Klausurzusammenfassung Algebra ... - Frank Reinhold
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<strong>Klausurzusammenfassung</strong> <strong>Algebra</strong><br />
Examensvorbereitung<br />
<strong>Frank</strong> <strong>Reinhold</strong><br />
20. März 2012<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Gruppen 1<br />
Beispiele spezieller Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
Zyklische Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
Isomorphiesätze der Gruppentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
Autmorphismengruppe der rationalen Zahlen . . . . . . . 2<br />
Ordnung eines Gruppenelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Normalisator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen . 2<br />
Sylowgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Untergruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Zentrum einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Automorphismengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
2 Ringe 2<br />
Definition: Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Definition: Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
Charakterisierung von Ringen (aufsteigend) . . . . . . . . . 3<br />
Euklidische Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Irreduzibilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Multiplikativ-Inverse in K[X]/(f) finden. . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Cauchy-Produktformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Euler’sche ϕ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Nilpotenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln . . . . . . . . . 3<br />
Isomorphiesätze der Ringetheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Ringhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Rechnen Modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Einheiten und maximale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
3 Körper 4<br />
Zerfällungskörper eines Polynoms über Q. . . . . . . . . . . . 4<br />
Galoisgruppe einer Körpererweiterung. . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Elemente in Q(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
Primitive Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
Abbildungen in F q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1 Gruppen<br />
Beispiele spezieller Gruppen<br />
1. G = 〈g〉 für ein g der Ordnung n, dann heißt G zyklisch<br />
der Ordnung n. Typischerweise ist G = Z/nZ.<br />
2. Die Gruppe D n = 〈 x, y : x 2 = y n = 1, xyx = y −1〉 heißt<br />
Diedergruppe der Ordnung 2n.<br />
3. Es ist S n die Gruppe aller Permutationen einer Menge n,<br />
z. B. S 3 = 〈 σ, τ : σ 3 = τ 2 = 1, τσ = σ 2 τ 〉 .<br />
Zyklische Gruppen Eine zyklische Gruppe hat zu jedem<br />
Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe dieser<br />
Ordnung.<br />
Eine Gruppe von Primzahlpotenzordnung ist zyklisch.<br />
Ist K = F p n, so ist K × zyklisch der Ordnung (p n − 1).<br />
Der Körper Q(ζ n) hat die multiplikative Gruppe Q(ζ n) × , die<br />
die zyklische Gruppe 〈ζ n〉 enthält.<br />
Jede Untergruppe und jede Faktorgruppe einer zyklischen<br />
Gruppe sind zyklisch.<br />
Die Automorphismengruppe Aut(G) einer zyklischen Gruppe<br />
G der Ordnung n ist abelsch. Ist n = p k für eine Primzahl p,<br />
so ist Aut(G) zyklisch.<br />
Homomorphismen Seien G, H Gruppen und ϕ : G → H<br />
ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von ϕ<br />
ker(ϕ) = {g ∈ G : ϕ(g) = 1} G (1)<br />
ein Normalteiler und Das Bild von ϕ<br />
Im(ϕ) = {h ∈ H : ∃g ∈ G : ϕ(g) = h} ≤ G (2)<br />
eine Untergruppe. ϕ heißt injektiv genau dann, wenn ker(ϕ) =<br />
1. Für einen Gruppenhomomorphismus<br />
[<br />
η : H → Aut(G), h ↦→ η(h) = g ↦→ g h] (3)<br />
heißt<br />
G ⋊ H = {(g, h) : g ∈ G, h ∈ H} (4)<br />
zusammen mit der Verknüpfung<br />
(<br />
)<br />
(g 1 , h 1 )(g 2 , h 2 ) = g 1 g h−1 1<br />
2 , h 1 h 2<br />
(5)<br />
das semidirekte Produkt aus G und H.<br />
Isomorphiesätze der Gruppentheorie Sei G eine Gruppe<br />
mit Normalteiler N ⊳ G, π : G → G/N der kanonische<br />
Epimorphismus und H ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt<br />
• 1. Isomorphiesatz: HN ≤ G, H ∩ N H und HN/N ∼ =<br />
H/H∩N.<br />
• 2. Isomorphiesatz: Aus M G und N ≤ M (also auch<br />
N M) folgt (G/N)/(M/N) ∼ = G /M.<br />
1
• Korrespondenzsatz: Durch die Zuordnung U ↦→ π[U] =<br />
U/N ist eine Bijektion der Menge der Untergruppen U<br />
von G mit N ≤ U auf die Menge der Untergruppen von<br />
G/N definiert. Ebenso ist durch M ↦→ π[M] = M/N eine<br />
Bijektion der Menge der Normalteiler M von G mit N ≤<br />
M auf die Menge der Normalteiler von G/N definiert.<br />
Autmorphismengruppe der rationalen Zahlen Sei ϕ ∈<br />
Aut(Q, +) und a := ϕ(1) ∈ Q. Dann ist ϕ(n) = nϕ(1) = na<br />
für alle natürlichen Zahlen n ∈ N. Gleiches Vorgehen für ganze<br />
Zahlen und rationale Zahlen liefert die Automorphismengruppe.<br />
Untergruppe der Ordnung<br />
|UN| = |U| · |N| falls ggT(|U|, |N|) = 1. (9)<br />
Gruppen vom Index 2 sind normal.<br />
G heißt einfach, wenn 1 und G die einzigen Normalteiler sind.<br />
Eine endliche Gruppe G heißt nilpotent, wenn alle Sylowuntergruppen<br />
normal sind.<br />
Zentrum einer Gruppe<br />
Es ist<br />
Z(G) = {h ∈ G : gh = hg ∀g ∈ G} (10)<br />
Ordnung eines Gruppenelements Die Ordnung von g ∈<br />
G ist die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g n = e gilt.<br />
Ist G = F × H, so ist die Ordnung von g = (f, h) ∈ G gegeben<br />
durch ord(g) = kgV(ord(f), ord(h)).<br />
das Zentrum von G.<br />
Die Gruppe der inneren Auto-<br />
Automorphismengruppe<br />
morphismen von G ist<br />
Normalisator Sei G eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe.<br />
Dann ist der Normalisator von H in G<br />
N G (H) = { g ∈ G : gHg −1 = H } ≤ G. (6)<br />
Die Zahl der zu H konjugierten Untergruppen entspricht<br />
[G : N G (H)].<br />
Ist N ⊳ G und P eine p-Sylowgruppe von N. Dann gilt G =<br />
N · N G (P ).<br />
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen<br />
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einem,<br />
bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutig bestimmten direkten<br />
Produkt von zyklischen Gruppen, die entweder Primzahlpotenzordnung<br />
haben, oder die Gruppe Z sind.<br />
Beispiel: Sei |G| = 24 = 2 3·3. Dann ist G isomorph zu einer der<br />
Gruppen Z/3Z×Z/8Z, Z/3Z×Z/4Z×Z/2Z, Z/3Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z.<br />
Sylowgruppen Sei G eine endliche Gruppe. Zu jedem<br />
Primzahlpotenzteiler p k der Gruppenordnung existieren Untergruppen.<br />
Die Zahl n p der p-Sylowgruppen folgt dabei folgenden<br />
Gesetzmäßigkeiten<br />
1. n p ≡ 1 mod p.<br />
2. n p| ord(G)<br />
p k .<br />
Ist n p = 1, so ist die p-Sylowgruppe ein Normalteiler von G.<br />
Sind alle p-Sylowgruppen von G Normalteiler von G, so ist G<br />
abelsch.<br />
Einfache Gruppen Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie<br />
nur triviale Normalteiler besitzt.<br />
Satz von Lagrange<br />
Untergruppe N ≤ G<br />
Es gilt für eine Gruppe G mit einer<br />
|G| = |G/N| · |N| (7)<br />
Untergruppen Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe.<br />
Dann ist U ein Teiler von |G| und es bezeichnet<br />
den Index von U in G.<br />
[G : U] = |G|<br />
|U|<br />
(8)<br />
Inn(G) = { ϕ g : G → G, h ↦→ ghg −1 ∀g ∈ G } ≤ Aut(G).<br />
(11)<br />
Gruppenoperationen Eine Gruppe G operiert auf einer<br />
Menge M vermittels einer Abbildung<br />
G × M → M, (g, m) ↦→ gm. (12)<br />
Sei G eine Gruppe und M eine Menge. G operiert auf M.<br />
Dann ist für m ∈ M<br />
die Bahn von m und<br />
der Stabilisator von m.<br />
B m = {gm : g ∈ G} (13)<br />
G m = {g ∈ G : gm = m} (14)<br />
Sei m 1 , . . . , m s ein Repräsentantensystem für die Bahnen der<br />
gegebenen Operation von G auf M. Dann gilt<br />
|M| =<br />
s∑<br />
[G : G mj ] (15)<br />
j=1<br />
und |G m| := [G : G m] teilt |G|.<br />
Symmetrische Gruppe<br />
Die Ordnung eines k-Zykels ist k.<br />
Für n ≥ 3 ist S n nicht abelsch.<br />
Jedes π ∈ S n ist eindeutig als Produkt von paarweise disjunkten<br />
Zykeln darstellbar.<br />
|S n| = n!, |A n| = n!/2, A n ⊳ S n.<br />
2 Ringe<br />
Definition: Ring<br />
Ring, falls gilt:<br />
1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe.<br />
Eine algebraische Struktur (R, +, ·) heißt,<br />
2. (R, ·) ist eine Halbgruppe, d. h. eine zweiseitige Verknüpfung<br />
auf R, die das Assoziativgesetz erfüllt.<br />
3. Es gelten die Distributivgesetze: Für alle a, b, c ∈ R ist<br />
a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc.<br />
Ein Ring heißt kommutativ, falls die Verknüpfung · kommutativ<br />
ist. Ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich ·<br />
heißt Ring mit 1.<br />
Normalteiler Sei G eine Gruppe, U ≤ G eine Untergruppe<br />
und N G ein Normalteiler. Dann ist auch UN ≤ G eine<br />
Definition: Ideal Eine Teilmenge I ⊂ R eines kommutativen<br />
Ringes R heißt ein Ideal von R, wenn gilt:<br />
2
1. I ≠ ∅.<br />
2. Für alle a, b ∈ I ist a − b ∈ I.<br />
3. Für alle r ∈ R und alle a ∈ I ist ra ∈ I.<br />
Ein Hauptideal ist ein Ideal, das von nur einem Element erzeugt<br />
wird: I = (a), a ∈ R.<br />
Ein Ideal heißt maximal, wenn für alle Ideale J ⊆ R gilt, dass<br />
aus I ⊆ J und J ≠ R schon I = J folgt.<br />
Es gilt für I = (r) mit r ∈ R ∗ , dass I = R ist.<br />
Charakterisierung von Ringen (aufsteigend) Integritätsring:<br />
Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1, die<br />
verschieden von 0 ist, heißt Integritätsring.<br />
Faktorieller Ring: Ein Integritätsring, in dem alle Elemente<br />
außer 0 eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen,<br />
heißt faktorieller Ring.<br />
Hauptidealring: Ein faktorieller Ring, in dem jedes Ideal ein<br />
Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.<br />
Euklidischer Ring: Ein Hauptidealring mit einer euklidischen<br />
Norm N : R \ {0} → N 0 mit:<br />
1. Für alle x, y ∈ R \ {0} gibt es q, r ∈ R mit x = qy + r mit<br />
r = 0 oder N(r) < N(y).<br />
2. Für alle x, y ∈ R \ {0} gilt stets N(xy) ≥ N(x).<br />
heißt Euklidischer Ring.<br />
Euklidische Ringe Vorgehen: bei Ringen wie etwa<br />
R := Z[i √ {<br />
2] = a + ib √ }<br />
2 : a, b ∈ Z ⊂ C. (16)<br />
Bestimme eine Normfunktion anhand der üblichen Norm im<br />
Komplexen<br />
N(z) = R(z) 2 + I(z) 2 . (17)<br />
Primelemente p haben die Eigenschaft, dass sie sich nicht<br />
durch zwei Elemente aus R \ R ∗ darstellen lassen, d. h. es gibt<br />
kein r ∈ R mit N(r) = p, da sonst N(r 2 ) = p 2 = N(p) wäre.<br />
In solchen Ringen funktioniert der euklidische Algorithmus, da<br />
eine Division mit Rest existiert. Damit lässt sich der ggT zweier<br />
Zahlen bestimmen. Bestimme dazu zunächst die größere der<br />
beiden Zahlen mit N(x) > N(y). Bilde anschließend den Quotienten<br />
x<br />
y = xȳ<br />
N(y) = a + ib√ 2 (18)<br />
und Runde a, b auf Zahlen in Z. Anschließend folge dem euklidischen<br />
Algorithmus wie gewohnt.<br />
Irreduzibilität Ein Polynom von Grad deg f ∈ {2, 3} ist<br />
genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat.<br />
Ein Polynom von Grad deg f = 4 ohne Nullstelle ist entweder<br />
irreduzibel, oder das Produkt zweier irreduzibler Polynome<br />
mit deg g = 2.<br />
Gauß: Ist ein Polynom f(X) ∈ Z[X] irreduzibel über Z, dann<br />
auch über Q.<br />
Ist ein Polynom irreduzibel über Z/nZ, dann auch über Z.<br />
Eisenstein: Ist f(x) = ∑ n<br />
i=1 a ix i mit a n ≠ 0 und p eine<br />
Primzahl (bzw. ein Primelement) mit p ∤ a n, p|a i für alle<br />
i = 0, . . . , n − 1 und p 2 ∤ a 0 , dann ist f irreduzibel.<br />
Artin-Schreier: Ein Artin-Schreier Polynom, also ein Polynom,<br />
von der Form X p − X + C mit einer Primzahl p hat<br />
entweder eine Nullstelle, oder ist irreduzibel.<br />
Es ist f(x) irreduzibel, genau dann wenn f(x − d) irreduzibel<br />
ist.<br />
Ist f irreduzibel über K, so ist \K[X](f) ein Körper. Dazu:<br />
Ist F p ein Körper, dann ist F p[X] ein Hauptidealring. Weil<br />
K genau dann ein Körper ist, wenn (f) ein maximales Ideal<br />
ist und in Hauptidealringen genau die Primelemente maximal<br />
sind, sowie die Eigenschaft prim und irreduzibel in Hauptidealringen<br />
äquivalent sind, gilt das besagte.<br />
Multiplikativ-Inverse in K[X]/(f)<br />
∑<br />
finden Sei f(X) =<br />
n<br />
i=1 a iX i , a n ≠ 0. Dann ist { 1, X, . . . , X n−1} eine Basis<br />
des Körpers K[X]/(f), falls f irreduzibel ist und es gilt<br />
n−1 ∑<br />
X n = − a i X i . (19)<br />
i=1<br />
Dann ist das Inverse g(X) von h(X) mit folgendem Ansatz zu<br />
bestimmen:<br />
n−1 ∑<br />
g(X) = b i X i , (20)<br />
i=1<br />
g(x) · h(x) = 1. (21)<br />
Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem<br />
für die b i .<br />
Cauchy-Produktformel für die Multiplikation von Potenzreihen:<br />
Es gilt<br />
(<br />
∑ ∞<br />
) ( ∞<br />
) (<br />
∑<br />
∞∑ n<br />
)<br />
∑<br />
α i x i · β i x i = α k β n−k x i (22)<br />
i=0<br />
i=0<br />
Euler’sche ϕ-Funktion<br />
Primfaktorzerlegung<br />
n =<br />
i=0<br />
k=0<br />
Ist n ∈ N eine natürliche Zahl mit<br />
m∏<br />
i=1<br />
so ist der Wert der ϕ-Funktion<br />
ϕ(n) =<br />
m∏<br />
i=1<br />
Insbesondere gilt für Primzahlen q<br />
p r i<br />
i , (23)<br />
p r i−1<br />
i (p i − 1)) . (24)<br />
ϕ(q m ) = q m−1 (q − 1), (25)<br />
ϕ(q) = q − 1. (26)<br />
Chinesischer Restsatz Sei R = Z/pqZ mit Primzahlen p, q.<br />
Dann ist<br />
R = Z/pqZ ∼ = Z /pZ × Z/qZ, a ↦→ (a 1 , a 2 ). (27)<br />
Insbesondere gelten Voraussetzungen für a auch für das Tupel<br />
(a 1 , a 2 ). Die Umkehrabbildung ist eine Spielerei. Ist das<br />
Inverse zu (x, y) gesucht, so muss das Gleichungssystem<br />
gelöst werden.<br />
a ≡ x mod p, a ≡ y mod q, (28)<br />
Nilpotenz Ein Element a ∈ R heißt nilpotent, wenn es eine<br />
natürliche Zahl n ∈ N gibt, sodass a n = 0.<br />
Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln<br />
n-ten Kreisteilungspolynome gilt<br />
Für die<br />
f ζn (X) = Xn − 1<br />
∏<br />
i|n f ζ i<br />
(X) . (29) 3
Insbesondere ist deg(f ζn (X)) = ϕ(n). Die n-te komplexe Einheitswurzel<br />
ist<br />
( ) 2πi<br />
ζ n = exp , (30)<br />
n<br />
und erfüllt die Gleichung<br />
ζn n = 1. (31)<br />
Isomorphiesätze der Ringetheorie Sei R ein kommutativer<br />
Ring mit dem Ideal I, π : R → R/I der kanonische Epimorphismus<br />
und S ein Unterring von R. Dann ist I + S ein<br />
Unterring von R mit dem Ideal I und es gilt<br />
• 1. Isomorphiesatz: (I+S)/I ∼ = S /S∩I.<br />
• 2. Isomorphiesatz: Ist A ⊆ I ein Ideal, so ist (R/A)/(I/A) ∼ =<br />
R/I.<br />
• Korrespondenzprinzip: Durch die Zuordnung J ↦→ π[J] =<br />
J/I := {a + I : a ∈ J} ist eine Bijektion von der Menge<br />
der Ideale (Primideale, maximalen Ideale) J von R mit<br />
I ⊆ J auf die Menge der Ideale (Primideale, maximalen<br />
Ideale) von R/I definiert.<br />
Ringhomomorphismen Seien R, S Ringe. Eine Abbildung<br />
ϕ : R → S heißt Ringhomomorphismus, falls ϕ(x + y) =<br />
ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ R. Die Menge<br />
ker(ϕ) = {r ∈ R : ϕ(r) = 0} (32)<br />
ist ein Ideal in R und heißt der Kern von ϕ. Das Bild von ϕ<br />
ist definiert als<br />
im(ϕ) = {s ∈ S : ∃r ∈ R : ϕ(r) = s} (33)<br />
und ist ein Teilring von S.<br />
Jeder Ringhomomorphismus ϕ : R → S induziert einen Isomorphismus<br />
Rechnen Modulo<br />
R/ker(ϕ) ∼ −→ im(ϕ), ¯r ↦→ ϕ(r). (34)<br />
Es gilt<br />
Z[X]/(p,f(X) ∼ = (Z[X]/pZ) /(f(X)) ∼ = Fp[X] /(f(X)). (35)<br />
Einheiten und maximale Ideale Sei M die Vereinigung<br />
aller maximalen Ideale, dann gilt R × = R \ M. Insbesondere<br />
ist x ∈ R × , so ist bereits (x) = R.<br />
Für einen Körper K gilt K × = K \ {0}, für Z ist Z × = {±1},<br />
für Z/nZ ist (Z/nZ) × = {a mod n : ggT(a, n) = 1}.<br />
Quadratische Reste Sei p ∈ Z eine Primzahl. Für z ∈ Z<br />
definiere<br />
⎧<br />
( ) z<br />
⎪⎨ 0 p|z<br />
= 1 z mod p ist ein Quadrat in F p . (36)<br />
p ⎪⎩<br />
−1 z mod p ist kein Quadrat in F p<br />
Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Seien p, q Primzahlen und<br />
z, z 1 , z 2 ∈ Z. Dann gilt<br />
( ) ( )<br />
1. Ist z 1 ≡ z 2 mod p, dann gilt z1p<br />
= z2p<br />
.<br />
( ) ( ) ( )<br />
2. z1 z 2<br />
= z1p z2p<br />
.<br />
p<br />
( )<br />
3. z<br />
≡ z p−1<br />
2 mod p.<br />
p<br />
3 Körper<br />
Zerfällungskörper eines Polynoms über Q Ein<br />
Zerfällungskörper von f ist ein kleinste Körper, über dem das<br />
Polynom f vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Finde dazu<br />
alle Nullstellen des Polynoms f. Adjungiere alle Nullstellen<br />
β i von f zu Q, sodass gilt<br />
β j /∈ Q(β i ), ∀i ≠ j. (37)<br />
Der Grad des Zerfällungskörpers L ist dann<br />
n∏<br />
n∏<br />
[L : Q] = [Q(β i ) : Q] = deg(f βi (x)), (38)<br />
i=1<br />
i=1<br />
mit β i nach obigen Kriterien in der Anzahl minimiert und<br />
f βi (x) das Minimalpolynom von β i , als das irreduzible, normierte<br />
Polynom über Q, das β i als Nullstelle besitzt.<br />
Ist β i = ζ n eine n-te Einheitswurzel, so ist<br />
mit ϕ der Euler’schen ϕ-Funktion.<br />
[Q(ζ n) : Q] = ϕ(n), (39)<br />
Galoisgruppe einer Körpererweiterung Eine<br />
Körpererweiterung heißt galoisch, wenn sie normal (d. h.<br />
jedes Polynom, das eine Nullstelle hat, zerfällt in Linearfaktoren)<br />
und separabel (d. h. für jedes a ∈ L besitzt das<br />
Minimalpolynom f a(x) über K keine mehrfachen Nullstellen)<br />
ist. In Körpern wie Q mit Char(Q) = 0 ist jede normale<br />
Körpererweiterung bereits galoissch.<br />
Ist L der Zerfällungskörper eines über Q irreduziblen Polynoms<br />
f mit deg f = n, so ist die Galoisgruppe<br />
eine Untergruppe der S n. Gilt zusätzlich<br />
so folgt schon, dass G ≡ S n.<br />
G := Gal (L/Q) ≤ S n (40)<br />
|S n| = n! = [L : Q], (41)<br />
Ist L der Zerfällungskörper von f = g · h mit deg g = n,<br />
deg h = m, so permutiert die Glaoisgruppe die Nullstellen von<br />
g und h getrennt und ist damit eine Untergruppe von S n ×S m<br />
G := Gal (L/Q) ≤ S n × S m. (42)<br />
Die Galoisgruppe permutiert die Nullstellen von f, man kann<br />
also die Erzeuger der Gruppe bestimmen. Die Relation σ n =<br />
τ m = 1 und στ = τ p σ charakterisieren die Gruppe eindeutig.<br />
Ihre Untergruppen sind<br />
〈<br />
1, G, 〈σ〉 , 〈τ〉 , 〈στ〉 , σ 2 τ 〉 , . . . (43)<br />
Insbesondere ist für jede komplexe Nullstelle λ eines reellwertigen<br />
Polynoms auch das komplex Konjugierte ¯λ eine Nullstelle<br />
von f und damit die komplexe Konjugation ein Element der<br />
Galoisgruppe von Ordnung 2.<br />
Finde Elemente der Galoisgruppe τ ∈ Gal mit | 〈τ〉 | = x durch<br />
x = ord(τ). Beispiel: Finde τ ∈ Gal(Q(ζ 11/Q) mit | 〈τ〉 | = 2.<br />
Dann suche τ k : ζ ↦→ ζ k mit 2 = ord(τ k ) = ord(k mod 11).<br />
Hauptsatz der Galoistheorie Zu jeder Untergruppe der<br />
Galoisgruppe gibt es einen Zwischenkörper<br />
L 〈σ〉 = Q(α), (44)<br />
wobei α das Element in L ist, das von σ fix gelassen wird.<br />
Elemente in Q(α) Jedes Element x ∈ Q(α) ist von der<br />
Form x = q 1 + q 2 α mit q 1 , q 2 ∈ Q. Es ist {1, α} eine Basis“ ”<br />
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von Q(α).<br />
Primitive Elemente Ein Element α ∈ E heißt primitiv,<br />
wenn E = K(α) gilt, wobei E ein Erweiterungskörper von K<br />
ist.<br />
Die Zahl der primitiven Elemente in E ist die Zahl der Elemente<br />
in E abzüglich der Zahl der Elemente im größten Zwischenkörper<br />
der Körpererweiterung.<br />
Abbildungen in F q Jede Abbildung φ : F q → F q lässt<br />
sich als Polynomiale Abbildung x ↦→ f(x) mit deg f ≤ q − 1<br />
darstellen. Sei nämlich<br />
f(x) = ∑<br />
a∈F q<br />
φ(a) ( 1 − (b − a) q−1) , (45)<br />
(b − a) q−1 =<br />
{<br />
0 b = a<br />
1 sonst . (46)<br />
Außerdem ist (x + y) q = x q + y q in F q.<br />
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