5 Berechnungsverfahren
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5 Berechnungsverfahren
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Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Inhalt<br />
5 <strong>Berechnungsverfahren</strong><br />
1) Übersicht über <strong>Berechnungsverfahren</strong><br />
2) Tragwerksdynamik<br />
• Einmassenschwinger (EMS)<br />
• Mehrmassenschwinger (MMS)<br />
3) Ersatzkraftverfahren<br />
4) Antwortspektrenverfahren<br />
5) Beispiel eines Zweimassenschwingers<br />
Literatur<br />
[ATC05]<br />
Applied Technology Council: “Improvement of Nonlinear Static<br />
Seismic Analysis Procedures”. Document prepared for the<br />
Federal Emergency Management Agency. FEMA 440. Redwood<br />
City, California, 2005.<br />
[Cho07] Chopra A.K.: “Dynamics of Structures”. Prentice Hall, 2007.<br />
[CEN04]<br />
[SIA03]<br />
Comité Européen de Normalisation: “Eurocode 8: Auslegung<br />
von Bauwerken gegen Erdbeben - Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkung<br />
und Regeln für Hochbauten“. Europäische<br />
Norm EN 1998-1, Bruxelles, 2004.<br />
SIA 261: “Einwirkungen auf Tragwerke”. Schweizer Norm,<br />
Zürich 2003.<br />
5.1 Übersicht über <strong>Berechnungsverfahren</strong><br />
dynamisches<br />
Modell<br />
geometrisches<br />
Modell<br />
linearer EMS<br />
linearer MMS<br />
Nichtlineare<br />
statische<br />
Berechnung<br />
nichtlinearer<br />
EMS<br />
Nichtlineare<br />
dynamische<br />
Berechnung<br />
nichtlinearer<br />
MMS<br />
2D 2D oder 3D 2D 2D oder 3D<br />
Materialmodell linear linear nichtlinear nichtlinear<br />
Ersatzkraftverfahren<br />
Antwortspektrenverfahren<br />
Dämpfungsmodell<br />
berücksichtigte<br />
Eigenformen<br />
Berücksichtigung<br />
Torsion<br />
Berücksichtigung<br />
Materialnichtlinearitäten<br />
Erdbebenanregung<br />
Resultatgrössen<br />
Einsatzbereich<br />
Typische<br />
Anwendung<br />
viskos viskos viskos<br />
viskos und<br />
hysteretisch<br />
Grundform alle Grundform -<br />
q-Faktor<br />
Schnittkräfte<br />
und<br />
Verformungen<br />
regelmässige<br />
Bauwerke<br />
Bemessung<br />
linear<br />
q-Faktor<br />
Schnittkräfte<br />
und<br />
Verformungen<br />
alle Bauwerke<br />
Bemessung<br />
Amplifikationsfaktor<br />
Amplifikationsfaktor<br />
nichtlineares<br />
Materialmodell<br />
Bemessungsspektrum<br />
Bemessungsspektrum<br />
Bemessungsspektrum<br />
lokaler<br />
Duktilitätsbedarf,<br />
Schnittkräfte<br />
und<br />
Verformungen<br />
regelmässige<br />
Bauwerke<br />
Überprüfung<br />
bestehender<br />
Bauwerke<br />
nichtlinear<br />
nichtlineares<br />
Materialmodel<br />
Zeitverlauf<br />
lokaler<br />
Duktilitätsbedarf,<br />
Schnittkräfte<br />
und<br />
Verformungen<br />
alle Bauwerke<br />
Spezialbauwerke<br />
Aufwand niedrig mittel mittel hoch<br />
Bemerkung: Verschiedene Forschungsarbeiten zur Verbesserung der nichtlinearen<br />
statischen Berechnung sind im Gang (siehe z.B. FEMA 440 [ATC05]).<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 139<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 140
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.2 Tragwerksdynamik<br />
5.2.1 Einmassenschwinger<br />
absolute Verschiebung<br />
relative Verschiebung<br />
Bodenverschiebung<br />
Bodenbeschleunigung<br />
Steifigkeit<br />
Dämpfungskonstante<br />
Masse<br />
ku: Federkraft (proportional der relativen Verschiebung)<br />
cu· : Dämpfungskraft (prop. der relativen Geschwindigkeit)<br />
mu··a: Trägheitskraft (prop. der absoluten Beschleunigung)<br />
Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt:<br />
mu··a + cu· + ku = 0<br />
(5.1)<br />
und absolute Beschleunigung ersetzen durch u··a = u·· + u··g:<br />
mu·· + cu· + ku = – mu··g () t<br />
(5.2)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Relative Grössen Anregungskraft<br />
Gleichung (5.2) ist eine inhomogene Differentialgleichung 2.<br />
Grads, die für Erdbebenanregung in der Regel nummerisch gelöst<br />
wird (siehe Kap. 3.1).<br />
u a<br />
u<br />
u g<br />
u··g<br />
k<br />
c<br />
m<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.2.2 Mehrmassenschwinger (MMS)<br />
Die Bewegungsgleichung eines MMS<br />
unter Fusspunktanregung ist:<br />
wobei:<br />
Mu·· a<br />
+ Cu· + Ku = 0<br />
u a<br />
= u+ u g<br />
= u + 1u g<br />
u·· u·· a<br />
= + 1u··g<br />
Mu·· + Cu· + Ku = – M1u··g<br />
(5.3)<br />
(5.4)<br />
(5.5)<br />
(5.6)<br />
M: Massenmatrix (diagonal)<br />
K: Steifigkeitsmatrix (symmetrisch and positiv definit)<br />
C: Dämpfungsmatrix (klassische Dämpfung: C ist eine<br />
Linearkombination von M und K)<br />
u··g t : Bodenbeschleunigung<br />
1: Vektor der Starrkörperverschiebungen<br />
infolge der Fusspunktverschiebung<br />
u g = 1 in Richtung der Anregung<br />
1 =<br />
1<br />
…<br />
1<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 141<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 142
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Im Falle von klassischer Dämpfung kann die Bewegungsgleichung<br />
(5.6) des MMS in ein System von N entkoppelten Gleichungen<br />
in modalen Koordinaten q n<br />
umgeformt werden, wobei<br />
N gleich der Anzahl der Eigenformen ist:<br />
oder:<br />
m * n<br />
q··n + c * n<br />
q· n<br />
+ k * n<br />
q n<br />
= – φ T n<br />
M1u··g<br />
q··n 2ζ * 2<br />
+ n ω n q· n + ω nqn<br />
T<br />
φ n M1<br />
= –-----------------u··g T<br />
φ n Mφn<br />
mit der Koordinatentransformation:<br />
N<br />
<br />
u() t = φ n<br />
q n<br />
() t<br />
n = 1<br />
(5.7)<br />
(5.8)<br />
(5.9)<br />
φ n<br />
: n-ter Eigenvektor des MMS<br />
q n<br />
() t : n-te modale Koordinate des MMS<br />
Die modale Masse m* n<br />
die modale Steifigkeit k*<br />
n<br />
der n-ten Eigenform<br />
sind wie folgt definiert:<br />
m* T<br />
n<br />
= φ n<br />
⋅ M ⋅ φn , k* T 2<br />
n<br />
= φ n<br />
⋅ K ⋅ φn = ω n<br />
⋅ m*<br />
n<br />
(5.10)<br />
ω n<br />
: n-te modale Kreisfrequenz des MMS<br />
Der modale Partizipationsfaktor Γ n<br />
ist ein Mass für den Beitrag<br />
der n-ten Eigenform an die Gesamtantwort:<br />
Γ n<br />
T<br />
φ n M1<br />
= -----------------<br />
T<br />
φ n Mφn<br />
(5.11)<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Die „effektive modale Masse“ der n-ten Eigenform beträgt:<br />
m * Γ neff ,<br />
=<br />
2 ⋅ n mn *<br />
(5.12)<br />
Im Gegensatz zur modalen Masse m*<br />
n<br />
ist die effektive modale<br />
Masse m*<br />
neff ,<br />
unabhängig von der Normierung der Eigenvektoren.<br />
Es gilt folgende Beziehung:<br />
N<br />
<br />
n = 1<br />
m*<br />
neff ,<br />
N<br />
<br />
m n<br />
n = 1<br />
= =<br />
m tot<br />
wobei m tot die totale Masse des betrachteten Systems ist.<br />
*<br />
Die modale Höhe h n<br />
ist folgendermassen definiert:<br />
h n<br />
*<br />
L n<br />
θ<br />
(5.13)<br />
θ<br />
T<br />
= ----- mit L n<br />
= h j<br />
⋅m j<br />
⋅φ jn und L n = φ n ⋅ M1 (5.14)<br />
L n<br />
j = 1<br />
wobei Partizipationsfaktor genannt wird.<br />
L n<br />
N<br />
• Bedeutung der effektiven modalen Masse * :<br />
m neff ,<br />
Am so genannten äquivalenten EMS mit der effektiven modalen<br />
Masse m* neff ,<br />
wird die horizontale Reaktionskraft V bn<br />
am Fusspunkt<br />
gleich gross wie die entsprechende n-te modale Reaktionskraft<br />
des MMS. Wird ferner die Höhe dieses äquivalenten<br />
*<br />
EMS gleich der modalen Höhe h n<br />
angenommen, dann wird auch<br />
das Einspannmoment M bn<br />
gleich gross wie das n-te modale Einspannmoment<br />
des MMS.<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 143<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 144
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Es gilt:<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• MMS mit Eigenformen und äquivalenten EMS<br />
V bn<br />
m * S neff ,<br />
⋅ a , n<br />
= =<br />
N<br />
<br />
j = 1<br />
f jn<br />
(5.15)<br />
MMS<br />
Eigenformen mit modalen<br />
Ersatzkräften<br />
M bn<br />
S an<br />
m* *<br />
neff , S a, n h n<br />
= ⋅ ⋅ = f jn ⋅ h j<br />
N<br />
<br />
j = 1<br />
: Pseudo-Beschleunigung der n-ten Eigenform<br />
(5.16)<br />
h<br />
h s<br />
m 3<br />
m 2<br />
m 1<br />
h 3<br />
h 2<br />
f 21<br />
f 11<br />
f 33<br />
f 12<br />
f 32<br />
V b3<br />
M b3<br />
f 13<br />
f 23<br />
• Schnittkräfte<br />
h s<br />
V b<br />
h s<br />
EI<br />
h 1<br />
,<br />
f jn<br />
Zur Bestimmung der Schnittkräfte werden vorerst die modalen<br />
Ersatzkräfte berechnet:<br />
M b<br />
V b1<br />
f 31<br />
f 22<br />
V b2<br />
M b2<br />
M b1<br />
f n<br />
= s n<br />
⋅ S a,<br />
n<br />
wobei:<br />
(5.17)<br />
MMS<br />
Reihe von äquivalenten EMS<br />
mit modalen Ersatzkräften<br />
f n<br />
=<br />
f 1n<br />
f 2n<br />
… f nn<br />
(5.18)<br />
m 3<br />
m1*=2.180m<br />
m1*Sa1<br />
h s<br />
V b<br />
Der Anregungsvektor s n<br />
umfasst die Trägheitskräfte, die einer<br />
Anregung in der n-ten Eigenform entsprechen:<br />
s n<br />
= Γ n<br />
Mφ n<br />
(5.19)<br />
Er ist unabhängig von der Normierung des Eigenvektors :<br />
φ n<br />
h<br />
h s<br />
h s<br />
m 2<br />
m 1<br />
EI<br />
h1*=2.50hs<br />
EI1*<br />
h2*=0.72hs<br />
m2*=0.646m<br />
m2*Sa2<br />
EI2*<br />
h3*=0.48hs<br />
m3*=0.174m<br />
m3*Sa3<br />
EI3*<br />
N<br />
<br />
n = 1<br />
s n<br />
=<br />
M1<br />
(5.20)<br />
M b<br />
V b1<br />
M b1<br />
V b2<br />
M b2<br />
V b3<br />
M b3<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 145<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 146
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.3 Ersatzkraftverfahren<br />
• Einfaches statisches <strong>Berechnungsverfahren</strong>, das in praktisch<br />
allen Erdbebennormen weltweit verwendet wird.<br />
• Die dynamische Erdbebeneinwirkung wird durch statische<br />
Ersatzkräfte ersetzt.<br />
• Anwendbarkeit ist beschränkt auf Tragwerke, die sich durch<br />
zwei ebene Tragwerksmodelle darstellen lassen und bei denen<br />
höhere Eigenformen vernachlässigt werden können:<br />
• Kriterien für die Regelmässigkeit im Aufriss und im Grundriss sind<br />
erfüllt (SIA 261 Ziffer 16.5.1).<br />
• Grundschwingzeiten in den beiden Hauptrichtungen kleiner 2 s<br />
(SIA 261 Ziffer 16.5.2).<br />
• Die Grundschwingzeiten können mit Schätzformeln oder<br />
anhand eines Tragwerksmodells ermittelt werden<br />
(siehe Kap. 6).<br />
• Die Berücksichtigung der Torsionswirkung erfolgt approximativ<br />
(siehe Kap. 6).<br />
• Die Berücksichtigung von Materialnichtlinearitäten erfolgt<br />
ebenfalls approximativ über inelastische Antwortspektren<br />
(SIA 261 Ziffer 16.2.4 Bemessungsspektrum).<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Berechnung der Ersatzkraft:<br />
F = λ ⋅ m tot<br />
⋅ S a<br />
( T 1<br />
, ζ, q,<br />
γ f<br />
)<br />
(5.21)<br />
F: totale horizontale Ersatzkraft<br />
m tot<br />
: totale Masse des Gebäudes und der quasi-ständigen<br />
Nutzlasten.<br />
S a : Spektralwert aus dem Bemessungsspektrum bei der<br />
Grundschwingzeit T 1 in der betrachteten Hauptrichtung<br />
im Grundriss des Gebäudes. In der Norm SIA<br />
261 wird dieser Wert S d für “design” (Bemessungswert)<br />
anstelle von S a für “acceleration” genannt und er<br />
ist auf die Erdbeschleunigung normiert.<br />
Das viskose Dämpfungsmass wird in der Regel zu<br />
ζ = 005 , angenommen.<br />
Weitere Parameter des Bemessungsspektrums sind<br />
der Verhaltensbeiwert q sowie der Bedeutungsbeiwert<br />
γ f<br />
.<br />
λ: Korrekturfaktor zur Berücksichtigung des Unterschieds<br />
zwischen der effektiven modalen Masse in<br />
der Grundschwingform und der totalen Masse.<br />
Im EC 8 ist λ = 0,85 bei mehr als zwei Geschossen<br />
und λ = 1,0 bis zu zwei Geschosse<br />
(EN1998-1 Ziffer 4.3.3.2.2).<br />
In der SIA 261 wurde λ = 1,0 unabhängig von der Geschosszahl<br />
gesetzt, d.h. der Korrekturfaktor λ wurde<br />
zur Vereinfachung weggelassen<br />
(SIA 261 Ziffer 16.5.2.4).<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 147<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 148
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
ist F n<br />
' = 0.<br />
: Masse des Geschosses i.<br />
Da die Maximalwerte der einzelnen Eigenformen in der Regel<br />
m i<br />
nicht gleichzeitig auftreten, werden unterschiedliche Überlagerungsregeln<br />
zur approximativen Bestimmung der Maximalant-<br />
h i : Höhe der Masse m i über der Ebene, in der die Erdbebeneinwirkung<br />
angreift.<br />
wort des Gesamtsystems verwendet. Eine exakte Berechnung<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Verteilung der horizontalen Ersatzkraft über die Gebäudehöhe<br />
5.4 Antwortspektrenverfahren<br />
5.4.1 Beschreibung des Verfahrens<br />
Das Antwortspektrenverfahren beruht auf dem linearen MMS in<br />
modalen Koordinaten, wie in Gleichung (5.8) dargestellt. Es<br />
kommt zur Anwendung, wenn die Anregung in Form von Antwortspektren<br />
vorliegt und die maximalen Antworten des Tragwerks<br />
gesucht sind.<br />
Die Maximalwerte der modalen Koordinaten q nmax ,<br />
werden folgendermassen<br />
berechnet:<br />
q nmax ,<br />
= Γ n<br />
S d<br />
ω n<br />
ζ*<br />
1<br />
⋅ ( , n<br />
) = Γ n<br />
⋅ ----- ⋅ S<br />
2 a<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
)<br />
ω n<br />
(5.23)<br />
wobei:<br />
m i<br />
h i<br />
F i<br />
= ( F – F n<br />
')<br />
⋅ --------------------<br />
(5.22)<br />
n<br />
Γ n<br />
: Partizipationsfaktor der n-ten Eigenform<br />
m i<br />
h i<br />
S d<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
): Spektralverschiebung für die Eigenkreisfrequenz<br />
i = 1<br />
ω n<br />
and das modale Dämpfungsmass ζ*<br />
n<br />
.<br />
F: totale horizontale Ersatzkraft<br />
S a ( ω n , ζ*<br />
n ): Spektralbeschleunigung für die Eigenkreisfrequenz<br />
F i im Geschoss i angreifende horizontale Ersatzkraft<br />
ω n<br />
and das modale Dämpfungsmass ζ*<br />
n<br />
.<br />
F n<br />
' Einzelkraft auf Höhe des obersten Geschosses zur<br />
Erhöhung der Querkraft in den oberen Geschossen<br />
Der Beitrag der n-ten Eigenform zur Gesamtantwort ist:<br />
(Einfluss höherer Eigenformen). In EC 8 und SIA 261<br />
u nmax ,<br />
= φ n<br />
⋅ q nmax ,<br />
(5.24)<br />
ist mit dem Antwortspektrenverfahren beim MMS nicht möglich.<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 149<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 150
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Summe der Absolutbeträge (ABSSUM: Absolute Sum)<br />
u imax<br />
N<br />
<br />
,<br />
≤ φ in<br />
⋅ q nmax ,<br />
n = 1<br />
(5.25)<br />
Die Annahme, dass die Maximalwerte aller Eigenformen gleichzeitig<br />
und in die gleiche Richtung auftreten, ergibt einen oberen<br />
Grenzwert für die Maximalantwort, der meist zu konservativ ist.<br />
• Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate (SRSS: Square-<br />
Root-of Sum-of-Squares)<br />
u imax<br />
N<br />
<br />
,<br />
≈ ( φ in<br />
⋅ q nmax ,<br />
) 2<br />
n = 1<br />
(5.26)<br />
Dies ist die Standard-Überlagerungsregel in den meisten Normen,<br />
darunter EC 8 und SIA 261. Sie ergibt eine sehr gute Approximation<br />
der Maximalanwort, wenn die Eigenfrequenzen des<br />
Systems genügend auseinanderliegen.<br />
Bei Systemen mit nahe zusammenfallenden Eigenfrequenzen<br />
kann die Maximalantwort unterschätzt werden. In solchen Fällen<br />
müssen raffiniertere Methoden verwendet werden, z.B. die<br />
CQC-Methode.<br />
• Vollständige quadratische Kombination (CQC: Complete Quadratic<br />
Combination).<br />
Diese Überlagerungsregel ergibt auch bei nahe zusammenfallenden<br />
Eigenfrequenzen gute Resultate, doch ist der Rechenaufwand<br />
grösser. Weitere Informationen dazu in [Cho07] Kapitel<br />
13.7.<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Schnittkräfte<br />
Die maximalen Schnittkräfte der Gesamtantwort werden mit den<br />
gleichen Überlagerungsregeln wie bei den Verschiebungen aus<br />
den modalen Maximalwerten berechnet.<br />
F nmax ,<br />
Die modalen Maximalwerte der Schnittkräfte können entweder<br />
aus den Maximalwerten der Verschiebung jeder Eigenform:<br />
, = K ⋅ u nmax , , (5.27)<br />
F nmax<br />
oder aus den Maximalwerten der Beschleunigung bestimmt werden:<br />
F nmax<br />
,<br />
= s n<br />
⋅S a<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
) = Γ n<br />
Mφ n<br />
⋅ S a<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
)<br />
(5.28)<br />
wobei der Anregungsvektor s n<br />
die Trägheitskräfte der n-ten Eigenform<br />
umfasst (siehe Gleichung (5.20)).<br />
Falsch wäre es, die maximalen Schnittkräfte der Gesamtantwort<br />
aus den maximalen Verschiebungen u imax ,<br />
der Gesamtantwort<br />
zu bestimmen. Die Überlagerung hat über die modalen Maximalwerte<br />
der Schnittkräfte F nmax ,<br />
zu erfolgen. Siehe dazu den Abschnitt<br />
5.5.4.6 des Kapitels 5.5 „Beispiel eines Zweimassenschwingers“.<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 151<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 152
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
m tot<br />
• Anzahl zu berücksichtigender Eigenformen<br />
5.4.2 Vorgehen in Schritten<br />
Grundsätzlich sind alle Eigenformen zur Berechnung der Gesamtantwort<br />
Die Gesamtantwort eines Gebäudes mit N-Geschossen kann<br />
des Systems zu berücksichtigen. Bei MMS mit sehr<br />
mit dem Antwortspektrenverfahren folgendermassen berechnet<br />
vielen Freiheitsgraden können höhere Eigenformen über einem<br />
werden:<br />
gewissen Schwellenwert vernachlässigt werden.<br />
1) Eigenschaften des MMS:<br />
Gemäss EC 8 müssen alle Eigenformen, die wesentlich zur Gesamtantwort<br />
beitragen, berücksichtigt werden, wobei es genügt,<br />
- Freiheitsgrade wählen<br />
wenn die Summe der effektiven modalen Massen m*<br />
neff ,<br />
mindestens<br />
90% der Gesamtmasse m tot<br />
- Massenmatrix M und Steifigkeitsmatrix K bestimmen<br />
erreicht oder alle Eigenformen<br />
mit m* neff ,<br />
> 0.05m tot<br />
berücksichtigt wurden. Bei räumlichen<br />
- modales Dämpfungsmass ζ*<br />
n<br />
festlegen.<br />
Modellen gelten diese Bedingungen für jede Hauptrichtung.<br />
2) Modalanalyse des MMS:<br />
- Eigenkreisfrequenzen ω n<br />
und Eigenvektoren φ n<br />
berech-<br />
In SIA 261 Ziffer 16.5.3.5 wird die EC8-Regel, dass die Summe<br />
der effektiven modalen Massen m*<br />
neff ,<br />
mindestens 90% der Gesamtmasse<br />
erreichen soll, übernommen.<br />
Um die gleiche Genauigkeit der Gesamtantwort zu erreichen,<br />
sind je nach Antwortgrösse mehr oder weniger Eigenformen erforderlich.<br />
Verschiebungen erfordern meist weniger Eigenformen<br />
als Kräfte insbesondere Querkräfte.<br />
Die horizontalen Verschiebungen eines regelmässigen Gebäudes<br />
können aufgrund der Grundform allein recht gut bestimmt<br />
werden. Für die Bestimmung der Schnittkräfte sind meist auch<br />
höhere Eigenformen erforderlich.<br />
2 ( K – ω nM)<br />
⋅ φn = 0<br />
- modale Matrizen M * und K * berechnen<br />
m n<br />
*<br />
(5.29)<br />
T<br />
= φ n Mφn , k* T<br />
n<br />
= φ n Kφn<br />
(5.30)<br />
- Partizipationsfaktoren berechnen.<br />
Γ n<br />
T<br />
φ n M1<br />
= -----------------<br />
T<br />
φ n Mφn<br />
Γ n<br />
(5.31)<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 153<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 154
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
3) Maximalantwort jeder Eigenform<br />
- Für die Eigenkreisfrequenz ω n<br />
und das modale Dämpfungsmass<br />
ζ* n<br />
die Spektralwerte S a<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
) und S d<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
) aus<br />
den entsprechenden Antwortspektren der Einwirkung ablesen.<br />
- modale Maximalwerte der Verschiebung berechnen:<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5 Beispiel eines Zweimassenschwingers<br />
5.5.1 Dynamische Eigenschaften<br />
u nmax<br />
,<br />
= φ n<br />
⋅ Γ n<br />
⋅ S d<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
)<br />
- modale Maximalwerte der Schnittkräfte berechnen:<br />
(5.32)<br />
F nmax<br />
,<br />
= s n<br />
⋅ S a<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
) = Γ n<br />
Mφ n<br />
⋅ S a<br />
( ω n<br />
, ζ*<br />
n<br />
)<br />
(5.33)<br />
- Berechnungen des Schritts 3) für alle relevanten Eigenformen<br />
von n = 1, 2 , …,<br />
N wiederholen.<br />
4) Für die Maximalantwort des Gesamtsystems werden die entsprechenden<br />
modalen Maximalwerte mit einer geeigneten<br />
Regel (SRSS, CQC, ABSSUM) überlagert.<br />
Bemerkung<br />
Das nichtlineare Verhalten des Tragwerks kann berücksichtigt<br />
werden, indem die Ersatzkraft F nmax ,<br />
aus der spektralen Ordinate<br />
S a<br />
( ω n<br />
, ζ n<br />
, q)<br />
eines inelastischen Antwortspektrums (Bemessungsspektrum)<br />
der Pseudo-Beschleunigung bestimmt wird:<br />
F nmax<br />
,<br />
= s n<br />
⋅ S a<br />
( ω n<br />
, ζ n<br />
, q)<br />
= Γ n<br />
Mφ n<br />
⋅ S a<br />
( ω n<br />
, ζ n<br />
, q)<br />
(5.34)<br />
• Freiheitsgrade<br />
Horizontale Verschiebungen u 1 und u 2 auf Höhe der Massen<br />
m 1 und m 2<br />
•Masse<br />
Die beiden Stockwerkmassen betragen je eins<br />
m<br />
Massenmatrix M 1<br />
0<br />
= =<br />
10<br />
0 m 2<br />
01<br />
m 1<br />
= m 2<br />
= 1<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 155<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 156
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Steifigkeit<br />
Die horizontale Steifigkeit pro Stockwerk beträgt<br />
k = 1<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.2 Eigenschwingungen<br />
5.5.2.1 Eigenwertgleichung<br />
Steifigkeitsmatrix K<br />
k 11<br />
k<br />
= 12<br />
=<br />
1 – 1<br />
k 21<br />
k 22<br />
– 1 2<br />
( K – ω 2 M)<br />
⋅<br />
φ 1<br />
= 0<br />
φ 2<br />
1. Einheitsverschiebung<br />
u 1<br />
= 1<br />
Gesucht sind die von null verschiedenen Eigenvektoren<br />
φ 1<br />
φ 2<br />
Dazu muss die Determinante gleich null sein:<br />
det( K – ω 2 M) = 0<br />
det( K – ω 2 M) = det 1 – ω2 – 1<br />
=<br />
– 1 2 – ω 2<br />
0<br />
2. Einheitsverschiebung<br />
u 2 = 1<br />
Man erhält eine quadratische Gleichung in :<br />
ω 2<br />
oder<br />
( 1 – ω 2 ) ⋅ ( 2 – ω 2 ) – (–<br />
1) ⋅ (–<br />
1)<br />
= 2– 3ω 2 + ω 4 – 1 = 0<br />
• Dämpfung<br />
Die Dämpfung wird als vernachlässigbar<br />
klein angenommen.<br />
ω 4 – 3ω 2 + 1 = 0<br />
Die beiden Lösungen ergeben die Eigenwerte:<br />
Dämpfungsmatrix<br />
C<br />
=<br />
00<br />
00<br />
ω 2 = 3 ------------------------<br />
+− 9 – 4 =<br />
2<br />
3 +− 5<br />
---------------<br />
2<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 157<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 158
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.2.2 Eigenvektoren und Eigenfrequenzen<br />
Zu jedem der beiden Eigenwerte lässt sich ein Eigenvektor<br />
und eine Eigenkreisfrequenz bestimmen.<br />
• Grundschwingungsform<br />
2<br />
Mit dem kleineren Eigenwert ω 1<br />
= ---------------<br />
3 – 5<br />
erhält man die<br />
2<br />
1. Eigenkreisfrequenz ω<br />
3 – 5<br />
1<br />
= ---------------<br />
2<br />
= 0.62<br />
Indem man den Eigenwert in das Gleichungssystem<br />
ω 2<br />
ω 2<br />
2 φ ( K – ω 1M)<br />
⋅ 1<br />
= 0<br />
φ 2<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Die 1. Zeile ergibt die Gleichung:<br />
2<br />
--------------------------<br />
–( 3 – 5)<br />
φ<br />
2 11<br />
– 1φ 21<br />
= 0<br />
Wird ferner die grössere Koordinate des Eigenvektors auf eins<br />
normiert φ 11<br />
= 1, so erhält man für φ 21<br />
:<br />
2–( 3 – 5)<br />
-------------------------- – φ<br />
2 21<br />
= 0<br />
oder<br />
φ 21<br />
=<br />
5 – 1<br />
---------------<br />
2<br />
= 0.62<br />
Der 1. Eigenvektor wird zu:<br />
einsetzt, erhält man zwei voneinander abhängige<br />
φ<br />
Gleichungen, mit denen die Form des 1. Eigenvektors 11<br />
bestimmt<br />
werden kann:<br />
φ 21<br />
φ<br />
1<br />
11<br />
=<br />
φ<br />
5 – 1<br />
=<br />
21 ---------------<br />
2<br />
1<br />
0.62<br />
3 – 5<br />
1 – --------------- – 1<br />
2<br />
– 1 2<br />
3 – 5<br />
– ---------------<br />
2<br />
⋅<br />
φ 11<br />
φ 21<br />
=<br />
0<br />
0<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 159<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 160
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Höhere Schwingungsform<br />
2<br />
Mit dem grösseren Eigenwert ω 2<br />
=<br />
3 + 5<br />
--------------- erhält man die<br />
2<br />
2. Eigenkreisfrequenz ω 2<br />
=<br />
3 + 5<br />
---------------<br />
2<br />
= 1.62<br />
Analog zur Grundschwingungsform erhält man durch Einsetzen<br />
des Eigenwerts in das Gleichungssystem den 2. Eigenvektor:<br />
ω 2<br />
2<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Der 2. Eigenvektor wird zu:<br />
φ 1–<br />
5<br />
12<br />
=<br />
------------<br />
2 =<br />
φ 22<br />
1<br />
– 2 1 – 5<br />
φ 12<br />
= --------------- = --------------- = – 0.62<br />
1 + 5 2<br />
–0.62<br />
1<br />
3+<br />
5<br />
1 – --------------- – 1<br />
2<br />
– 1 2<br />
3 + 5<br />
– ---------------<br />
2<br />
⋅<br />
φ 12<br />
φ 22<br />
=<br />
0<br />
0<br />
Die 1. Zeile ergibt die Gleichung:<br />
2–( 3 + 5)<br />
---------------------------φ<br />
2 12<br />
– 1φ 22<br />
= 0<br />
Wird ferner die grössere Koordinate des Eigenvektors auf eins<br />
normiert φ 22<br />
= 1, so erhält man für φ 12<br />
:<br />
2–( 3 + 5)<br />
---------------------------φ<br />
2 12<br />
– 1 = 0<br />
oder<br />
5.5.2.3 Orthogonalitätsrelationen<br />
Im Folgenden werden die Orthogonalitätsrelationen überprüft.<br />
Dazu wird die Matrix der Eigenvektoren benötigt:<br />
5 – 1<br />
φ<br />
Φ 11<br />
φ 1 –---------------<br />
= 12<br />
=<br />
2<br />
φ 21<br />
φ 22<br />
---------------<br />
5 – 1<br />
1<br />
2<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 161<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 162
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Orthogonalität bezüglich Massenmatrix<br />
Die modale Massenmatrix M* ist diagonal:<br />
5 – 1<br />
5 – 1<br />
M* Φ T 1 ---------------<br />
1 –---------------<br />
= MΦ =<br />
2<br />
⋅<br />
10<br />
⋅<br />
2<br />
=<br />
---------------<br />
5 – 1 01 5 – 1<br />
– 1<br />
--------------- 1<br />
2<br />
2<br />
=<br />
5 – 1<br />
1 ---------------<br />
2<br />
⋅<br />
---------------<br />
5 – 1<br />
– 1<br />
2<br />
5 – 1<br />
1 –---------------<br />
2<br />
=<br />
---------------<br />
5 – 1<br />
1<br />
2<br />
M*<br />
d.h. M* ist tatsächlich diagonal.<br />
1.38 0<br />
0 1.38<br />
• Orthogonalität bezüglich Steifigkeitsmatrix<br />
Die modale Steifigkeitsmatrix K* ist diagonal:<br />
=<br />
5 – 1<br />
1 + ---------------<br />
2<br />
0<br />
2 <br />
5 – 1<br />
0 1 + ---------------<br />
<br />
2 <br />
2<br />
5 – 1<br />
5 – 1<br />
K* Φ T 1 ---------------<br />
1 –---------------<br />
= KΦ =<br />
2<br />
⋅<br />
1 – 1<br />
⋅<br />
2<br />
=<br />
---------------<br />
5 – 1 – 1 2 5 – 1<br />
– 1<br />
--------------- 1<br />
2<br />
2<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
=<br />
5 – 1<br />
1 – --------------- – 1 + ( 5 – 1)<br />
2<br />
⋅<br />
---------------<br />
5 – 1 5 – 1<br />
– – 1 --------------- + 2<br />
2 2<br />
Berechnung der einzelnen Glieder von K* :<br />
d.h. die Matrix K* ist tatsächlich diagonal.<br />
5 – 1<br />
1 –---------------<br />
2<br />
=<br />
---------------<br />
5 – 1<br />
1<br />
2<br />
5 – 1<br />
1 – ( 5 – 1)<br />
+ 2---------------<br />
2<br />
---------------<br />
5 – 1 5–<br />
1<br />
+ ---------------<br />
2 – 1<br />
2 2 2 <br />
---------------<br />
5 – 1 ---------------<br />
5 – 1 2 5 – 1<br />
+ – 1 2 ( 5 – 1)<br />
2 2 <br />
+ + ---------------<br />
<br />
2 <br />
2<br />
5 – 1<br />
k* 11 1 – ( 5 – 1)<br />
2 ---------------<br />
<br />
2 <br />
2 – 5 5 – 2 5 + 1<br />
=<br />
+ = + ---------------------------- = 0.528<br />
2<br />
5 – 1<br />
k* 12<br />
--------------- ---------------<br />
5 – 1<br />
2 <br />
2 <br />
2 1 2 5 – 2 + 5 – 2 5 + 1 – 4<br />
= + – = --------------------------------------------------------------- = 0<br />
4<br />
k* 21<br />
= k* 12<br />
= 0<br />
5 – 1<br />
k* 22 2 ( 5 – 1)<br />
---------------<br />
2 5–<br />
2 5+<br />
1<br />
= + + = 1 + 5 + ---------------------------- = 3.618<br />
2 <br />
4<br />
K*<br />
=<br />
0.528 0<br />
0 3.618<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 163<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 164
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.3 Bewegungsdifferentialgleichung in modalen<br />
Koordinaten<br />
Die Bewegungsdifferentialgleichung in modalen Koordinaten<br />
von einem System ohne Dämpfung ( C * = 0) ist:<br />
M* ⋅ q··<br />
··<br />
+ K* ⋅ q = – L ⋅ u g<br />
() t<br />
q 1<br />
mit q = Vektor der modalen Koordinaten<br />
q 2<br />
L 1<br />
und L = Vektor der Partizipationsfaktoren<br />
L 2<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
1 ist der Vektor der Starrkörperverschiebungen<br />
infolge einer Fusspunktverschiebung<br />
u g<br />
= 1 in Richtung der Anregung.<br />
1<br />
=<br />
1<br />
1<br />
Eingesetz in die Bewegungsdifferentialgleichung<br />
in modalen Koordinaten:<br />
erhält man:<br />
M* ⋅ q·· + K* ⋅ q = – L ⋅ u··g () t<br />
Berechnung des Vektors der Partizipationsfaktoren:<br />
5 – 1<br />
L Φ T 1 ---------------<br />
= ⋅ M⋅<br />
1 =<br />
2<br />
⋅<br />
10<br />
⋅<br />
1<br />
=<br />
5 – 1 01 1<br />
–---------------<br />
1<br />
2<br />
1.62<br />
0.382<br />
1.38 0<br />
0 1.38<br />
⋅<br />
q··1<br />
q··2<br />
+<br />
0.528 0<br />
0 3.618<br />
Zur Kontrolle können die Eigenkreisfrequenzen in modalen Koordinaten<br />
berechnet und mit den Resultaten im Abschnitt 5.5.2<br />
verglichen werden:<br />
k<br />
ω 11<br />
* 0.528<br />
1<br />
= ------------ = ------------ = 0.62<br />
m 11<br />
* 1.38<br />
k<br />
ω 22<br />
* 3.618<br />
2<br />
= ------------ = ------------ = 1.62<br />
m 22<br />
* 1.38<br />
⋅<br />
q 1<br />
q 2<br />
=<br />
–<br />
1.62<br />
u··g<br />
0.382<br />
⋅ () t<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 165<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 166
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Berechnung weiterer modalen Grössen<br />
Als modaler Partizipationsfaktor Γ n<br />
wird die folgende Grösse bezeichnet:<br />
Eingesetzt erhält man für Γ 1<br />
und Γ 2<br />
:<br />
Die effektive modale Masse ist wie folgt definiert:<br />
Γ n<br />
L<br />
--------- n<br />
m n<br />
*<br />
Eingesetzt erhält man für und :<br />
=<br />
L 1<br />
Γ 1<br />
---------<br />
1.62<br />
= = --------- = 1.17<br />
m 1<br />
* 1.38<br />
L 2 0.382<br />
Γ 2<br />
= --------- = ------------ = 0.28<br />
m 2<br />
* 1.38<br />
m* 2<br />
1eff ,<br />
Γ 1 m1 *<br />
m * Γ neff ,<br />
=<br />
2 ⋅ n mn *<br />
m* 1eff ,<br />
m*<br />
2eff ,<br />
= ⋅ = 1.17 2 ⋅ 1.38 = 1.90<br />
m* 2<br />
2eff ,<br />
Γ 2 m2 *<br />
= ⋅ = 0.28 2 ⋅ 1.38 = 0.106<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.4 Antwortspektrenverfahren<br />
Zur Erläuterung des Antwortspektrenverfahrens erhält der Zweimassenschwinger<br />
konkrete Massen und Steifigkeiten. Ferner<br />
wird angenommen, dass der Zweimassenschwinger entsprechend<br />
dem elastischen Antwortspektrum des “El Centro” Erdbebens<br />
angeregt wird.<br />
5.5.4.1 Modellbildung<br />
Wie im Abschnitt 5.5.1, jedoch<br />
werden hier die Massen<br />
und Steifigkeiten neu<br />
festgelegt:<br />
m 1<br />
= m 2<br />
= 1kg<br />
Die Massenmatrix wird:<br />
Die Federsteifigkeit wird zu k 1<br />
= k 2<br />
= k = 100 N/m angenommen<br />
und die entsprechende Umformung der Einheiten führt zu:<br />
k = 100 N/m = 100 kgm/s 2 m – 1 = 100 kg/s 2<br />
Die Steifigkeitsmatrix wird somit zu:<br />
M<br />
k<br />
K 11<br />
k<br />
= 12<br />
=<br />
100 – 100<br />
k 21<br />
k 22<br />
– 100 200 kg/s2<br />
= m 1<br />
0 10<br />
0 m =<br />
2<br />
01 kg<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 167<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 168
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.4.2 Eigenvektoren und Eigenfrequenzen<br />
Die Resultate für Einheitsmassen und Einheitssteifigkeiten im<br />
Abschnitt 5.5.2 sind mit dem Faktor<br />
zu multiplizieren.<br />
• Grundschwingungsform<br />
Eigenkreisfrequenz:<br />
Eigenperiode:<br />
• Höhere Eigenschwingungsform<br />
Eigenkreisfrequenz:<br />
Eigenperiode:<br />
---<br />
k<br />
m<br />
=<br />
100kg ⁄ s 2<br />
----------------------- = 100 s – 1<br />
1kg<br />
ω 1<br />
= 0.62 ⋅ 100s – 1 = 6.2 Hz<br />
T 1<br />
-----<br />
2π 2π<br />
= = --------------- = 1.02 s<br />
6.2 Hz<br />
Bei den Eigenvektoren ändert sich nichts, da es sich dabei um<br />
dimensionslose Grössen handelt:<br />
Φ<br />
ω 1<br />
ω 2<br />
= 1.62 ⋅ 100s – 1 = 16.2 Hz<br />
T 2<br />
2π 2π<br />
= ----- = ------------------ = 0.39 s<br />
16.2 Hz<br />
ω 2<br />
5 – 1<br />
φ 11<br />
φ 1 –---------------<br />
= 12<br />
=<br />
2<br />
φ 21<br />
φ 22 5 – 1<br />
--------------- 1<br />
2<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.4.3 Zerlegung nach Eigenschwingungsformen<br />
Bewegungsdifferentialgleichung in u 1 -u 2 -Koordinaten<br />
(ohne Dämpfung):<br />
10<br />
01 kg u··1<br />
⋅ +<br />
u··2<br />
M ⋅ u··<br />
100 – 100<br />
– 100 200<br />
+ K ⋅ u = – M⋅<br />
1 ⋅ u··g t<br />
kg ⁄ s2<br />
Variablentransformation in modale Koordinaten q 1 und q 2 :<br />
mit Φ: Matrix der Eigenvektoren (siehe Abschnitte 5.5.2 und<br />
5.5.3)<br />
Bewegungsdifferentialgleichung in modalen Koordinaten<br />
(ohne Dämpfung):<br />
1.38 0<br />
0 1.38 kg ⋅<br />
q··1 +<br />
q··2<br />
Man erhält zwei entkoppelte Einmassenschwingergleichungen<br />
in modalen Koordinaten.<br />
⋅<br />
u = Φ ⋅ q<br />
u 1<br />
u 2<br />
M* ⋅ u·· + K* ⋅ u = – L ⋅ u··g () t<br />
52.8 0<br />
kg ⁄ s2<br />
0 362<br />
⋅<br />
q 1<br />
q 2<br />
=<br />
–<br />
10<br />
01 kg 1 u··g<br />
1<br />
⋅ () t<br />
=<br />
– 1.62<br />
0.382 kg ⋅ u··g()<br />
t<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 169<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 170
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.4.4 Modale Maximalantwort<br />
Die modalen Maximalantworten der beiden Eigenformen erhält<br />
man analog zum Einmassenschwinger mit Hilfe des entsprechenden<br />
Spektralwertes aus dem Antwortspektrum.<br />
Das Maximum der modalen Koordinate ist gleich:<br />
L 1<br />
q 1max ,<br />
=<br />
S d<br />
( ω 1<br />
, ζ 1<br />
): Spektralwert der Verschiebung für Eigenfrequenz<br />
ω 1<br />
und Dämpfung ζ 1<br />
(hier ζ 1<br />
= 5% )<br />
Bei Verwendung eines Antwortspektrums der Beschleunigung<br />
wird das Maximum der modalen Koordinate :<br />
L 1<br />
q 1max ,<br />
=<br />
S a<br />
( ω 1<br />
, ζ 1<br />
): Spektralwert der Beschleunigung für Eigenfrequenz<br />
ω 1<br />
und Dämpfung ζ 1<br />
(hier ζ 1<br />
= 5% )<br />
q 1<br />
--------- ⋅ S<br />
m 1<br />
* d<br />
( ω 1<br />
, ζ 1<br />
)<br />
q 1<br />
---------<br />
1<br />
⋅ ----- ⋅S m 1<br />
* 2 a<br />
( ω 1<br />
, ζ 1<br />
)<br />
ω 1<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
Herausgelesen aus dem elastischen Antwortspektrum der Beschleunigung<br />
des “El Centro” Erdbebens erhält man:<br />
Absolute Beschleunigung [m/s 2 ]<br />
S a1<br />
= 4.25 m/s 2<br />
S a2<br />
= 7.34 m/s 2<br />
10<br />
S a2 = 7.34 m/s 2<br />
und<br />
ζ = 5%<br />
5 S a1 = 4.25 m/s 2 T<br />
0<br />
2 = 0.39 s T 1 = 1.02 s<br />
0.01 0.10 1.00 10.00<br />
Periode [s]<br />
1.62kg<br />
,<br />
----------------<br />
1<br />
= ⋅ ---------------------<br />
1.38kg ( 6.2Hz) 2 ⋅4.25 m/s 2 = 0.130m<br />
q 1max<br />
0.38kg 1<br />
,<br />
= ---------------- ⋅ ------------------------<br />
1.38kg ( 16.2Hz) 2 ⋅7.34 m/s 2 = 0.008m<br />
q 2max<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 171<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 172
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.4.5 Rücktransformation<br />
Die maximalen Deformationen und Federkräfte jeder Eigenschwingungsform<br />
in den ursprünglichen Koordinaten erhält man, indem der Eigenvektor mit<br />
dem entsprechenden Maximum der modalen Koordinate multipliziert wird.<br />
• Grundschwingungsform<br />
( 1)<br />
u max<br />
( 1)<br />
f max<br />
= = = s 1 ⋅ S a1 4.25 1.17<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Höhere Eigenschwingungsform<br />
( 2)<br />
u max<br />
q 2max ,<br />
⋅ φ 2<br />
0.008m ⋅<br />
–0.62<br />
1<br />
–5.0<br />
8.0 mm<br />
( 2)<br />
f max<br />
( 2)<br />
K ⋅ u max<br />
100 – 100<br />
⋅<br />
–0.005<br />
100 200 0.008<br />
– 0.5 – 0.8<br />
0.5 + 1.6<br />
–1.3<br />
2.1 N<br />
= q 1max , ⋅ φ 1 0.130m ⋅<br />
1 130<br />
0.62<br />
81 mm<br />
Oder als Alternative (Erlaubt die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten):<br />
= ( 1)<br />
K ⋅ u 100 – 100 0.130<br />
max<br />
⋅<br />
13.0 – 8.1 4.9<br />
100 200 0.081<br />
– 13.0 + 16.2<br />
3.2 N<br />
s 2 = Γ 2<br />
Mφ 2 = 0.28 ⋅<br />
10<br />
⋅<br />
–0.62<br />
=<br />
–0.173<br />
01 1 0.28<br />
( 1)<br />
f max s 2<br />
⋅ S a2<br />
7.34<br />
–0.173<br />
⋅<br />
10<br />
⋅<br />
1 1.17<br />
0.28<br />
–1.3<br />
2.1 N<br />
01 0.62 0.725<br />
Oder als Alternative (Erlaubt die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten):<br />
s 1 = Γ 1<br />
Mφ 1 = 1.17<br />
=<br />
( 1)<br />
f max<br />
0.725<br />
4.9<br />
3.2 N<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 173<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 174
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.4.6 Überlagerung<br />
Die Gesamtantwort wird aus den Maximalantworten der beiden<br />
Eigenschwingungsformen nach der SRSS-Überlagerungsregel<br />
(Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate) bestimmt.<br />
• Maximale Verschiebungen<br />
2 ( n)<br />
u 1max , <br />
u 1<br />
k = 1<br />
= ( ) 2<br />
= ( 130mm) 2 + (– 5mm) 2 = 130mm<br />
2 ( n)<br />
u 2max , <br />
u 2<br />
k = 1<br />
= ( ) 2<br />
= ( 81mm) 2 + ( 8mm) 2 = 81mm<br />
Die erhaltenen Verschiebungen der Gesamtantwort sind (auf<br />
zwei Stellen genau) gleich gross wie die Verschiebungen der<br />
Grundschwingungsform. Die relativ kleinen Anteile aus der höheren<br />
Schwingungsform gehen in den Berechnungen der<br />
SRSS-Überlagerungsregel quasi verloren.<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Maximale Schnittkräfte (Querkräfte V)<br />
Obere Querkraft:<br />
V 1 max<br />
,<br />
= ( 4.9N) 2 + (–<br />
1.3N) 2 = 5.1N<br />
Untere Querkraft:<br />
V 2 max<br />
,<br />
= ( 8.1N) 2 + ( 0.8N) 2 = 8.1N<br />
Gegenüber den Schnittkräften der Grundschwingungsform allein<br />
stellt man bei den Schnittkräften der Gesamtantwort eine<br />
leichte Zunahme im oberen Teil des Zweimassenschwingers<br />
fest.<br />
Unbedingt sich folgende Fallgrube merken!<br />
Falsch wäre es, die maximalen Schnittkräfte direkt aus den maximalen<br />
Verschiebungen zu bestimmen:<br />
V 1 max<br />
,<br />
≠ 100N ⁄ m ⋅ ( 0.130m – 0.081m)<br />
= 4.9N<br />
V 2 max<br />
,<br />
≠ 100N ⁄ m ⋅ 0.081m = 8.1N<br />
Man würde so zu kleine Schnittkräfte erhalten.<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 175<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 176
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.5 Antwortspektrumverfahren vs.<br />
Zeitverlaufsberechnungen<br />
5.5.5.1 Modellbildung<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
5.5.5.2 Resultate<br />
• Dynamische Eigenschaften<br />
Fall 1 Fall 2<br />
Perioden:<br />
T 1<br />
= 1.02s<br />
Perioden:<br />
T 1<br />
= 0.74s<br />
T 2<br />
= 0.39s<br />
T 2<br />
= 0.54s<br />
Eingenvektoren:<br />
Eingenvektoren:<br />
1: φ 11<br />
= 1 , φ 21<br />
= 0.62<br />
1: φ 11<br />
= 1 , φ 21<br />
= 0.27<br />
2: φ 12<br />
= 1 , φ 22<br />
= – 1.62<br />
2: φ 12<br />
= 1 , φ 22<br />
= – 0.37<br />
Massen:<br />
Fall 1 Fall 2<br />
m 1<br />
= 1.0kg Massen:<br />
m 1<br />
=<br />
0.1kg<br />
Part. Faktoren:<br />
Γ 1<br />
= 1.17<br />
Γ 2<br />
= – 0.17<br />
Part. Faktoren:<br />
Γ 1<br />
= 2.14<br />
Γ 2<br />
= – 1.14<br />
Steifigkeiten:<br />
m 2<br />
k 1<br />
k 2<br />
= 1.0kg<br />
= 100N/m<br />
= 100N/m<br />
Steifigkeiten:<br />
m 2<br />
k 1<br />
k 2<br />
= 1.0kg<br />
= 10N/m<br />
= 100N/m<br />
Die Eigenvektoren sind derart normiert, dass sie im zweiten<br />
Stockwerk gleich Eins sind. Für den Fall 1 ergeben sich deshalb<br />
unterschiedliche Werte für die Eigenvektoren und die Partizipationsfaktoren<br />
verglichen mit dem Abschnitt 5.5.2.<br />
Fall 1 entspricht dem Modell aus Abschnitt 5.5.4.<br />
Fall 2 stellt ein dynamisches System dar, bei welchem die zweite<br />
Eigenform eine wesentliche Rolle spielt.<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 177<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 178
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Beanspruchungen<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Zeitverläufe: Fall 1<br />
Verschiebungen:<br />
1:<br />
2:<br />
Fall 1 Fall 2<br />
Δ = 0.129m<br />
Δ = 0.005m<br />
Verschiebungen:<br />
1:<br />
2:<br />
Δ = 0.130m<br />
Δ = 0.072m<br />
Verschiebung [cm]<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
Erste Eigenform<br />
Summe:<br />
Δ = 0.134m<br />
Summe:<br />
Δ = 0.202m<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
SRSS:<br />
Zeitverlauf:<br />
Querkraft oben:<br />
SRSS:<br />
Zeitverlauf:<br />
Querkraft unten:<br />
SRSS:<br />
Zeitverlauf:<br />
Δ = 0.130m<br />
Δ = 0.130m<br />
V = 5.10N<br />
V = 5.69N<br />
V = 8.05N<br />
V = 8.44N<br />
SRSS:<br />
Zeitverlauf:<br />
Querkraft oben:<br />
SRSS:<br />
Zeitverlauf:<br />
Querkraft unten:<br />
SRSS:<br />
Zeitverlauf:<br />
Δ = 0.148m<br />
Δ = 0.165m<br />
V = 1.36N<br />
V = 1.51N<br />
V = 4.40N<br />
V = 4.92N<br />
Verschiebung [cm]<br />
Verschiebung [cm]<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
Zweite Eigenform<br />
Summe<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
Zeit [s]<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 179<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 180
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Zeitverläufe: Fall 2<br />
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09<br />
• Zeitverläufe: Zusammenfassung<br />
Verschiebung [cm]<br />
Verschiebung [cm]<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
Erste Eigenform<br />
Zweite Eigenform<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
Verschiebung [cm]<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
20<br />
10<br />
Fall 1<br />
Erste Eigenform<br />
Zweite Eigenform<br />
Summe<br />
Fall 2<br />
Verschiebung [cm]<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
Summe<br />
Die Maxima treten nicht zur gleichen Zeit auf!<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
Zeit [s]<br />
Verschiebung [cm]<br />
0<br />
-10<br />
Erste Eigenform<br />
Zweite Eigenform<br />
Summe<br />
-20<br />
0 5 10 15 20<br />
Zeit [s]<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 181<br />
Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 182