IEKP-KA/2013-8 - Institut für Experimentelle Kernphysik - KIT

38 5. Statistische Methoden
5.1. Hypothesentests
Ziel eines Hypothesentests ist es eine Aussage über die Vereinbarkeit einer Messung mit
einer bestimmten Hypothese H 0 , beispielsweise ”
die Messdaten entsprechen denen, die für
ein Positron erwartet werden“, zu machen. Die Messung wird dabei in der Form eines
Satzes von Variablen x = {x 1 , x 2 , ..., x n } geschrieben, wobei x i einem einzelnen Messwert
entspricht und n die Anzahl der aufgenommenen Messwerte pro Ereignis ist, also
die Dimensionalität des Parameterraumes darstellt. Die Hypothese H 0 wird in der Regel
mit einer oder mehreren Gegenhypothesen H 1 , H 2 , ... verglichen und zurückgewiesen oder
angenommen. Jede der Hypothesen setzt eine unterschiedliche Verteilung der einzelnen Parameter
x, gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen f(x|H 0 ), f(x|H 1 ), ...
voraus. Ein Beispiel im zweidimensionalen Parameterraum der Variablen x 1 und x 2 ist
in Abbildung 5.1 gezeigt. Die Populationen H 0 und H 1 lassen sich hier klar durch die
in Dunkelrot gezeichnete Entscheidungsgrenze separieren, die es in optimaler Weise zu
bestimmen gilt. Für Parameterräume höherer Dimensionalität ist es von Vorteil die Mess-
Abbildung 5.1.: Beispiel von Populationen H 0 und H 1 im zweidimensionalen Parameterraum
der Variablen x 1 und x 2 , getrennt durch eine lineare Entscheidungsgrenze
(dunkelrot) [39].
werte in einer sogenannten Test-Funktion t(x) niedrigerer Dimensionalität m (mit m < n),
in der alle Informationen der gemachten Messung enthalten sind, zu verarbeiten. Eine eindimensionale
Test-Funktion könnte beispielsweise durch den Mittelwert gebildet werden,
wie er in Abbildung 4.12 gezeigt wurde. Eine solche Test-Statistik ist wiederum mit einer
eigenen Wahrscheinlichkeitsdichte g(t|H 0 ), g(t|H 1 ), ... abhängig von der zu betrachtenden
Hypothese verteilt. Im einfachsten Fall ist m = 1 und das Problem damit eindimensional.
In diesem Fall kann die Entscheidungsgrenze als t(x 1 , ..., x n ) = t cut geschrieben werden
und ist damit ein einfacher Schnitt auf t, der die Test-Statistik in eine Annahme- und
eine Verwurfsregion teilt. Fällt die Messung in die Annahmeregion wird H 0 als wahr angenommen,
fällt es in die Verwurfsregion wird H 0 zurückgewiesen. Abbildung 5.2 zeigt
eine solche Test-Funktion mit einer Einteilung in eine Annahme- und eine Verwurfsregion.
Darin ist ebenfalls ersichtlich, dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen g(t|H 0 )
und g(t|H 1 ) für gewöhnlich überlappen. Damit existiert eine endliche Wahrscheinlichkeit
β =
∫ tcut
t min
g(t|H 1 )dt, (5.4)
für eine als H 0 angenommene Messung zur Population H 1 zu gehören und damit eine
falsche Hypothese zu akzeptieren. Man spricht von einem Fehler zweiter Art. t min entspricht
dabei der unteren Grenze, in der die Waschreinlichkeitsdichtefunktion g(t|H 1 ) definiert
ist. Einen Fehler erster Art begeht man, indem die richtige Hypothese H 0 durch eine
Messung in der Verwurfsregion, was mit der Wahrscheinlichkeit
α =
∫ tmax
t cut
g(t|H 0 )dt (5.5)
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