Formelsammlung (2. Teil - Marion H.)
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Experimentalphysik I – Mechanik<br />
Kapitel VI Die feste Materie<br />
- HOOK’SCHES GESETZ<br />
Mit Elastizitätsmodul E (Youngscher Modulus)<br />
Mit Zugspannung<br />
Potentielle Energie<br />
und relative Dehnung<br />
Parabel in Umgebung des Gleichgewichtsabstandes<br />
Plastische Verformung (Fließen)<br />
Kraft-Dehnungskurve<br />
W 1 spannt, W 2
Kapitel VII Schwingungen<br />
- FREIE UNGEDÄMPFTE SCHWINGUNG<br />
Bewegungsgleichung:<br />
für Federpendel<br />
Allgemeine Lösung:<br />
Beispiele:<br />
o Torsionspendel<br />
BG:<br />
o Fadenpendel<br />
BG:<br />
Physikalisches Pendel (Körper schwingt<br />
um Achse mit Abstand d zum<br />
Schwerpunkt)<br />
o U-Rohr<br />
BG:<br />
Energie im harmonischen Oszillator<br />
Komplexe Schreibweise:<br />
- FREIE GEDÄMPFTE SCHWINGUNG<br />
Reibungskraft ist entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit<br />
Bewegungsgleichung:<br />
Lösung:<br />
Mit<br />
und<br />
Exponentielles Abklingen der Amplitude<br />
Energie des gedämpften harm. Oszillators<br />
für<br />
d.h. Gesamtenergie fällt nach der Zeit<br />
auf den e-ten <strong>Teil</strong>
Güte des Oszillators<br />
mit ist die im Zeitintervall abgegebene Energie<br />
Für schwach gedämpfte Oszillatoren gilt:<br />
oder<br />
Wenn<br />
pro Periode gegeben ist:<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
<br />
Hier gibt es weitere Lösungen:<br />
und<br />
Starke Dämpfung<br />
wird imaginär<br />
Schwingung geht über in exponentielles Abklingen<br />
A 1 und A 2 sind Anfangsbedingungen von x(0) und v(0),<br />
- ERZWUNGENE SCHWINGUNG<br />
Periodische äußere Kraft ,<br />
Bewegungsgleichung:<br />
sind Zeitkonstanten<br />
Für Federpendel: , ,<br />
Allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL:<br />
1.Term bezeichnet gedämpfte Schwingung mit<br />
(beim Einschwingen)<br />
<strong>2.</strong>Term ist die erzwungene, stationäre Schwingung<br />
wird maximal für ( )<br />
wird maximal für<br />
wird maximal bei<br />
Halbwertsbreite bei mit<br />
damit ist Q ein geeignetes Maß für die Resonanzschärfe (scharf für schwache Dämpfung)<br />
- GEKOPPELTE OSZILLATOREN<br />
Zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen:<br />
Führe neue Koordinaten ein:
Also kann gekoppeltes Pendel gleichphasig mit (bei<br />
und gegephasig (bei mit schwingen. Wenn beide<br />
Schwingungstypen gleichzeitig auftreten Schwebung<br />
N gekoppelte Oszillatoren Gleichungssystem mit<br />
=<br />
- PARAMETRISCH VERSTÄRKTE SCHWINGUNG<br />
wird als Parameter aufgefasst, der zeitlich nicht mehr konstant ist<br />
neue Bewegungsgleichung:<br />
Beispiel: Fadenpendel wird bei verkürzt und bei um wieder verlängert<br />
So wird Energie in das System gepumpt mit<br />
Optimale Energiezufuhr bei , der Parameter wird modulisiert parametrischer Oszi<br />
Kapitel VIII Nichtlineare Dynamik und Chaos<br />
- NICHTLINEARER OSZILLATOR<br />
Taylor-Entwicklung:<br />
Von sin(x) an der Stelle 0:<br />
…<br />
Von cos(x) an der Stelle 0:<br />
…<br />
Exakte BG des Fadenpendels:<br />
(Näherung ist nichtlineare DGL) Berechnung von T endet beim elliptischen Integral (nicht lösbar)<br />
Beschreibung im Phasenraum<br />
Bisher immer DGL <strong>2.</strong>Ordnung, Überführung in System aus DGL 1.Ordnung<br />
Beschreibe Zustand des Systems durch N zeitabhängigen Größen , die zu einem Vektor<br />
zusammengefasst werden<br />
Beispiel: gedämpfter harm. Oszillator,<br />
Trajektorie<br />
Geschwindigkeit<br />
Amplitude
- DUFFING-OSZILLATOR<br />
Spiegelsymmetrisches Potential:<br />
Rücktreibende Kraft:<br />
blaue Kurve: c>0 und >0<br />
mit der Amplitude zunehmende<br />
Federkonstante<br />
magenta Kurve: c>0 und
Doppelmuldenpotential<br />
o Lässt man Kugel im Zentrum los, fällt sie in eine der beiden Mulden und schwingt dort<br />
relativ harmonisch (System beruhigt sich nach längerer Zeit)<br />
o Wenn antreibende Kraft groß genug ist, dann kann das<br />
System zwischen beiden Minima des<br />
Doppelmuldenpotentials hin und her getrieben<br />
werden. Es entsteht Schwingung mit zwei Frequenzen<br />
(f in den Minima und f zwischen den Minima) <br />
Periodenverdoppelung (Bifurkation)<br />
o Wenn antreibende Kraft zu groß wird, verhält sich das<br />
System chaotisch<br />
- SELBSTERREGENDE SCHWINGUNG<br />
Oszillator holt sich zum selbst bestimmten Zeitpunkt Energie ab<br />
und entdämpft sich damit<br />
Van-der-Pol Oszillator<br />
Bewegungsgleichung<br />
Kleine Amplitude Dämpfung negativ (Ruhelage wird instabil, System beginnt zu schwingen)<br />
Größer werdende Amplitude nichtlinearer Term geht gegen null, Dämpfung wird positiv und<br />
kompensiert die entdämpfende Wirkung des – Terms (Energiezufuhr und Dämpfung<br />
kompensieren sich). Das System geht in Grenzzyklus über.<br />
o Bei sehr kleinem ist die Schwingung bei guter Näherung harmonisch (dauert lang)<br />
o Wenn relativ groß wird, schwingt sich das System schneller ein, weicht aber deutlich von<br />
harmonischer Schwingung ab und die Frequenz ist etwas niedriger als (bei frei ged. Oszi)<br />
o Wird zu groß gewählt, kommt man in den Bereich der Relaxationsschwingungen (System<br />
bleibt lange in einem Zustand und schaltet dann schnell in anderen Zustand…)<br />
Getriebener Van-der-Pol Oszillator<br />
Amplitude als Funktion der Zeit ähnelt der Schwebung<br />
Phänomene:<br />
o Periodische (endliche Zahl an Durchstoßpunkten) oder quasiperiodische (Punkte bilden<br />
geschlossene Kurve) Trajektorien (sieht man im Poincaré-Schnitt)<br />
o Frequenzkamm<br />
o Synchronisation des Oszillators mit der treibenden Frequenz (Poincaré-Schnitt besteht aus<br />
einem Punkt, d.h. System oszilliert stabil mit antreibender Frequenz. Wenn<br />
Frequenzdifferenz klein ist, reicht auch kleine Kraft, damit System auf treibende Frequenz<br />
einrastet. Amplitude ändert sich kaum. Damit lässt sich starker Oszi durch schwachen Oszi<br />
auf eine Frequenz bringen)<br />
- BIFURKATION, EIN WEG INS CHAOS
Kapitel IX Mechanische Wellen<br />
Schwingung: harm. Oszillation eines (oder mehrerer) Körper y(t)<br />
Welle: Kopplung räumlich benachbarter Punkte Ausbreitung einer Welle y(x,t)<br />
- TRANSVERSALSCHWINGUNG EINES SEILES<br />
<strong>2.</strong>N.G. für ein Massenelement<br />
<br />
Resultierende Kraft auf<br />
<br />
Wellengleichung<br />
mit<br />
(wenn –ct, dann geht’s in +x-Richtung)<br />
Sinusförmige (harmonische) Welle<br />
Superpositionsprinzip<br />
Sind Lösungen der Wellengleichung, dann ist auch Lösung<br />
Reflexion am festen Ende<br />
Randbedingung:<br />
Der reflektierte Puls ist invertiert<br />
Bei harmonischer Welle:<br />
Stehende Welle mit Knoten bei<br />
Reflexion am offenen Ende<br />
Randbedingung<br />
(da<br />
Bei harmonischer Welle:<br />
Stehende Welle mit Knoten bei<br />
Eigenschwingungen eines Seils<br />
o Beide Seiten geschlossen/offen<br />
o Eine Seite offen, die andere geschlossen<br />
Energietransport einer harm. Seilwelle<br />
mit
- SCHALLWELLEN<br />
Longitudinalwellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern<br />
Kraft:<br />
(Druckdifferenz)<br />
Volumenänderung:<br />
Kompressibilität:<br />
(Geschwindigkeitsdifferenz)<br />
Wellengleichung für Druck<br />
Lösung:<br />
Auslenkungsamplitude<br />
Wellengleichung für Schallschnelle<br />
Lösung:<br />
Schallgeschwindigkeit<br />
In Luft:<br />
Impedanz (Wellenwiderstand) ( )<br />
Intensität<br />
Lautstärke:<br />
- AKUSTISCHER DOPPLER EFFEKT<br />
1) Schallquelle bewegt sich mit Geschwindigkeit u<br />
Wellenlänge vor (nach) Quelle wird verkürzt (verlängert):<br />
Gemessene Frequenz vor (hinter) Quelle:<br />
2) Beobachter bewegt sich mit Geschwindigkeit u<br />
Schallgeschwindigkeit relativ zum Beobachter:<br />
Gemessene Frequenz vor (nach) Beobachter:<br />
- MACHER KEGEL<br />
Schall wird in Konus mit Öffnungswinkel<br />
abgestrahlt