IEKP-KA/2013-8 - Institut für Experimentelle Kernphysik - KIT

46 5. Statistische Methoden
Daraus folgt direkt aus der Umkehrbarkeit des Terms der Schnittmenge P (A ∪ B) =
P (B ∪ A)
P (B|A) · P (A)
P (A|B) = . (5.19)
P (B)
Gleichung 5.19 wird Bayes Theorem genannt und stellt eine Verknüpfung zwischen den
beiden Ereignissen A und B her [38]. Der Term P (B|A) wird als Likelihood bezeichnet
und stellt die Messgrundlage dar. P (A) wird Prior genannt und bietet eine Möglichkeit
Vorwissen in die statistische Auswertung einfließen zu lassen. P (B) stellt eine Normierungskonstante
dar. Das Ergebnis P (A|B) wird dann als Posteriori Wahrscheinlichkeit
bezeichnet.
Mithilfe der Bayes Statistik kann eine Interpretation der Ausgabe eines neuronalen Netzwerks
mit Sigmoid Aktivierungsfunktion gegeben werden. Betrachtet man zwei gaussförmig
verteilte Populationen H 0 und H 1 im Parameterraum mit d Dimensionen um ⃗µ 0,1 und
deren Kovarianzmatrix ∑ nach
(
1
P (x|H 0,1 ) =
(2π) d/2 | ∑ | 1/2 · exp − 1 2 (x − ⃗µ 0,1) T ∑ )
−1
(x − ⃗µ0,1 ) (5.20)
und betrachtet die Wahrscheinlichkeit der Zugehörigkeit zu H 0 mit Bayes Theorem
P (H 0 |x) =
so erhält man mit der Substitution
P (x|H 0 )P (H 0 )
P (x|H 0 )P (H 0 ) + P (x|H 1 )P (H 1 ) , (5.21)
a = ln P (x|H 0)P (H 0 )
P (x|H 1 )P (H 1 )
(5.22)
aus Gleichung 5.21 die Sigmoid Funktion
P (H 0 |x) =
1
. (5.23)
1 + e−a Für die Substitution in Gleichung 5.22, die dem Liklihoodverhältnis aus Gleichung 5.8
entspricht, erhält man mit 5.20
a = w T x + w 0 (5.24)
mit
w 0 = − 1 2 ⃗µT 0
∑ −1⃗µ0
+ 1 2 ⃗µT 1
w = ∑ −1
(⃗µ0 − ⃗µ 1 ) (5.25)
∑ −1⃗µ1
+ ln P (H 0)
P (H 1 ) . (5.26)
Damit kann die Ausgabe eines neuronalen Netzwerks mit Sigmoid Aktivierungsfunktion
als Posterior Wahrscheinlichkeit nach Bayes Theorem interpretiert werden [40]. Man erhält
damit nicht nur eine einfache Separation, sondern eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis,
vom Typ H 0 oder H 1 zu sein.
In der NeuroBayes R○ Software werden Bayes Methoden außerdem im Preprocessing angewandt.
Hier werden die Eingangsparameter zur optimalen Verwendung im neuronalen
Netz vorbereitet.
Die NeuroBayes R○ Software ist zur Verwendung in zwei Teile geteilt. Zum einen existiert
der NeuroBayes R○ Teacher, mit dem ein Netzwerk aufgebaut und trainiert werden kann.
Das trainierte Netzwerk wird dann abgespeichert und kann über den NeuroBayes R○-Expert
aufgerufen und für Analyseaufgaben verwendet werden.
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