Hilfsblatt für Klausur

Theoretische Physik 2 - Elektrodynamik - Merkzettel zur 1. Klausur
Rechenregeln
1
δ-Funktion (Kugel): δ(⃗x) =
r 2 δ(r)δ(θ)δ(ϕ) (1)
∮
sin
∫
θ
∮ ∫
∮
∫
Gaußscher Integralsatz:
d⃗σ · ⃗V = dτ ∇ ⃗ · ⃗V oder d⃗σϕ = dτ ∇ϕ ⃗ oder d⃗σ × P ⃗ = dτ ∇ ⃗ × P ⃗ (2)
S
V
S
V
S
V
∮ ∫
∮ ∫
∮
∫
Stokesscher Integralsatz:
d⃗r · ⃗V = d⃗σ · ( ∇ ⃗ × V ⃗ ) oder d⃗r ϕ = d⃗σ × ( ∇ϕ) ⃗ oder d⃗r × P ⃗ = (d⃗σ × ∇) ⃗ × P ⃗ (3)
c
S
c
S
c
S
( ) ∂x 2 ( ) ∂y 2 ( ) ∂z 2
Skalenfaktoren (Kugel): h 2 i = g ii = + + , h r = 1, h θ = r, h ϕ = r sin θ (4)
∂q i ∂q i ∂q i
Längenelement (Kugel): d⃗r = ˆr dr + ˆθ · r · dθ + ˆϕ · r sin θdϕ (5)
Flächenelement (Kugel): dA = dσ θϕ = r 2 sin θ dθ dϕ (6)
Volumenelement (Kugel): dτ = r 2 sin θ dr dθ dϕ (7)
Gradient (Kugel):
∇f ⃗
∂f = ˆr
∂r + ˆθ 1 ∂f
r
Divergenz (Kugel): ⃗ ∇ · ⃗ V =
1
r 2 sin θ ·
Laplace-Operator (Kugel): ⃗ ∇ 2 f =
1
r 2 sin θ · [ ∂
∂r
∂θ + ˆϕ 1 ∂f
r sin θ ∂ϕ
[
sin θ ∂ ∂r (r2 V r) + r ∂ ∂θ (sin θV θ) + r ∂Vϕ
∂ϕ
(
r 2 sin θ ∂f )
+ ∂ (
sin θ ∂f )
+ 1 ∂ 2 ]
f
∂r ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
Wichtige Idendität: ∇ ⃗ 2 1 = −4π · δ(⃗r) (11)
r
⃗r ≠ 0 : ∇ ⃗ 2 1 r = ∇ ⃗ · ⃗∇ 1 (
r = −⃗ ⃗r
∇ ·
r 3 = − ⃗∇ 1 )
r 3 · ⃗r − 1
r 3 · ⃗∇⃗r = 3 ⃗r
r 5 ⃗r − 3
r 3 = 0 (12)
∫
⃗r = 0 : dτ ∇ ⃗ 2 1 ∫
V r = − ⃗∇ ⃗r
V r
∮S
3 = − d⃗σ ˆr
r
∮S
2 = − r 2 dΩ
r 2 = −4π (13)
Ladung, Ladungsdichten und Coulombsches Gesetz
]
(8)
(9)
(10)
Ladungsdichte (Summe von Punktladungen):
ϱ(⃗x) = ∑ i
q i δ(⃗x − ⃗x i ) (14)
Ladungsdichte (Kreisscheibe): ϱ(⃗x) = Q θ(r − R)δ(z) (15)
πR2 ∫
Allgemein gilt: Q = d 3 xϱ(⃗x) (16)
V
Kraft zwischen Punktladungen: F = 1
⃗x 1 − ⃗x 2
· q 1 q 2 ·
4πε 0 |⃗x 1 − ⃗x 2 | 3 (17)
Elektrostatisches Feld und Potential, Oberflächenladung
∫
E-Feld: E(⃗x) ⃗
1 = ·
4πε 0
d 3 x ′ ϱ(⃗x ′ ) ·
E-Feld und Potential Φ: ⃗ E(⃗x) = − ⃗ ∇Φ(⃗x), Φ(⃗x) = −
1
4πε 0
∫
Arbeit:
Oberflächenladung:
Poisson-, Laplacegleichung, Gaußsches Gesetz und Maxwell-Gleichungen
Poisson-Gleichung:
⃗x − ⃗x ′
|⃗x − ⃗x ′ | 3 = − 1 ∫
· ⃗∇ ·
4πε 0
d 3 x ′ ϱ(⃗x ′ )
|⃗x − ⃗x ′ |
d 3 x ϱ(⃗x′ )
|⃗x − ⃗x ′ | , ∇ ⃗ × E ⃗ = 0 (19)
∫ B
∫ B ∫ B
∫ B
W = − d ⃗ l · ⃗F = −q d ⃗ l · ⃗E = q d ⃗ l · ⃗∇Φ = q dΦ = q · (Φ B − Φ A ) (20)
A
A
A
A
W = 1 ∫ ∫
d 3 x d 3 x ′ ϱ(⃗x)ϱ(⃗x′ )
8πε 0 |⃗x − ⃗x ′ = 1 ∫
d 3 x ϱ(⃗x) · Φ(⃗x) = ε ∫
0
| 2
2
d 3 x | E| ⃗ 2 (21)
σ(⃗x) = ε 0 ((E 2 ) ⊥ − (E 1 ) ⊥ ) = − ∂Φ
∣
∂n n=Oberfläche
(22)
(18)
⃗ ∇ 2 Φ(⃗x) = − ϱ(⃗x)
ε 0
(23)
Laplace-Gleichung: ∇ ⃗ 2 Φ(⃗x) = 0 (24)
∮
Gaußsches Gesetz:
d⃗σ E ⃗ = 1 ∫
d 3 x ϱ(⃗x) = Q oder ∇ ⃗ E ⃗ = ϱ (25)
S ε 0 V
ε 0 ε 0
Maxwell-Gleichungen (Differentialform): ∇ ⃗ × E ⃗ = 0, ∇ ⃗ · E ⃗
ϱ = (26)
ε
∮
∮ 0
Maxwell-Gleichungen (Integralform):
d ⃗ l · ⃗E = 0, d⃗σ · ⃗E = 1 ∫
d 3 x ϱ(⃗x) = q
(27)
c
c ε 0 V
ε 0
Maxwell-Gleichungen (Potentialform): ⃗ E = − ⃗ ∇Φ, ⃗ ∇ 2 Φ = − ϱ ε 0
(28)
Randwertprobleme (Greensche-Funktion)
Greensche Funktion (Allgemein): G(⃗x, ⃗x ′ ) =
1
|⃗x − ⃗x ′ | + F (⃗x, ⃗x′ ) mit ⃗ ∇ 2 F = 0 in V (29)
Dirichlet-Randbedingung: G D (⃗x, ⃗x ′ ) = 0 für ⃗x ′ auf S (30)
Φ(⃗x) = 1 dτ
4πε 0
∫V
′ ϱ(⃗x ′ )G D (⃗x, ⃗x ′ ) − 1 ∮
dA ′ Φ(⃗x ′ ) ∂G D
4π S
∂n ′ (31)
Greensche Funktion (Kugel): G D (⃗x, ⃗x ′ a
) =
1
|⃗x − ⃗x ′ | −
|⃗x − a2
⃗x ′2 ⃗x ′ | · ⃗x ′ (32)

Randwertprobleme (Spiegelladung)
Punktladung vor ebener geerdeter Metallfläche: Φ(⃗x) = 1
4πε 0
q
( xyz )
| −
( a00 ) + 1
| 4πε 0
|
(−q)
( xyz )
−
Kraft auf Punktladung | F ⃗ | = 1 q 2
Kraft auf die Punktladung (34)
4πε 0 (2a) 2
[
]
∂Φ
Oberflächenladung
σ = −ε 0
∂x = − q ∂
1
√
4π ∂x (x − a) 2 + y 2 + z − 1
√ (35)
2 (x + a) 2 + y 2 + z 2 x=0
Punktladung vor geerdeter Metallkugel: siehe Greensche Funktion der Kugel: G D (⃗x, ⃗x ′ ) = Φ(⃗x ′ ) (36)
Randwertprobleme (Variablenseparation in kartesischen Koordinaten)
Produktansatz:
Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z),
1
X(x) · d2 X !
dx 2 = −α 2 ,
( −a
0
0
1
Y (y) · d2 Y !
dy 2 = −β 2 ,
)
|
(33)
1
Z(z) · d2 Z
dz 2 = α2 + β 2 (37)
Beispiel: Φ = 0 für x = 0, y = 0 → X = sin(αx), Y = sin(βy) (38)
Φ = 0 für x = a, y = b → αa = nπ, α n = nπ mπ
, βb = mπ, βm =
a b
√
(39)
Φ wird nicht in Abhängigkeit von z gleich 0 → Z = cosh( α 2 n + β2 mz) =: cosh(γnmz) (40)
Φ nm(x, y, z) = sin(α nx) sin(β my) cosh(γ nmz), Φ(x, y, z) = ∑ n,m
A nmΦ nm(x, y, z) (41)
Φ(x, y, c) = V (x, y) → V (x, y) = ∑ n,m
A nmΦ nm(x, y, c) = sin(α nx) sin(β my) cosh(γ nmc) (42)
U nm = 2 √
ab
sin(α nx) sin(β my) vollständiger Satz orthonormaler Funktionen auf [0, a] × [0, b] (43)
→
√ ∫ ab
2 a ∫ b
Anm cosh(γnmc) = 〈Unm|V 〉 = √ dx dy V (x, y) sin(α nx) sin(β my) (44)
2 ab 0 0
(45)
Randwertprobleme (Variablenseparation in Kugelkoordinaten)
Legendre-Polynome: P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 2 (3x2 − 1), P 3 (x) = 1 2 (5x3 − 3x) (46)
√
√
2l + 1 (l − m)!
2l + 1
Kugelflächenfunktionen: Y lm (θ, ϕ) =
4π (l + m)! P l m (cos θ)e imϕ , Y l,m=0 (θ) =
4π P l(cos θ) (47)
Allg. Lsg. des Randwertprob.: Φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l∑
[
A lm r l + B lm r −(l+1)] Y lm (θ, ϕ) (48)
l=0 m=−l
∞∑ [
Lsg. bei azimutaler Symm.: Φ(r, θ) = A l r l + B l r −(l+1)] P l (cos θ) Lösung darf nicht von ϕ abhängen, also m = 0 (49)
l=0
Beispiel: Auf einer Kugeloberfläche (Radius R) ist Potential Φ(R, θ, ϕ) = Φ 0 sin 2 θ = Φ 0 (1 − cos 2 θ) (50)
Randwertprobleme (Multipolentwicklung)
Welche Flächenladungsdichte σ(θ) befindet sich auf der Oberfläche? (51)
∞∑ [
Ansatz: Φ(r, θ) = A l r l + B l r −(l+1)] P l (cos θ) da m = 0 (52)
l=0
innen: Für r = 0 Potential regulär → B l = 0 ∀l (53)
∞∑
→ A l R l !
= Φ 0 (1 − cos 2 θ) (54)
l=0
außen: Für r → ∞ Potential Φ = 0 → A l = 0 ∀l (55)
∞∑
→ B l R −(l+1) !
= Φ 0 (1 − cos 2 θ) (56)
l=0
Multipolentwicklung: Φ(⃗x) = 1
4πε 0
∫
q =
Q ij =
∞ ∑
l∑
l=0 m=−l
⎡
4π
2l + 1 q Y lm (θ, ϕ)
lm
r l+1 = 1
4πε 0 ⎢
∫
d 3 ⃗x ′ ϱ(⃗x ′ ), Ladung (Skalar), ⃗p =
∫
q
r
⎣
⃗p · ⃗x
+
r
} {{ 3 + 1 2
}
∼ 1
r 2
∑
i,j
⎤
x i x j
Q ij
r
} {{ 5 + . . .
⎥
} ⎦
∼ 1
r 3
(57)
(58)
d 3 ⃗x ′ ϱ(⃗x ′ )⃗x ′ , Dipolmoment (Vektor) (59)
d 3 ⃗x ′ ϱ(⃗x ′ )(3x ′ i x′ j − (r′ ) 2 δ ij ), Quadrupolmoment (Tensor, symmetrisch, spurlos) (60)
Rechenregel: q l,−m = (−1) m qlm ∗ (61)
q 00 = √ 1
√ √
3
3
q, q 10 = −
4π 8π (px − ipy), q 11 = pz (62)
4π
q 20 = 1 2
√
5
4π Q 33, q 21 = − 1 3
√
15
8π (Q 13 − iQ 23 ), q 22 = 1
12
√
15
2π (Q 11 − 2iQ 12 − Q 22 ) (63)