IEKP-KA/2013-8 - Institut für Experimentelle Kernphysik - KIT

40 5. Statistische Methoden
gegeben. Dabei ist jede monotone Funktion dieses Verhältnisses gleichberechtigt. Formel
5.8 wird als Likelihoodverhältnis bezeichnet. Das Likelihoodverhältnis liefert im Falle einfacher,
durch eine Hyperfläche trennbarer, Populationen optimale Separationseigenschaften.
Allerdings müssen die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für Parameter beider Hypothesen
bekannt sein, was jedoch nicht immer der Fall ist. In diesem Fall müssen die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Messdaten nachempfunden oder durch Monte-Carlo
Simulationen modelliert werden.
Für die Likelihoodfunktion zur Trennung von Positronen und Protonen mithilfe des Übergangsstrahlungsdetektors,
werden die Verteilungen der Energieabgabe pro Lage für Leptonen
und Protonen nach Selektion mit dem elektromagnetischen Kalorimeter, nach Teil
6.1, den Daten entnommen. Auf eins normiert entsprechen die Histogramme diskreten
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen wie in Abbildung 4.11 gezeigt und bereits beschrieben.
Diese könnten nun parametrisiert werden um das Likelihoodverältnis zu bilden. Einfacher
ist es jedoch die Wahrscheinlichkeiten P e,p (dE) für ein Positron- oder Protonereignis
direkt aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu entnehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für
Positron oder Proton in jeder der n = 20 Lagen werden dann über das geometrische Mittel
√ √√√
∏ n
P e,p (dE) = n Pe,p(dE) k (5.9)
k=1
vereint. Daraus wird dann das Likelihoodverhältnis
(
)
P e (dE)
L = − log
P e (dE) + P p (dE)
(5.10)
gebildet. Die Bildung des Logarithmus als monotone Funktion ist dabei Konvention und
soll einer besseren Verarbeitung der Daten im Computer dienen. Bei der Bildung des geometrischen
Mittels nach Gleichung 5.9 werden keine Korrelationen zwischen den einzelnen
Lagen betrachtet, so dass das Likelihoodverhältniss nur eine gute Test-Statistik darstellt,
wenn solche Korrelationen nicht existieren.
In der AMS-02 Software werden Likelihoodverhältnisse durch das in der RWTH Aachen
entwickelte Framework TrdQt und das im MIT entwickelte TrdK bereitgestellt. Beide
unterscheiden sich durch ihr verwendetes alignment, sowie durch die Kalibrierung der
Gasverstärkung, wie in Kapitel 4.4 beschrieben. Außerdem werden Abhängigkeiten der
verwendeten Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen von der Energie des Teilchens oder
des Gasdrucks im Proportionaldrahtkammerröhrchen unterschiedlich parametrisiert. Die
Verteilungen der Likelihoodverhältnisse sind in Abbildung 5.3 zu sehen. Ein hoher Wert
entspricht dabei einer Proton ähnlichen Signatur des Teilchens. Ein niedriger Wert einer
Lepton ähnlichen Signatur.
5.3. Künstliche neuronale Netze
Die einfachste Möglichkeit eine Trennung vorzunehmen, ist die einer Hyperebene wie sie
bereits in Abbildung 5.1 im zweidimensionalen Fall verwendet wurde. Eine entsprechende
Test-Funktion kann in Form einer linearen Funktion als
y(x) = w T x + w 0 (5.11)
mit dem n-dimensionalen Variablenvektor x und w, welcher als Vektor der Gewichte bezeichnet
wird, geschrieben werden [40]. Die Entscheidungsgrenze liegt dann auf der Hyperebene
mit y(x) = 0. Die Form dieser Hyperebene wird durch die Gewichte festgelegt.
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