IEKP-KA/2013-8 - Institut für Experimentelle Kernphysik - KIT

5.2. Das Likelihoodverhältnis 39
Abbildung 5.2.: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen für die Hypothesen H 0 und H 1 einer
eindimensionalen Test-Statistik t(x) mit Einteilung in eine Annahmeund
eine Verwurfsregion, getrennt durch die Entscheidungsgrenze t cut [38].
passiert, zugunsten von H 1 verworfen wird. t max ist hier die obere Grenze von g(t|H 0 ).
Eine wichtige Kenngröße ist außerdem die Effizienz auf die zu testende Hypothese H 0
mit ε = 1 − α, als Wahrscheinlichkeit ein H 0 Ereignis auch als solches zu erkennen. Eine
hohe Effizienz geht dabei mit einer höheren Wahrscheinlichkeit einen Fehler zweiter Art
zu begehen einher. Dies wird durch die Reinheit p 1 als Anteil von H 0 Ereignissen in der
Annahmeregion S von t min bis t cut nach
∫
S
p =
g(t|H 0)dt
∫
S g(t|H 0)dt + ∫ S g(t|H (5.6)
1)dt
ausgedrückt. Ein guter Test verbindet hohe Effizienz mit hoher Reinheit. Die Aufgabe
besteht nun darin eine Test-Funktion t(x) mit optimalen Separationseigenschaften zu konstruieren
und eine Schnittgrenze t cut zu finden.
Im Folgenden wird die Hypothese H 0 als Signal bezeichnet und entspricht der Messung
eines Leptons. Die Gegenhypothese H 1 entspricht dann der Messung eines Protons und
wird als Untergrund bezeichnet.
5.2. Das Likelihoodverhältnis
Ein Weg eine Test-Funktion zu finden basiert auf dem Neyman-Pearson Lemma [38]. Dieses
legt eine optimale Annahmeregion fest, im Sinne von maximaler Effizienz auf das Signal
bei minimaler Wahrscheinlichkeit einen Fehler zweiter Art zu begehen. Für einen Test auf
eine Nullhypothese H 0 zu einer Gegenhypothese H 1 ist diese Annahmeregion durch das
Verhältnis der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen
f(x|H 0 )
f(x|H 1 ) > c (5.7)
festgelegt. Ist dieses Verhältnis kleiner oder gleich c wird die Nullhypothese verworfen. c
ist dabei ein vorher anhand von α und β aus den Formeln 5.4-5.5 festgelegtes konstantes
Signifikanzniveau. Äquivalent dazu ist die optimale Test-Statistik durch
1 engl.:Purity
f(x|H 0 )
= t(x) (5.8)
f(x|H 1 )
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