br />
µ = 1 + 1 .<br />
m 1 m 2<br />
(155)<br />
mit der reduzierten Masse µ. Man kann auch die entsprechenden<br />
Impulse P bzw. p einführen<br />
P = p 1 + p 2 = i ∇ R, (156)<br />
p = m 2<br />
M p 1 − m 1<br />
M p 2 = µ p 1 − µ p 2 = ∇r. (157)<br />
m 1 m 2 i<br />
Separationsansatz Daraus folgt eine Separation des<br />
Hamilton-Operators in der Form<br />
H(R, r, P, p) = P2<br />
2M + p2<br />
2µ + V (r) =<br />
= H SP (R, P) + H rel (r, p), (158)<br />
H SP (R, P) = P2<br />
2M , (159)<br />
H rel (r, p) = p2 + V (r). (160)<br />
2µ<br />
Da jeder dieser beiden Operatoren von genau den Koordinaten<br />
eines Teilchens abhängt, kann auch die Schrödingergleichung<br />
des Gesamtproblems separiert werden und man erhält<br />
Abbildung 8: Die endlich hohe, eindimensionale Potentialstufe<br />
Beim Übergang vom unendlich hohen Potentialtopf zum endlich<br />
hohen Potentialtopf rücken die Energien näher zusammen.<br />
Eine anschauliche Erklärung dafür ist, dass man das freie Teilchen<br />
mit seinen kontinuierlichen Energien als Teilchen in einem<br />
unendlich breiten Potentialtopf auffassen kann. Da die<br />
Randbedingungen für den endlich hohen Topf weniger stark<br />
als die für den endlich hohen Topf sind, rücken die Energien<br />
näher zusammen.<br />
2.7 Zentralsymmetrische Potential,<br />
Bahndrehimpuls<br />
Φ(R, r) = φ SP (R)φ rel (r), (161)<br />
(<br />
H SP − E SP) φ SP (R) = 0, (162)<br />
(<br />
H rel − E rel) φ rel (r) = 0, (163)<br />
E SP + E rel = E. (164)<br />
<strong>Schwerpunkt</strong>sbewegung Der Hamilton-Operator des des<br />
<strong>Schwerpunkt</strong>s und damit die Bewegung des <strong>Schwerpunkt</strong>s ist<br />
der bzw. die eines freien Teilchens mit der Gesamtmasse M<br />
mit den bereits bekannten Eigenlösungen<br />
φ SP<br />
K (R) = 1<br />
(2π) 3/2 eiKR , (165)<br />
E SP<br />
K = 2 K 2<br />
2M . (166)<br />
2.7.1 <strong>Schwerpunkt</strong>s- und Relativbewegung<br />
Das übliche Potential in einem Zweiteilchen-Problem hängt<br />
nur vom Abstand der beiden Teilchen ab<br />
V (r 1 , r 2 ) = V (r 1 − r 2 ) = V (r) = V (r). (149)<br />
Der Hamilton-Operator ist dann von der Form<br />
H = p2 1<br />
2m 2<br />
+ p2 2<br />
2m 2<br />
+ V (r 1 − r 2 ). (150)<br />
Es ist geschickt für die Betrachtung dieses Problems analog<br />
zur Mechanik die <strong>Schwerpunkt</strong>s- und die Relativkoordinaten<br />
einzuführen<br />
R = m 1r 1 + m 2 r 2<br />
= m 1r 1 + m 2 r 2<br />
, (151)<br />
m 1 + m 2 M<br />
r = r 1 − r 2 . (152)<br />
2.7.2 Zentralpotential: Radial- und Winkelbewegung<br />
Bemerkung 2.2. Im Folgenden sei also nur noch die Relativbewegung<br />
betrachtet und das Suffix ”<br />
rel“ soll unterdrückt<br />
werden.<br />
Kinetische Energie Die kinetische Energie kann wie im<br />
klassischen Fall in einen Radial- und einen Winkelanteil aufgespalten<br />
werden. Im klassischen Fall hat man<br />
T = T rad + T rot = µṙ2<br />
2 + L2<br />
2µr 2 , (167)<br />
11
und im quantenmechanischen Fall ist der Operator der kinetischen<br />
Energie unter sphärischen Polarkoordinaten<br />
Damit ist<br />
T = − 2 ∆, (168)<br />
2µ<br />
∆ = ∆ r + ∆ θ,ϕ , (169)<br />
∆ r = 1 ∂ ∂<br />
r 2 ∂r r2 ∂r = ∂2<br />
∂r 2 + 2 r<br />
∆ θ,ϕ = 1<br />
sin θ<br />
∂<br />
∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1<br />
sin 2 θ<br />
∂<br />
∂r , (170)<br />
∂ 2<br />
∂ϕ 2 . (171)<br />
T rad = − 2 ∆r, (172)<br />
2µ<br />
T rot = − 2<br />
2µ ∆ θ,ϕ = 1 L 2<br />
2 µr 2 , (173)<br />
( ) 2 [ 1<br />
L 2 ∂<br />
=<br />
i sin θ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 ∂ 2 ]<br />
sin 2 θ ∂ϕ 2 , (174)<br />
L z = ∂<br />
i ∂ϕ . (175)<br />
Es bezeichnet I = µr 2 das Trägheitsmoment des Moleküls<br />
im Abstand r. Die Schrödinger-Gleichung kann damit in der<br />
Form<br />
]<br />
[− 2 L2<br />
∆r +<br />
2µ 2µr 2 + V (r) − E φ(r, ϕ, θ) = 0 (176)<br />
geschrieben werden.<br />
Die Ganzzahligkeit der Quantenzahlen l rührt von der Normierbarkeit<br />
der Kugelflächenfunktion her, die Ganzzahligkeit<br />
der Quantenzahl m von der Eindeutigkeit der Kugelflächenfunktion.<br />
Die Quantenzahl l wird als Drehimpulsquantenzahl bezeichnet<br />
und steht für den Betrag des Drehimpulses als Erhaltungsgröße.<br />
Ohne ausgezeichnete Richtung sind die Energie unabhängig<br />
von der Quantenzahl m. Zeichnet man eine Richtung<br />
z. B. durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes aus, dann sind<br />
die Energien auch von der Quantenzahl m abhängig, woher der<br />
Name Magnetquantenzahl herrührt.<br />
Die Abstände benachbarter Energie sind<br />
∆E l = E l+1 − E l = 2 l. (184)<br />
I<br />
2.7.4 Eigenschaften des Drehimpulsoperators<br />
Mit der Definition<br />
gelten folgende Eigenschaften<br />
L α = ɛ αβγ x β pγ, (185)<br />
L ± = L x ± iL y, (186)<br />
L = J. (187)<br />
J † i = J i, (188)<br />
J † ± = J ∓, (189)<br />
J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z =<br />
= J − J + + J z + J 2 z . (190)<br />
Separation der Radial- und Winkelbetrachtung<br />
dem Separationsansatz<br />
Mit<br />
φ(r, ϕ, θ) = R(r)Y (ϕ, θ) (177)<br />
erhält man die beiden Gleichungen<br />
[<br />
L 2 − λ ] Y (ϕ, θ) = 0, (178)<br />
[− 2<br />
2µ ∆r + λ<br />
]<br />
2µr + V (r) − E R(r) = 0. (179)<br />
Dabei ist λ eine Separationskonstante, die durch die Lösung<br />
von Gleichung (178) festgelegt wird.<br />
Im Folgenden beschränken wir uns auf die Lösung des starren<br />
Rotators.<br />
2.7.3 Starrer Rotator<br />
Wir sprechen vom starren Rotator, wenn wir das<br />
Trägheitsmoment als zeitlich konstant annehmen und<br />
die kinetische Energie nur aus dem Rotationsanteil besteht<br />
H = T rot = L2<br />
2I . (180)<br />
Eigenlösungen zum Drehimpuls Die Eigenlösungen, also<br />
die Eigenwerte und Eigenfunktionen zum Operator L 2 und<br />
zum Operator L z der z-Komponente des Drehimpulses sind<br />
die Kugelflächenfunktionen mit den Eigenwertgleichungen<br />
L 2 Y lm = 2 l(l + 1)Y lm , l ≥ 0, (181)<br />
L zY lm = mY lm , − l ≤ m ≤ l. (182)<br />
Damit genügen die Eigenlösungen der Schrödinger-Gleichung<br />
L 2<br />
2I Y lm(ϕ, θ) = 2 l(l + 1)<br />
2I<br />
Y lm (ϕ, θ) = E l Y lm (ϕ, θ). (183)<br />
Drehimpuls-Vertauschungsrelationen Es gelten die folgenden<br />
Kommutatoren<br />
[ ]<br />
Jα, J β = iɛαβγ J γ, (191)<br />
[<br />
J± , J 2] = [ J α, J 2] = 0, (192)<br />
Algebraische Behandlung<br />
[J + , J − ] = 2J z, (193)<br />
[J z, J ± ] = ±J ± , (194)<br />
[<br />
J 2 , J ± J ∓<br />
]<br />
= 0, (195)<br />
[J z, J ± J ∓ ] = 0, (196)<br />
[<br />
Lα, x β<br />
]<br />
= iɛαβγ x γ, (197)<br />
[<br />
Lα, p β<br />
]<br />
= iɛαβγ p γ. (198)<br />
Weiterhin gilt<br />
J 2 |jm〉 = j(j + 1) |jm〉 , (199)<br />
J z |jm〉 = m |jm〉 , (200)<br />
J ± |jm〉 = √ j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1〉 . (201)<br />
2.7.5 Radialbewegung im zentralsymmetrischen<br />
Potential<br />
Schrödinger-Gleichung Mit der Separationskonstante<br />
λ = 2 l(l + 1) aus der Lösung der Winkelbewegung erhält<br />
man für die Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung<br />
]<br />
[− 2<br />
2µ ∆r + 2 l(l + 1)<br />
2µr 2 + V (r) − E R(r) = 0. (202)<br />
Wie im klassischen Fall wird der zweite Term 2 l(l+1)<br />
2µr 2 auch<br />
Zentrifugalpotential genannt. Die Summe aus dem zweiten<br />
und dem dritten Term stellt ein effektives Potential für die<br />
Radialbewegung dar<br />
V eff (r) = V (r) + 2 l(l + 1)<br />
2µr 2 . (203)<br />
12
Die Magnetquantenzahl m kommt in der Gleichung nicht vor.<br />
Weil die Magnetquantenzahl 2l + 1 verschiedene Werte annehmen<br />
kann, ist im Fall zentralsymmetrischer Potential der<br />
Zustand mit der Drehimpulsquantenzahl l daher (2l + 1)-fach<br />
entartet.<br />
Wegen [H, L] = [H, L 2 ] = [L α, L 2 ] = 0 kann man ein gemeinsames<br />
System von Eigenfunktionen für die Operatoren H, L 2<br />
und L α wählen. Allerdings gibt es wegen [L α, L β ] = iɛ αβγ L γ<br />
kein gemeinsames System für verschiedene Komponenten des<br />
Drehimpulses.<br />
Teilchen im Coulomb-Potential<br />
ein Teilchen im Coulomb-Potential<br />
sind<br />
V (r) = − 1 Ze 2<br />
[4πε 0 ] r<br />
E n = − µ 2<br />
( e 2<br />
[4πɛ 0 ]<br />
Die Eigenenergien für<br />
) 2 Z 2<br />
(204)<br />
n 2 . (205)<br />
2.8 Teilchen im elektro-magnetischen Feld<br />
2.8.1 Vektorpotential eines homogenen Magnetfeldes<br />
Es sei die z-Richtung in Richtung des Magnetfeldes gewählt,<br />
B = (0, 0, B). Das zum Magnetfeld gehörige Vektorpotential<br />
A kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden<br />
Landau-Eichung<br />
Landau-Eichung<br />
A = B(−γy, (1 − γ)x, 0), (206)<br />
B = ∇ × A. (207)<br />
Die Wahl γ = 0 oder γ = 1 nennt man<br />
A = B(0, x, 0), A = B(−y, 0, 0), (208)<br />
weil sie eine bequeme Eichung bei der Berechnung der Landau-<br />
Niveaus eines freien Teilchens im Magnetfeld darstellt.<br />
Symmetrische Eichung<br />
symmetrische Eichung<br />
Die Wahl γ = 1/2 nennt man die<br />
A = 1 B × r. (209)<br />
2<br />
Coulomb-Eichung Für alle Formen von Gleichung (206)<br />
ist die Coulomb-Eichung erfüllt<br />
∇ · A = 0. (210)<br />
Deshalb vertauscht der Operator des kanonischen Impulses<br />
mit dem Vektorpotential<br />
2.8.2 Hamilton-Operator<br />
p · A = A · p. (211)<br />
Man kann den Effekt eines Magnetfeldes durch die sog. minimale<br />
Ersetzung<br />
p → π = p − qA,<br />
A = [c]<br />
c A (212)<br />
berücksichtigen. Man erhält dann für den Hamilton-Operator<br />
eines Teilchens im Magnetfeld<br />
H = π2<br />
2m + V (r) =<br />
= 1<br />
2m (p − qA)2 + qΦ. (213)<br />
2.9 Wasserstoffatom<br />
2.9.1 Quantenmechanische Betrachtung<br />
Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung kann aufgrund<br />
der Kugelsymmetrie der elektromagnetischen Wechselwirkung<br />
in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der<br />
drei Einzelgleichungen kann mathematisch exakt gelöst werden.<br />
Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte<br />
des Elektrons im Wasserstoffatom; es ist üblich, die<br />
verschiedenen diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl<br />
n als E n zu bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist E 1 .<br />
Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit<br />
(Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische<br />
Quantenzahl).<br />
Das Wasserstoffproblem ist eines der wenigen quantenmechanischen<br />
Systeme, die sich exakt berechnen lassen.<br />
2.9.2 Schrödinger-Gleichung<br />
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffproblem<br />
heißt<br />
Eφ(r) = − 2<br />
2m ∆φ(r) −<br />
e2 1<br />
φ(r). (214)<br />
4πε 0 r<br />
Die Separation dieser Gleichung in Kugelkoordinaten führt zu<br />
drei Gleichungen, die von jeweils nur einer der Koordinaten<br />
r, θ, ϕ abhängen. Eine vollständige Lösung φ(r) ergibt sich als<br />
das Produkt der Lösungen dieser drei Gleichungen<br />
φ nlm (r, θ, ϕ) = R nl (r)Y lm (θ, ϕ). (215)<br />
Mit dem bereits bekannten Separationsansatz ergibt sich die<br />
radiale Schrödingergleichung<br />
[− 2 d 2<br />
]<br />
2m e dr 2 − e2<br />
4πε 0 r + 2 l(l + 1)<br />
2m er 2 − E R(r) = 0. (216)<br />
2.9.3 Kugelflächenfunktionen<br />
Dabei sind Y lm (θ, ϕ) die Kugelplächenfunktionen<br />
Y lm (θ, ϕ) =<br />
√<br />
2l + 1 (l − m)!<br />
4π (l + m)! P l m (cos θ)e imϕ (217)<br />
und P l (z) die zugeordneten Legendre-Polynome<br />
2.9.4 Eigenwerte<br />
Energieeigenwerte<br />
Drehimpulseigenwerte<br />
Magnetische Eigenwerte<br />
sind<br />
P l (z) = 1 d l<br />
2 l l! dz l (z2 − 1) l . (218)<br />
Die Energieeigenwerte sind<br />
Hφ nlm = E nφ nlm . (219)<br />
E n = − e2 Z 2<br />
8πε 0 a 0<br />
1<br />
n 2 . (220)<br />
Die Drehimpulseigenwerte sind<br />
L 2 φ nlm = 2 l(l + 1)φ nlm . (221)<br />
Die magnetischen Eigenwerte<br />
L zφ nlm = mφ nlm . (222)<br />
13
2.9.5 Entartung<br />
Mit dem Mittelwert ist eine mittlere quadratische Abweichung<br />
〈<br />
ψ| ˆF<br />
〉<br />
gung in kartesischen Koordinaten<br />
ψ<br />
∑<br />
n<br />
〈F 〉 ψ = =<br />
F n<br />
∑<br />
〈ψ|ψ〉<br />
n | 〈φn|ψ〉 . (231) |2 L = 1 2 mẋ2 − V (x, t) (238)<br />
= Varianz verknüpft.<br />
Alle Lösungen mit gleichem n besitzen die gleiche Energie.<br />
Man sagt daher, sie sind entartet bezüglich der Quantenzahlen<br />
l und m.<br />
2.11.2 Unschärfe<br />
Die Entartung bezüglich m gilt für alle kugelsymmetrischen<br />
Potentiale, weil dann die Energie eines Eigenzustandes nicht Befindet sich das System in einem Eigenzustand einer Observablen,<br />
dann ist der Messwert scharf, Eigenwert, Messwert<br />
von der Orientierung des Drehimpulses bezüglich der z-Achse<br />
abhängen kann. Die Entartung bezüglich l hingegen ist eine und Erwartungswert sind gleich, und die Unschärfe<br />
Besonderheit von 1/r-Potentialen.<br />
√ 〈( ) 〉 2<br />
∆F ψ = ˆF − 〈F 〉ψ . (232)<br />
2.9.6 Eigenfunktionen<br />
ψ<br />
verschwindet.<br />
Die niedrigsten Orbitale sind gegeben durch die Gleichungen<br />
Zwei Observablen sind genau dann gleichzeitig messbar, wenn<br />
√ √ ihre zugehörigen Operatoren kommutieren.<br />
4<br />
φ 100 =<br />
a 3 e −r/a 0 1<br />
·<br />
0<br />
4π , (223)<br />
√ ( 1<br />
φ 200 =<br />
8a 3 − r ) √<br />
+ 2 e −r/2a 0 1<br />
2.11.3 Zustandsänderung durch Messung:<br />
·<br />
0 a 0 4π , (224)<br />
Projektionspostulat<br />
√ ( ) √<br />
1 r<br />
φ 210 =<br />
24a 3 e −r/2a 0 3<br />
Ein Quantenobjekt im Zustand |ψ〉 ist mit der Wahrscheinlichkeit<br />
〈ψ|E<br />
· cos θ, (225)<br />
0 a 0 4π R (A)|ψ〉 nach der Projektion auf eine Teilmenge<br />
√<br />
A von möglichen Messergebnissen der Observablen R im Zustand<br />
e±iϕ . (226)<br />
∣ ψ<br />
( ) √<br />
1 r<br />
φ 2,1,±1 = ∓<br />
24a 3 e −r/2a 0 3<br />
·<br />
0 a 0 8π sin θ · ′ 〉 = ÊR(A) |ψ〉<br />
‖E R (A)ψ‖ . (233)<br />
2.10 Kontinuitätsgleichung in der<br />
Der Zustandsvektor des Objektes wird dabei auf den vorgesehenen<br />
Teilbereich des Hilbertraums projiziert und anschlie-<br />
Quantenmechanik<br />
ßend normiert.<br />
Mit Wellenfunktion ψ(r, t) ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte<br />
⃗j = − i<br />
2m (ψ∗ grad ψ − ψ grad ψ ∗ ) (227)<br />
Beispiel: Wasserstoffatom Ein Wasserstoffatom befinde<br />
sich im Zustand<br />
und mit dem Betragsquadrat der Wellenfunktion ρ(⃗r, t) =<br />
|ψ〉 = 1/ √ 6 · (2|ψ 100 〉 − |ψ 210 〉 + |ψ 211 〉) . (234)<br />
|ψ(⃗r, t)| 2 gilt die Kontinuitätsgleichung<br />
Eine Messung von E liefert das Ergebnis E = −E R = E 1 .<br />
∂ρ<br />
Der Zustand nach der Messung wird von der Projektion von<br />
+ div⃗j = 0. (228) |ψ〉 auf den zu n = 1 gehörigen Eigenraum beschrieben, also<br />
∂t<br />
auf |ψ 100 〉. Der normierte Zustandsvektor nach der Messung<br />
ist also |ψ 100 〉.<br />
Warum steht Masse m im Nenner?<br />
Bei einer Messung von L z erhält man das Ergebnis Null. Der<br />
Zustand nach der Messung ist die Projektion von |ψ〉 auf den<br />
zu m = 0 gehörigen Eigenraum. Der normierte Zustandsvektor<br />
2.11 Messung<br />
nach der Messung ist also<br />
Weil die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude deterministisch<br />
ist, ist nur die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang<br />
1/ √ 5 · (2|ψ 100 〉 − |ψ 210 〉) . (235)<br />
eines Messprozesses (nicht der Ausgang des Messprozes-<br />
ses selbst) deterministisch.<br />
2.12 Kanonischer und generalisierter Impuls<br />
Mögliche Messwerte einer Observablen F bei einer einzigen<br />
Messung sind die Eigenwerte des zugehörigen selbstadjungierten<br />
Operators ˆF = F (ˆr, ˆp, t). Das Eigenwertproblem lautet<br />
Als Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit ist der generalisierte<br />
Impuls die Ableitung der Lagrange-Funktion L nach<br />
ˆF φ n(r) = F nφ n(r). (229)<br />
der Geschwindigkeit ˙q<br />
p j = ∂L .<br />
Für eigentliche Zustände gilt die Orthonormalität 〈φ n|φ m〉 =<br />
∂ ˙q j<br />
(236)<br />
δ m,n und die Vollständigkeit<br />
φ(r) = ∑∫ Beim Übergang zur Quantenmechanik wird der kanonische<br />
Impuls durch den Impulsoperator ersetzt<br />
φ n(r) 〈φ n|ψ〉 . (230)<br />
n ∂<br />
p j → ˆp j = −i . (237)<br />
∂x j<br />
2.11.1 Mittelwert<br />
Der statistische Mittelwert vieler identischer Messungen an Klassische Bewegung Bei der Bewegung eines Teilchens<br />
identischen Systemen ist der Erwartungswert<br />
der Masse m in einem Potential V (x, t) ohne Zwangsbedin-<br />
14
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls<br />
p = mẋ. (239)<br />
Bei der Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential<br />
V (r, ϕ, z, t)<br />
L = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 ˙ϕ 2 + ż 2) − V (r, ϕ, z, t) (240)<br />
ist in Zylinderkoordinaten der zum Winkel konjugierte generalisierte<br />
Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung<br />
der Zylinderachse<br />
p ˙ϕ = ∂L<br />
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ. (241)<br />
Bei Bewegung einer Punktladung q der Masse m im elektromagnetischen<br />
Feld<br />
L = 1 2 mẋ2 − qφ(t, x) + qẋ · A(t, x) (242)<br />
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls<br />
einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes<br />
2.13 Störungstheorie<br />
p = mẋ + qA(t, x). (243)<br />
2.13.1 Zeitunabhängige Störungstheorie nach<br />
Schrödinger<br />
Anwendbar bei Systemen, bei denen der Hamilton-Operator<br />
aus einem diagonalisierbaren Anteil und genau einer Störung<br />
besteht, die beide zeitunabhängig sind<br />
H = H 0 + λH 1 . (244)<br />
Es seien zum ungestörten Hamilton-Operator H 0 die orthonormalen<br />
Eigenvektoren ∣ ∣ n 0 〉 und Eigenwerte E 0 n bekannt und<br />
nicht entartet. Man setzt für die gestörten Eigenwerte und -<br />
zustände eine Potenzreihe in λ an<br />
|n〉 = ∣ ∣n 0〉 + λ ∣ ∣n 1〉 + λ 2 ∣ ∣n 2〉 + . . . (245)<br />
E n = E 0 n + λE1 n + λ2 E 2 n + . . . (246)<br />
Konvergiert diese Reihe, so erhält man den Eigenzustand |n〉<br />
des gestörten Systems und dessen Energie E n, bzw. durch<br />
Abbruch der Reihe eine Approximation der entsprechenden<br />
Ordnung an diese. Einsetzen der Potenzreihe liefert<br />
(H 0 + λH 1 ) (∣ ∣ n<br />
0 〉 + λ ∣ ∣ n<br />
1 〉 + λ 2 ∣ ∣ n<br />
2 〉 + . . . ) =<br />
= (E 0 n + λE1 n + λ2 E 2 n + . . .) (∣ ∣n 0〉 + λ ∣ ∣n 1〉 + λ 2 ∣ ∣n 2〉 + . . . ) .<br />
(247)<br />
Zusammenfassen von Gliedern gleicher Potenz in λ liefert die<br />
Folge von Gleichungen<br />
H 0 |n 0 〉 = En<br />
0 ∣ n<br />
0 〉 , (248)<br />
∣<br />
H 0 n 1〉 ∣<br />
+ H 1 n 0〉 = En<br />
0 ∣<br />
∣n 1〉 + En<br />
1 ∣<br />
∣n 0〉 , (249)<br />
∣<br />
H 0 ∣n 2 〉 ∣<br />
+ H 1 ∣n 1 〉 = En<br />
0 ∣ n<br />
2 〉 + En<br />
1 ∣ n<br />
1 〉 + En<br />
2 ∣ n<br />
0 〉 . (250)<br />
Diese Gleichungen können iterativ nach E k n und ∣ ∣n k〉 aufgelöst<br />
werden, der Term k = 0 steht für die ungestörte Schrödinger-<br />
Gleichung.<br />
Eine geeignete zusätzliche Annahme zur eindeutigen Bestimmung<br />
der Störterme ist die Definition<br />
〈<br />
n 0 |n 〉 = 1. (251)<br />
Da der ungestörte Zustand ∣ ∣n 0〉 normiert sein soll, folgt sofort<br />
〈<br />
n 0 |n 〉 = 〈 n 0 | ∣ ∣n 0〉 + λ ∣ ∣n 1〉 + λ 2 ∣ ∣n 2〉 + . . . 〉 = 1, (252)<br />
⇒ λ 〈 n 0 |n 1〉 + λ 2 〈 n 0 |n 2〉 + . . . = 0 (253)<br />
und daraus<br />
〈<br />
n 0 |n k〉 = δ 0,k . (254)<br />
Dies bedeutet, dass alle Korrekturen aus dem orthogonalen<br />
Komplement zu 〈 n 0〉 stammen. Man erhält in erster Ordnung<br />
die Korrektur<br />
En 1 = 〈 n 0 |H 1 |n 0〉 , (255)<br />
∣<br />
∣n 1〉 = ∑ ∣<br />
∣m 0〉 m 0 |H 1 |n 0〉<br />
E 0 m≠n<br />
n − Em<br />
0 , (256)<br />
und für die Korrektur der Energie in zweiter Ordnung<br />
E 2 n = ∑ m≠n<br />
2.13.2 Stark-Effekt<br />
∣ 〈 m 0 |H 1 |n 0〉∣ ∣ 2<br />
E 0 n − E 0 m<br />
= 〈 n 0 |H 1 |n 1〉 . (257)<br />
Der Stark-Effekt ist der Effekt, den ein homogenes elektrisches<br />
Feld E auf die Zustände eines Systems hat. Wenn man<br />
ein einzelnes Teilchen mit der Ladung q betrachtet, ist der<br />
Störoperator<br />
H 1 = −qEr, (258)<br />
und wenn man die z-Richtung eines Koordinatensystems in<br />
Richtung des elektrischen Feldes legt, hat man E = Ee z und<br />
H 1 = −qEz = −qEr cos θ. (259)<br />
Der lineare Stark-Effekt verschwindet normalerweise für ungestörte<br />
Zustände irgend eines Systems in irgend einem nichtentarteten<br />
Zustand mit definierter Parität<br />
φ ± (r) = ±φ ± (−r), (260)<br />
denn die Energiekorrektur in erster Ordnung der Störung ist<br />
∫<br />
E± 1 ∝ 〈φ ± |r|φ ± 〉 = d 3 r r|φ ± (r)| 2 = 0. (261)<br />
2.13.3 Beispiel: Linearer Stark-Effekt am<br />
Wasserstoff-Atom<br />
Die Situation ist eine andere, wenn es sich um entartete<br />
Zustände handelt, wie z. B. um den ersten angeregten, vierfach<br />
entarteten Zustand des Wasserstoff-Atoms mit der Hauptquantenzahl<br />
n = 2. Dann muss man entartete Störungstheorie<br />
treiben. Wenn man die vier Zustände 2p x, 2p y, 2p z, 2s mit<br />
k = 1, 2, 3, 4 durchzählt, ist die Störmatrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 0 0<br />
〈<br />
k|H1 |k ′〉 = 3a 0 qE ⎜0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 1⎠ , (262)<br />
0 0 1 0<br />
denn die benötigten Matrixelemente sind<br />
〈<br />
2lm|H1 |2l ′ m ′〉 = −qE 〈 2lm|z|2l ′ m ′〉 , (263)<br />
und die meisten davon verschwinden, weil der Integrand ungerade<br />
ist. Die Lösungsbedingung ist dann<br />
⎛<br />
−E 1 ⎞<br />
0 0 0<br />
det ⎜ 0 −E 1 0 0<br />
⎝ 0 0 −E 1 ⎟<br />
3a 0 qE⎠ = 0, (264)<br />
0 0 3a 0 qE 0<br />
15
und als Lösungen ergeben sich die Energiekorrekturen<br />
{<br />
Ek 1 = 0 κ = k = 1, 2 = 2p x, 2p y<br />
E± 1 = ±3a , (265)<br />
0qE κ = ±<br />
mit den zugehörigen normierten Eigenvektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
0<br />
0<br />
⎜0<br />
⎟<br />
⎝0⎠ ,<br />
⎜1<br />
⎟<br />
⎝0⎠ , 1<br />
√2 ⎜0<br />
⎟<br />
⎝1⎠ , 1<br />
√2 ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ . (266)<br />
0 0<br />
1<br />
−1<br />
2.13.4 Variationsrechnung als Alternative<br />
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Grundzustand<br />
sei<br />
H |φ 0 〉 = E 0 |φ 0 〉 . (267)<br />
Es sei | ˜φ〉 ein beliebiger Zustandsvektor, dann gilt<br />
〈 ˜φ|H| ˜φ〉<br />
≥ E 0 , (268)<br />
〈 ˜φ| ˜φ〉<br />
und Gleichheit gilt für den exakten Grundzustand.<br />
Variationsverfahren Man wählt eine Funktion ˜φ = φ(p)<br />
mit Parameter p = {p i } geschickterweise so, dass sie der richtigen<br />
Funktion vermutlich nahe kommt. Dann variiert man die<br />
Parameter derart, dass die Energie<br />
minimal wird<br />
E(p) = 〈φ(p)|H|φ(p)〉<br />
〈φ(p)|φ(p)〉<br />
(269)<br />
∂E<br />
∂p i<br />
= 0. (270)<br />
Bei der Wahl der Variationsfunktion wählt man die korrekte<br />
Symmetrie und das richtige asymptotische Verhalten.<br />
2.13.5 Beispiel: Wechselwirkung der Elektronen im<br />
Helium-Atom<br />
Bemerkung 2.3. Wir betrachten im Folgenden den<br />
Singulett-Grundzustand des Para-Heliums.<br />
Der Hamilton-Operator für das He-Atom mit der Kernladungszahl<br />
Z 0 = 2 ist<br />
H = H 1 + H 2 + V 12 , (271)<br />
H i = p2 i<br />
2m − Z 0e 2<br />
[4πε 0 ]<br />
1<br />
|r i | , (272)<br />
V 12 =<br />
e2 1<br />
[4πε 0 ] |r 1 − r 2 | . (273)<br />
Im Grundzustand werden sich die beiden Elektronen in 1sähnlichen<br />
Zuständen befinden. Die Wellenfunktion ist dann<br />
Φ(r 1 , r 2 ) = φ Z 0<br />
(r 1 )φ Z 0<br />
(r 2 ), (274)<br />
φ Z 0<br />
(r i ) = Ne −Z 0 r i/a 0 , (275)<br />
N = 1 √ π<br />
( Z<br />
a 0<br />
) 3/2<br />
. (276)<br />
Weil jetzt aber jedes Elektron den abschirmenden Einfluss des<br />
anderen spürt, kann man davon ausgehen, dass die Wellenfunktion<br />
durch eine abgeschirmte Ladung Z bestimmt wird<br />
Φ Z (r 1 , r2) = φ Z (r 1 )φ Z (r 2 ), (277)<br />
φ Z (r) = Ne −Zr/a 0, (278)<br />
N = 1 √ π<br />
( Z<br />
a 0<br />
) 3/2<br />
. (279)<br />
Diese Wellenfunktion ist Eigenfunktion zum Hamilton-<br />
Operator<br />
H 0 = ∑ i<br />
( p 2<br />
i<br />
2m −<br />
Ze2 1<br />
[4πε 0 ] |r i |<br />
)<br />
. (280)<br />
Für V 12 = 0 wäre Gleichung (274) die exakte Lösung.<br />
Man fasst jetzt Z als Variationsparameter auf. Man erhält<br />
dann mit den Wellenfunktionen<br />
〈<br />
Φ<br />
E Z Z |H|Φ Z〉<br />
=<br />
〈Φ Z |Φ Z = ( 2Z 2 − 4Z 0 Z + 5/4Z ) E 0 . (281)<br />
〉<br />
Die Energie wird minimal für<br />
0 = dE<br />
dZ = (4Z − 4Z 0 + 5/4) E 0 ⇒ Z = Z 0 − 5/16.<br />
2.14 Kohärente und inkohärente Zustände<br />
(282)<br />
In Fock-Raum-Schreibweise ergibt sich der kohärente Zustand<br />
|α〉 als unendliche Linearkombination von Zuständen fester<br />
Teilchenzahl |n〉 nach<br />
|α〉 = e −|α|2 /2<br />
∞∑<br />
n=0<br />
α n<br />
√<br />
n!<br />
|n〉 . (283)<br />
Dabei ist α eine beliebige, nicht-verschwindende komplexe<br />
Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig definiert. Die<br />
Wahrscheinlichkeit, eine Besetzung von genau n Teilchen zu<br />
messen, ist<br />
P (n) = | 〈n|α〉 | 2 = |α|2n e −|α|2 . (284)<br />
n!<br />
Die Verteilung entspricht also der Poisson-Verteilung. Demnach<br />
ist |α| 2 der Erwartungswert der Besetzungszahl des<br />
kohärenten Zustandes.<br />
Eigenschaften Kohärenter Zustände<br />
• Normierung: Der Vorfaktor des kohärenten Zustandes<br />
dient also der Normierung 〈α|α〉 = 1.<br />
• Orthogonalität: Kohärente Zustände sind nicht orthogonal<br />
〈β|α〉 ̸= δ(α − β).<br />
• Eigenzustände: Der kohärente Zustand ist ein rechtsseitiger<br />
Eigenzustand des Vernichtungsoperators a und<br />
es gilt a |α〉 = α |α〉. Der Bra-Vektor ist ein linksseitiger<br />
Eigenzustand des Erzeugungsoperators mit komplexkonjugiertem<br />
Eigenwert 〈α| a † = α ∗ 〈α|.<br />
• Unschärfe: Kohärente Zustände besitzen minimale<br />
Unschärfe 1/4| 〈α|[p, x]|α〉 | 2 = 2 /4.<br />
• Harmonischer Oszillator: In einer wechselwirkungsfreien<br />
Theorie (im harmonischen Oszillator) bleiben kohärente<br />
Zustände kohärent. Sie sind jedoch nicht Eigenzustände<br />
des freien Hamilton-Operators. Vielmehr rotiert die Phase<br />
von α mit der Oszillatorfrequenz ω, d. h. ein kohärenter<br />
Zustand geht in einen anderen kohärenten Zustand über.<br />
Anschauliche Erklärung Der kohärente Zustand entspricht<br />
einem gauß’schen Wellenpaket, das im harmonischen<br />
16
Oszillator hin- und herläuft, ohne Orts- und Impulsunschärfe<br />
zu verändern.<br />
2.15 Zustandssumme<br />
2.15.1 Harmonischer Oszillator<br />
2.15.2 Starrer Rotator<br />
2.15.3 Zweiatomiges Molekül<br />
Hamilton-Operator?<br />
Zustandssumme?<br />
Warum ist die elektronische Anregung vernachlässigbar?<br />
3 Elektrodynamik<br />
3.1 Maxwell Gleichungen<br />
3.1.1 Integrale Form<br />
∮<br />
∫<br />
∫<br />
∂<br />
⃗B · d⃗s = µ 0 ε 0 ⃗E · dA ⃗ + µ 0 ⃗j · dA, ⃗ (285)<br />
∂t A<br />
A<br />
∮<br />
⃗E · d⃗s = − ∂ ∫<br />
⃗B · dA, ⃗ (286)<br />
∂t A<br />
∫<br />
⃗E · dA ⃗ = 1 ∫<br />
ϱ dV, (287)<br />
A ε 0 V<br />
∫<br />
⃗B · dA ⃗ = 0. (288)<br />
A<br />
3.1.2 Differentielle Form<br />
Zustandssumme für N Moleküle?<br />
2.15.4 Berechnung der inneren Energie aus der<br />
kanonischen Zustandssumme<br />
2.16 Spin<br />
rot ⃗ B = µ 0 ε 0<br />
∂ ⃗ E<br />
∂t + µ 0 ⃗ j, (289)<br />
rot ⃗ E = − ∂ ⃗ B<br />
∂t , (290)<br />
div ⃗ E = 1 ε 0<br />
ϱ, (291)<br />
div ⃗ B = 0. (292)<br />
3.1.3 Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne<br />
Ladungs- und Stromdichten<br />
⃗∇ · ⃗E = 0 (293)<br />
⃗∇ · ⃗B = 0 (294)<br />
⃗∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B<br />
∂t<br />
(295)<br />
⃗∇ × ⃗ B = ε 0 µ 0<br />
∂ ⃗ E<br />
∂t . (296)<br />
3.1.4 Grundgleichungen der Elektrostatik<br />
Differentielle Form<br />
⃗∇ · ⃗E = ρ (297)<br />
ε 0<br />
⃗∇ × E ⃗ = 0 (298)<br />
⃗E = −∇ϕ. ⃗ (299)<br />
Integrale Form<br />
∮<br />
⃗E df ⃗ = 1 ∫<br />
ρ d 3 r<br />
∂V ε 0 V<br />
∮<br />
(300)<br />
⃗E d⃗s = 0 (301)<br />
dF<br />
∫<br />
ϕ = − ⃗E d⃗r. (302)<br />
3.1.5 Maxwell-Hertz’sche Wellengleichungen<br />
∂ 2 ⃗ E<br />
∂x 2<br />
= µ 0ε 0<br />
∂ 2 ⃗ B<br />
∂t 2 ,<br />
∂ 2 ⃗ B<br />
∂x 2<br />
= µ 0ε 0<br />
∂ 2 ⃗ E<br />
∂t 2 . (303)<br />
3.1.6 Oersted- und Faraday-Experiment<br />
Die Wurzeln der ersten beiden Maxwell’schen Gleichungen<br />
sind der Oersted und der Faraday-Versuch.<br />
17
3.3 Elektromagnetische Felder<br />
3.3.1 Transversale Felder<br />
⃗E(⃗r, t) = ⃗ E 0 · e i(⃗ k⃗r−ωt)<br />
(310)<br />
⃗B(⃗r, t) = ⃗ B 0 · e i(⃗ k⃗r−ωt) . (311)<br />
Abbildung 9: (l.) Oersted-Versuch: Das Magnet eines geraden<br />
Leiters,<br />
(r.) Faraday-Versuch: Das Faraday’sche Induktionsgesetz<br />
Oersted-Versuch<br />
Faraday-Versuch<br />
3.1.7 Anschauliche Erklärung<br />
Ein Magnetisches Wir-<br />
Erste Maxwell’sche Gleichung<br />
belfeld entsteht auf zwei Arten:<br />
Das Magnetfeld eines geraden Leiters ist<br />
B = µ 0I<br />
2πr . (304)<br />
Das Farada’sche Induktionsgesetz lautet<br />
U = − dΦ<br />
dt = − d( A ⃗ · ⃗B) . (305)<br />
dt<br />
1. Durch die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses.<br />
2. Durch einen Leitungsstrom I.<br />
Ausbreitungsrichtung Wellen breiten sich entlang von ⃗ k<br />
aus. Ihre Geschwindigkeit ist c = ω/k.<br />
Energiedichte Die Energiedichte ist<br />
u = 1 (<br />
ε 0E ⃗ 2 + 1 )<br />
B ⃗ 2<br />
, 〈u〉 = 1 2 µ 0 2 ε 0E ⃗ 0. 2 (312)<br />
Energiestromdichte<br />
Die Energiestromdichte ist<br />
⃗ϱ = 1 E ⃗ × ⃗<br />
c<br />
B, 〈⃗ϱ〉 =<br />
µ 0 2 ε 0E ⃗ ⃗ k<br />
0<br />
2 | ⃗ k| . (313)<br />
3.3.2 Dispersionsrelation<br />
Es gilt<br />
E 0 = ω k B 0, (314)<br />
k = ω c . (315)<br />
Dabei nennt man die zweite Gleichung Dispersionsrelation.<br />
Zweite Maxwell’sche Gleichung Ein elektrisches Wirbelfeld<br />
wird durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses<br />
erzeugt. Diese stammt aus dem Faraday’schen Induktionsgesetz.<br />
Der Urpsrung der Induktion ist die Lorentzkraft.<br />
Vierte Maxwell’sche Gleichung Es gibt keine magnetischen<br />
Monopole. ∇ ist ein Maß für die Quellenstärke eines<br />
Feldes, aber das B-Feld ⃗ hat keine Quelle.<br />
3.2 Mathematische Sätze<br />
3.4 Kontinuitätsgleichung<br />
Die Kontinuitätsgleichung<br />
− ∂ ∂t ϱ(⃗r, t) = ∇ ⃗j(⃗r, t) (316)<br />
entspricht der Ladungserhaltung. Eine Stromdichte heißt stationär,<br />
wenn gilt<br />
∂<br />
∂t ⃗ j = 0. (317)<br />
3.2.1 Satz von Stokes<br />
Allgemeine Form<br />
∫<br />
∫<br />
∮<br />
rot A ⃗ df ⃗ = ( ∇ ⃗ × A) ⃗ df ⃗ = ⃗A d⃗s. (306)<br />
F<br />
F<br />
∂F<br />
<strong>Physik</strong>alisches Beispiel<br />
∫<br />
∫<br />
Φ = df ⃗ · ⃗B = d ⃗ ( ) ∮<br />
f · ⃗∇ × A ⃗ = d⃗s · ⃗A. (307)<br />
F<br />
F<br />
∂F<br />
3.2.2 Satz von Gauß<br />
Allgemeine Form<br />
∫<br />
∫<br />
div F ⃗ d (n) V =<br />
V<br />
V<br />
∮<br />
∇ · ⃗F d (n) V = ⃗F · ⃗n d (n−1) S. (308)<br />
S<br />
<strong>Physik</strong>alisches Beispiel<br />
∮<br />
df ⃗ · ⃗E(r) = 1 ∫<br />
d 3 r ϱ(r). (309)<br />
∂V<br />
ε 0 V<br />
18
4 Thermodynamik<br />
4.1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik<br />
4.1.1 Anschauliche Formulierung<br />
Ableitung der Energieerhaltung Jedes System besitzt<br />
eine innere Energie U (= extensive Zustandsgröße). Diese kann<br />
sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit<br />
W und/oder Wärme Q über die Grenze des Systems ändern.<br />
4.1.2 Mathematische Formulierung<br />
4.1.3 Spezialfälle<br />
dU = ∂Q + ∂W. (318)<br />
• Für isolierte Systeme (mikrokanonisches Ensemble):<br />
dU = 0.<br />
• Für geschlossene Systeme (kanonisches Ensemble):<br />
dU = ∂Q + ∂W .<br />
• Offene Systeme (großkanonisches Ensemble): dU = ∂Q+<br />
∂W + ∂E C , mit Teilchenaustauschkontakt.<br />
Dabei ist U eine Zustandsgröße, die von anderen unabhängigen<br />
Variablen abhängt. Für ein ideales Gas gilt z. B.<br />
U = U(T ).<br />
4.2 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik<br />
4.2.1 Anschauliche Formulierung<br />
Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art.<br />
2. Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt<br />
werden. Dies wäre eine Realisierung eines Perpetuum Mobile<br />
zweiter Art.<br />
3. Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses kann nicht<br />
übertroffen werden.<br />
4. Alle spontan (in eine Richtung) ablaufenden Prozesse sind<br />
irreversibel.<br />
5. Alle Prozesse, bei denen Reibung stattfindet, sind irreversibel.<br />
6. Ausgleichs- und Mischungsvorgänge sind irreversibel.<br />
7. In einem geschlossenen adiabaten System kann die Entropie<br />
nicht geringer werden.<br />
8. Das Gleichgewicht isolierter thermodynamischer Systeme<br />
ist durch ein Maximalprinzip der Entropie ausgezeichnet.<br />
4.3 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik<br />
4.3.1 Anschauliche Formulierung<br />
Es ist nicht möglich, ein System bis zum absoluten Nullpunkt<br />
abzukühlen.<br />
4.3.2 Mathematische Formulierung<br />
S(T = 0) = 0. (323)<br />
4.4 Thermodynamische Potentiale<br />
4.4.1 Maxwell-Relationen<br />
Clausius’sche Aussage Es gibt keine periodisch arbeitende<br />
Maschine, die nur einen kälteren Wärmebad Wärme entzieht<br />
und diese einem heißen zuführt.<br />
4.2.2 Mathematische Formulierung<br />
( ) ( )<br />
∂T<br />
∂p<br />
= −<br />
,<br />
∂V S,N ∂S V,N<br />
4.4.2 Innere Energie<br />
( ∂T<br />
∂N i<br />
)<br />
V,S,N j<br />
=<br />
( ) ∂µi<br />
.<br />
∂S V,N<br />
(324)<br />
Wirkungsgrad<br />
η =<br />
dS ≥ ∂Q T . (319)<br />
Wgesamt<br />
Q zugeführt<br />
, (320)<br />
η Carnot = 1 − T 2<br />
T 1<br />
= 1 + ∆Q 2<br />
∆Q 1<br />
. (321)<br />
U = T S − pV, (325)<br />
dU(T, V ) = δQ + δA = T dS − p dV, (326)<br />
( ) ( )<br />
∂T<br />
∂p<br />
= − . (327)<br />
∂V S ∂S V<br />
4.4.3 Freie Enthalpie<br />
Reversible Kreisprozesse Ein Kreisprozess ist genau<br />
dann reversibel, wenn gilt<br />
n∑<br />
i=1<br />
∂Q i<br />
T i<br />
= 0. (322)<br />
Die Entropie ist im Gleichgewichtszustand maximal.<br />
4.2.3 Zusammenfassung der Aussagen des zweiten<br />
Hauptsatzes<br />
1. Wärme kann nicht von selbst von einem Körper niedriger<br />
Temperatur auf einen Körper höherer Temperatur<br />
übergehen.<br />
4.4.4 Freie Energie<br />
G = U − T S + pV, (328)<br />
dG(S, V ) = −S dT + V dp, (329)<br />
( ) ( )<br />
∂S<br />
∂V<br />
= − . (330)<br />
∂p T ∂T p<br />
F = U − T S, (331)<br />
dF (S, p) = −S dT − p dV, (332)<br />
( ) ( )<br />
∂S ∂p<br />
= . (333)<br />
∂V T ∂T V<br />
19
4.4.5 Enthalpie<br />
Dabei ist X eine Zustandsgröße, also eine Konstante bei der<br />
Wärmezufuhr. Weiter ist U = U(T, q 1 , . . . , q m), wobei q i generalisierte<br />
Koordinaten sind und es gilt<br />
4.5 Arbeit<br />
H = U + pV, (334)<br />
dH(T, p) = T dS + V dp, (335)<br />
( ) ( )<br />
∂T ∂V<br />
= . (336)<br />
∂p S ∂S p<br />
∂Q = dU − ∂W = dU −<br />
=<br />
∂Q =<br />
( ) ∂U<br />
dT +<br />
∂T q<br />
)<br />
( ∂U<br />
∂T<br />
m∑<br />
F i dq i =<br />
i=1<br />
( ) ∂U<br />
m∑<br />
dq i − F i dq i (341)<br />
∂q i T,q j i=1<br />
(<br />
m∑ ( ) )<br />
∂U<br />
dT +<br />
− F i dq i . (342)<br />
q<br />
∂q<br />
i=1 i T,q j<br />
• Isochore: dV = 0, ∂A = 0.<br />
• Isobare: dp = 0, ∂A = −p 0 dV .<br />
• Isotherme: dT = 0, ∂A = −p(T 0 , V ) dV .<br />
• Adiabate: dS = 0, ∂A = p(T (V ), V ) dV .<br />
4.6 Entropie<br />
Postulate<br />
1. Ein Gleichgewichtszustand wird vollständig durch (extensive)<br />
U, N, X beschreiben. Dabei ist X = V für kompressible<br />
Systeme und X = ⃗ M für magnetische Systeme.<br />
2. Es existiert eine Funktion S, genannt die Entropie, der<br />
extensiven Parameter. Die extensiven Parameter nehmen<br />
im Gleichgewicht solche Werte an, welche S maximieren.<br />
3. Die Entropie S ist additiv, kontinuierlich, differenzierbar<br />
und eine monoton steigende Funktion der inneren Energie.<br />
4. Es gilt<br />
S = 0 für T :=<br />
( ) ∂U<br />
= 0. (337)<br />
∂S N,X<br />
Beispiel: Ideales Gas<br />
4.8 Boltzmann-Verteilung<br />
Die Boltzmann-Verteilung<br />
Für ein ideales Gas gilt<br />
C p − C V = nR = Nk B . (343)<br />
F (E) ∝ exp<br />
(<br />
− E )<br />
, (344)<br />
kT<br />
beschreibt die Verteilung des Betrags v = |⃗v| der Teilchengeschwindigkeiten<br />
in einem idealen Gas.<br />
Definition der Entropie<br />
( ) ∂S<br />
dS =<br />
∂T V<br />
dT +<br />
( ) ∂S<br />
dV. (338)<br />
∂V T<br />
4.7 Wärme, Wärmekapazität<br />
Wärmekapazität<br />
( ) ∂Q<br />
C V =<br />
∂T V<br />
= T<br />
( ) ∂S<br />
=<br />
∂T V<br />
( ) ∂U<br />
. (339)<br />
∂T V<br />
Zur Wärme<br />
∂Q = T dS.<br />
• Adiabate: ∂Q = 0<br />
( )<br />
• Isotherme: ∂Q = T 0 dS = T ∂S 0 ∂V<br />
( )<br />
dV =<br />
T<br />
T ∂p<br />
0 ∂T dV. V<br />
• Isochor: ∂Q = T dS = C V dT .<br />
[( ) ( ]<br />
• Isobar: ∂Q = T dS = T ∂S<br />
∂T dT + ∂S<br />
P<br />
∂p<br />
)T dp =<br />
C p dT .<br />
Wärmekapazität Gibt an, mit welcher Temperaturänderung<br />
ein System auf die Wärmezufuhr ∂Q reagiert.<br />
( ) ∂Q<br />
C X = . (340)<br />
∂T X<br />
20