Zusammenfassung (Claudia H.)

INHALTSVERZEICHNIS 1
Physik II
Universität Regensburg, Sommersemester 2008
Prof. Christian Schüller
Zusammenfassung
Inhaltsverzeichnis
I Einführung 5
1 Kräfte zwischen ruhenden Ladungen: Elektrostatik 5
2 Kräfte zwischen bewegten Ladungen: Magnetische Kräfte 6
3 Das elektromagnetische Feld 6
II Grundlagen der Elektrostatik 6
4 Die Elementarladung 7
5 Das Coulombsche Gesetz 7
6 Das elektrische Feld 8
7 Das elektrische Potential 8
8 Das elektrische Feld als Gradient des Potentials 9
9 Der Gauÿsche Satz der Elektrostatik 11
III Verschiedene Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik 11
10 Das elektrostatische Feld einer unendlich ausgedehnten, ebenen Ladungsschicht 12
11 Das elektrische Feld eines Plattenkondensators 12
12 Unendlich langer, geladener Draht und Koaxialkabel 14
13 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel 14
14 Leiter in einem statischen elektrischen Feld 15
15 Spitzen in starken elektrischen Feldern 16
16 Das Rastertunnelmikroskop 16
17 Der Faradaysche Käg 16
18 Inuenz 17
19 Das elektrische Feld zwischen geladenen Leitern und die Bildladung 17
20 Die Energie des elektrischen Feldes 17
21 Die Abschirmung elektrischer Potentiale in leitenden Medien 18

INHALTSVERZEICHNIS 2
IV Isolatoren im elektrischen Feld 19
22 Die Gleichungen der Elektrostatik in einem Dielektrikum 19
23 Die Polarisierbarkeit von Atomen in elektrischen Wechselfeldern 21
24 Die Dieelektrizitätskonstante eines Plasmas und Plasmaschwingungen 22
25 Die Orientierungspolarisation 22
26 Die Dielektrizitätskonstante eines dichten Mediums 23
27 Elektrische Polarisation in festen Körpern 24
V Der elektrische Strom 25
28 Stromdichte, Strom und Ladungserhaltung 25
29 Elektrische Leitfähigkeit und das Ohmsche Gesetz 26
30 Mikroskopisches Modell für das Ohmsche Gesetz 26
31 Elektronenleitung in festen Körpern 27
32 Ionenleitung in Elektrolytlösungen 28
33 Die elektrische Leistung eines Stromes in einem Widerstand 28
34 Elektromotorische Kraft 29
35 Austrittsarbeit, Kontaktspannung und Thermospannung 31
36 Stromkreise und Stromverzweigungen (Kirchhosche Regeln) 32
VI Das magnetische Feld 32
37 Das Ampèresche Gesetz 33
38 Das Biot-Savartsche Gesetz 34
39 Der relativistische Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern 35
VII Die Bewegung von geladenen Teilchen im magnetischen Feld 35
40 Die magnetische Kraft auf einen stromführenden Draht 35
41 Der Hall-Eekt 35
42 Der magnetohydrodynamische Generator (MHD-Generator) 36
43 Bewegte metallische Leiter (Generatorprinzip) 36
44 Kraftwirkungen auf einen magnetischen Dipol im magnetischen Feld 37
45 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld 38
46 Bahnen geladener Teilchen im Magnetfeld der Erde 39

INHALTSVERZEICHNIS 3
VIII Induktionserscheinungen 39
47 Das Faradaysche Induktionsgesetz 39
48 Die Lenzsche Regel 40
49 Beispiele zum Induktionsgesetz 40
50 Die Selbstinduktion 41
51 Die Energie des magnetischen Feldes 43
52 Der elektrische Schwingkreis 43
53 Erzwungene elektrische Schwingungen 44
54 Gekoppelte Schwingkreise 45
55 Erzeugung ungedämpfter Schwingungen 45
56 Wechselstromleistung 46
IX Wechselstromlehre 46
57 Komplexe Widerstände 47
58 Hoch- und Tiefpässe 48
X Materie im Magnetfeld 49
59 Die Magnetisierung der Materie 49
60 Feldgleichungen in Materie 51
XI Elektromagnetische Wellen 52
61 Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes für zeitlich veränderliche Felder: der Verschiebungsstrom
52
62 Die Maxwellschen Gleichungen 52
63 Die Wellenausbreitung im Vakuum 53
63.1 Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
63.2 Ebene elektrische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
63.3 Periodischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
63.4 Das Magnetfeld elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
64 Die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle und der Poynting-Vektor 55
65 Geführte elektrische Wellen 55
65.1 Das Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
65.2 Der Rechteck-Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
66 Strahlung von einem oszillierenden elektischen Dipol (Hertzscher Dipol) 56
67 Die Streuung elektromagnetischer Strahlung an Atomen 58

INHALTSVERZEICHNIS 4
XII Einige Anwendungen 59
68 Drehspulinstrument 59
69 Oszilloskop 60
70 Magnetisch gespeicherte Information 60
71 Informationsübertragung/Rundfunktechnik 61
72 Transformator 61
73 Wheatstonsche Brückenschaltung 62
74 Triode/Diode 63

5
Teil I
Einführung
1 Kräfte zwischen ruhenden Ladungen: Elektrostatik
(Coulombsches Gesetz)
F 1
4πɛ 0
¤ q 1q 2
r 2 (1.1)
Das Coulombsche Gestetz beschreibt nicht nur die Kräfte zwischen geladenen, makroskopischen Körpern, sondern
auch zwischen dem Atomkern und den Elektronen des AToms.
Zwischen elektrostatischen und Gravitations-Kräften gibt es einen qualitativen und einen quantitativen wesentlichen
Unterschied:
1. Während Massen sich immer anziehen, gibt es bei Ladungen auch abstoÿende Kräfte, nämlich zwischen
Ladungen gleichen Vorzeichens.
2. Die elektrostatische Kraft zwischen zwei Protonen ist etwa 10 36 -mal stärker als die Gravitationsanziehung
zwischen ihnen.
Gewitter
Im Inneren einer Gewitterwolke werden sehr eektiv positive und negative Ladungen voneinander
getrennt. Die Ursache der Ladungstrennung liegt wohl im Kontakt von Eisteilchen und üssigen
Wassertröpfchen, die eine unterschiedliche Anität für Eletrkonen besitzen und sich daher beim
Kontakt miteinadner unterschiedlich auaden. Die zwischen positiv und negativ geladenen Wolken
oder zwischen den Wolken und der Erde sich aufbauenden starken elektrischen Kräfte führen
zu den bekannten Blitzentladungen, die in der Regel alle 10 Minuten eine Ladung von 10C zur
Erdoberäche abführen.
Die Katze
Bringt man zwei verschiedene Körper, z.B. einen Glasstab und ein Katzenfell, in Berührung miteinander,
so ndet im Allgemeinen an der Grenzäche eine Ladungstrennung statt, weil der eine
Körper Ladungen fester binden kann als der andere. Trennt man die Körper nach der Berührung,
so ist der eine Körper negativ und der andere positiv geladen. Da die Gröÿe der getrennten Ladungen
mit der wirksamen Berührungsäche wächst, lässt sie sich durch gegensteitiges Reiben
steigern.
Definition 1.1 Es gibt Materialien, in denen sich Ladungen leicht bewegen, sogenannte Leiter, und andere
Stoe, sogenannte Isolatoren, ohne elektrisches Leitvermögen.
Wir gehen davon aus, das an jedem Ort, an dem auf eine kleine Testladung q eine Kraft ⃗ F ausgeübt wird, ein
elektrisches Feld ⃗ E existiert:
Definition 1.2 (Elektrische Feldstärke)
⃗E ⃗ F
q
Das elektrische Feld lässt sich statt durch Feldstärkevektoren auch durch Kraftlinien - auch Feldlinien genannt
- kennzeichnen. Denitionsgemäÿ liegen sie überall parallel zum elektrischen Feldstärkevektor, und ihre Dichte
gibt den Betrag der Feldstärke an.
(1.2)

2 KRÄFTE ZWISCHEN BEWEGTEN LADUNGEN: MAGNETISCHE KRÄFTE 6
2 Kräfte zwischen bewegten Ladungen: Magnetische Kräfte
Lorentz-Kraft: ⃗ F qp⃗v ¢ ⃗ Bq q ¤ v ¤ B ¤ sin ϕ (1.3)
Magnetfeld der Erde an der Erdoberäche im Mittel: 5 ¤ 10 ¡5 T
Da die Lorentz-Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt, ändert sich unter dem Einuss magnetischer
Kräfte nur die Richtung, nie aber der Betrag von ⃗v. Die kinetische Energie geladener Teilchen bleibt also beim
Durchiegen magnetischer Felder unverändert.
Definition 2.1 Bewegte oder ieÿende elektrische Ladungen bezeichnet man als elektrischen Strom.
I dq
dt
Wenn am Stromtransport n Ladungsträger pro Volumeneinheit beteiligt sind, die sich alle mit gleicher Geschwindigkeit
⃗v nach rechts bewegen, dann ergibt sich ein Gesamtstrom:
I A ¤ n ¤ q ¤ v A ¤ j
Hierbei ist A die Querschnittsäche des Drahtes und j wird die Stromdichte genannt:
j
Strom
Querschnittsäche
Bringt man diesen stromdurchossenen Draht in das Magnetfeld eines Hufeisenmagneten, so erfährt er eine
seitlich wirkende Lorentz-Kraft
⃗F l ¤ A ¤ n ¤ q ¤ p⃗v ¢ ⃗ Bq l ¤ p ⃗ I ¢ ⃗ Bq
Stromdurchossenen Leiter erzeugen ein Magnetfeld. Die magnetischen Kraftlinien umschlieÿen den stromdurch-
ossenen Draht kreisförmig, fangen also an keiner Stelle an, sondern sind in sich geschlossen.
3 Das elektromagnetische Feld
B µ 0
2π ¤ I r
Ruhende Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld. Durch die BEwegung von Ladungen entsteht zusätzlich ein
magnetisches Feld.
Sowohl das elektische als auch das magnetische Feld von Ladungen verändern sich, wenn man von einem Bezugssystem
zu einem anderen übergeht.
Für zeitlich veränderliche Felder gilt die Unabhängigkeit der Felder ⃗ E und ⃗ B voneinander nicht mehr.
Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt in der Umgebung automatisch auch ein elektrisches Feld und in
analoger Weise führt ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld auch zu einem Magnetfeld. Die symmetrische
Kopplung zwischen zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern fand ihren mathematischen
Ausdruck in dem Maxwellschen Gleichungen.
Die wichtigste Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen liegt in dem erstmaligen Verständnis der Ausbreitung
von elektromagnetischen Wellen. Nach der MAxwellschen Theorie sollten sich alle elektromagnetischen Wellen
mit der charakteristichen Geschwindigkeit
(1.4)
(1.5)
(1.6)
c 1 ?
µ0 ɛ 0
Lichtgeschwindigkeit (1.7)
fortpanzen.
Ein geladenes Teilchen unter dem gleichzeitigen Einuss von elektrischen und magnetischen Feldern erfährt eine
Gesamtkraft
¡ ©
⃗F q ⃗E ⃗v ¢ B ⃗ (1.8)
Diese Kraft wird als Verallgemeinerung häug auch als Lorentz-Kraft bezeichnet.

Teil II
Grundlagen der Elektrostatik
4 Die Elementarladung
7
Millikan: Elektrische Ladung ist quantisiert, kleinste Einheit ist die Elementarladung e
Quarks
Atome
Alle frei in der Natur vorkommenden Elementarteilchen besitzen eine positive oder negative Elementarladung,
wenn sie nicht elektrisch neutral sind. Dies ist eine Erfahrungstatsache, die theoretisch
kaum verstanden ist. Es wurden auch Teilchen, sogenannte Quarks, mit Ladungen ¨ 1
3 e und
¨ 2
3e theoretisch postuliert. Ihre Existesnz konnte inzwischen in verschiedenen Streuexperimenten
nachgewiesen werden. Sie kommen, als gebundene Teilchen in Hadronen vor.
Atome sind aus geladenen Teilchen, den Elektronen und Kernen, aufgebaut. Letztere sind gebundene
Systeme aus einfach positiv geladenen Protonen und ungeladenen Neutronen. Normalerweise
besitzt ein Atom die gleiche Zahl von Protonen und Elektronen, so dass es nach auÿen als
ungeladen oder elektrisch neutral erscheint.
(Ladungserhaltung) Die Summe der positiven und negativen Ladungen in einem abgeschlossenen
System ändert sich nie.
(Ladungsinvarianz) Die Ladung von Elementarteilchen ist relativistisch invariant, sie ändert sich also
nicht mit der Geschwindigkeit des Teilchens.
5 Das Coulombsche Gesetz
⃗F 1 q 1 q 2 ⃗r
4πɛ 0 r 2 r
Coulombsches Gesetz (2.1)
Dabei drückt der Einheitsvektor ⃗r r
aus, dass die Kraft auf der Verbindungsgeraden beider Ladungen liegt. Bei
gleichem Vorzeichen der Ladungen stoÿen sie sich ab, bei umgekehrtem Vorzeichen erfolgt anziehung.
Rutherfordsche Streuexperimente: Beweis, dass die Coulombkraft bis herab zu Abständen von r 10 ¡14 m noch
dtreng dem Coulombgesetz folgt.
Die experimentelle Beobachtung zeigt, dass sich Gesamtkraft vektoriell aus Teilkräften zusammensetzt:
wobei ⃗e 1 ⃗r1
r 1
und ⃗e 2 ⃗r2
r 2
⃗F F ⃗ 1 F2 ⃗ 1 qq 1
4πɛ 0 r1
2 ¤ ⃗e 1
Einheitsvektoren in Richtung von ⃗r 1 und ⃗r 2 sind.
1 qq 2
4πɛ 0 r2
2 ¤ ⃗e 2 (2.2)
Superpositionsprinzip
Die Einzelkräfte zwischen je zwei Ladungen überlagern sich einfach, ohne dass die Gegenwart einer
Ladung irgendeinen Einuss auf die Kräfte zwischen den anderen Ladungen ausübt. Dieses
Prinzip der vektoriellen Addition von Kräften heiÿt Superpositionsprinzip.

6 DAS ELEKTRISCHE FELD 8
6 Das elektrische Feld
Eine Punktladung q 1 die sich am Ort ⃗r 1 bendet erzeugt an einem anderen Punkt P 0 am Ort ⃗r 0 eine elektrische
Feldstärke:
⃗Ep⃗r 0 q 1 q 1
4πɛ 0 r01
2 ⃗e 01 (2.3)
mit ⃗r 01 ⃗r 0 ¡ ⃗r 1 und ⃗e 01 als zugehöriger Einheitsvektor
Der Feldstärkevektor ist damit von positiven Punktladungen weg und zu negativen Punktladungen hin gerichtet.
Betrachte N Ladungen q j , Superpositionsprinzip
⃗Ep⃗r 0 q 1
4πɛ 0
Ņ
q j
r 2 j1 0j
⃗e 0j (2.4)
Definition 6.1 (räumliche Ladungsdichte)
ρp⃗rq
∆qp⃗rq
lim
∆V Ñ0 ∆V p⃗rq dq
dV
kontinuierliche Ladungsverteilung:
Betrachte Volumenelement dV 1 mit Ladung ρ ¤ dV 1 , Beitrag: d ⃗ E 1
ρdV 1
4πɛ 0 r01
2
⃗e 01 und erhalten
(2.5)
7 Das elektrische Potential
⃗Ep⃗r 0 q 1
4πɛ 0
»V
ρp⃗r 1 qdV 1
⃗r 01
2 ⃗e 01 (2.6)
Definition 7.1 (Potentielle Energie) Die potentielle Energie einer Ladung q 0 im Abstand r 01 von
einer anderen Ladung q 1 ist deniert als der negative Wert der Arbeit, die sich ergibt, wenn man die Ladung
q 0 aus dem Unendlichen auf den Abstand r 01 an q 1 heranführt. Damit ist die potentielle Energie U pot einer
Ladung q 0 am Ort r 0 im Abstand r 01 von q:
U pot p⃗r 0 q ¡
» ⃗r0
8
⃗F d⃗r ¡ 1
4πɛ 0
» r01
8
q 0 q 1
r 2 dr 1
4πɛ 0
q 0 q 1
r 01
(2.7)
Definition 7.2 (Elektrostatisches Potential) Als elektrostatisches Potential ϕp⃗r 0 q am Ort ⃗r 0
wird entsprechend der negative Wert der Arbeit bezeichnet, um eine psotivie Einheitsladung in einem elektrischen
Feld vom Unendlichen bis nach ⃗r 0 heranzuführen:
ϕp⃗r 0 q ¡
Potential einer Punktladung q 1 am Ort ⃗r 0 im Abstand r 01 von der Punktladung:
» ⃗r0
8
⃗Ep⃗rq d⃗r (2.8)
ϕp⃗r 0 q 1
4πɛ 0
q 1
r 01
(2.9)
Definition 7.3 (Äquipotentiallinien) Betrachtet man das Potential ϕprq in Einheiten von Volt im
Abstand r von einem Proton sieht man: Orte gleichen Potentials sind Kugelschalen um das Proton und werden
Äquipotentiallinien genannt.
Es ist keine resultierende Arbeit zu leisten, wenn man die Einheitsladung im elektrostatischen Feld E ⃗ auf einer
beliebigen geschlossenen Bahn herumführt: ¾
⃗E d⃗r 0 (2.10)
wenn man über eine geschlossene Kurve oder Linie C in einem elektrostatischen Feld.
C

8 DAS ELEKTRISCHE FELD ALS GRADIENT DES POTENTIALS 9
Die Zirkulation des elektrischen Feldes ist null oder das elektrische Feld ist wirbelfrei.
Mit ρp⃗rq ortsabhängiger Ladungsdichte erhält man:
ϕp⃗r 0 q 1
4πɛ 0
»V
ρp⃗r 1 q
r 01
dV 1 (2.11)
Definition 7.4 (Spannung) Die Potentialdierenz zwischen zwei Punkten ⃗r 1 und ⃗r 2 eines elektrischen
Feldes wird als elektrische Spannung bezeichnet und gibt den negativen Wert der Arbeit an, die man erhält,
wenn man eine Einheitsladung von ⃗r 1 nach ⃗r 2 bringt.
U 21 ϕp⃗r 2 q ¡ ϕp⃗r 1 q ¡
8 Das elektrische Feld als Gradient des Potentials
¢
Bϕ
⃗E ¡ ⃗e 1
B x
» r2
r 1
⃗ Ep⃗rq d⃗r (2.12)
E x ¡ Bϕ
B x
, E y ¡ Bϕ
B y
, E z ¡ Bϕ
B z
(2.13)
⃗e 2
Bϕ
B y
Der elektrische Feldvektor steht immer senkrecht auf den Äquipotentialächen.
⃗e 3
Bϕ
B z
¡gradpϕq ¡ ⃗ ∇ϕ (2.14)
Potential und Feldstärke eines elektrischen Dipols
Wir betrachten zwei Punktladungen q und ¡q die im Abstand d auf der z-Achse eines Koordinatensystems
so angeordnet sein sollen, dass der Koordinatenursprung in der Mitte der beiden
Ladungen liegt.
Potential ϕpx, y, zq eines solchen Dipols im Punkt ⃗r px, y, zq:
¤
ϕpx, y, zq 1 ¥
4πɛ 0
q
b
x 2 y 2 z ¡ d ¨2
2
Fernfeldnäherung: r " d Verwende: x ! 1 ñ ? 1 x 1 ¡ x 2
b
¡q
x 2 y 2 z
d
2
¨2
(2.15)
ñ ϕpx, y, zq 1
4πɛ 0
qdz
r 3 (2.16)
Definition 8.1 Das Produkt q ¤ ⃗ d wird als Dipolmoment ⃗p bezeichnet:
⃗p q ¤ ⃗ d
Der Vektor zeigt von der negativen Ladung zur positiven Ladung.
Andere Formulierung:
ϕprq 1
4πɛ 0
p cos θ
r 2 1
4πɛ 0
⃗p⃗r
r 3 (2.17)

8 DAS ELEKTRISCHE FELD ALS GRADIENT DES POTENTIALS 10
Das elektrische Feld erhält man durch Gradientenbildung aus dem Potential. Für ⃗p p0, 0, pq ergibt
sich
E x ¡ Bϕ
Bx p 3zx
4πɛ 0 r 5
E y ¡ Bϕ
By p 3zy
4πɛ 0 r 5
E z ¡ Bϕ
Bz p 3 cos 2 θ ¡ 1
4πɛ 0 r 3
Das Feld ist rotationssymmetrisch um die Dipolachse ñ elektrisches Feld kann in zwei Komponenten
zerlegt werden, senkrecht un parallel zur Dipolachse:
b
E K Ex 2 Ey 2
p 4 cos θ sin θ
4πɛ 0 r 3
Dipolmoment von Molekülen
E ‖ E z
p 3 cos 2 θ ¡ 1
4πɛ 0 r 3
Viele zweiatomige Molek+le besitzen ein natürliches permanentes Dipolmoment. Im HCl-Molekül
zum Beispiel hält sich das Elektron des Wasserstoatoms hauptsächlich in der Nähe des Chloratoms
auf, so dass positiver und negativer Ladungsschwerpunkt nicht zusammenfallen. Es bildet
sich HCl mit einem Dipolmoment.
Bemerkung 8.1 Dipolmomente lassen sich vektoriell addieren
Andererseits kann man auch in Atomen, welche an sich kein Dipolmoment besitzen, durch das
Anlegen eines elektrischen Feldes eine Ladungsverschiebung hervorrufen und damit ein elektrisches
Dipolmoment induzieren.
Jede Ladungsverteilung erzeugt im Raum ein elektrisches Feld. Dieses Feld kann entweder durch die Feldstärke
selbst oder die Angabe des Potentials an jedem Punkt im Raum eindeutig bestimmt werden. Beide Formen der
Beschreibung sind äquivalent, da man aus dem Potential immer durch Gradientenbildung das Feld ermitteln
kann. Es ist oft sogar einfacher, erst das Potential einer Ladungsverteilung zu bestimmen und daraus das Feld
durch Dierentiation zu ermitteln.

9 DER GAUßSCHE SATZ DER ELEKTROSTATIK 11
9 Der Gauÿsche Satz der Elektrostatik
Der Gauÿsche Satz ist allgemeiner als das Coulomb-Gesetz, da er auch für bewegte Ladungen die Gültigkeit
beibehält.
Definition 9.1 (Fluss eines Vektorfeldes) Flächenelement dA durch die Teilchen der Geschwindigkeit
⃗v strömen. Winkel zwischen Flächennormale und Teilchengeschwindigkeit: Θ.
Zahl der Teilchen, welche pro Zeiteinheit durch dA ieÿen: Teilchenuss dφ
ρ : Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit
Flächenvektor: d ⃗ A : dA⃗n
Stromdichte: ⃗ f ρ⃗v
dφ ρ ¤ v ¤ dA ¤ cos Θ ρ ¤ ⃗v ¤ ⃗n ¤ dA
ñ dφ ⃗ f ¤ d ⃗ A
Gesmatuss durch geschlossene Fläche (Oberäche):
¾
φ ⃗f ¤ dA
⃗
A
Fluss des elektrischen Feldes aus der geschlossenen Fläche A:
¾
φ ⃗E ¤ dA ⃗ (2.18)
A
Beispiel 9.1 (Kugeloberfläche) Im Zentrum einer Kugeloberäche sitzt eine Ladung q. Das elektrische
Feld an der Oberäche hat den Wert
E 1
4πɛ 0
q
r 2
φ E ¤ 4πr 2 1
4πɛ 0
q
r 2 4πr2 q ɛ 0
Allgemeine Herleitung: Projektion der Kugeloberäche auf beliebige Fläche
Der Fluss des elektrischen Feldes aus einer beliebigen Fläche, die eine Punktladung q umschlieÿt:
¾
φ ⃗E ¤ dA ⃗ q ɛ 0
Äuÿere Ladungen führten nicht zu einem Fluss aus einer geschlossener geschlossenen Fläche:
¾
φ ⃗E ¤ dA ⃗ 0
A
A
(Gauÿsche Satz der Elektrostatik) Der gesamte Fluss aus einer geschlossenen Fläche A ist
gleich der gesamten Ladung, die sich innerhalb der Fläche A bendet, dividiert durch ɛ 0 .
¾
Ņ
Gauÿsche Satz (Einzelladungen):
q j (2.19)
Gauÿsche Satz (Ladungsverteilung):
A
¾
⃗E ¤ d ⃗ A 1 ɛ 0
j1
⃗E ¤ dA ⃗ 1 »
ρ ¤ dV (2.20)
ɛ 0
V
A

Teil III
Verschiedene Anwendungen der Gesetze der
Elektrostatik
Das elektrostatische Feld wird durch zwei Gesetze vollkommen beschrieben:
1. Gauÿsche Satz:
Der Fluss des elektrischen Feldes aus der Oberäche um ein Volumen ist proportional der darin enthaltenen
Ladung:
¾
⃗E ¤ dA ⃗ 1 »
¤ ρ ¤ dV
ɛ 0
A
V
12
2. Die Zirkulation des elektrischen Feldes ist null:
¾
C
⃗E ¤ d⃗r 0
Dies gilt nur bei statischen Feldern, nicht in der Elektrodynamik bei zeitlich veränderlichen Feldern.
10 Das elektrostatische Feld einer unendlich ausgedehnten, ebenen
Ladungsschicht
geladene Ebene, z.B. homogen positiv geladenes Blatt Papier
Aus Symmetriegründen folgt, dass ⃗ E nur senkrecht auf der Ebene stehen kann sowie rechts und links der Fläche
dem Betrage gleich sein muss.
Betrachte Teilladung Q und umgebe mit Fläche (Quader). Auf vier Seitenlächen ist ⃗ E parallel zu A, nur auf
dem Seitenächen A 1 und A 2 senkrecht. Also folgt für den Fluss:
mit Flächenladungsdichte σ Q A
Folgerung: E-Feld unabhängig vom Abstand
E 1 ¤ A 1 E 2 ¤ A 2 Q ɛ 0
A 1 A 2 , |E 1 | |E 2 |
ñ E ¤ A E ¤ A Q ɛ 0
ñ E 1
2ɛ 0
Q
A
E
11 Das elektrische Feld eines Plattenkondensators
σ
2ɛ 0
σ
2ɛ 0
(3.1)
Definition 11.1 Zwei entgegengesetzt geladene, metallische Platten, deren Abstand klein ist gegenüber
dem Plattendurchmesser, nennt man einen Plattenkondensator.
Das Feld dieser Anordnung erhält man durch Superposition der Felder der entgegengesetzt geladenen Platten.
Die Felder im Auÿenraum kompensieren sich vollständig. Im Innenraum verdoppelt sich das Feld.
σ
E 2 ¤
Q
(3.2)
2ɛ 0 A ¤ ɛ 0
Im gesamten Raum zwischen den Platten hat das Feld nach Richtung und Betrag den gleichen Wert und ist
unabhägig vom Abstand d beider Platten.

11 DAS ELEKTRISCHE FELD EINES PLATTENKONDENSATORS 13
Die Potentialdierenz gibt die ARbeit an, welche geleistet werden muss, um eine positive Einheitsladung entgegen
der Richtung der elektrostatischen Karft von einer Platte zur anderen zu bringen. Damit erhält man als
Spannung zwischen den beiden Platten:
» ¡
d
2
U ¡
d
2
⃗E dr E ¤ d σ ɛ 0
¤ d
Die Spannung ist also im Unterschied zur Feldstärke proportional zum Plattenabstand d:
U
d
ɛ 0 A ¤ Q (3.3)
Die Spannung ist proportional zur gepeicherten Ladung Q.
Diese Proportionalität ist eine Folge des Superpositionsprinzips und gilt daher nicht nur für den Plattenkondensator,
sondern für alle beliebig geformten Kondensatoren.
Q U. Führe Proportionalitätsfaktor ein:
Kapazität:
C Q U
(3.4)
Kapazität eines Plattenkondensators:
C ɛ 0 ¤ A (3.5)
d
Hohe Kapazität: Metallfolien, mit isolierender dünnen Zwischenschicht aufgerollt
Drehkondensator: stetige Veränderung der eektiven Kondensatoroeräche und damit der Kapazität durch
Drehen
Parallelschaltung
An beiden Kondensatoren liegt die gleiche Spannung U an. Es gilt:
Q Q 1 Q 2 C 1 U C 2 U pC 1 C 2 qU C ¤ U
Reihenschaltung/Serienschaltung
C C 1 C 2 (3.6)
Beide Kondensatoren tragen die gleiche Ladung Q:
U U 1 U 2 Q C 1
Q
C 2
Q ¤
¢ 1
C 1
1
C 2
Q C
1
C 1 C 1
1
C 2
(3.7)

12 UNENDLICH LANGER, GELADENER DRAHT UND KOAXIALKABEL 14
12 Unendlich langer, geladener Draht und Koaxialkabel
Betrachten unendlich langen, geraden Draht, der homogen geladen sein soll, d.h.
Ladung
λ
Längeneinheit const.
Aus Symmetriegründen können alle Feldlinien nur senkrecht zur Symmetrieachse, das heiÿt senkrecht zur Drahtachse,
stehen.
Feld auÿerhalb eines unendlich, langen, gerade, Drahtes
Feld auÿerhalb des Drahtes:
Anwendung des Gauÿschen Satzes
Betrachten Länge l und legen Zylinderäche um das Kabel
»
»
⃗E ¤ dA ⃗ 2 ¤
Zylinderwand
Kreisächen
⃗E ¤ d ⃗ A l ¤ λ
ɛ 0
Das Elektrische Feld der Kreisächen ist parallel zu A ⃗ der Kreisächen, also bleibt nur die
Zylinderwand »
⃗E ¤ dA ⃗ E ¤ 2πr ¤ l
Koaxialkabel/Zylinderkondensator
Zylinderwand
ñ E ¤ 2πr ¤ l lλ
ɛ 0
E
λ
2πɛ 0 r
Definition 12.1 Draht mit Durchmesser 2r i wird mit metallischen Hohzylinder mit Durchmesser
2r a umgeben. Auf dem äuÿeren Hohlzylinder soll die gleiche Ladungsmenge - aber mit
umgekehrten Vorzeichen - sitzen wie auf dem inneren Draht. Eine solche Anordnung nennt
man ein Koaxialkabel oder einen Zylinderkondensator.
Gauÿscher Satz Auÿenraum ist völlig feldfrei und das Feld zwischen Draht und Hohlzylinder hat
wie oben berechnet den Wert E
λ . 2πɛ 0r
Da der Auÿenraum feldfrei ist, wird das Koaxialkabel technisch als sog. abgeschirmtes Kabel verwendet.
Koaxialkabel werden z.B. als Antennenkabel verwendet.
Kapazität:
Berechne Spannung zwischen Innen und Auÿenleiter
U
» ra
r i
⃗ E ¤ d⃗r
λ
2πɛ 0
» ra
r i
1
r dr
λ ¢
ra
¤ ln
2πɛ 0 r i
ñ C q U λ ¤ l ¤ 2πɛ 0
¡ © 2πɛ 0 ¤ l
¡ ©
r
λ ¤ ln a
r
ri
ln a
ri
13 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel
Feld im Auÿenraum
Betrachten Kugeläche A mit Radius R, welche die homogen geladene Kugel (Ladung Q, Radius R 0 )
konzentrisch umschlieÿt. Aus Symmetriegründen kann das elektrische Feld nur radial nach auÿen
gerichtet sein und steht daher senkrecht auf der Gauÿschen Fläche A. Der Fluss des elektrischen
Feldes durch A ist daher ¾
⃗E ¤ dA ⃗ E ¤ 4πR 2 Q ɛ 0
(3.8)
A

14 LEITER IN EINEM STATISCHEN ELEKTRISCHEN FELD 15
E 1 Q
¤
(3.9)
4πɛ 0 R 2
Entspricht dem elektrischen Feld einer Punktladung. Das elektrische Feld einer homogen geladenen
Kugel ist also im Auÿenraum genau so groÿ, als sei die gesamte Kugelladung im Kugelmittelpunkt
konzentriert.
Feld im Innern
Lege wieder Kugeläche A mit Radius R um den Punkt im Inneren. Das elektrische FEld ist auch
in diesem Fall radial nach auÿen gerichtet.
E ¤ 4πR 2 Q ɛ 0
¤ R3
R 3 0
E 1
4πɛ 0
¤ Q ¤ R
R 3 0
(3.10)
Kapazität gegenüber unendlich weit entfernte umhüllende Gegeneletrode
Spannung zwischen dem Unendlichen und der Oberäche der geladenen Kugel mit Radius R 0 :
» 8 » 8
1 Q
U E dR ¤
R 0 R 0
4πɛ 0 R 2 dR 1 ¤ Q 4πɛ 0 R 0
C Q U 4πɛ 0 ¤ R 0
14 Leiter in einem statischen elektrischen Feld
Elektricshe Leiter besitzen frei bewegliche Elektronen. Beim Anlegen eines elektrischen Feldes nehmen die
freien Ladungen eine Gleichgewichtslage ein, die dadurch bestimmt ist, dass die elektrische Kraft im Innenraum
des Leiters null wird, das heiÿt das elektrische Feld bricht zusammen. Im Innern eines Metalles kann also im
Gleichgewichtszustand kein elektrostatisches Feld existieren.
Also gilt im Innern eines Leiters: ⃗ E 0 ñ ρ 0 und alle Punkte des Metalls benden sich auf dem gleichen
Potential
Die Ladungen stoÿen sich ab und sitzen daher an der Oberäche.
Da die Metalloberäche eine Äquipotentialäche ist, verschwinden alle Tangentialkomponenten des elektrischen
Feldes an der Oberäche, das heiÿt das elektrische Feld unmittelbar auÿerhalb eines Metalls steht immer
senkrecht auf der Metalloberäche. (also parallel zum Radius)
Elektrisches Feld an der Oberäche einer geladenen Metallkugel mit dem Radius R 0 und der Ladung Q:
E K 1
4πɛ 0
¤
mit dem Potential ϕ 0 der Kugel an der Oberäche
Da ϕ 0 auf der ganzen Oberäche konstant ist, folgt
Q
R 2 0
ϕ 0
R 0
E 1 R 0
Also: Da die Metalloberäche eine Äquipotentialäche ist, führt dies zu höheren Flächenladungsdichten an
Spitzen
Beispiel 14.1 Um bei Hochspannungsquellen das Auftreten hoher Feldstärken zu verhindern, ist es daher
notwendig, nur abgerundete Metallteile mit groÿem Krümmungsradius zu verwenden und nach Möglichkeit
jede Art von Spitzen zu vermeiden.

15 SPITZEN IN STARKEN ELEKTRISCHEN FELDERN 16
15 Spitzen in starken elektrischen Feldern
Betrachte metallische Spitzen mit auÿerordentlich kleinen Krümmungsradius
Feldemission
negativ aufgeladenen Spitze
Alle Feldlinien enden auf den negativen Ladungsträgern in der Spitze, das heiÿt im Allgemeinen auf
den Elektronen, und sind bei hohen Feldern zunehmend in der Lage, diese Elektronen trotz ihrer
Bindung ans Metall aus der Spitze herauszuziehen. Dieser Vorgang heiÿt Feldemission.
Die emittierten Elektronen folgen im Vakuum genau dem radialen Verlauf der Feldlinien und können
daher auch ein vergröÿertes Bild der Spitzenkathode auf einen entfernten Leuchtschirm abbilden.
Dies ist das Prinzip des Feldelektronenmikroskops.
positiv geladenen Spitzen
Die positiven Zugkräfte des Feldes wirken auf die positiven Ionen der Spitzenoberäche. Dadurch
wird ihre Bindung an der Spitze wirksam reduziert, so dass sie auf der Oberäche schneller
diundieren als ohne Feld, schon bei relativ niedrigen Temperaturen üssig werden und schlieÿlich
sogar von der Oberäche verdampfen. Ionenquelle
Anwendung: Feldionenmikroskop
16 Das Rastertunnelmikroskop
Bei der rastertunnelmikroskopischen Messung wird eine elektrisch leitende SPitze (auch Nadel) systematisch
(in einem Raster) über das ebenfalls leitende Untersuchungsobjekt gefahren. Die Spitze und die Objektäche
sind dabei nicht in elektrischem Kontakt, und wegen des isolierenden Mediums dazwischen (Luft oder Vakuum)
ndet ei makroskopischem Abstand kein kontinuierlicher Stromuss statt. Nähert man jedoch die Spitze der
Oberäche auf atomare Gröÿenordnungen an, so tritt mit einer Wahrscheinlichkeit gröÿer Null ein Austausch
von Elektronen auf, was bei Anlegen einer kleinen Spannung zu einem Tunnelstrom führt. Denn nach dem
Gesetzen der Quantenmechanik stellt jedes Teilchen zugleich eine Materiewelle dar und kann daher mit endlicher
Wahrscheinlichkeit auch in den klassisch verbotenen Bereich der hohen Energiebarriere eindringen und ihn
prinzipiell durchtunneln.
17 Der Faradaysche Käg
Wollen zeigen, dass das elektrische Feld in jedem metallischen Hohlraum verschwindet, wenn er keine Ladungen
enthält.
Das Feld im Innern eines Leiters ist Null, also verschwindet auch der Fluss des Feldes durch eine Fläche, die den
Hohlraum ganz umschlieÿt. Dies bedeutet, dass auf der OBeräche des inneren Hohlraums die Gesamtladung
Null sein muss. Das schlieÿt aber nicht aus, dass beispielsweise positive Ladungen auf der einen und negative
Ladungen auf der anderen Seite dieser Oberäche sitzen, was zu einem elektrischen Feld im Hohlraum führen
würde.
Wirkbelfreiheit des elektrischen Feldes ¾
⃗E ¤ d⃗r 0
C
Als Integrationsweg für dieses Linienintegral wählen wir die geschlossene Kurve C die teilweise durch den Leiter
und teilweise durch den Hohlraum verläuft. Da E ⃗ im Leiter Null ist, verschwindet auch der Beitrag zum Integral
im Leiter. Da aber das GEsamtintegral über die geschlossene Kurve verschwindet, muss auch der Beitrag zu
E ⃗ ¤ d⃗r im Hohlraum Null sein. Dieses ist für beliebige Integrationswege nur möglich, wenn E ⃗ im ganzen
C
Hohlraum, der vom Leiter umgeben ist, exakt verschwindet.
Daraus folgt die Feldfreiheit von metallischen Hohlräume
Anwendung: Abschirmen von elektrischen Felder (Faradayscher Käg, Blitz schlägt nicht ins Innere des Autos
ein)

18 INFLUENZ 17
Van-de-Graaf-Generator
Bringt man mit einem Löel Ladungen in das Innre einer metallischen Hohlkugel, so wandern die
Ladungen sofort nach auÿen, und der innere Hohlraum bleibt feldfrei, unabhängig davon wie viel
Ladungen die Hohlkugel schon trägt.
Man kann die Kugel auf ein viel höheres Potential auaden als die Ladungquelle trägt.
Entscheidend für eine wirkungsvolle Spannungserhöhung ist das Abstreifen des Löels im feldfreien
Inneren der Hohlkugel.
18 Inuenz
Was passiert, wenn eine Metallprobe in ein elektrisches Feld gebracht wird, und wie es dabei zur Auslöschung
des Feldes im Metall kommt.
Metall im elektrischen Feld eines Plattenkondensators Ladungstrennung (Inuenzladungen entstehen)
Sie liefern im Innern des MEtalls ein Feld, das dem ursprünglichen entgegengerichtet ist und diess genau zu null
kompensiert. Deshalb ist das Feld im Innern des Leiters Null.
Demonstration: Zwei ache aufeinadergepresste Aluminionlöel in das elektrische Feld eines Plattenkondensators,
trennen im Feld und auÿerhalb vom Feld
19 Das elektrische Feld zwischen geladenen Leitern und die Bildladung
Gauÿscher Satz bei unbekannten Ladungsverteilungen nicht anwendbar
Beispiel: Elektrisches Feld zwischen zwei oder mehreren geladenen Leitern
Wissen: Metalloberächen sind Äquipotentialächen
Beispiel: Elektrisches Feld zwischen einer kleinen geladenen Kugel und einer ebenen metallischen Oberäche
Ausgangspunkt: Ladungsanordnung eines elektrischen Dipols
Auf die mittlere ebene Äquipotentialäche A wird eine dünne ungeladene Metallplatte angebracht. Wenn diese
Metallplatte ungeladen ist, besitzt sie genau das Potential der Äquipotentialäche A und die Gegenwart der
Metallplatte verändert nichts am Feldverlauf der Anordnung. Nur im Innern des Metalls ist das Feld Null wegen
der Inuenzladungen. Anderersetis ist druch die Metallplatte der Feldverlauf im linken Halbraum unabhängig
von dem im rechten geworden. So ändert sich nichts am Feldverlauf im rechtsn Halbraum, wenn man die linke
Hälfte ganz mit Metall ausfüllt.
elektrisches Feld zwischen Punktladunt q und ebener Metalloberäche
Die Feldlinien haben einen Verlauf, als ob sich im gleichen Abstand hinter der Metalloberäche eine negative
Ladung ¡q befände. Diese imaginäre Ladung nennt man auch Bild- oder Spiegelladung.
20 Die Energie des elektrischen Feldes
Wenn man einen Leiter auaden will, so muss man Arbeit leisten gegen die abstoÿenden Kärfte der schon auf
dem Leiter vorhandenen Ladungen. Nehmen wir an, eine Metalläche mit der Kapazität C trage bereits eine
Ladung q und liege daher auf dem Potential U q C
. Um noch eine weitere Ladung dq aud dem Unendlichen
auf dem Leiter zu bringen, muss man die Arbeit leisten:
dW U ¤ dq q C ¤ dq
Die insgesamt erforderliche Arbeit, um auf den Kondensator die Ladung Q aufzubringen ist daher
W pQq
» Q
0
q Q2
dq
C 2C 1 2 CU 2
Dieses Resultat gilt allgemein für einen beliebigen Kondensator der Kapazität C und ist gleich der Arbeit, die
man leisten muss, um die Gesamtladung Q von einer Elektrode zur anderen zu bringen.

21 DIE ABSCHIRMUNG ELEKTRISCHER POTENTIALE IN LEITENDEN MEDIEN 18
Plattenkondensator
W Q2
2C
d
2ɛ 0 A Q2
d
2ɛ 0 A ɛ2 0A 2 E 2 1 2 ɛ 0E 2 ¤ V
Wir können sagen, dass die zur Auadung des Kondensators erforderliche Arbeit verwendet wurde,
um ein elektrisches Feld zwischen den Platten des Kondensators aufzubauen. Nach dieser
Auassung steckt diese Energie jetzt im elektrischen Feld des Volumesn V . Oder ander ausgedrückt:
Die Energiedichte des elektrischen Feldes beträgt:
Energiedichte des elektrischen Feldes
W
V 1 2 ɛ 0E 2 (3.11)
Wichtig bei der Betrachtung: Elektrisches Feld und damit Energiedichte ist innerhalb des Plattenkondensators
konstant
Beispiel 20.1 (Elektronenradius) Betrachte Elektron als geladene Kugel mit Ladung e und Radius
r e
Kraft zwischen den Platten eines Kondensators
m e c 2 W e Q2
2C e 2
8πɛ 0 ¤ r e
Platten entgegengesetzt geladen ñ ziehen sich gegenseitig mit Kraft F an
Entfernen gegen die Wirkung dieser Kraft die Platten um eine kleine Strecke ∆d.
F ¤ ∆d 1 2 ɛ 0E 2 ¤ A ¤ ∆d ñ F 1 2 ɛ 0E 2 A 1 2 QE
21 Die Abschirmung elektrischer Potentiale in leitenden Medien
Wie sieht das elektrische Feld und as Potential einer geladenen Kugel aus, die sich nicht im Vakuum, sondern
in einem leitenden Medium bendet?
Wenn sich die Kugel im Vakuum befände, würden die elektrischen Feldlinien ohne Unterbrechung radial nach
auÿen verlaufen, so dass das Feld mit 1
r
abfällt.
Bringt man nun die Kugel in einen Elektrolyten, 2
so werden von der positiv geladenen Kugel die negativen Ionen
angezogen, die positiven dagegen abgestoÿen, so dass die Kugel in ihrer näheren Umgebung nunmehr von einer
insgesamt negativen Ladungswoke umgeben ist. Diese Ladungswolke schirmt oenbar das Feld der Kugel im
entfernten Auÿenraum sehr wirkungsvoll ab.
Quantitative Betrachtung
Wähle relativ groÿe Kugel, betrachte Feldverteilung in der Nähe der Kugeloberäche, vernachlässige
Kugelkrümmung
Ladungsverteilung im Elektrolyten
In groÿen Abstand von der Kugeloberäche herrscht Ladungsneutralität, das heiÿt die
Teilchendichte der ositiven Ionen n ist gleich der Ionendichte n ¡
n n ¡ n 8 für x Ñ 8
Bis auf einen Abstand x können sich nur positive Ionen der Kugel nähern, die eine
thermische Energie haben, die gröÿer ist als die potentielle Energie ɛ q ¤ ϕpxq
Verwende barometische Höhenformel:
¢
n pxq n 8 ¤ exp
¡ q ¤ ϕpxq
k B T
, n ¡ pxq n 8 ¤ exp
¢ q ¤ ϕpxq
k B T

19
Hohe Temperaturen k B T " |qϕ|:
Gauÿscher Satz: Lege Fläche A mit Dicke dx
pn pxq ¡ n ¡ pxqq ¤ q ¡n 8 ¤ 2q2 ¤ ϕpxq
k B T
A ¤ Epx
dxq ¡ A ¤ Epxq A ¤ dE
dx ¤ dx f ɛ 0
¤ ρ ¤ A ¤ dx
Allerdings gilt auch d2 ϕ
dx 2
¡ dE
dx , also
d 2 ϕ
dx 2 ¡ ρ ɛ 0
Einsetzen und so weiter ergibt Debeysche Abschirmlänge:
D
d
ɛ 0 k B T
2n 8 q 2
Diese ist ein Maÿ für die Dicke der negativen Ladungsschicht, welche die positiv geladene Kugel
umgibt
Teil IV
Isolatoren im elektrischen Feld
Einuss eines elektrischen Feldes aus Isolatoren (fest, üssig oder gasförmig) soll betrachtet werden, wobei die
Ladungen nicht frei sind, sondern an den Molekülen es Isolators gebunden.
22 Die Gleichungen der Elektrostatik in einem Dielektrikum
Dieelektrikum ist ein anderer oft gebrauchter Name für einen Isolator
Definition 22.1 (permanente Dipole) Wenn die Schwerpunkte von positiven und negativen Ladungen
eines Moleküls, aus denen der Isolator besteht, nicht zusammenfallen, besitzt das Molekül ein elektrisches
Dipolmoment, das sogenannte permanente Dipol. Im elektrischen Feld erfolgt eine Orientierung der permanenten
Dipole in Feldrichtung, die man Orientierungspolarisation nennt.
Definition 22.2 (induzierte Dipole) Atome und Moleküle die kein permanentes Dipolmoment besitzen:
In einem solchen Atom verschieben sich im elektrischen Feld der positive und negative Ladungsschwerpunkt
voneinander um die Strecke δ, so dass ein induziertes Dipolymoment des Atoms:
entsteht. Wobei α die atomare Polarisierbarkeit ist.
⃗p q ¤ ⃗ δ ɛ 0 ¤ α ¤ ⃗ E
Spannung U sinkt ab, wenn ein nichtleitendes Medium in dem Zwischenraum gebracht wird, Q bleibt konstat
Definition 22.3 (Dieelektrizitätszahl, relative Dielektrizitätskonstante)
ɛ r C M
C 0
U 0
U M
(4.1)
ñ E M E 0
ɛ r
Definition 22.4 (Polarisierbarkeit) Eigenschaften eines Dielektrikums ein angelegtes elektrisches
Feld zu beeinussen.

22 DIE GLEICHUNGEN DER ELEKTROSTATIK IN EINEM DIELEKTRIKUM 20
Polarisations-Oberächenladungen schwächen das elektrische Feld. Die Ladungen können durch zwei Eekte
gebildet werden:
1. Verschiebungspolarisation:
Entstehung von induzierten Dipolmomenten durch Verschiebung von positiven und negativen Ladungsschwerpunkten
2. Orientierungspolarisation:
Eventuell vorhandene polare Moleküle, die infolge von Wärmebewegungen umgeordnet sind, werden im
Feld teilweise ausgerichtet.
Betrachten nun Isolator, aus nichtpolaren Molekülen, im elektrischen Feld eines Plattenkondensators:
Die negativen Ladungen des Isolators werden relative zu dem positiven um eine Strecke δ nach oen verschoben.
Die Polarisation des Isolators stört nicht die Neutralität im Innern der Probe, erzeugt abr negative bzw. positive
Überschussladungen auf der oberen bzw. unteren Fläche des Isolators.
Auf der oberen Fläche sitzt genau die gleiche Ladungsmenge aber umgekehrten Vorzeichens. Die gesamte Probe
stellt also einen Dipol dar.
Definition 22.5 Als Polarisation ⃗ P bezeichnet man das Dipolmoment des Isolators pro Volumeneinheit:
⃗P n ¤ ⃗p (4.2)
n: Anzahl der Atome pro Volumeneinheit, Teilchendichte
induziertes atomares Dipolmoment: ⃗p ɛ 0 ¤ α ¤ ⃗ E (4.3)
Bei homogener Polarisation ist der Betrag des Dipolmoments gleich der Flächenladungsdichte der Polarisationsladung
σ pol
Definition 22.6 (Elektrische Suszeptibilität)
Isotropes Medium: χ const.
Anisotropes Medium: χ ist ein Tensor
Plattenkondensator mit und ohne Füllung
σ F : Ladung auf Plattenkondensator
σ P : Polarisierte Ladung auf Dielektrikum
E σ F ¡ σ P
ɛ 0
⃗P ɛ 0 ¤ χ ¤ ⃗ E (4.4)
E 0 σ F
ɛ 0
σ F ¡ P
ɛ 0
E 0 ¡ P ɛ 0
E E 0 ¡ χ ¤ E (4.5)
E 0
E 1 χ ɛ (4.6)
Bisher: Homegenes Feld eines Plattenkondensator
Jetzt: Elektrisches Feld und Polarisationsvektor haben nicht überlal im Medium den gleichen Betrag und die
gleiche Richtung
Denken wir uns eine geschlossene OBeräche A. Wie groÿ ist die Ladungsmenge Q die infolge der Polarisation
das durch die Oberäche A umschlossene Volumen verlässt?
¾
Q ⃗P ¤ dA ⃗ (4.7)
A

23 DIE POLARISIERBARKEIT VON ATOMEN IN ELEKTRISCHEN WECHSELFELDERN 21
Es entsteht also im Innern von A eine Polarisationsladung Q P
» »
Q P ¡ ⃗P ¤ dA ⃗
A
V
ρ P ¤ dV
Neben dieser Polarisationsladung gibt es aber grundsätzlich auch die Möglichkeit von freien Ladungen, die auch
ohne Polarisation existieren, charakterisierbar durch ρ F . Also gilt für die Ladungsdichte:
¾
A
⃗E ¤ d ⃗ A 1 ɛ 0
»
Damit ergit sich:
(Gauÿsche Satz im Isolator)
Für lienare Medien ( ⃗ P ɛ 0 χ ⃗ E) gilt also:
¾
ɛ 0 p1
Weiterhin gilt nun im isotropen Dielektrikum:
F
ρ ρ F ρ P
¤
ρdV 1 »
pρ F ρ P qdV 1 »
¥
ɛ 0 ɛ 0
¾
A
V
£
⃗E
¾
χq ¤ E ⃗ ¤ dA ⃗
V
¾
ρ F dV ¡
A
⃗P dA
⃗
⃗P
¤ dA ɛ ⃗ Q F
(4.8)
0 ɛ 0
F 1
4πɛ 0 ɛ ¤ q 1 ¤ q 2
r 2
Definition 22.7 (Dielektrischer Verschiebungsvektor)
ɛ 0 ¤ ɛ ¤ ⃗ E 9 d ⃗ A Q F (4.9)
⃗D ɛ ¤ ɛ 0 ¤ ⃗ E (4.10)
23 Die Polarisierbarkeit von Atomen in elektrischen Wechselfeldern
Statische elektrische Felder
positve und negative Ladungstrennung werden im Feld um Strecke δ voneinander getrennt
rücktreibende Kraft F q ¤ E ist proportional zur Auslenkung
Harmonischer Oszillator
Feld oszilliert mit Winkelfrequenz ω
Annahme: unendlich schwerer Kern, nur Elektronen werden bewegt
E x E 0 ¤ cospωtq
Bewegungsgleichung der Elektronen (allg. Schwingungsgleich: m ¤ a mω 2 x F ext :
Lösung:
Enthalte oszillierendes Dipolmoment
m e ¤ d2 x
dt 2
x x 0 ¤ cos ωt
p x q ¤ x
m 2 ¤ ω 2 0x q ¤ E x
x 0
qE 0
m e pω 2 0 ¡ ω2 q
q 2
m e pω 2 0 ¡ ω2 q ¤ E x ɛ 0 ¤ αpωq ¤ E x
Polarisierbarkeit α hängt also von Winkelfrequenz ω des Wechselfeldes ⃗ E ab.
Annahmen: Wechselwrikungen mit Nachbaratomen vernachlässigbar, keine Abweichungen von der linearen Beziehung
zwischen Auslenkung x und E (nicht immer erfüllt!)

24 DIE DIEELEKTRIZITÄTSKONSTANTE EINES PLASMAS UND PLASMASCHWINGUNGEN 22
24 Die Dieelektrizitätskonstante eines Plasmas und Plasmaschwingungen
Definition 24.1 (Plasma) Die Elektronen sind nicht an ihre positiven Ionen gebunden, sondern können
sich von ihnen entfernen. Ein solches Medium heiÿt Plasma. Es besteht also aus n freien Elektronen und Ionen
pro Volumeneinheit.
Fehlende Bindung zwischen einem Eletrkon und seinem Gegenion bedeutet ω 0 0 und damit:
Entstehung der Plasmaschwingung
χ n ¤ αpω 0 0, ωq ¡
n ¤ q2
ɛ 0 ¤ m e ¤ ω 2
ω 2 P : n ¤ q2
ɛ 0 ¤ m e
Wähle ɛ 0 , χ ¡1
Betrachte eben Plasmaschicht von endlicher Dicke, in der sich Elektronen der Masse m e frei gegenüer
den viel schwereren Ionen bewegen können. Jetzt wollen wir kurzzeitig (z.B. durch ein äuÿeres
Feld) alle Elektronen um die Strecke x nach oben auslenken. Dadurch entsteht auf der oberen
Grenzäche eine negative Ladungsdichte ¡σ P und auf der unteren infolge der zurückbleibenden
positiven Ionen entsprechend die Ladungsdichte σ P , wobei gilt: σ P n ¤ q ¤ x
Dies führt (wie beim Plattenkondensator) zu einem elektrischen Feld im Plasma
E σ P
ɛ 0
n ¤ q
ɛ 0
und damit eine rücktreibende Kraft auf jedes Elektron im Plasma, die zur Aslenkung x proportional
ist:
m e ¤ d2 x
¤ q2
dt 2 ¡qE ¡n ¤ x ñ d2 x
ɛ 0 dt 2 ω2 P ¤ x 0
Die Elektronenwolke schwingt mit Kreisfrequenz ω P , der Plasmafrequenz, zeitlich periodisch nach
oben und unten. Plasmaschwingung
25 Die Orientierungspolarisation
permanentes Dipolmoment liegt um vier Gröÿenordnungen über dem induzierten Dipolmoment
¤ x
Elektrischer Dipol im homogenen elektrischen Feld
Im homogenen elektrischen Feld wirkt ein Kräftepaar auf die eiden Ladungen des Dipols. Die resultierende
Kraft ist daher Null. Das Kräftepaar erzeugt jedoch ein Drehmoment
⃗M d ⃗ ¢ F ⃗ q ¤ pd ⃗ ¢ Eq ⃗ ⃗p ¢ E ⃗
»
E pot pφq Mdφ ¡p ¤ Ecosφ 9
φ90¥
¡⃗p ¤ E ⃗
Elektrischer Dipol im inhomogenen elektrischen Feld
Im inhomogenen Feld sind die Kräfte auf die positive und die negative Ladung des Dipols nicht mehr
entgegengesetzt gleich, so dass auf dem Dipol im inhomogenen Feld neben dem Drehmoment auch
eine Kraft F ⃗ F ⃗ F ⃗ ¡ ausgeübt wird.
¡ ©
F x q ¤ pE x ¡ E ¡ x q q ¤ ⃗d ¤ grad Ex ⃗p ¤ grad E x
Analog für F y und F z
⃗ d ‖ ⃗ E ñ F p ¤ grad E in Richtung des Feldes

26 DIE DIELEKTRIZITÄTSKONSTANTE EINES DICHTEN MEDIUMS 23
Nichtpolare Moleküle
Auch ein nichtpolares Molekül besitzt im elektrischen Feld ein induziertes Dipolmoment ⃗p ɛ 0 ¤α¤ ⃗ E.
Daher wird auch ein nichtpolares Atom oder Molekül in die Richtung des wachsendes Feldes
gezogen mit einer Kraft F p ¤ grad E ɛ 0 ¤ α ¤ E ¤ grad E
Beispiel 25.1 Wegen dieses induzierten Dipolmoments werden auch ungeladene Papierschnitzel
und Staubteilchen in ein hohes elektrisches Feld hineingezogen. Hierauf beruhen einige
elektrostatische Reinigungsmethode (z.B. Reinigung der Luft von Ruÿteilchen)
Entstehung der Orientierungspolarisation
Ohne elektrisches Feld, stellt sich aufgrund der Stöÿe eine statistische Verteilung der Richtungen der
Dipolmomente ein: Die mittlere Polarisation pro Volumeneinheit ist daher null. Lägt man nun ein
äuÿeres Feld an, so treten folgende Vorgänge auf: Im Molekül wird ein Dipolmoment durch das
Feld induziert, seine Gröÿe ist jedoch fast immer vernachlässigbar im Vergleich zum permanenten
Dipolmoment. Wichtiger ist, dass das Feld ein Drehmoment ⃗ M ⃗p ¢ ⃗ E auf die Dipole ausübt,
wodurch sie teilweise in Feldrichtung ausgerichtet werden. Durch diese Ausrichtung entsteht eine
Polarisation pro Volumeneineheit, die sogenannte Orientierungspolarisation.
Bei endlichen Temepraturen verhindern die Molekülstöÿe, die eine Energie austauschen, eine vollständige Orientierung.
Der Grad der Orientierung hängt im thermischen Gleichgewicht von der potentiellen Energie der
Dipole im Feld ab.
Die Polarisation pro Volumeneinheit steigt linear mit dem angelegten Feld an. Daraus ergibt sich die paraelektrische
Suszeptibilität zu
χ
P
ɛ 0 ¤ E n ¤ p 2
ɛ 0 ¤ 2 ¤ k B T
Definition 25.1 Ein Paraelektrikum ist ein nichtleitendes Material, das keine parallel ausgerichteten permanenten
elektrischen Dipolmomente aufweist.
χ 1 T
. Eine derartige Temeraturabhängigkeit nennt man ein Curie-Verhalten.
26 Die Dielektrizitätskonstante eines dichten Mediums
Wir wollen jetzt genauer prüfen, wie groÿ das elektrische Feld ist, welches unter verschiedenen Umständen auf
ein Atom wirkt.
Wissen bereits
Atom/nichtpolares Molekül allein zwischen den Platten eines Kondesnators mit Ladungsdichte σ F ,
so wirkt auf das Atom das elektrische Feld E σ F
ɛ0
Erhöht man die Zahl der Atome und betrachtet z.B. ein atomares Gas im Plattenkondensator, so
muss die durch die Polarisation an den Grenzächen entstehende Ladungsdichte σ P berücksichtigt
werden: E σ F ¡σ P
ɛ 0
.
Innenraum des Mediums ist ladungsfrei
Wir wollen jetzt zeigen, dass in Wirklichkeit auf jedes Atom des Mediums nicht ein Feld E σ F ¡σ P
ɛ 0
wirkt,
sondern eine gröÿere Feldstärke. Wir werden sehen, dass E σ F ¡σ P
ɛ 0
nur näherungsweise bei geringer Dichte
des Mediums die Feldstärke beschreibt, welche auf jedes Atom des Mediums wirkt.
Modell
Jedes Atom ist in einem isotropen Isolator so von Nachbaratomen umgeben, dass es in einem nahezu
kugelförmigen Hohlraum sitzt. Das elektrische Feld in diesem Loch E Loch ist gröÿer als des Feld
im kompakten Material E σ F ¡σ P
ɛ 0
, weil an der unteren und oberen Grenzäche des Hohlraums
zusätzlich Ladungen durch die Polarisation des umgebenden Mediums entstehen, welche das Feld
im Loch E Loch über den Wert von E erhöhen.

27 ELEKTRISCHE POLARISATION IN FESTEN KÖRPERN 24
Feld in einem kugelförmigen Hohlraum
Superpositionsprinzip: ⃗ E Loch ⃗ E ¡ ⃗ E Kugel
Dazu: Feld im Innern einer homogen polarisierten Kugel vom Radius r 0
Annahmen:
• ⃗ E Kugel , ⃗ P im Kugelvolumen homogen
• Gesamtladung im Kugelmittelpunkt
Im polarisierten Zustand sind alle negativen gegen alle positiven Ladungen um δ verschoben.
Also ist die polarisierte Kugel von auÿen gesehen äquivalent zu einem Dipol
Das Feld in einem kugelförmigen Hohlraum:
⃗p 0 Q ¤ ⃗ δ 4π 3 ¤ r3 0 ¤ nq ¤ ⃗ δ 4π 3 r3 0 ¤ ⃗ P
ϕ 1 p 0
4πɛ 0 r0
3 ¤ z P ¤ z
3ɛ 0
ϕ ¡E Kugel ¤ z ñ ⃗ E Kugel ¡ ⃗ P
2ɛ 0
E Loch E
Das zusätzliche Feld kann nur in gasförmigen Medien mit kleiner Polarisation vernachlässigt werden.
Konsequenzen
⃗P n ¤ α ¤ ɛ 0 ¤ ⃗ E Loch n ¤ α ¤ ɛ 0 ¤
n: Zahl der Atome pro Volumeneinheit
Hieraus folgt die Clausius-Mosotti-Beziehung:
χ
n ¤ α
1 ¡ n¤α
3
n ¤ α
3
£
⃗E
ɛ 1
1 P
3
ɛ 0
! 1 ñ χ n ¤ α
⃗P
ñ P
3ɛ ⃗
n ¤ α
0 1 ¡ n¤α
3
n ¤ α
1 ¡ n¤α
3
27 Elektrische Polarisation in festen Körpern
¤ ɛ 0 ¤ ⃗ E
(4.11)
Beispiel 27.1 In Kristallen können Moleküle mit permanenten Dipolmomenten in geordneter Weise so
eingebaut sein, dass der ganze Kristall auch ohn angelegtes Feld ein permanentes Dipolmoment besitzt.
Dadurch entstehen an der Kristalloberäche elektrische Dauerladungen, die allerdings schwer nachweisbar
sind, da sie normalerweise Ladungen aus der umgebenden Atmosphäre anziehen und dadurch neutralisiert
werden.
Änderungs der Polarisation des Kristalls (Erwärmung, Druck)
Änderung der Ladugnsdichte auf der Oberäche
Diese Änderung der Oberächenladung ist leicht messbar und als pyroelektrischer (Temperaturänderung) bzw.
piezoelektrischer (Druck) Eekt bekannt.
Andererseits:
Anwendung eines Feldes
Ladungsverschiebung
vertikale Ausdehnung oder Kompression des Kristall

Beispiel 27.2 So kann man durch Anlegen von Wechselfeldern an piezoelektrische Kristalle periodische,
mechanische Deformation in diesen hervorrufen und sie somit zur Ultraschallerzeugung verwenden.
Manche Kristalle die kein Dipolmoment besitzen (oder besitzen können) besitzen oft dennoch als Verunreinigungen
Ionen mit einen permanenten Dipolmoment. Diese zeigen daher eine Orientierungspolarisation wie ein
polares Gas. Insbesondere steigt die dielektrische Suszeptibilität χ des Kristalls, wie für ein polares Gas zu
erwarten, mit 1 an. T
Ferroelektrizität
Es git Kristalle, die auch orientierte Dipole mit einer permanenten Polarisation besitzen, aber nur
unterhalb einer kritischen Temperatur T c . Erhöht man die Temperatur über diesen kritischen
Punkt, so hört plötzlich die Ausrichtung der molekularen Dipole auf, doe Polarisation wird sehr
klein. Diese Erscheinung nennt man Ferroelektrizität.
Erklärung:
Clausius-Mosotti-Beziehung: χ 3nα
3¡nα
n ¤ α 3 bei der kritischen Temperatur T c ñ Suszeptibilität wird unendlich (Polarisationskatastrophe)
χ Ñ 8 bedeutet, dass schon geringste elektrische Felder sehr hohe Polarisationen erzeugen können.
Teil V
Der elektrische Strom
28 Stromdichte, Strom und Ladungserhaltung
Elektrische Ströme werden durch die Bewegungen von Ladungsträgern erzeugt. Gemessen wird der Strom I,
der in einem Draht ieÿt, durch die Zahl der Ladungen, welche sich pro Senkunde durch die Querschnittsäche
des Drahtes bewegen.
Stromdichte j: Zahl der Ladungen, welche pro Sekunde senkrecht durch eine Einheitsäche ieÿen.
Definition 28.1 (Stromdichte)
Ladungsdichte: ρ n ¤ q
n : Ladungen q pro Volumeneinheit mit Geschwindigkeit v
Im Allgemeinen besitzen nicht alle Ladungen dieselbe Geschwindigkeit.
⃗j ¸
q ¤ n k ¤ ⃗v k
Definition 28.2 (Driftgeschwindigkeit)
⃗j n ¤ q ¤ ⃗v ρ ¤ v (5.1)
k
xvy 1 ¸
n ¤ n k ¤ ⃗v k
k
ñ ⃗j n ¤ q ¤ x⃗vy ρ ¤ x⃗vy (5.2)
dI ⃗j ¤ d ⃗ A
25
(Ladungserhaltung) Die Zahl der Ladungen, die pro Zeiteinheit aus der geschlossenen Fläche herausieÿt,
muss gleich der Abnahme der Ladung Q im Innern des umschlossenen Volumens sein.

29 ELEKTRISCHE LEITFÄHIGKEIT UND DAS OHMSCHE GESETZ 26
Annahme: Ladungsdichte zeitliche konstant
¾
A
⃗j ¤ dA ⃗ ¡ dQ
dt ¡ d »
ρdV (5.3)
dt v
ñ Bρ
Bt 0
¾
⃗j ¤ dA ⃗ 0 (5.4)
A
Definition 28.3 zeitunabhängige Ladungsverteilung
Strimdichte ρ ¤ x⃗vy fast immer konstant
Man spricht in diesem Fall von stationären Strömen
29 Elektrische Leitfähigkeit und das Ohmsche Gesetz
(Ohmsches Gesetz) Legt man ein einen metallischen Draht eine Spannung U an, so ieÿt nach der
Beobachtung ein elektrischer Strom I, der bei konstanter Temperatur proportional zur angelegten Spannung
ist.
Definition 29.1 (Ohmscher Widerstand) Ein ohmscher Widerstand ist ein spezieller elektrischer
Widerstand, dessen Widerstandswert (zumindest innerhalb gewisser Grenzen) unabhängig von der Spannung,
der Stromstärke und der Frequenz ist.
R U I
Widerstand eines Leiters:
R ρ 0 ¤
l
A
Definition 29.2 ρ 0 : spezischer Widerstand, der vom Material und seiner Temperatur abhängt σ 0 : spezische
Leitfähigkeit
σ 0 : 1 ρ 0
ñ ⃗j I A U RA U ¤ Aσ 0
A ¤ l
σ 0 ¤ ⃗ E
⃗j σ 0 ¤ ⃗ E (5.5)
30 Mikroskopisches Modell für das Ohmsche Gesetz
Erklärung:
⃗j n ¤ q ¤ x⃗vy σ 0 ¤ ⃗ E ñ x⃗vy ⃗ E
• Betrachten: Groÿe Zahl von Ladungen im thermischen Gleichgewicht (z.B. Elektronen in Plasma)
• Elektronen mit beträchtlicher thermischer Geschwindigkeit: Stöÿe untereinander und mit Ionen
τ : mittlere Zeit zwischen Stöÿen
• kein Feld: x⃗vy 0
• elektrisches Feld: Beschleunigung
d⃗v
dt q ¤ E ⃗
m
ñ ⃗v q ¤ ⃗ E
m ¤ t ⃗v 0

31 ELEKTRONENLEITUNG IN FESTEN KÖRPERN 27
⃗v D x⃗vy
C
q ¤ E ⃗ G
m
¤ t
ñ ⃗v D ⃗ E
µ : v D
E q m ¤ τ
• Vernachlässige die Abhänigkeit der Stoÿzeit τ von E
• Groÿe Feldstärken ñ ⃗v D x⃗vy a x⃗v 2 y ñ τ τpEq
x⃗v 0 y q ¤ ⃗ E
m
Beweglichkeit
• Groÿe Feldstärken ñ kinetische Energie so groÿ, dass bei Stöÿen neutrale Atome ionisiert werden. Die
Ladungsträgerkonzentration steigt mit dem Feld an.
Das Ohmsche Gesetz verliert also seine Gültigkeit, wenn die Ladungsträgerdichte oder die Stoÿzeit vom Feld
abhängen.
Andere Interpretation von ⃗v D q¤ E ⃗
m ¤ τ: m ¤ d⃗v D
qE dt
⃗ ¡m ⃗v D
loomoon τ
mit Reibungskraft F R
Das Ohmsche Gesetz weiÿt also darauf hin, dass auf die Ladungsträger viskose Reibungskräfte wirken.
Allgemeiner Fall: negative und positive Ladungsträger am Strom beteiligt
F R
ñ σ 0 e n µ ¡ n ¡ µ ¡¨ e 2 ¢
n
31 Elektronenleitung in festen Körpern
¤ τ
τ n ¡ τ ¡
m m ¡
• beste Elektrizitätsleiter: Reine Metall; Leitung durch bewegliche ELektronen die von den gebunden Ionen
abgegeben werden; reine Metalle haben hohe Eletktronendichte
• Ionenwanderung ist nicht am Strom beteiligt, denn am Ende des Leiters ist keine Materialbewegung oder
Abscheidung nachweisbar
• Nur Elektronenbeweglichkeit bestimmt also Leitvermögen ñ aus Leitvermögen kann die Beweglichkeit
der Elektronen und Stoÿzeit ermittelt werden:
τ σ 0 ¤ m ¡
n ¡ ¤ e 2
• In Metallen ist die Leitfähigkeit sehr groÿ, sinkt aber beim Erwärmen: σ 0 1 T
• In Halbleitern ist die Leitfähigkeit in der Regel viel kleiner, steigt aber beim Heizen: σ 0 T
• Halbleiter können bei tiefen Temperaturn also als gute Isolatoren betrachtet werden
• Bringt man Fremdatome in das Metall, z.B. durch Legierungen, so wird die Stoÿzeit als Leitfähigkeit fast
temperaturunabhägig
Definition 31.1 In der Metallurgie ist eine Legierung ein Gemenge mit metallischem Charakter aus zwei
oder mehr chemischen Elementen, von denen mindestens eines ein Metall ist.
Bemerkung 31.1 Die meisten Metalle gehorchen dem Ohmschen Gesetz mit groÿer Genauigkeit.
ñ v D ! a x⃗v 2 y

32 IONENLEITUNG IN ELEKTROLYTLÖSUNGEN 28
Supraleitung
In einer groÿen Zahl von Metallen und Metall-Legierungen bricht bei hinreichend tiefer Temperatur
der elektrische Widerstand plötzlich ganz zusammen. Diese Erscheinung heiÿt Supraleitung.
Der elektrische Widerstand im supraleitenden Zustand ist nach allen Beobachtungen unmessar klein,
das heiÿt er ist null.
Man kann mit supraleitenden Spulen sehr hohe Magnetfelder auch in groÿen Volumina und ohne
ohmsche Verluste herstellen.
Beispiel 31.1 Beispiele für groÿräumige supraleitende Magnete in Kernspin-Tomographen
und Blasenkammern zum Teilchennachweis
32 Ionenleitung in Elektrolytlösungen
Definition 32.1 (Elektrolyt) Ein Elektrolyt ist ein (üblicherweise üssiger) Sto, der beim Anlegen
einer Spannung unter dem Einuss des dabei entstehenden elektrischen Feldes elektrischen Strom leitet, wobei
seine elektrische Leitfähigkeit und der Ladungstransport durch die gerichtete Bewegung von Ionen bewirkt wird.
Auÿerdem treten an den mit ihm in Verbindung stehenden Elektroden chemische Vorgänge auf.
Es gibt viele experimentelle Hinweise darauf, dass der Ladungstransport in einem Elektrolyten immer mit einem
Materialtransport verbunden ist.
Diese Beobachtungen legen den Schluss nahe, dass die elektrostatischen Bindungen zwischen den Ionen eines
Molkeküls bei der Lösung in Wasser aufgebrochen werden, so dass das positive Ion und das negative im elektrischen
Feld in entgegengesetzten Richtungen wandern können.
Modell: Wasser als dielektrisches Kontinuum, Coulombsches Gesetz
Der Lösungsvorgang für Ionen ist infolge der Polarisation der umgebenden Wassermoleküle energetisch günstiger
als der von Atomen und deshalb gehen positive Metallionen in Lösung.
Faradaysches Gesetz
Die Faradayschen Gesetze beschreiben den Zusammenhang zwischen Ladung und Stoumsatz bei
der Elektrolyse.
1. Faradaysches Gesetz
Die Stomenge, die an einer Elektrode während der Elektrolyse abgeschieden wird, ist proportional
zur Ladung, die durch den Elektrolyten geschickt wird.
2. Faradaysches Gesetz
Die durch eine bestimmte Ladung abgeschiedene Masse eines Elements ist proportional zum
Atomgewicht des abgeschiedenen Elements und umgekehrt proportional zu seiner Wertigkeit,
daher zur Anzahl von einwertigen Atomen, die sich mit diesem Element verbinden
können.
Bisher: Elektrolyten mit geringer Ionenkonzentraltion
höhere Konzentration der Ladungsträger ñ es bildet sich um jedes positive Ion eine Wolke negativer Ladungsträger
(und umgekehrt), welche das Feld der positiven Ionen nach auÿen mehr oder weniger abschrimt
Infolge dieser Abschirmung einer Ladung durch andere nimmt die Leitfähigkeit starker Elektrolyte nicht mehr
genau mit der Ionenkonzentration zu, sondern zeigt bei hohen Ionenkonzentrationen kleinere Zuwäsche.
33 Die elektrische Leistung eines Stromes in einem Widerstand
Unterscheidung:
• Ladungsträger durchquert Potentialdierenz U ñ elektrisches Feld leistet an Ladung q die Arbeit q ¤ U
• Strom I ieÿt durch Widerstand ñ I dq
dt
Ladungen pro Sekunden laufen durch dieselbe Potentialdierenz

34 ELEKTROMOTORISCHE KRAFT 29
ñ dW P U ¤ I (elektrische Leistung) (5.6)
dt
Für die in einem Ohmschen Widerstand abgegebene elektrische Leistung P gilt:
P U ¤ I I 2 ¤ R U 2
R
Energie wird den Ladungsträger zugeführt Energie wird durch Stöÿe mit Umgebung abgegeben ungeordnete
kinetische Energie wird erhöht Temperaturerhöhung
34 Elektromotorische Kraft
Betrachten geschlossenen Stromkreis, in dem ein stetig geschlossener Stromuss aufrechterhalten wird.
Energiequelle muss Leistung P I 2 ¤ R aufbringen, die in dem Widerstand des Stromkreises verzehrt wird.
Anlaufspannung
Betrachte Heizkathode und Anode
Kathode emittiert Elektronen mit kinetischen Energie k B T zur Anode. Im Gleichgewichtszustand
wird die Anlaufspannung U A so groÿ sein, dass die Elektronen ihre gesamte kinetische Energie
auf dem Weg verlieren.
k B T E kin e ¤ U A
Innenwiderstand einer Stromquelle
Definition 34.1 (Klemmenspannung) Klemmenspannung bezeichnet die elektrische Spannung,
die zwischen den zwei Anschlüssen einer Stromquelle oder Spannungsquelle gemessen
werden kann. Sie ist die Dierenz aus Leerlaufspannung (EMK) und dem Produkt aus Ausgangswiderstand
oder auch Innenwiderstand R i der Spannungsquelle und dem Strom I. Oder:
Strom mal Lastwiderstand
Jede Stromquelle hat einen Innenwiderstand R i , der daher rührt, dass die Ladungsträger auf dem
Wege vom Ort ihrer Trennung zu den Ausgangsklemmen des Gerätes Stöÿe mit den Atomen
oder Molekülen des entsprechenden Leitermaterials erleiden. Wenn die Klemmenspannung der
unbelasteten Stromquelle U 0 ist (man nennt U 0 auch die elektromotorische Kraft EMK), dann
sinkt bei Belastung mit einem äuÿeren Widerstand R a die Klemmenspannung beim Strom I
U 0
R i R a
auf den Wert
¢
U U 0 ¡ I ¤ R i U 0 ¤ 1 ¡
R i
R i
U 0 ¤
R a
R a
R i R a
Die Klemmenspannung ist daher abhängig vom Verbraucherwiderstand.
Man kann jedoch den Innenwiderstand R i sehr klein machen, so dass man damit eine Klemmenspannung
erhält, die in vorgegebenen Grenzen praktisch unabhägig von der Belastung wird.
P U ¤ I U 0 ¤
R a
R i R a
¤
U 0
R i R a
U 2 0 ¤
R a 0 ñ P 0
U 0 0 ñ P 0
R a
pR i R a q 2
Das heiÿt bei Leerlauf oder bei Kurzschluss gibt die Quelle keine Leisteung ab

34 ELEKTROMOTORISCHE KRAFT 30
Galvanische Elemente
Ein galvanisches Element besteht aus zwei verschiedenen Metallelektroden, die in eine elektrolytische
Lösung eingetaucht sind. Man misst zwischen den beiden Elektroden eine elektrische Spannung.
Ursache:
Zwischen Metallelektrode und umgebenden Eletrolytüssigkeit besteht ein Konzentrationsgefälle von
Metallionen Diusion (Übergang von Metallionen in die Lösung). Die Elektronen des Metalls
lösen sich jedoch kaum im Wasser. Das Metall lädt sich deshalb negativ relativ zur Lösung auf
und zwar bis auf ein so hohes Potential φ, dass keine weiteren Ionen mehr in Lösung gehen
können.
• positive äuÿere Spannung an Elektrode positive Metallionen gehen verstärkt in Lösung
Elektrode löst sich auf
• negative Spannung (Potential der Elektrode niedriger gegenüber dem des Elektrolyten)
mehr Metallionen können aus der Lösung an der Elektrode abscheiden Elektrode wird
dicker
• zwei verschiedene Elektroden mit Potentialdierenzen ∆φ 1 und ∆φ 2 in Elektrolyt Spannungdierenz
U ∆φ 1 ¡ ∆φ 2
Definition 34.2 Eine Anordnung aus zwei verschiedenen Metallelektroden in einem Elektrolyten
heiÿt galvanisches Element.
Verbindet man die beiden Pole des galvanischen Elements, das die Spannung U liefert, durch
einen Lastwiderstand R a , so ieÿt ein Strom
I
R a
wobei R i der Innenwiderstand des Elementes ist. Der Strom wird im Metall durch Elektronentransport
getragen, wobei die Elektronen von der negative Elektrode zur positiven Elektrode
ieÿen
Beispiel 34.1 (Batterie)
U
R i
Strom Elektronentransport von neg. Zinkelektrode zu pos. Kupferelektrode
Elektronenmangel in Zn-Elektrode, Elektronenüberschuss in Cu-Elektrode
Änderung der Spannung zwischen Zn-und Cu-Elektrode
Ausgleich durch Ionenwanderung im Elektrolyten
Zn-Atome gehen als Zn -Ionen in Lösung und lassen je zwei Elektronen in Zn-Elektrode zurück
und wandern zur Cu-Elektrode
Zn-Elektrode wird immer dünner, Cu-Elektrode überzieht sich mit Zinkschicht
Spannung sinkt
Bleiakkumulator
Er besteht aus zwei Bleiplatten, die in eine verdünnte H 2 SO 4 Lösung tauschen.
Beide Platten überziehen sich mit einer dünnen P bSO 4 -Schicht
Nun: Spannung zwischen den beiden Elektroden
chemische Reaktionen
galvanisches Element
Entladung

35 AUSTRITTSARBEIT, KONTAKTSPANNUNG UND THERMOSPANNUNG 31
35 Austrittsarbeit, Kontaktspannung und Thermospannung
Austrittsarbeit
Um die in einem Metall frei beweglichen Leitungselektronen aus dem Metall herauszubringen, muss
man Arbeit leisten gegen die anziehenden Kräfte zwischen Elektronen und positiven Ionen des
Metallgitters.
Wählt man das Vakkuumpotential 0, so wird für ein Metall mit der Energie E C für den höchsten
besetzten Energiezustand der Elektronen die Austrittsarbeit Φ ¡E C . Die Austrittsarbeit ist
negativ, weil man Energie aufwenden muss.
Beispiel 35.1 (Photoelektrischer Effekt) Licht fällt auf Metalloberäche. Dann
können Photonen dessen Energie die Austrittsenergie des Elektrones übertreen Elektronen
auslösen. Dann werden von Metall Elektronen emittiert.
Kontaktspannungen
Bringt man zwei verschiedene Metalle mit unterschiedlichen Austrittsarbeiten in Kontakt miteinander,
so ieÿen Elektronen vom Metall mit der kleineren Austrittsarbeit in das Metall mit der
gröÿeren Austrittsarbeit. Dadurch entsteht eine Raumladung, die zu einem elektrischen Gegenfeld
führt, das die Elektronen wieder zurücktreibt. Gleichgewicht herrscht, wenn die Ströme in
beide Richtungen gleich groÿ sind. Durch die Raumladungen werden die Potentiale φ in beiden
Metall verschoben zu φ 1 bzw. φ 2 , und es entsteht eine Kontaktspannung U φ 1 ¡ φ 2 zwischen
den beiden Metallen.
Thermoelektrische Spannungen eines Leiters
Ein elektrisches Feld kann auch im Auÿenraum nur eines Leiters entstehen, wenn dieser nämlich nicht
überall die gleiche Temperatur besitzt. Da die Elektronen am heiÿeren Ende eine höhere mittlere
kinetische Energie haben als am kälteren, erhöht sich wie bei einem idealen Gas die Dichte
der Elektronen auf der kälteren Seite, wodurch sie sich gegenüber der wärmeren negativ auflädt
(warm Teilchen bewegen sich schneller, stöÿen sich öfter Elektronen stoÿen sich mehr
ab geringere Elektronendichte). So entsteht zwischen den beiden Enden eine Potentialdierenz,
die verhindert, dass weitere Elektronen wandern. Dies ist die sogenannte thermoelektrische
Spannung.
Thermospannung in geschlossenen Stromkreisen
In einem geschlossenen Kupferring, der an einer Stelle erwärmt wird, heben sich die Thermospannungen
gerade auf, und es tritt deshalb keine EMK auf.
Thermoelemente
Da die Thermospannungen von Metall zu Metall variieren, entsteht in einem geschlossenen Leiterkreis,
der aus zwei verschiedenen Leitern zusammengefügt ist, eine EMK und somit ein Strom,
wenn beide Leiter, genauer die Übergänge zwischen beiden, eine unterschiedliche Temperatur
besitzen.

36 STROMKREISE UND STROMVERZWEIGUNGEN (KIRCHHOFFSCHE REGELN) 32
Peltier-Eekt
Was passiert, wenn ein elektrischer Strom I durch eine Berührungsstelle zweier verschiedener Leiter
ieÿt?
So wie eine Wasserströmung z.B. in einer Zentralheizung eine bestimmte Wärmemenge mit sich führt,
ist auch mit dem Strom der Leitungselektronen ein bestimmter, für den Leiter charakteristischer
Wärmetransport verbunden.
Da aber die spezischer Wärme pro Leitungselektron von Sto zu Sto variiert, ist die durch den
Strom I mitgeführte Wärmemenge in manchenStoen höher als in anderen, so dass die Kontaktstellen
erwärmen oder abkühlen.
36 Stromkreise und Stromverzweigungen (Kirchhosche Regeln)
Definition 36.1 (technische Stromrichtung) Man deniert die Stromrichtung als positiv, in
der eine positive Ladung sich bewegen würde, also von der positiven zur negativen Klemme der Batterie.
Linienintegral der elektrischen Feldstärke entlang der Verbindung ist Null: (da geschlossene Kurve)
(Kirchhoffsche Schleifenregel) In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe der Spannungen
über alle Schaltelemente null:
¸
U n 0 (5.7)
Hierbei sind die Batteriespannungen negativ zu zählen.
Ladungserhaltung für stationäre Ströme:
n
(Kirchhoffsche Knotenregel) Die Summe aller Ströme, die in einen Knoten hinein- bzw. heraus-
ieÿen ist Null.
¸
n
I n 0
Dabei werden willkürlich die herausieÿenden Ströme negativ gezählt.
Teil VI
Das magnetische Feld
⃗F q ¤ p⃗v ¢ ⃗ Bq Lorentz-Kraft (6.1)
⃗B µ 0
2π ¤ I ⃗ ¢ ⃗r
Magnetfeld eines stromdurchossenen geradlinigen Leiters im Abstand r (6.2)
r 2
Im Gegensatz zu den elektrischen Feldlinien besitzen magnetische Feldlinien weder Anfang noch Ende. Alle Versuche
magnetische Ladungen zu nden, aus denen magnetische Feldlinien hervorquellen, sind bisher erfolglos
verlaufen.
Magnetische Felder sind quellenfreie Wirbelfelder.
Auch für magnetische Felder gilt das Superpositionsprinzip: Die von zwei Drähten erzeugten Felder addieren
sich überall vektoriell.
Eine stromdurchossene Spule und ein Stabmagnet zeigen qualitativ das gleiche magnetische Feld.

37 DAS AMPÈRESCHE GESETZ 33
37 Das Ampèresche Gesetz
Definition 37.1 (Magnetischer Fluss)
magnetischer Fluss durch eine Fläche A
»
Φ
magnetische Feldlinien sind stets ringförmig geschlossen:
¾
⃗B ¤ dA ⃗ 0 Quellenfreiheit des Magnetfeldes (6.3)
A
Als Nächstes betrachten wir die Zirkulation des Magnetfeldes, die deniert ist als das Linienintegral B ¤d⃗s über
einen geschlossenen Integrationsweg. Zirkulation des Magnetfeldes um einen geraden, stromführenden Draht:
Integrationsweg ein konzentrischer Kreis um Drahtachse
¾
⃗B ¤ d⃗s µ 0
2π ¤ I r ¤ 2πr µ 2 ¤ I
C
Mit Hilfe des Superpositionsprinzips können wir das Gesetz auf beliebig viele, beliebig orientierte stromdurch-
ossenen Leiter anwenden.
A
(Ampèresches Gesetz) Das Linienintegral B ⃗ ¤ d⃗s über einen beliebigen geschlossenen Integrationsweg
C ist gleich µ 0 mal dem vom Integrationsweg eingeschlossenen Strom:
¾
⃗B ¤ d⃗s µ 0 ¤ I (6.4)
C
⃗B 9 d ⃗ A
mit I ³ A ⃗ j ¤ d ⃗ A:
¾
¾
⃗B ¤ d⃗s µ 0 ¤
⃗j ¤ d ⃗ A (6.5)
C
Beispiel 37.1 (Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes) Betrachte Draht mit
Radius a durch den Strom I 0 ieÿt. Im Inneren des Drahtes ergibt sich mit dem Ampéreschen Gesetz:
Auÿenraum:
Bprq ¤ 2πr µ 0 ¤ I 0 ¤ r2
a 2 ñ Bprq µ 0 ¤ I 0
2πa 2 ¤ r für r ¤ a
Bprq ¤ 2πr µ 0 ¤ I 0 ñ Bprq µ 0 ¤ I 0
2πr
A
für r ¡ a
Beispiel 37.2 (Koaxialkabel) Konzentrische Anordnung von zwei metallischen Zylindern, in denen
der gleiche Strom I in entgegengesetzte Richtungen ieÿt.
Zwischen den beiden Zylindern:
Bprq µ 0 ¤ I 0
2πr
Auÿenraum ist feldfrei
Abstand zwischen den beiden Leitern sehr viel kleiner als Innenradius: Man kann einen Ausschnitt der Breite
l auassen als eine Bandleitung, die aus zwei parallelen, ebenen Platten der Breite l besteht und in denen
l
zwei Ströme I x I 0 ¤
2πr
in entgegengesetzte Richtungen ieÿen.
Magnetfeld zwischen den Platten ist unabhängig von Plattenabstand und parallel zu den Platten:
B µ 0 ¤
I 0
2πr µ 0 ¤ I x
l

38 DAS BIOT-SAVARTSCHE GESETZ 34
Beispiel 37.3 (Das Magnetfeld einer langen Spule) Wenn die Spule sehr viel länger als ihr
Durchmesser ist, ist das Magnetfeld im Auÿenraum vernachlässigbar klein gegenüber der Feldstärke B 0 im
Inneren. B 0 ist parallel zur Spulenachse.
Lege ein Rechteck halb in den Auÿenraum, halb in den Innenraum. Beim Linienintegral werden nur die zu
B 0 parallelen Seiten gerechnet:
B 0 ¤ L ¡ B auen ¤ L B 0 ¤ L µ n ¤ N ¤ I
wenn N Windungen vom Integrationsweg umschlossen werden.
Feldstärke im Innern einer langen Spule:
B 0 µ 0 ¤ n ¤ I
n N L
: Windungszahl pro Längeneinheit
ñ Feld ist im Innern homogen
38 Das Biot-Savartsche Gesetz
Berechnung des magnetischen Feldes, das einen beliebig geformten, stromdurchossenen Leiter umgibt:
Man teilt den stromführenden Draht in kurze Leiterelemente d ⃗ l und berechnet den Feldbeitrag d ⃗ B des Leiterelements
an einer Stelle im Abstand ⃗r von diesem Leiterelement.
Berechnung mit:
(Biot-Savartsches Gesetz)
dB ⃗ µ 0 ¤ I ¡
4πr 3 ¤ d ⃗ ©
l ¢ ⃗r
(6.6)
Beispiel 38.1 (Magnetfeld eines Ringstromes oder magnetischen Dipols) Magnetischer
Verlauf einer ringförmigen Stromschleife:
Der Einfachheithalber wollen wir der Stromschleife eine rechteckige Form mit den Kantenlängen a und b
geben.
Die Spule liege in der x ¡ y-Ebene. Zunächst wollen wir das Magnetfeld auf der z-Achse in groÿen Abstand
von der Stromschliefe r " a, b berechnen.
dB µ 0 ¤
I
¤ dl ¤ sin β
4πr2 β
?pd⃗ l, ⃗rq
B z px y 0q µ 0 ¤ I ¤ a ¤ b
2πr 3
Definition 38.1 (magnetisches Moment)
⃗m : I ¤ ab Strom ¢ Fläche
ñ B z µ 0
2π ¤ m r 3
Ebenso: Magnetfeld in groÿen Abstand r in der xy-Ebene:
B z pz 0q µ 0
4π ¤ m r 3
Beispiel 38.2 Magnetische Momente treten in der Natur bei jeder kreisenden Ladungsbewegung auf. So
besitzen alle Elementarteilchen mit endlichen Drehimpuls im allgemeinen ein charakteristisches magnetisches
Moment.
Die Ursache des magnetischen Momentes der Erde ist noch ungeklärt. Es nimmt um etwa 5% pro Jahrhundert
ab. Das magnetische Moment hat im Laufe der Erdgeschichte mehrmals seine Richtung relativ zur
Drehachse der Erde umgepolt.

39 DER RELATIVISTISCHE ZUSAMMENHANG ZWISCHEN ELEKTRISCHEN UND MAGNETISCHEN FELDERN
39 Der relativistische Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen
Feldern
In unseren bisherigen Betrachtungen spielte das Bezugssystem, in dem wir die Ladungen als ruhend bzw. bewegt
betrachteten keine Rolle. Ändert man das Bezugssystem, so können aus ruhenden Ladungen bewegte werden
und umgekehrt. Entsprechend sollten sich bei Änderungen des Bezugssystems elektrische Felder in magnetische
transformieren und umgekehrt.
(Rest ist nicht Sto der Vorlesung, gehört zu Relativitätstheorie)
Teil VII
Die Bewegung von geladenen Teilchen im
magnetischen Feld
In diesem Abschnitt wollen wir das zeitlich konstante mangetische Feld als vorgegeben betrachten. Fragestellung:
Wie bewegen sich Ladungsträger in homogenen oder inhomogenen Magnetfeldern unter dem Einuss der
Lorentz-Kraft?
40 Die magnetische Kraft auf einen stromführenden Draht
Betrachten wir einen Draht der Länge l, in dem ein Strom I ieÿt und der senkrecht zum Magnetfeld B ⃗ liegt.
Die Lorentz-KRaft, welche auf dieses Leiterelement wirkt, ist
¡
⃗F n ¤ A ¤ l ¤ q ¤ ⃗v D ¢ B ⃗ ©
n: Zahl der Ladungsträger mit Ladung q pro Volumeneinheit
⃗v D : Driftgeschwindigkeit
⃗I n ¤ A ¤ q ¤ ⃗v D ñ ⃗ F p ⃗ I ¢ ⃗ Bq ¤ l
Ob positive Ladungen nach rechts oder negative nach links ieÿen, positive wie negatie Ladungen erleiden die
gleiche Lorentz-Kraft in die gleiche Richtung. Man kann daher durch die Messung der Kraftwirkung auf den
Leiter keine Auskunft über das Vorzeichen der Ladungsträger im Metall erhalten.
41 Der Hall-Eekt
Die Lorentzkraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungsträger eines Leiters senkrecht zum Magnetfeld und zur
Stromrichtung. Diese Ablenkung führt zu einer Ladungstrennung, die wiederum ein elektrisches Feld E H erzeugt.

42 DER MAGNETOHYDRODYNAMISCHE GENERATOR (MHD-GENERATOR) 36
Die Ladungstrennung schreitet so lange fort, bis das sich aufbauende elektrische Feld eine der Lorentzkraft
F L n ¤ q ¤ pv D ¢ Bq entgegengerichtete gleich groÿe elektrische Kraft F C n ¤ q ¤ E H bewirkt.
q ¤ E H ¡q ¤ pv ¢ Bq ñ E H ¡v D ¤ B Hall-Feld (7.1)
Aus dem Vorzeichen der Driftgeschwindigkeit ergibt sich naturgemäÿ bei konstanten Strom auch sofort das
Vorzeichen der Ladungsträger. Durch die Messung des Hall-Feldes E H in einem bekannten Magnetfeld B kann
man also sowohl die Gröÿe als auch das Vorzeichen der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger bestimmen
unabhägig von ihrer Dichte n und ihrer Ladung q.
j n ¤ q ¤ V D
ñ E H ¡ j ¤ B
n ¤ q
Ladungsträgerdichte n kann bestimmt werden.
Auf diese Weise hat man gefunden, dass in den meisten Metallen der Strom von negativen Leitungselektronen
getragen wird.
Löcher
Manche Halbleiter zeigen jedoch eine negative Hallspannung! Dies lässt sich folgendermaÿen verstehen:
Bei diesen Halbleitern tragen überwiegend Elektronen-Defektstellen (so genannte Löcher)
zur Leitung bei: Ein Elektron besetzt bei seiner Bewegung im elektrische Feld ein Loch neben
seinen bisherigen Platz. Das Loch, welches dieses Elektron hinterlässt, wird von einem anderen
Elektron besetzt usw. Das Loch wirkt wie ein positives Teilchen, welches sich mit einer positiven
Driftgeschwindigkeit bewegt.
Beispiel 41.1 (Hall-Sonde) Eine weitere wichtige Anwendung des Hall-Eektes liegt in der Messung
magnetischer Felder. Das Hall-Feld E H steigt linear mit dem messenden Magnetfeld B und die Empndlichkeit
einer Hall-Sonde wächst mit der Driftgeschwindigkeit. Für Magnetfeldmessungen dieser Art benutzt man
daher am vorteilhaftesten Materialien mit hoher Ladungsträgerbeweglichkeit.
42 Der magnetohydrodynamische Generator (MHD-Generator)
Lässt man ein ionisiertes Plasma senkrecht durch ein Magnetfeld strömen, so ndet eine räumliche Ladungstrennung
senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit statt. Die obere Elektrode lädt sich gegenüber der unteren
elektrisch auf. Verbindet man beide Elektroden über einen Verbraucherwiderstand (s. Kap. EMK), so ieÿt
ein Strom, und dem sogenannten MHD-Generator kann auf diese Weise elektrische Energie entnommen werden.
Ebenso: Metallstreifen zwischen zwei Kontakten senkrecht durch ein Magnetfeld ziehen Elektronen werden
nach unten abgelenkt (hohe Ladungsträgerdichte des Metall erzeugen gröÿere Ströme)
43 Bewegte metallische Leiter (Generatorprinzip)

44 KRAFTWIRKUNGEN AUF EINEN MAGNETISCHEN DIPOL IM MAGNETISCHEN FELD 37
Kupferdraht wird senkrecht zur Längsachse mit Geschwindigkeit ⃗v bewegt.
magn. Kraft auf Elektronen = - magn. Kraft auf positive Ionen Summe der Kraft Null
Auf den Draht als Ganzes wirkt also keine Kraft. Die beweglichen Elektronen werden jedoch innerhalb des
Drahtes durch die Lorentzkraft zu einen Ende gedrängt, wodurch eine EMK oder Potentialdierenz erzeugt
wird. Im Gleichgewicht gilt:
q ¤ E ¡q ¤ v ¤ B ñ E ¡v ¤ B
U
» l
0
⃗Ed⃗r ¡v ¤ B ¤ l
Dies ist das Grundprinzip aller Spannungsgeneratoren, bei denen durch die Bewegung von Leitern im statischen
Magnetfeld eine Spannung erzeugt wird.
In der Technik wird das Generatorprinzip meist mit rotierenden Spulen und festen Magneten oder mit rotierenden
Magneten und festen Spulen verwirklicht.
44 Kraftwirkungen auf einen magnetischen Dipol im magnetischen
Feld
B ‖ b ñ F 1 I ¤ B ¤ a
Das Magnetfeld übt Kraft F 1 bzw. ¡F 1 auf Leiterschleife aus Drehmoment
D F 1 ¤ b ¤ sin Θ I ¤ B ¤ a ¤ b ¤ sin Θ
⃗m I ¤ ab ñ ⃗ M ⃗m ¢ ⃗ B
Ein magnetischer Dipol verhält sich also im magnetischen Feld ähnlich wie der elektrische Dipol im elektrischen
Feld: Auf beide wirkt ein ausrichtendes Drehmoment und beide besitzen im Feld daher eine bestimmte potentielle
Energie.
Beispiel 44.1 (Motoren) Drehbare Spule im Magnetfeld eines Permanentmagneten
Strom durch Spule
Rotation aufgrund Drehmoment
Aufrechterhalten der Drehung durch Umpolen nach Drehung um 180 ¥
Drehung erzeugt EMK (Generatorprinzip), die angelegter Spannung entgegenwirkt
höchstmögliche Drehzahl, wenn Gegen-EMK gleich groÿ wie die von auÿen angelegte Spannung
Das heiÿt: Ein Elektromotor verbraucht im Idealfall keine Leistung zur Drehung des Motors (kein Strom
ieÿt)
Beispiel 44.2 (Drehpulsgalvometer) Messung des elektrischen Stromes
Drehspule im Magnetfeld eines Permanentmagnet wird elastisch an Ruhelage gebunden
Drehmoment M Auslenkung der Spule um Winkel dΘ
kleine Drehwinkel: dΘ M I
gröÿte Empndlichkeit bei Ruhelage Θ 90 ¥

45 BAHNEN FREIER LADUNGEN IM MAGNETFELD 38
Beispiel 44.3 (Die Präzession von Atomen und Kernen im Magnetfeld) Kreisströme existieren
nicht nur in geschlossenen Drahtschleifen, sondern auch in vielen Atomen als Folge der kreisenden
Bahnbewegung ihrer Elektronen um den positiven Kern. So besitzen alle Atome mit einem elektonischen
Bahndrehimpuls immer auch ein magnetisches Moment. Auch die Eigendrehung (Spin) vieler geladener Elementarteilchen
und Kerne führen dazu, dass diese Teilchen ein magnetisches Moment besitzen, obwohl ihr
Schwerpunkt ruht.
Atom oder Kern in Magnetfeld Präzession (Richtungsänderung der Achse eines rotierenden Kreisels, wenn
äuÿere Kräfte auf ihn einwirken)
I dQ
dt q ¤ ν q ¤
v
2πR
45 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld
Bewegung eines freien, geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld
Geschwindigkeit ⃗v senkrecht zu Magnetfeld ⃗ B
⃗F L q ¤ p⃗v ¢ ⃗ BqK⃗v ñ |⃗v| const
Das Teilchen bewegt sich in diesem Fall auf einer Kreisbahn:
Kreisfrequenz unabhängig von Bahnradius
Zyklotron
F q ¤ v ¤ B m ¤ v2
r
ω v r q ¤ B Zyklotronfrequenz (7.2)
m
Magnetfeld senkrecht auf Bild- und Bahnebene
Wechselspannung U an Elektroden mit Frequenz ν qB
2πm
geladene Teilchen werden bei jedem Durchgang Energie aufnehmen
Bahnradius wird vergröÿert
Mit einem Zyklotron dieser Art können prinzipiell nur kinetische Energien der Teilchen erreicht
werden, de noch klein sind im Vergleich mit ihrer Ruheenergie m 0 c 2 . Für höhere Geschwindigkeiten
wird die Masse geschwindigkeitsabhängig und kann in der Zyklotronfrequenz nicht mehr
als konstant betrachtet werden.
Blasenkammer
Umlaufsinn bzw. Ablenkrichtung eines freien geladenen Teilchens im Magnetfeld hängt vom Vorzeichen
der Ladung ab
Ladungsvorzeichen nocht unbekannter Elementarteilchen ist daher sofort aus dem Blasenkammerbild
seiner Bahn im Magnetfeld ablesbar.
Definition 45.1 Die Blasenkammer ist ein Teilchendetektor, der die Spuren von geladenen
Elementarteilchen und Hadronen sichtbar macht.
Auÿerdem ist der Impuls ablesbar:
p mv rqB

46 BAHNEN GELADENER TEILCHEN IM MAGNETFELD DER ERDE 39
Massenspektrometer
Im Massenspektrometer wird die Ablenkung eines Ions bekannter Geschwindigkeit im Magnetfeld
zur Bestimmung seiner Masse benützt.
Schräg einfallende Teilchen
Teilchen, die sich nicht senkrecht zum homogenen Magnetfeld bewegen:
Geschwindigkeitskomponente v K und v ‖ senkrecht und parallel zu B ⃗
⃗F q ¤ p⃗v ¢ Bq ⃗ besitzt keine Komponente parallel zum Feld B ⃗
ñ v ‖ wird im magnetischen Feld nicht geändert
F wirkt nur auf v K
F q ¤ v K ¤ B m ¤ v2 K
ñ v K
r r ω q m ¤ B
Das Teilchen bewegt sich somit parallel zum Magnetfeld mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts,
umkreist aber dabei die Feldrichtung mit der Zyklotronfrequenz. Es bewegt sich also auf
einer schraubenförmigen Bahn.
Teilchen in inhomogenen Magnetfeld
Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zu ⃗v
Betrag der Gesamtgeschwindigkeit bleibt unverändert
Annahme: Drehimpuls konstant
m ¤ v K ¤ r m ¤ ω ¤ r 2 const. ñ B ¤ r 2 const.
46 Bahnen geladener Teilchen im Magnetfeld der Erde
Inhomogenes Magnetfeld, dass nach unten hin zunimmt und nach unten zeigt (oberhalb der Kugel)
Ein Teilchen, dass sich nach oben bewegt, erfährt eine Kraftablenkung nach unten
Das geladene Teilche nerfährt also im inhomogenen Magnetfeld eine Reexion.
Protonen oder Elektronen können also zwischen der oberen Halbkugel der Erde und der unteren hin und
herreektiert werden
Beispiel 46.1 Atombombenexpolosion in groÿer Höhe an Stelle A erhöhten Dichte der Protonen und Elektronen
in Region A. Nach etwa einer Sekunde tauchten diese Protonen im Punkt B über der Südhalbkugel auf.
Diese künstlich injizierten Protonen und Elektronen pendeln für sehr lange Zeiten von Norden nach Süden
und zurück.
Teil VIII
Induktionserscheinungen
Faradays Versuche haben klar demonstriert, dass ein zeitlich sich ändernder magnetischer Fluss z.B. durch eine
Spule, eine elektrische Spannung in einer Spule hervorruft.
47 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Spule: einfache Drahtschleife im Magnetfeld eines Stabmagneten
Fluss ändert sich nicht keine Spannung
Flusänderung Spannung
U ¡ dΦ Faradaysches Induktionssgesetz (8.1)
dt
Diese induzierte Spannung ist unabhägig von der Art der Bewegung (Drehen, Annähern,...)

48 DIE LENZSCHE REGEL 40
48 Die Lenzsche Regel
Nach dem Ohmschem Gesetz führt die induzierte SPannung auch zu einem Strom
Lenzsche Regel aus der Energieerhaltung
I U R ¡dΦ{dt
R
In Draht mit Widerstand R ieÿt Strom I
Leistung die aufgebracht werden muss P I 2 ¤ R
ñ diese Energie ist die (kin.) Energie des Magneten
Das durch den Induktionsstrom erzeugte Magnetfeld muss also die Bewegung des Stabmagneten
abbremsen
(Lenzsche Regel) Der induzierte Strom hat immer eine solche Richtung, dass er der Flussänderung,
die ihn hervorruft, entgegenwirkt.
Eine gut leitende Drahtschleife versucht also, mit Hilfe des Induktionsstromes den magnetischen Fluss durch
ihren Querschnitt konstant zu halten.
Die magnetischen Feldlinien werden von einem guten Leiter, der sich bewegt, (teilweise) mitgenommen.
49 Beispiele zum Induktionsgesetz
Beispiel 49.1 (Erdmagnetfeld) Die magnetischen Feldlinien habn nicht den Verlauf eines magnetischen
Dipols, sondern werden durch den relativ gut leitenden Plasmastrom, der von der Sonne ausgehend die
Erde trit, besonders in groÿen Abständen von der Erde stark mitgenommen. Die Feldlinien des erdmagnetischen
Feldes wehen im Sonnenwind wie lange Haare bei einer Brise.
Beispiel 49.2 (Implosionstechnik) Kupferzylinder mit Stromuss Magnetfeld im Inneren
Kompression Magnetfeld wird komprimiert also stärker
Fläche verändert sich würde zu Flussänderung führen Induktionsstrom gegen Flussänderung, so dass
Fluss gleich bleibt Magnetfeld verstärkt
Beispiel 49.3 (Drehstrommotor)
Die Spannung der Spulen sind um 120 ¥ phasenversetzt.
Die drei Spulen erzeugen ein Magnetfeld, die sich nach den Superpositionsprinzip vektoriell addieren.
Das heiÿt es wird in der Mitte ein Magnetfeld erzeugt. Dieses ändert sich aufgrund der Wechselströme ständig,
und somit wird im gut leitenden Rotor eine Spannung induziert, die der Änderung entgegenwirkt. Es wird
also ein Strom induziert, so dass der Fluss konstant bleibt, also indem sich der Rotor mit dem Magnetfeld
mitdreht.
Der Rotor dreht sich also mit der Netzfrequenz.
Beispiel 49.4 (Transrapid)
• Schweben: Tragmagnete stoÿen den Magnet am Transrapid ab
• Beschleunigen: unregelmäÿiges Magnetfeld beschleunigt wie oben beim Drehstrommotor

50 DIE SELBSTINDUKTION 41
Beispiel 49.5 (Drahtschleife im Magnetfeld) Drahtschleife mit Widerstand R im Magnetfeld
wird aus dem Magnetfeld gezogen
R 0 völlige Mitnahme des Feldes hoher rücktreibende Kraft
R 8 Induktionsstrom verschwindet
Bewege Leiterstück um Strecke x mit Geschwindigkeit v, Höhe ist b
I U R ¡dΦ{dt
R
¡B ¤ dA{dt
R
dx{dt¡v
B ¤ b ¤ v
R
F I ¤ B ¤ b B2 ¤ b 2
R
¤ v
Die Bewegung der leitenden Drahtschleife erfhrt also eine der Geschwindigkeit proportionale Bremskraft.
Beispiel 49.6 (Wirbelstrombremse) Die oben berechnete Bremskraft wird Wirbelstromdämpfung
genannt.
Wenn man versucht eine Aluminiumscheibe zwischen den Polen eines starken Hufeisenmagneten durchzuschwingen,
bleibt sie zwischen den Polen infolge der elektromagnetischen Bremskraft fast kleben, obwohl
keine Berührung stattndet.
Prinzip der Wirbelstrombremse
Beispiel 49.7 (Betatron) Elektronen in ringförmiges evakuiertes Rohr, tangential
senkrecht dazu: zylindersymmetrisches Magnetfeld (im Mittelpunkt stärker als auÿen)
zeitliche Veränderung des Feldes
Das zeitlicher veränderliche Magnetfeld erzeugt in Richtung des umlaufenden Elektronenstrahls ein elektrisches
Feld. Dieses elektrische Feld beschleunigt die Elektronen (Unterschied zu Zyklotron!)
¾
U i
⃗E ¤ d⃗s 2πr 0 ¤ E ¡ dΦ
dt
wobei Φ der Fluss des magnetisches Feldes durch die Fläche innerhalb des Kreisbahn von Radius r 0
F d⃗p
dt q ¤ ⃗ E ¡e ¤ ⃗ E
Elektron soll sich immer am gleichen Kreis mit Sollradius r 0 bewegen
e ¤ v ¤ B 0 F m F z m ¤ v2
r 0
p ¤ v
r 0
e ¤
ñ e ¤ r 0
dB 0
dt
1
¤ dΦ
2πr 0 dt ¡e ¤ E ⃗ dp
dt e ¤ r dB 0
0
dt
e ¤
1
¤ dΦ
2πr 0 dt ñ dB 0
1 dt 2 ¤ 1
r0 2 ¤ π ¤ dΦ
dt
mittleres Feld: B Φ
r 2 0 ¤ π
Damit ist homogenes Magnetfeld ausgeschlossen
ñ Wideroesche Bedingung:
B 0 1 2 B
50 Die Selbstinduktion
Beispiel 50.1 (Transformator) Ein Transformator, kurz Trafo, ist ein Bauteil in der Elektrotechnik,
das elektrische Energie oder Information zwischen induktiv gekoppelten Stromkreisen verlustarm überträgt.
Zwei Spulen L 1 und L 2 mit Windungszahlen N 1 und N 2
Primärstrom I 1 durch Primärspule L 1 magn. Fluss

50 DIE SELBSTINDUKTION 42
Fluss durchsetzt Sekundärspule L 2 vollständig
Strom/Spannung bei L 2
magnetischer Fluss Φ, d.h. Strom I, der den Fluss erzeugt, ändert sich in eineer Stromschleife
induzierter Spannung Φ I
Selbstinduktion
U i ¡ dΦ
dt
¡L ¤
dI
dt
Das negative Vorzeichen drückt aus, dass U i immer einer Stromänderung entgegenwirkt. Die Proportionalitätskonstante
L heiÿt Selbstinduktivität oder Induktivität.
(8.2)
Ein- und Ausschaltvorgänge
Rechnung für Ausschaltvorgang bei Spule:
L ¤ dI
dt
R ¤ I 0 ñ
» I
I 0
dI 1
I 1 ¡
» t
0
¢
R I
L dt1 ñ ln ¡ R ¢
I 0 L ¤ t ñ I I 0 ¤ exp ¡ t
L{R
Einschaltvorgang
Spule
R ¤ I U 0 ¡ L ¤ dI
dt
Kondensator
R ¤ I U 0 ¡ Q C
Ausschaltvorgang
U ¡L ¤ dI
dt
R ¤ I ¡L ¤ dI
dt
I C ¤ dU
dt
R ¤ I Q C
U ¡L ¤ dI
dt
Beispiel 50.2 (Induktivität einer langen Spule)
I C ¤ dU
dt
B µ 0 ¤ I ¤ N l
s.o.
Fluss durch Querschnittsäche jeder Windung:
Φ B ¤ A µ 0 ¤ A ¤ N
l
¤ I

51 DIE ENERGIE DES MAGNETISCHEN FELDES 43
pro Windung induzierte Spannung summiert sich:
A
U i ¡N ¤ dΦ
dt ¡µ A ¤ N 2
0 ¤ dI
l dt
L µ 0 ¤ A ¤ N 2
x 0
a
l
¡L ¤
dI
dt
Induktivität einer langen Spule (8.3)
Beispiel 50.3 (Induktivität eines Koaxialkabels) Um Innenleiter liegt kreisförmig geschlossenes
Magnetfeld, für das (s.o.) gilt: Bprq µ0¤I
2π¤r
Lege Fläche zwischen x 0 und x 0 x zwischen die beiden Kabel:
» »
Φ ⃗B ¤ dA ⃗ x0 x » b
µ 0 ¤ I
2πr drdx1 µ »
0 ¤ I ¤ x b
dr
2π r µ ¢
0 ¤ I ¤ x b
¤ ln
2π a
ñ Lpxq µ 0 ¤ x
2π
¤ x ¤ ln ¢ b
a
51 Die Energie des magnetischen Feldes
Einschaltvorgang:
dW
dt
W
¡U i ¤ I L ¤ dI
dt ¤ I
dW L ¤ I ¤ dI
» I0
I0
a
L ¤ I ¤ dI 1 2 ¤ L ¤ I2 0
diese Energie muss an der Spule verrichtet werden, dass sie auf I 0 aufgeladen wird.
Wo steckt diese Energie nach dem Einschalten?
B µ 0 ¤ N l
¤ I 0 , L µ 0 ¤ A ¤ l ¤ N 2
l
ñ W 1 2 ¤ L ¤ I2 0 1 2 ¤ µ 0 ¤ A ¤ l ¤ N 2
l
¤ I 2 0 B2
2µ 0
¤ A ¤ l
Energiedichte des magnetischen Feldes: w Energie
Volumen B2
(8.4)
2µ 0
Nach dem Ausschalten wird das magnetische Feld der Spule langsam abgebaut, und die dabei freiwerdende
Energie dient zur Erwärmung des Widerstandes.
52 Der elektrische Schwingkreis
Schwingkreis aus Widerstand, Spule, Kondensator
mit der Kirchhoschen Schleifenregel folgt:
U L U C U R 0 ñ L ¤ dI
dt
(Vorzeichen: Betrachte den Kreis ohne Kondensator/Spule)
R ¤ I
q
C 0 (8.5)
d 2 I R
dt 2 L ¤ dI 1
dt LC ¤ I 0 (8.6)
Bewegungsgleichung eines gedämpften, harmonischen Oszialltors
ñ Iptq I 0 ¤ expp¡βtq ¤ cospω 0 tq
β R 2L , ω2 0 1
LC für β ! ω 0

53 ERZWUNGENE ELEKTRISCHE SCHWINGUNGEN 44
Lädt man den Kondensator beispielsweise auf, so entlädt er sich nicht sofort auf die Ladung null, sondern der
Entladungsstrom oszilliert in Form einer gedämpften Schwingung, wobei die Kondensatorplatte periodisch ihr
Vorzeichen wechselt.
periodischer Austausch zwischen der magnetischen Energie der Spule und der elektrischen Energie des Kondensators
Phasendierenz zwischen Strom und Spannung beträgt π 2
Schwache Dämpfung
β ω 0
Starke Dämpfung
ω 0
β
Aperiodischer Grenzfall
β ω 0
Beispiel 52.1 (Hohlraumresonator) Rotiert man diesen Schwingkreis mit Rotationsachse der Kondensator,
so entsteht der Hohlraumresonator, der keine Streufelder im Auÿenraum besitzt.
53 Erzwungene elektrische Schwingungen
Schlieÿe Wechselspannung Uptq U 0 ¤ cospωtq an Reihenschaltung aus Induktivität L, WIderstand R und
Kapazität C an
Kirchho:
L ¤ dI
dt
R ¤ I
q
C U 0 ¤ cospωtq
d 2 I R
dt 2 L ¤ dI 1
dt LC ¤ I U 0 ¤ ω
¤ sin ωt (8.7)
L
Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung
1
τ R L , ω2 0 1
LC , α 0 U 0 ¤ ω L
ñ Iptq I 0 ¤ sinpωt φq, tan φ ¡ω{τ
ω 2 0 ¡ ω2

54 GEKOPPELTE SCHWINGKREISE 45
Resonanzkurve:
I 0
U 0 ¤ ω{L
a pω
2
0 ¡ ω 2 q 2 ω 2 {τ 2 (8.8)
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ist π 2
maximale Amplitude bei ω ω 0
pI 0 q max U 0 ¤ ω 0 ¤ τ
U 0
L ¤ ω 0 R
U L und U C sind um π phasenverschoben, da U L L ¤ I 9
³ und UC 1 C Idt
Daher kann jede dieser beiden Teilspannungen für sich genommen die insgesamt aufgeprägte Spannung U 0 bedeutend
übertreen.
Im Resonanzfall ist die Amplitude (der Stromstärke) maximal. Der Resonanzfall tritt ein, falls die Erregerfrequenz
f err gleich der Eigenfrequenz der Schwingkreises f 0 ist. In jedem Fall stimmen Erregerfrequenz und
Resonatrofrequenz überein. Die Phasendierenz ∆ϕ ist jedoch unterschiedlich:
π
f err f 0 ñ ∆ϕ
2
f err f 0 ñ ∆ϕ π 2
f err ¡ f 0 ñ ∆ϕ ¡ π 2
Der Erreger eilt dem Resonater immer in der Phase voraus.
54 Gekoppelte Schwingkreise
Elektromagnetische Schwingkreise lassen sich induktiv, kapazitiv oder Ohmsch miteinander koppeln, so dass ein
Teil der Schwingungsenergie des einen Kreises auf den anderen übertragen werden kann.
Als Beispiel seien zwei induktiv gekoppelte Schwingkreise gezeigt.
Zur Induktionsspanngung U i ¡L ¤ dI
dt
in jedem Kreis kommt jetzt noch die durch diegegenseitige Induktion
erzeugte Spannung U 1 ¡L 12 ¤ dI2
dI
dt
für den ersten Kreis bzw. U 2 ¡L 1 12 dt
für den zweiten Kreis hinzu, so
dass wir die gekoppelten Dierentialgleichungen erhalten:
d 2 I 1
L 1
dt 2 R dI 1
1
dt
I 1 d 2 I 2
¡L 12
C 1 dt 2
d 2 I 2
L 2
dt 2 R dI 2
2
dt
I 2 d 2 I 1
¡L 12
C 2 dt 2
55 Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Um ungedämpfte Schwingungen zu realisieren, muss der Energieverlust dem Schwingkreis dauernd von auÿen
ersetzt werden. Dies kann auf verschiedene Weise geschehen.

56 WECHSELSTROMLEISTUNG 46
Beispiel: Meiÿner-Rückkopplungsschaltung
Schwingkreisspule L induziert in der Rückkopplungsspule L R eine gleichgroÿe Spannung die auf das Gitter übertragen
wird. Eine negative Spannung am Gitter führt zu einer Abnahme des Anodenstroms, die Energiezufuhr
1
geht zurück. Die Frequenz des Anodenstroms ist die Eigenfrequenz f
2π ? des Schwingkreises.
LC
Zwischen Erregerschwingung (Anodenstrom) und Resonanzschwingung (Strom im Schwingkreis) besteht eine
Phasendierenz von π 2
. Die Erregerfrequenz eilt voraus.
56 Wechselstromleistung
Betrachten einfachen Widerstand, der zwischen der Wechselspannung ¡U 0 cos ωt liegt
Iptq Uptq
R ¡U 0
¤ cos ωt
R
Die momentan vom Widerstand aufgenommene Leistung ist:
P ptq U ¤ I U 2 0
R cos cos2 ωt
Im allgemeinen interesisert man sich für die mittlere Leistung P gemittelt über eine oder mehrere Perioden
T 2π . ω
P 1 » T
P ptq dt U » 2 T
0
cos 2 ωt dt . . .
T 0
R ¤ T 0
P 1 2 ¤ U 0
2 Mittlere elektrische Leistung eines Ohmschen Widerstandes (8.9)
R
Bei komplizierteren Netzwerken, betrachte beliebige Phasenverschiebung ψ:
Uptq U 0 ¤ cos ωt
Nach einiger Rechnung:
P 1 T
» T
0
Iptq I 0 cos cospωt ψq
P ptq dt 1 T
» T
0
IptqUptq dt . . .
P U 0 I
? ¤ ? 0
¤ cos ψ U eff ¤ I eff ¤ cos ψ (8.10)
2 2
Kondensator an Steckdose ψ 90 ¥
Trotz eines groÿen Ladungs-und Entladungsstromes, der in und aus dem Kondensator ieÿt, wird im MIttel
keine elektrische Leistung P abgegeben.

Teil IX
Wechselstromlehre
57 Komplexe Widerstände
Wechselstromkreis mit Induktivität
von auÿen angelegte Eingangspannung:
U e U 0 cos ωt
U 0 cos ωt ¡ L ¤ dI
dt 0
ñ I U »
0
cos ωt dt U 0
sin ωt
L
lomon ωL
47
Strom und Spannung sind nicht mehr in Phase. Der Wechselstrom wird durch eine Spule um 90 ¥
gegenüber der Wechselspannung verzöert.
induktiver Widerstand:
|R L | : U 0
ω ¤ L
I 0
Wechselstromkreis mit Induktivität
I 0
R L ω ¤ L ¤ e iϕ ω ¤ L ¤ e iϕ π 2 i ¤ ω ¤ L (9.1)
U Q C
dU
dt 1 C ¤ dQ
dt 1 C ¤ I
U e U 0 ¤ cos ωt
ñ I ¡ω ¤ C ¤ U 0 sin ωt ω ¤ C ¤ U 0 ¤ cospωt
Der Strom eilt der Spannung um 90 ¥ voraus. Der komplexe Widerstand der Kapazität C ergibt
sich daher mit I 0 ω ¤ C ¤ U 0 zu
Allgemeiner Fall
Z U I e¡i π 2
U 0
¡i 1
I 0 ωC 1
iωC
Wechselstromkreis, in dem Ohmscher Widerstand R, Induktivität L, Kapazität C in Serie geschaltet
sind
äuÿere Wechselspannung U e ptq U 0 ¤ cos ωt
Lösung:
dU e
dt
iωU
U e L ¤ dI
dt
Q
C
L ¤ d2 I
dt 2 1
C ¤ I
¢
¡Lω 2
Denieren wir den komplexen Widerstand Z durch
iωR
I ¤ R
R ¤ dI
dt
1
¤ I
C
90 ¥ q
(9.2)
Z : U I
(9.3)

58 HOCH- UND TIEFPÄSSE 48
so erhalten wir:
Der Betrag
¢
Z R i ωL ¡ 1
ωC
|Z|
d
R 2
wird Impedanz genannt.
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung:
¢
ωL ¡ 1 2
ωC
(9.4)
ωC
tan ϕ ImpZq
RepZq ωL ¡ 1
R
1
ωC ωL ñ Z P R
Der Tangens der Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung ist gleich dem Verhältnis
von Imaginärteil zu Realteil des komplexen Widerstandes Z einer Schaltung.
Lineare Netzwerke sind dadurch gekennzeichnet, dass zwischen Strom I und Spannung U immer eine lineare
Beziehung
U Z ¤ I
besteht, die die komplexe Schreibweise des Ohmschen Gesetzes darstellt.
58 Hoch- und Tiefpässe
Hochpass
Ein elektrischer Hochpass ist eine Schaltung, die hohe Frequenzen ω praktisch ungedämpft durchlässt,
tiefe Frequenzen aber unterdrückt.
Beispiel einer Realisierung:
U e ptq U 0 cos ωt
Kirchho:
ñ U a
R
R
1
iωC
|U a |
¤ U e R2 ω 2 C 2 iRωC
1 ω 2 R 2 C 2 ¤ U e
ω ¤ R ¤ C
?
1 ω2 R 2 C 2 ¤ |U e|
Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung:
tan ϕ 1
RωC

49
Tiefpass
Ein elektrischer Tiefpass ist eine Schaltung, die tiefe Frequenzen ω praktisch ungedämpft durchlässt,
tiefe Frequenzen aber unterdückt.
Realisierung: R und C vertauschen in Hochpass-Schaltung
U a
1
iωC
R
1
iωC
|U a |
¤ U e
1
1 iωRC ¤ U e
1
?
1 ω2 R 2 C 2 ¤ |U 2|
• ω 0 ñ |Ua|
|U e| 1
• ω Ñ 8 ñ |Ua|
|U e| Ñ 0
tan ϕ ¡ωRC
Teil X
Materie im Magnetfeld
Wasserstoatom besitzt magnetisches Dipolmoment:
Entsteht durch Spinbewegung(Eigendrehimpuls) des Elektrons (der des Protons/Kerns ist viel kleiner, zu vernachlässigen)
Bahnbewegung des Elektrons liefert zumindest im Grundzustand keinen Beitrag zum magnetischen Moment
nicht alle Atome besitzen magnetisches Moment (Bsp.: Helium, die magnetischen Momente der zwei Elektronen
kompensieren sich gerade)
59 Die Magnetisierung der Materie
Bringen wir Atome mit einem magnetischen Dipolmoment ⃗m in ein homogenes Magnetfeld, so tritt eine partielle
Ausrichtung der Dipolachsen parallel zu Feld auf. Denn ein Dipol, der parallel zum Feld ⃗ B orientiert ist, besitzt
die geringste potentielle Energie.
Im Inneren einer Spule der Länge L mit N Windungen, die vom Strom I durchossen wird, existiert bei
der Windungsdichte n N L
im Vakuum ein Magnetfeld
B 0 µ 0 ¤ n ¤ I
Füllt man den Innenraum der Spule mit Materie, so stellt man fest, dass der magentische Kraftuss
»
Φ B ¤ dA
sich um einen Faktor µ verändert hat.
da A const.:
B Materie µB V akuum (10.1)
Die Materialkonstanten µ heiÿt die relative Permeabilität.
Erklärung: Im Magnetfeld erfolgt magnetische Polarisierung der Materie. Sie entsteht durch atomare magn.
Momente p m , die entweder durch das äuÿere Magnetfeld erzeugt werden oder die bereits vorhanden sind aber
durch das äuÿere Magnetfeld ausgerichtet werden.
Man beschreibt sich makroskopisch durch die Magnetisierung M
(analoge Denition zur elektr. Polarisation)
M
magnetisches Moment
Volumen
B µ 0 ¤ pH 0 Mq µ 0 ¤ µ ¤ H 0 (10.2)

59 DIE MAGNETISIERUNG DER MATERIE 50
nicht zu groÿe Temperaturen: M H
M χ ¤ H 0 (10.3)
Der Proportionalitätsfaktor χ heiÿt magnetische Suszeptibilität. Sein Wert nimmt im Allgemeinen mit wachsender
Temperatur ab.
Unterteilung verschiedener Stoe bzgl. ihres magn. Verhaltens:
• |χ| ! 1
χ 0: Diamagnetische Stoe
χ ¡ 0: Paramagnetische Stoe
• |χ| " 1
χ ¡ 0: Ferromagnete
χ 0 Antiferromagnete
Diamagnetismus
B µ 0 ¤ µ ¤ H 0 µ 0 ¤ p1 χq ¤ H 0 ñ µ 1 χ (10.4)
Diamagnetische Stoe bestehen aus Atomen oder Molekülen, die kein permanentes magnetisches
Dipolmoment besitzen. Bringt man solche Stoe jedoch in ein Magnetfeld, so entstehen induzierte
Dipole, die so gerichtet sind, dass ihr Magnetfeld dem induzierten äuÿeren Feld entgegengerichtet
ist, so dass das Feld im Inneren der Proble kleiner als das äuÿere Feld wird.
M χ ¤ H ist daher ebenfalls dem äuÿeren Feld entgegengerichtet, das heiÿt χ 0
Die Proportionalität gilt bis zu solchen Werten des äuÿeren Feldes, die immer noch klein sind gegen
die inneratomaren Felder, welche durch die Bewegung der Elektronen in den Atomhüllen erzeugt
werden.
Im Allgemeinen sind die Erscheinungen vernachlässigbar - wichtig dagegen in Supraleitern
Paramagnetismus
Beispiel 59.1 (Meiÿner-Effekt) Unter dem Meiÿner-Eekt versteht man die Eigenschaft
von Supraleitern in der Meiÿner-Phase, ein von auÿen angelegtes magnetisches Feld
vollständig aus ihrem Inneren zu verdrängen.
Die Atome paramagnetischer Stoe besitzen permanente magnetische Dipole, deren Orientierung
aber ohne äuÿeres Magnetfeld infolge der thermischen Bewegung in alle Raumrichtungen verteilt
sind, so dass für den Mittelwert der Vektorsumme gilt
M 1 V
¸
pm 0
Im äuÿeren Magnetfeld werden die Dipole teilweise ausgerichtet.
(Curie-Gesetz) Für p m ¤ B ! k ¤ T gilt:
Ferromagnetismus
χ unabhängig von B
χ 1 T
Beispiel 59.2 Eisen, Nickel, Kobalt
Bei ferromagnetischen Materialien ist χ sehr groÿ, und die Magnetisierung kann um viele Gröÿenordnungen
höher sein als bei paramagnetischen Stoen.
Bringt man eine ferromagnetische Probe in ein äuÿeres Magnetfeld B und misst die Magnetisierung
MpBq, so ndet man, dass MpBq keine eindeutige Funktion ist, sondern von der Vorbehandlung
der Probe abhängt.

60 FELDGLEICHUNGEN IN MATERIE 51
Kurve a: jungfräuliche Kurve
Kurve b+c: Hytereseschleife
M R : Remanenz
B K : Koerzitivkraft
Erhitzt man einen Ferromagneten über eine bestimmte Temperatur T C (Curie-Temperatur), so verschwindet
der Ferromagnetismus. Der Festkörper bleibt aber paramagnetisch für alle T ¡ T C .
Verdampft man einen ferromagnetischen Festkörper, so sind die Atome bzw. Moleküle in der Gasphase
paramagnetisch. Ein ferromagnetischer Festkörper besteht also aus paramagnetischen Atomen
oder Molekülen. Der Ferromagnetismus muss deshalb durch eine spezielle Ordnung der atomaren
magnetischen Moment im Festkörper entstehen.
Weiÿsche Bezirke
Antiferromagnete
Als Weiÿsche Bezirke bezeichnet man beim Magnetismus mikroskopisch kleine magnetisierte
Domänen in den Kristallen eines ferromagnetischen Stoes. Weiss erkannte,
dass die magnetischen Momente der Atome der Ferromagnetika auch ohne Einwirkung
eines äuÿeren Feldes in begrenzten Bezirken parallel ausgerichtet sind. Die
Magnetisierung der Weiÿschen Bezirke sind in einer nicht magnetisierten Eisenprobe
statistisch gerade so orientiert, dass die makroskopische Gesamtmagnetisierung
verschwindet. Erst bei Anlegen eines äuÿeren Magnetfeldes ist eine makroskopische
Magnetisierung der Eisenprobe zu beobachten, da die Weiÿschen Bezirke, deren
spontane Magnetisierung parallel zum äuÿeren Feld liegt, wachsen. Bei genügend
hohem äuÿeren Feld nähert sich die Magnetisierung der Probe der Sättigungsmagnetisierung
an, in diesem Fall sind alle atomaren magnetischen Moment der Probe
parallel ausgerichtet.
Misst man die Magnetisierungskurve eines Ferromagneten sehr genau, dann stellt man
fest, dass sie nicht glatt verläuft, sondern aus lauter kleinen Treppenstufen besteht,
d. h. die Ausrichtung der atomaren Dipolmomente geschieht nicht kontinuierlich,
sondern sprungweise. Der ferromagnetische Festkörper besteht aus mikroskopischen
Bereichen, in denen jeweils alle atomaren Momente durch eine starke Wechselwirkung
zwischen den atomaren Momenten parallel ausgerichtet sind (spontane Magnetisierung).
Ohne äuÿeres Feld sind die resultierenden magnetischen Momente
dieser so genannten Weiÿschen Bezirke in ihrer Richtung statistisch verteilt, sodass
nur ein geringes Gesamtmoment des Festkörpers übrig bleibt (Remanenz).
Bei Antiferromagnetischen Substanzen kann man die Struktur des Kristallgitters beschreiben durch
zwei ineinandergestelle Untergitter, wobei ohne äuÿeres Magnetfeld die magnetischen Moment
der Atome A eines Gitters alle antiparallel zu denen der Atome B der anderen Gitters stehen,
aber gleichen Betrag haben, so dass die Magnetisierung insgesamt null ist.
60 Feldgleichungen in Materie
¾
A
⃗B ¤ d ⃗ A 0 (10.5)

52
¾
⃗B ¤ d⃗s µ 0 ¤ pI iq (10.6)
C
I: äuÿere Ströme
i: innere Ringströme, die durch die Fläche ieÿen, die von C umrandet wird
¾
i ⃗m ¤ d⃗s (10.7)
Teil XI
Elektromagnetische Wellen
C
¾
pB ⃗ ¡ µ 0Mq ⃗ ¤ d⃗s µ0 ¤ I (10.8)
C
61 Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes für zeitlich veränderliche
Felder: der Verschiebungsstrom
Bisher: C ⃗ B ¤ d⃗s µ 0 ¤ I
Problem: Wechselstromkreise keine eindeutigen Werte von ⃗ B
Ladung q auf Plattenkondesator der Fläche A erzeugt E, mit q A ¤ ɛ 0 ¤ E
Allgemein:
Also:
Ampersches Gesetz:
ñ I dq
dt A ¤ ɛ 0 ¤ dE
dt
¾
C
I ɛ 0 ¤ d dt
⃗B ¤ d⃗s
»
A
⃗E ¤ d ⃗ A
µ 0 ¤ I lomon
Leitungsstrom
µ 0 ¤ ɛ 0 ¤ d »
⃗E ¤ dA
dt
⃗ loooooooooooomoooooooooooon
A
Verschiebungsstrom
z.B. Feld einer freien elektromagnetischen Welle rührt nur vom Verschiebungsstrom
(11.1)
62 Die Maxwellschen Gleichungen
Wir wissen bisher:
Maxwellschen Gleichungen in Integralform
Gauÿscher Satz für das elektrische Feld: s.(2.20)
Gauÿscher Satz für das magnetische Feld: s.(6.3)
Faradaysches Induktionsgesetz: s.(8.1)
Ampére-Maxwellsches Gesetz: s.(11.1)
¾
C
¾
C
¾
A
⃗E ¤ d ⃗ A Q ɛ 0
1 ɛ 0
»
¾
A
⃗E ¤ d⃗s ¡ d dt
⃗B ¤ d⃗s µ 0
»
A
£
V
ρdV (11.2)
⃗B ¤ d ⃗ A 0 (11.3)
⃗j
»
A
⃗B ¤ d ⃗ A (11.4)
d
ɛ ⃗
E
0 dA dt
⃗ (11.5)

63 DIE WELLENAUSBREITUNG IM VAKUUM 53
Herleitung der dierentiellen Form
¾
A
»
»
⃗F ¤ dA ⃗
A
»
ñ
¾
C
»
V
V
divp ⃗ F q ¤ dV Gauÿscher Integralsatz (11.6)
¾
divpEq ⃗ ¤ dV ⃗E ¤ dA ⃗ 1 »
ɛ 0
»
V
»
⃗F ¤ d⃗s
A
A
V
ρdV
div E ⃗ ∇ ⃗ ¤ E ⃗ ρ (11.7)
ɛ 0
¾
div B ⃗ dV ⃗B ¤ dA ⃗ 0
A
div ⃗ B ⃗ ∇ ¤ ⃗ B 0 (11.8)
A
rot ⃗ F ¤ d ⃗ A Satz von Stokes (11.9)
¾
rot E ⃗ ¤ dA ⃗ ⃗E ¤ d⃗s ¡ d »
dt
rot E ⃗ ∇ ⃗ ¢ E ⃗ ¡ d B ⃗
dt
¾ » £
rot B ⃗ ¤ dA ⃗ ⃗B ¤ d⃗s µ 0
⃗j
C
C
rot ⃗ B ⃗ ∇ ¢ ⃗ B µ 0
⃗j
A
A
µ 0 ɛ 0
d ⃗ E
dt
⃗B ¤ d ⃗ A
d
ɛ ⃗
E
0 dA
dt
⃗
(11.10)
(11.11)
Die ersten beiden Gleichungen drücken aus, dass die Ladungen Quellen des elektrischen Feldes sind, während
das magnetische Feld quellenfrei ist. Der wesentliche Inhalt der beiden letzten Maxwellschen Gleichungen ist
andererseits, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes ein elektrisches, und umgekehrt ein zeitlich
sich änderndes elektrisches Feld ein magnetisches (Wirbel-)Feld hervorruft. Daneben ist in der 4.Maxwellschen
Gleichung zusätzlich die Aussage des Ampèreschen Gesetzes enthalten, dass nämlich auch ein elektrischer Strom
ein magnetisches Wirbelfeld erzeugt.
63 Die Wellenausbreitung im Vakuum
63.1 Wellengleichungen
Maxwellschen Gleichungen des Vakuums:
¾
¾
¾
⃗E ¤ dA ⃗ 0, ⃗B ¤ dA ⃗ 0, ⃗E ¤ d⃗s ¡ d »
dt
A
A
C
A
⃗B ¤ d ⃗ A,
¾
C
⃗B ¤ d⃗s µ 0 ɛ 0
»
A
d ⃗ E
dt ¤ d ⃗ A
∇ ¢ ∇ ¢ E ¡∇ ¢ dB
dt ¡ d dt p∇ ¢ Bq ¡ɛ 0 ¤ µ 0 ¤ d2 E
dt 2
∇ ¢ ∇ ¢ E ∇p∇ ¤ Eq ¡ ∇ ¤ p∇Eq gradplomon
div E q ¡ divpgrad Eq
∆E ɛ 0 µ 0
d 2 E
dt 2 (11.12)
Nachdem eine ebene Welle nach Physik 1 allgemein die Form hat
∆ξ 1 v 2 d 2 ξ
dt 2
0

63 DIE WELLENAUSBREITUNG IM VAKUUM 54
folgt
c 1 ?
ɛ0 µ 0
(11.13)
Für die E x -Komponente ergibt sich z.B.:
Wellengleichung für das magnetische Feld:
63.2 Ebene elektrische Welle
B 2 xE x B 2 yE x B 2 zE x 1 c 2 ¤ B2 t E x
∇ ¢ ∇ ¢ B ∇ ¢ ɛ 0 µ 0 ¤ dE
dt ɛ d
0µ 0
dt p∇ ¢ Eq ¡ɛ d 2 B
0µ 0
dt 2
∇ ¢ ∇ ¢ B ∇plomon
∇ ¤ B q ¡ ∇ ¤ p∇Bq ¡∇ ¤ p∇Bq
E hängt nur von einer Komponente, z.B. der z-Komponente ab. Dann:
0
∆B ɛ 0 µ 0
d 2 B
dt 2 (11.14)
B x E B y E 0
B 2 zE 1 c 2 ¤ B2 t E
div E 0 ñ B z E 0 ñ E z konst.
Wähle die Randbedingungen so, dass a 0, dann:
¤
E ¥ E
x
E y
0
Allgemeine Lösung:
E x pz, tq f x pz ¡ ctq g x pz ctq
E y pz, tq f y pz ¡ ctq g y pz ctq
Das sind ebene transversale Wellen ¤
Der elektrische Feldvektor E ¥ E
x
E y
steht senkrecht auf der Ausbreitungsrichtugn e z
0
63.3 Periodischer Wellen
fpz
λ ¡ ctq fpz ¡ ctq
λ: Wellenlänge; räumliche Periode, nach der die Funktion f wieder den gleichen Wert hat.
Ansatz:
E E 0 ¤ fpz ¡ ctq E 0 ¤ sin kpz ¡ ctq
k: Wellenzahl
ñ k ¤ λ 2π ñ k 2π λ
¢
c ν ¤ λ ñ E E 0 ¤ sin kz ¡ 2πc
λ t E 0 ¤ sinpkz ¡ ωtq
Breitet sich eine ebene Welle in einer beliebigen Richtung aus, so können wir den Ausbreitugnsvektor k
pk x , k y , k z q denieren, den wir Wellenvektor nennen und für dessen Betrag gilt |k| 2π λ
Die komplexe Darstellung solcher Wellen in Kurzform ist dann:
E A 0 ¤ e ipkr¡ωtq

64 DIE ENERGIEDICHTE EINER ELEKTROMAGNETISCHEN WELLE UND DER POYNTING-VEKTOR 55
63.4 Das Magnetfeld elektromagnetischer Wellen
Eine in x-Richtung linear polarisierte Welle E:
p∇ ¢ Eq x 0
p∇ ¢ Eq z 0
p∇ ¢ Eq y B z E x
B t B ¡p∇ ¢ Eq ñ B t B x B t B z 0
ñ B x ptq const, B z ptq const
Wähle Randbedingungn so, dass B-Feld der Welle nur y-Komponenten hat:
¡B t B y B z E x ¡ikE x ñ B y ikE 0
»
e ipωt¡kzq dt k ω E 0e ipωt¡kq
ñ |B| 1 c |E|
¤
E ¥ E ¤
x
0 , B ¥ 0
B y
ñ BKE
0
0
Beide Vektoren stehen senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung k:
B 1 pk ¢ Eq
ω
64 Die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle und der Poynting-
Vektor
Energiedichte einer Welle setzt sich aus elektrichen und magnetischen Anteil zusammen:
w w e w m 1 2 ɛ 0E 2 B 2
2µ 0
(11.15)
c 2 B 2 E 2 ñ w 1 2 ɛ 0E 2 1
2 ɛ 0E 2 ɛ 0 E 2
Das heiÿt, elektrische und magnetische Energiedichte einer elektromagnetischen Welle sind gleich groÿ.
Wir nennen die Energie, die pro Zeit durch die Flächeneinheit senkrecht zu k transportiert wird, die Intensität
oder auch Energiestromdichte:
S w ¤ c ɛ 0 ¤ E 2 ¤ c (11.16)
Wir können ⃗ S als einen Vektor auassen, der parallel zur Ausbreitungsrichtung ist.
⃗S 1 µ 0
p ⃗ E ¢ ⃗ Bq Poynting-Vektor (11.17)
Hier nur für ebene Welle hergeleitet, aber allgemein gültig.
Der Poynting-Vketor gibt den Energiestrom im elektromagnetischen Feld wieder.
65 Geführte elektrische Wellen
Von groÿer praktischer Bedeutung in der Nachrichtentechnik ist die Möglichkeit, elektromagnetische Wellen über
groÿe Entfernungen in abschirmenden Metallrohren fortzuleiten. Rohrleitungen mit isoliertem Zentralleiter, kurz
Koaxialkabel genannt, eigenen sich zur Fortleitung von Wellen beliebiger Frequenzen unterhalb von 10 10 Hz,
während Rohrleitungen ohne Zentralleiter (mit rundem oder rechteckigem Querschnitt), die sog.Hohlleiter, nur
zur Fortleitung elektrischer Wellen höherer Frequenzen und kleinerer Wellenlängen verwendet werden können.

66 STRAHLUNG VON EINEM OSZILLIERENDEN ELEKTISCHEN DIPOL (HERTZSCHER DIPOL) 56
65.1 Das Koaxialkabel
Wir wollen nur Wellen betrachten, die sich im Raum zwischen Innen- und Auÿenleiter ausbreiten. Der Auÿenraum
soll also feldrei bleiben: Das verlangt, dass der Strom auf dem Innenleiter durch einen gleich starken
antiparallel Strom auf dem Auÿenleiter kompensiert wird.
Wird der Auÿenleiter geerdet, so ist das elektrische Feld radial, wobei Richtung und Betrag von E vom Potential
des Innenleiters abhängen. Die Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise um den Innenleiter, wobei sich ihr
Drehsinn als Funktion von z periodisch mit der Wellenlänge als Periode ändert.
Elektrische Signale panzen sich in einer Koaxialleitung ohne Dielektrikum unabhägig von den Dimensionen
a und b der Leitung mit Lichtgeschwindigkeit aus. Besonders wichtig ist die Tatsache, dass die Geschwindigkeit
nicht von der Frequenz abhängt, so dass alle Fourierkomponenten eines beliebigen Signals ihre Phasenlage
zueinaner bewahren: Daher bleibt die Form eines beliebigen Signals bei der Übertragung erhalten.
65.2 Der Rechteck-Hohlleiter
Physikalischer Hintergrund:
Trit eine elektromagnetische Welle senkrecht auf eine gut leitende Grenzäche, wird sie in sich selbst
reektiert. Bei geeignetem Abstand einer parallelen zweiten Grenzäche kann es zur Ausbildung
einer stehenden Welle kommen.
In einem Hohlleiter bewegt sich dagegen das elektrische und magnetische Wechselfeld fort: Man
stelle sich ein langes Rohr mit rechteckigem Querschnitt vor, in dem eine Welle zwischen den
Schmalseiten hin und her reektiert wird. Wird nun eine Welle mit kleinerer Frequenz verwendet,
passen die (etwas gröÿeren) Wellenlängen nur zwischen die Rohrwände, indem man sie sich im
Zick-Zack in Rohrrichtung verlaufend vorstellt. Auf diese Weise ndet eine Wellenausbreitung
statt. Die Mindestbreite eines Rechteckhohlleiters entspricht etwa der halben Wellenlänge der
übertragenen Frequenz - genau dann passt nur ein einziger Schwingungsbauch in Querrichtung
hinein.
Die Phasengeschwindigkeit in x-Richtung hängt jetzt empndlich von der Frequenz der Welle ab. Signalformen
bleiben daher während der Übertragung im Hohlleiter nicht unverzerrt wie im Koaxialkabel.
Feldverteilung s. Dransfeld/Kinle
66 Strahlung von einem oszillierenden elektischen Dipol (Hertzscher
Dipol)
Der entscheidende Unterschied zwischen dem geschlossenen Schwingkreis und dem geraden Draht, in dem Ladungen
periodischen zwischen den Enden des Drahtes schwingen: Im geschlossenen Schwingkreis sind elektrisches
Feld und magnetisches Feld räumlich lokalisiert. Beim geraden Draht, in dem ein Wechselstrom ieÿt, reichen
sowohl das magnetische als auch das elektrische Feld weit in den Raum hinaus. Bei zeitlicher Änderung von
Strom- und Ladungsdichte ändern sich die magnetischen und elektrischen Felder. Diese Änderung breitet sich
mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus und führt zu einer Energieabstrahlung in Form von elektromagnetischen
Wellen.

66 STRAHLUNG VON EINEM OSZILLIERENDEN ELEKTISCHEN DIPOL (HERTZSCHER DIPOL) 57
Anregung der Schwingung
Zur Anregung elektromagnetischer Schwingung in einem oenen Schwingkreis kann man die induktive,
kapazitive oder galvanische Kopplung an einem rückgekoppelten geschlossenen Schwingkreis
verwenden, dem die Kopplungsenergie von auÿen wieder zugeführt werden muss.
Induktive Kopplung: Man hält den Stab in Nähe eines anderen Dipols, der jedoch an Spannungsquelle
geschlossen ist. Dieser regt nun die Schwingung an.
Nach der Zeit T {2 haben sich die elektrischen Feldlinien von den Ladungen des Dipols gelöst. Das entstandene
elektrische Wirbelfeld mit den charakteristischen nierenförmigen Feldlinien entfernt sich mit Lichtgeschwindigkeit
vom Sender.
Dipolmoment: p p 0 ¤ sin ωt
(lineare Antenne eines Rundfunksenders, viele strahlende Atome)
Nahfeld
Das elektrische Feld hat die gleiche Form wie das eines statischen Dipols mit dem jeweiligen momentanen
Dipolmoment eines oszillierenden Dipols.
Maximales Magnetfeld entspricht den Phasen maximalen Stromes im Oszillator, die um π{2 gegen
die Phasen maximalen Dipolmomentes, also maximalen elektrischen Feldes verschoben sind.
Räumlich liegen also die Bündel der Magnetfeldlinien immer zwischen zwei elektrischen Bündeln.
Jede Änderung des Feldes aufgrund der Änderung der Ladungsverteilung braucht die Zeit ∆t bis sie in P ankommt.
(Retardierung)
Fernfeld r " λ
E 1 r
magnetische und elektrische Feldstärke stehen senkrecht aufeinander und auÿerdem senkrecht
zum Abstandsvektor ⃗r.
E und B sind in Phase (elektrisches und Magnetfeld speisen sich durch gegenseitige Induktion)

67 DIE STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER STRAHLUNG AN ATOMEN 58
Abstrahlcharakteristik
Strahlung am stärksten in Äquatorebene
keine Strahlung in Richtung der Dipolachse
Auch ein in einem Atom schwingendes Elektron kann als ein oszillierender Dipol betrachtet werden, wobei jedoch
die elektromagnetische Strahlung nicht kontinuierlich, sondern in Quanten abgegeben wird. Diese Quanten
werden Photonen genannt.
Beispiel 66.1 (Bremsstrahlung) Bremsstrahlung ist die elektromagnetische Strahlung, die entsteht,
wenn ein geladenes Teilchen, zum Beispiel ein Elektron, beschleunigt wird. Jede Geschwindigkeitsänderung
eines geladenen Teilchens erzeugt Strahlung. Von Bremsstrahlung im engeren Sinne spricht man, wenn Teilchen
in Materie gebremst werden.
Das Elektron wird vom Feld des positiven Atomkerns abgelenkt und gibt Energie frei.
Es entsteht ein kontinuierliches Spektrum.
Beispiel 66.2 (Synchrotronstrahlung) Synchrotronstrahlung entsteht, wenn ein (meist relativistisch)
schnelles geladenens Teilchen durch ein Magnetfeld abgelenkt und somit seitlich beschleunigt wird. Die
Teilchen geben Energie ab, indem sie elektromagnetische Strahlung tangential zur Teilchenbahn aussenden.
Es entsteht ein kontiunierliches Spektrum.
67 Die Streuung elektromagnetischer Strahlung an Atomen
Wenn eine elektromagnetische Welle an einem Atom verbeiläuft, erwingt ihr elektrisches Feld eine periodische
Bewegung der Elektronen des Atoms.
Das elektrische Feld ⃗ E der einfallenden Welle führt zu einer erzwungenen Schwingung der gebundenen Elektronen.
Dadurch entsteht ein induziertes Dipolmoment im Atom:
p p 0 ¤ sin ωt ɛ 0 ¤ α ¤ E 0 ¤ sin ωt
α: atomare Polarisierbarkeit
E E 0 : Feld der einfallenden Welle
Das oszillierende Dipolmoment strahl Energie ab in Form einer elektromagnetischen Welle der gleichen Frequenz
wie ein Hertzscher Dipol. Diesen Prozess nennt man Streuung, und zwar elastische Streuung, da die Frequenz
des gestreuten Lichtes genau der des einfallenden entspricht.
α ist für kleine Frequenzen frequenzunabhägig. Also:
W abgestrahl ω 4
Das erklärt den groÿen Anteil von blauem Licht im Spektrum des in der Erdatmosphäre gestreuten Sonnenlichtes,
also den blauen Himmel, bzw. Morgen- und Abendrot.

59
Teil XII
Einige Anwendungen
68 Drehspulinstrument
Sowohl zum Strom messen als auch zum Spannung messen verwendet man das Drehspulinstrument
Das Drehmoment:
⃗D ⃗ M m ¢ ⃗ B N ¤ I ¤ A ¢ B N ¤ I ¤ A ¤ B
da AKB bei dieser Anordnung
Die Spule stellt sich so ein, dass die rückttreibende Kraft des Drahtes gleich D ist. Wäre keine Feder vorhanden,
dann würde sich die Spule einfach um 90 ¥ drehen. Also:
N ¤ I ¤ A ¤ B D ¤ ∆L
Der Messbereich ist dadurch eingeschränkt, dass nur Ströme bis zu einer Auslenkung bis zu 90 ¥ gemessen
werden können, denn weiter dreht sich die Spule nicht. Der Nordpol wenn am Südpol angelangt ist wirkt keine
magnetische Kraft mehr.
Strommessgerät
Verwendet man das Drehspulinstrument als Strommessgerät, so muss es in Reihe geschaltet werden,
denn der Strom ist dann am Drehspulinstrument der gleich wie am zu messenden Punkt.
Der Widerstand muss gering sein, denn dann ieÿt am meisten Strom.
Messbereichserweiterung: Schaltet man parallel zum Drehspulinstrument noch einen Widerstand R,
dann landet im Strommessgerät statt den einfallenden Strom I 0 ein Strom I
I I 0 ¡ U 0
R
Will man also Ströme messen, die zu groÿ sind, dann verwendet man einen kleinen Widerstand
parallel geschalten. Dadurch wird der zu messende Strom kleiner.
Schaltet man ein Strommessgerät aus Versehen parallel statt in Reihe, dann kommt es zu einem
Kurzschluss, denn ein Strommesgerät ist ja niedrigohmig.

69 OSZILLOSKOP 60
Spannungsmessgerät
Verwendet man das Drehspulinstrument als Spannungsmessgerät, wird es in Reihe kombiniert mit
einem hochomigen Widerstand. Diese Kombination ist dann das Spannungsmessgerät und wird
parallel zur Spannungsquelle geschaltet. Der hochohmige Widerstand ist also nötig, dass es zu
keinem Kurzschluss kommt.
Schaltet man direkt an das Drehspulinstrument parallel noch einen Widerstand, dann kann man
auch hierwie oben den Messbereich erweitern.
Schaltet man das Spannungsmessgerät aus Versehen in Reihe, so wird kein Strom angezeigt, da
aufgrund des hochohmigen Widerstandes fast kein Strom ieÿt.
69 Oszilloskop
K: Glühkathode, aus der Elektronen austreten
U A : Beschleunigungsspannung, Anodenspannung
Loch in A mit passender Formgebung (Wehnelt-Zylinder W)
Die zu analysierende Spannung U y wird an den Kondensator C gelegt
Will man den zeitlichen Verlauf beobachten, dann legt man an den hinter C angebrachten, um 90 ¥ gedrehten
Kondensator C x eine sägezahnförmige Kippspannung U x . Sie allein bewirkt auf dem Schirm eine horizontale
Ablenkung.
Wehnelt-Zylinder
Der Wehneltzylinder ist eine Steuerelektrode zum Fokussieren von Elektronenstrahlen und zum
Regeln der Helligkeit in Kathodenstrahlröhren. Der Wehneltzylinder wird in unmittelbarer Nähe
zu einer Glühkathode angebracht und mit einem negativen elektrischen Potenzial gegenüber
der Kathode versehen. Elektronen, deren Flugrichtung sehr weit von der Strahlachse abweicht,
werden durch das negative Potenzial der Zylinderwand gleichmäÿig von dieser abgestoÿen und
somit zur Strahlachse hin gelenkt. Der Elektronenstrahl wird somit gebündelt.
Beim Fernsehen wird der Wehnelt-Zylinder nicht nur zum fokussieren benutzt, sondern auch um Helligkeit zu
kontrollieren. Je höher die Spannung ist, desto weniger Elektronen können das Potential überwinden.
Die Schirminnenseite wird beim Fernsehen mit einer luminiszierenden Substanz überzogen.
70 Magnetisch gespeicherte Information
In der Datenverarbeitung eingesetzt Speicher sind Magnetbänder, -karten,- platten,- trommeln und Disketten.
Allen gemeinsam ist eine dünne magnetisierbare Schicht aus einer magnetisch harten Eisenlegierung auf einem
Trägermaterial. Diese Information wird als Folge von elektrisch übertragbaren magnetischen Impulsen (mit der
Bedeutung 0 oder 1) in schmalen parallelen Spuren auf die magnetisierbare Schicht eingeschrieen. Dazu wird die
Speichertschicht berührungslos an einem Magnetkopf vorbeigeführt. Die Impule folgen in gleichem Abstand. Es
bilden sich in der Magnetschicht Zellen, die in der einen oder anderen Richtung magnetisiert sind. Der Lesekopf
hat den gleichen Aufbau: In ihm werden beim Abtasten der magnetisierten Schicht durch Induktion elektrische
Impulse unterschiedlicher Polung (Bedeutung 0 oder 1) erzeugt.

71 INFORMATIONSÜBERTRAGUNG/RUNDFUNKTECHNIK 61
71 Informationsübertragung/Rundfunktechnik
1. Sprache, Musik werden mittels Mikrophon in elektrische Schwingungen umgesetzt
f 20Hz ¡ 20kHz niederfrequenzte Schwingung
Bemerkung 71.1 Dipol: l λ 2 c
f2 500km
direkte Abstrahlung mittels Dipol nicht möglich
2. Niederfrequenzt Schwingung wird einer hochfrequenzten Schwingung aufgepräft, das heiÿt die Hochfrequente
Schwingung wird als Transportmittel verwendet.
Zum Beispiel indem man einen hochfrequentigen LC-Schwingkreis mit der niederfrequenten-Schwingung
rückkoppelt.
3. Demodulation beim Empfänger
Die HF-Schwingung wird mit einer Diode gleichgerichtet.
Anschlieÿend wird die HF-Schwingung unterdrückt. Dazu wird ein Kondensator und ein WIderstand
verwendet. Der Kondensator wird durch die HF-Spannung aufgeladen, über R entladen. Falls die Kapazität
ausreichend groÿ ist, ist der Kondesnator zu träge um der HF-Schwingung zu folgen. ñ an R tritt fast
nur noch die NF-Schwingung auf.
4. Ein NF-Verstärker verstärkt nur das NF-Signal und leitet es an einen Lautsprecher weiter.
Diese Amplitudenmodulation (AM) verwendet man bei Kurz-, Mittel- und Langwellen sowie bei der Bildübertragung
des Fernsehens an. UKW-Sender werden dagegen frequenzmoduliert. Bei der Frequenzmodulation (FM)
wird die Frequenz der Trägerwelle im Takt der Tonschwingung vergröÿert oder verkleinert.
72 Transformator
Unbelasteter Transformator

73 WHEATSTONSCHE BRÜCKENSCHALTUNG 62
Im Sekundärstromkreis ieÿt kein Strom I 2 0
U 1 U 0 cos ωt
U i ¡L 1 ¤ dI 1
dt ¡N 1 ¤ dΦ m
dt
U 1 U i 0 ñ U i ¡U 2
vernachlässige ohmschen Widerstand der Spule gegenüber Induktiven Widerstand ωL
Annahme: Gesamter Fluss Φ m geht durch L 2
U 2 ¡N 2
dΦ m
dt
¡N 2
U 1
N 1
ñ U 2
U 1
¡ N 2
N 1
gleiche Wicklung der Spulen: U 1 und U 2 um π phasenverschoben
Belasteter Transformator
P 1 2 U 1I 1 cos ϕ 0 daϕ π{2
Belastet man die Sekundärseite durch einen Verbraucherwiderstand R, so ieÿt in der Spule ein
Strom I 2 U2
, der selbst einen magnetischen Fluss R Φ 2 erzeugt, welcher gegenüber den von I 1
um π{2 phasenverschoben ist.
P 0
Allgemeines zum Transformator
1. Man verwendet Eisen, da dieser Magnetfeld gut überträgt und hohe Magnetisierung besitzt,
denn Eisen ist ferromagnetisch. Das Magnetfeld wird im Eisen geführt.
2. Man kann einen runden Eisenkern verwenden, dann sind die Magnetfeldverluste an den
Rändern nicht so hoch
3. Man verwendet Stoe mit geringer Hysterese, denn: Die Fläche, die von der Hystereseschleife
umrandet wird, gibt gerade die bei einem Magnetisierungszyklus aufzuwendende Energie an,
die in Wärmeenergie der Probe umgewandelt wird.
4. Man lackiert den Eisenkern, das kein Strom ieÿt, denn ansonsten würde ein Gegenmagnetfeld
entstehen, und es würden Verluste auftreten
5. geringe Remanenz des Eisenkerns wichtig, da ansonsten ja Magnetfeld vorhanden wäre im
Eisenkern
73 Wheatstonsche Brückenschaltung
Die Wheatstonesche Messbrücke ist eine Messeinrichtung zur Messung von elektrischen Widerständen ohmscher
Art (Gleichstromwiderstand) und kleinen ohmschen Widerstandsänderungen.
Zunächst müssen die drei bekannten Widerstände solange variiert werden, bis die Diagonalsspannung null beträgt.
Anschlieÿend lässt sich aus deren Widerstandswerten der vierte, unbekannte Wert errechnen.

74 TRIODE/DIODE 63
74 Triode/Diode
Diode
Triode
Von der geheizten Kathode K werden Elektronen emittiert, die bei positiver Spannung U A zwischen
Anode und Mathode auf die Anode zu beschleunigt werden. Wird U A negativ, so können die aus
der Kathode austretenden Elektronen die Anode nicht erreichen. Es ieÿt kein Anodenstrom.
Die Vakuum-Diode kann daher als Gleichrichter verwendet werden.
Fügt man auÿer Kathode und Anode noch eine dritte Elektrode, das Steuergitter, ein, so erhält
man eine Triode. Die Elektronen müssen auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode durch die
Maschen des Steuergitters iegen. Durch geringe Änderung der Spannugn U G zwischen Gitter
und Kathode kann der Elektronenstrom I A von der Kathode zur Anode stark beeinusst werden.