5 Berechnungsverfahren

Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09 


Inhalt 

5 Berechnungsverfahren 

1) Übersicht über Berechnungsverfahren 

2) Tragwerksdynamik 

• Einmassenschwinger (EMS) 

• Mehrmassenschwinger (MMS) 

3) Ersatzkraftverfahren 

4) Antwortspektrenverfahren 

5) Beispiel eines Zweimassenschwingers 

Literatur 

[ATC05] 

Applied Technology Council: “Improvement of Nonlinear Static 

Seismic Analysis Procedures”. Document prepared for the 

Federal Emergency Management Agency. FEMA 440. Redwood 

City, California, 2005. 

[Cho07] Chopra A.K.: “Dynamics of Structures”. Prentice Hall, 2007. 

[CEN04] 

[SIA03] 

Comité Européen de Normalisation: “Eurocode 8: Auslegung 

von Bauwerken gegen Erdbeben - Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkung 

und Regeln für Hochbauten“. Europäische 

Norm EN 1998-1, Bruxelles, 2004. 

SIA 261: “Einwirkungen auf Tragwerke”. Schweizer Norm, 

Zürich 2003. 

5.1 Übersicht über Berechnungsverfahren 

dynamisches 

Modell 

geometrisches 

Modell 

linearer EMS 

linearer MMS 

Nichtlineare 

statische 

Berechnung 

nichtlinearer 

EMS 

Nichtlineare 

dynamische 

Berechnung 

nichtlinearer 

MMS 

2D 2D oder 3D 2D 2D oder 3D 

Materialmodell linear linear nichtlinear nichtlinear 

Ersatzkraftverfahren 

Antwortspektrenverfahren 

Dämpfungsmodell 

berücksichtigte 

Eigenformen 

Berücksichtigung 

Torsion 

Berücksichtigung 

Materialnichtlinearitäten 

Erdbebenanregung 

Resultatgrössen 

Einsatzbereich 

Typische 

Anwendung 

viskos viskos viskos 

viskos und 

hysteretisch 

Grundform alle Grundform - 

q-Faktor 

Schnittkräfte 

und 

Verformungen 

regelmässige 

Bauwerke 

Bemessung 

linear 

q-Faktor 


und 

Verformungen 

alle Bauwerke 

Bemessung 

Amplifikationsfaktor 

Amplifikationsfaktor 

nichtlineares 

Materialmodell 

Bemessungsspektrum 



lokaler 

Duktilitätsbedarf, 


und 

Verformungen 

regelmässige 

Bauwerke 

Überprüfung 

bestehender 

Bauwerke 

nichtlinear 

nichtlineares 

Materialmodel 

Zeitverlauf 

lokaler 

Duktilitätsbedarf, 


und 

Verformungen 

alle Bauwerke 

Spezialbauwerke 

Aufwand niedrig mittel mittel hoch 

Bemerkung: Verschiedene Forschungsarbeiten zur Verbesserung der nichtlinearen 

statischen Berechnung sind im Gang (siehe z.B. FEMA 440 [ATC05]). 

Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 139 

Alessandro Dazio und Thomas Wenk Seite 140


5.2 Tragwerksdynamik 

5.2.1 Einmassenschwinger 

absolute Verschiebung 

relative Verschiebung 

Bodenverschiebung 

Bodenbeschleunigung 

Steifigkeit 

Dämpfungskonstante 

Masse 

ku: Federkraft (proportional der relativen Verschiebung) 

cu· : Dämpfungskraft (prop. der relativen Geschwindigkeit) 

mu··a: Trägheitskraft (prop. der absoluten Beschleunigung) 

Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt: 

mu··a + cu· + ku = 0 

(5.1) 

und absolute Beschleunigung ersetzen durch u··a = u·· + u··g: 

mu·· + cu· + ku = – mu··g () t 

(5.2) 

 

 

 

 

 

 

 

Relative Grössen Anregungskraft 

Gleichung (5.2) ist eine inhomogene Differentialgleichung 2. 

Grads, die für Erdbebenanregung in der Regel nummerisch gelöst 

wird (siehe Kap. 3.1). 

u a 

u 

u g 

u··g 

k 

c 

m 


5.2.2 Mehrmassenschwinger (MMS) 

Die Bewegungsgleichung eines MMS 

unter Fusspunktanregung ist: 

wobei: 

Mu·· a 

+ Cu· + Ku = 0 

u a 

= u+ u g 

= u + 1u g 

u·· u·· a 

= + 1u··g 

Mu·· + Cu· + Ku = – M1u··g 

(5.3) 

(5.4) 

(5.5) 

(5.6) 

M: Massenmatrix (diagonal) 

K: Steifigkeitsmatrix (symmetrisch and positiv definit) 

C: Dämpfungsmatrix (klassische Dämpfung: C ist eine 

Linearkombination von M und K) 

u··g t : Bodenbeschleunigung 

1: Vektor der Starrkörperverschiebungen 

infolge der Fusspunktverschiebung 

u g = 1 in Richtung der Anregung 

1 = 

1 

… 

1 




Im Falle von klassischer Dämpfung kann die Bewegungsgleichung 

(5.6) des MMS in ein System von N entkoppelten Gleichungen 

in modalen Koordinaten q n 

umgeformt werden, wobei 

N gleich der Anzahl der Eigenformen ist: 

oder: 

m * n 

q··n + c * n 

q· n 

+ k * n 

q n 

= – φ T n 

M1u··g 

q··n 2ζ * 2 

+ n ω n q· n + ω nqn 

T 

φ n M1 

= –-----------------u··g T 

φ n Mφn 

mit der Koordinatentransformation: 

N 

 

u() t = φ n 

q n 

() t 

n = 1 

(5.7) 

(5.8) 

(5.9) 

φ n 

: n-ter Eigenvektor des MMS 

q n 

() t : n-te modale Koordinate des MMS 

Die modale Masse m* n 

die modale Steifigkeit k* 

n 

der n-ten Eigenform 

sind wie folgt definiert: 

m* T 

n 

= φ n 

⋅ M ⋅ φn , k* T 2 

n 

= φ n 

⋅ K ⋅ φn = ω n 

⋅ m* 

n 

(5.10) 

ω n 

: n-te modale Kreisfrequenz des MMS 

Der modale Partizipationsfaktor Γ n 

ist ein Mass für den Beitrag 

der n-ten Eigenform an die Gesamtantwort: 

Γ n 

T 

φ n M1 

= ----------------- 

T 

φ n Mφn 

(5.11) 


Die „effektive modale Masse“ der n-ten Eigenform beträgt: 

m * Γ neff , 

= 

2 ⋅ n mn * 

(5.12) 

Im Gegensatz zur modalen Masse m* 

n 

ist die effektive modale 

Masse m* 

neff , 

unabhängig von der Normierung der Eigenvektoren. 

Es gilt folgende Beziehung: 

N 

 

n = 1 

m* 

neff , 

N 

 

m n 

n = 1 

= = 

m tot 

wobei m tot die totale Masse des betrachteten Systems ist. 

* 

Die modale Höhe h n 

ist folgendermassen definiert: 

h n 

* 

L n 

θ 

(5.13) 

θ 

T 

= ----- mit L n 

= h j 

⋅m j 

⋅φ jn und L n = φ n ⋅ M1 (5.14) 

L n 

j = 1 

wobei Partizipationsfaktor genannt wird. 

L n 

N 

• Bedeutung der effektiven modalen Masse * : 

m neff , 

Am so genannten äquivalenten EMS mit der effektiven modalen 

Masse m* neff , 

wird die horizontale Reaktionskraft V bn 

am Fusspunkt 

gleich gross wie die entsprechende n-te modale Reaktionskraft 

des MMS. Wird ferner die Höhe dieses äquivalenten 

* 

EMS gleich der modalen Höhe h n 

angenommen, dann wird auch 

das Einspannmoment M bn 

gleich gross wie das n-te modale Einspannmoment 

des MMS. 




Es gilt: 


• MMS mit Eigenformen und äquivalenten EMS 

V bn 

m * S neff , 

⋅ a , n 

= = 

N 

 

j = 1 

f jn 

(5.15) 

MMS 

Eigenformen mit modalen 

Ersatzkräften 

M bn 

S an 

m* * 

neff , S a, n h n 

= ⋅ ⋅ = f jn ⋅ h j 

N 

 

j = 1 

: Pseudo-Beschleunigung der n-ten Eigenform 

(5.16) 

h 

h s 

m 3 

m 2 

m 1 

h 3 

h 2 

f 21 

f 11 

f 33 

f 12 

f 32 

V b3 

M b3 

f 13 

f 23 

• Schnittkräfte 

h s 

V b 

h s 

EI 

h 1 

, 

f jn 

Zur Bestimmung der Schnittkräfte werden vorerst die modalen 

Ersatzkräfte berechnet: 

M b 

V b1 

f 31 

f 22 

V b2 

M b2 

M b1 

f n 

= s n 

⋅ S a, 

n 

wobei: 

(5.17) 

MMS 

Reihe von äquivalenten EMS 

mit modalen Ersatzkräften 

f n 

= 

f 1n 

f 2n 

… f nn 

(5.18) 

m 3 

m1*=2.180m 

m1*Sa1 

h s 

V b 

Der Anregungsvektor s n 

umfasst die Trägheitskräfte, die einer 

Anregung in der n-ten Eigenform entsprechen: 

s n 

= Γ n 

Mφ n 

(5.19) 

Er ist unabhängig von der Normierung des Eigenvektors : 

φ n 

h 

h s 

h s 

m 2 

m 1 

EI 

h1*=2.50hs 

EI1* 

h2*=0.72hs 

m2*=0.646m 

m2*Sa2 

EI2* 

h3*=0.48hs 

m3*=0.174m 

m3*Sa3 

EI3* 

N 

 

n = 1 

s n 

= 

M1 

(5.20) 

M b 

V b1 

M b1 

V b2 

M b2 

V b3 

M b3 




5.3 Ersatzkraftverfahren 

• Einfaches statisches Berechnungsverfahren, das in praktisch 

allen Erdbebennormen weltweit verwendet wird. 

• Die dynamische Erdbebeneinwirkung wird durch statische 

Ersatzkräfte ersetzt. 

• Anwendbarkeit ist beschränkt auf Tragwerke, die sich durch 

zwei ebene Tragwerksmodelle darstellen lassen und bei denen 

höhere Eigenformen vernachlässigt werden können: 

• Kriterien für die Regelmässigkeit im Aufriss und im Grundriss sind 

erfüllt (SIA 261 Ziffer 16.5.1). 

• Grundschwingzeiten in den beiden Hauptrichtungen kleiner 2 s 

(SIA 261 Ziffer 16.5.2). 

• Die Grundschwingzeiten können mit Schätzformeln oder 

anhand eines Tragwerksmodells ermittelt werden 

(siehe Kap. 6). 

• Die Berücksichtigung der Torsionswirkung erfolgt approximativ 

(siehe Kap. 6). 

• Die Berücksichtigung von Materialnichtlinearitäten erfolgt 

ebenfalls approximativ über inelastische Antwortspektren 

(SIA 261 Ziffer 16.2.4 Bemessungsspektrum). 


• Berechnung der Ersatzkraft: 

F = λ ⋅ m tot 

⋅ S a 

( T 1 

, ζ, q, 

γ f 

) 

(5.21) 

F: totale horizontale Ersatzkraft 

m tot 

: totale Masse des Gebäudes und der quasi-ständigen 

Nutzlasten. 

S a : Spektralwert aus dem Bemessungsspektrum bei der 

Grundschwingzeit T 1 in der betrachteten Hauptrichtung 

im Grundriss des Gebäudes. In der Norm SIA 

261 wird dieser Wert S d für “design” (Bemessungswert) 

anstelle von S a für “acceleration” genannt und er 

ist auf die Erdbeschleunigung normiert. 

Das viskose Dämpfungsmass wird in der Regel zu 

ζ = 005 , angenommen. 

Weitere Parameter des Bemessungsspektrums sind 

der Verhaltensbeiwert q sowie der Bedeutungsbeiwert 

γ f 

. 

λ: Korrekturfaktor zur Berücksichtigung des Unterschieds 

zwischen der effektiven modalen Masse in 

der Grundschwingform und der totalen Masse. 

Im EC 8 ist λ = 0,85 bei mehr als zwei Geschossen 

und λ = 1,0 bis zu zwei Geschosse 

(EN1998-1 Ziffer 4.3.3.2.2). 

In der SIA 261 wurde λ = 1,0 unabhängig von der Geschosszahl 

gesetzt, d.h. der Korrekturfaktor λ wurde 

zur Vereinfachung weggelassen 

(SIA 261 Ziffer 16.5.2.4). 




ist F n 

' = 0. 

: Masse des Geschosses i. 

Da die Maximalwerte der einzelnen Eigenformen in der Regel 

m i 

nicht gleichzeitig auftreten, werden unterschiedliche Überlagerungsregeln 

zur approximativen Bestimmung der Maximalant- 

h i : Höhe der Masse m i über der Ebene, in der die Erdbebeneinwirkung 

angreift. 

wort des Gesamtsystems verwendet. Eine exakte Berechnung 


• Verteilung der horizontalen Ersatzkraft über die Gebäudehöhe 

5.4 Antwortspektrenverfahren 

5.4.1 Beschreibung des Verfahrens 

Das Antwortspektrenverfahren beruht auf dem linearen MMS in 

modalen Koordinaten, wie in Gleichung (5.8) dargestellt. Es 

kommt zur Anwendung, wenn die Anregung in Form von Antwortspektren 

vorliegt und die maximalen Antworten des Tragwerks 

gesucht sind. 

Die Maximalwerte der modalen Koordinaten q nmax , 

werden folgendermassen 

berechnet: 

q nmax , 

= Γ n 

S d 

ω n 

ζ* 

1 

⋅ ( , n 

) = Γ n 

⋅ ----- ⋅ S 

2 a 

( ω n 

, ζ* 

n 

) 

ω n 

(5.23) 

wobei: 

m i 

h i 

F i 

= ( F – F n 

') 

⋅ -------------------- 

(5.22) 

n 

Γ n 

: Partizipationsfaktor der n-ten Eigenform 

m i 

h i 

S d 

( ω n 

, ζ* 

n 

): Spektralverschiebung für die Eigenkreisfrequenz 

i = 1 

ω n 

and das modale Dämpfungsmass ζ* 

n 

. 

F: totale horizontale Ersatzkraft 

S a ( ω n , ζ* 

n ): Spektralbeschleunigung für die Eigenkreisfrequenz 

F i im Geschoss i angreifende horizontale Ersatzkraft 

ω n 

and das modale Dämpfungsmass ζ* 

n 

. 

F n 

' Einzelkraft auf Höhe des obersten Geschosses zur 

Erhöhung der Querkraft in den oberen Geschossen 

Der Beitrag der n-ten Eigenform zur Gesamtantwort ist: 

(Einfluss höherer Eigenformen). In EC 8 und SIA 261 

u nmax , 

= φ n 

⋅ q nmax , 

(5.24) 

ist mit dem Antwortspektrenverfahren beim MMS nicht möglich. 




• Summe der Absolutbeträge (ABSSUM: Absolute Sum) 

u imax 

N 

 

, 

≤ φ in 

⋅ q nmax , 

n = 1 

(5.25) 

Die Annahme, dass die Maximalwerte aller Eigenformen gleichzeitig 

und in die gleiche Richtung auftreten, ergibt einen oberen 

Grenzwert für die Maximalantwort, der meist zu konservativ ist. 

• Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate (SRSS: Square- 

Root-of Sum-of-Squares) 

u imax 

N 

 

, 

≈ ( φ in 

⋅ q nmax , 

) 2 

n = 1 

(5.26) 

Dies ist die Standard-Überlagerungsregel in den meisten Normen, 

darunter EC 8 und SIA 261. Sie ergibt eine sehr gute Approximation 

der Maximalanwort, wenn die Eigenfrequenzen des 

Systems genügend auseinanderliegen. 

Bei Systemen mit nahe zusammenfallenden Eigenfrequenzen 

kann die Maximalantwort unterschätzt werden. In solchen Fällen 

müssen raffiniertere Methoden verwendet werden, z.B. die 

CQC-Methode. 

• Vollständige quadratische Kombination (CQC: Complete Quadratic 

Combination). 

Diese Überlagerungsregel ergibt auch bei nahe zusammenfallenden 

Eigenfrequenzen gute Resultate, doch ist der Rechenaufwand 

grösser. Weitere Informationen dazu in [Cho07] Kapitel 

13.7. 


• Schnittkräfte 

Die maximalen Schnittkräfte der Gesamtantwort werden mit den 

gleichen Überlagerungsregeln wie bei den Verschiebungen aus 

den modalen Maximalwerten berechnet. 

F nmax , 

Die modalen Maximalwerte der Schnittkräfte können entweder 

aus den Maximalwerten der Verschiebung jeder Eigenform: 

, = K ⋅ u nmax , , (5.27) 

F nmax 

oder aus den Maximalwerten der Beschleunigung bestimmt werden: 

F nmax 

, 

= s n 

⋅S a 

( ω n 

, ζ* 

n 

) = Γ n 

Mφ n 

⋅ S a 

( ω n 

, ζ* 

n 

) 

(5.28) 

wobei der Anregungsvektor s n 

die Trägheitskräfte der n-ten Eigenform 

umfasst (siehe Gleichung (5.20)). 

Falsch wäre es, die maximalen Schnittkräfte der Gesamtantwort 

aus den maximalen Verschiebungen u imax , 

der Gesamtantwort 

zu bestimmen. Die Überlagerung hat über die modalen Maximalwerte 

der Schnittkräfte F nmax , 

zu erfolgen. Siehe dazu den Abschnitt 

5.5.4.6 des Kapitels 5.5 „Beispiel eines Zweimassenschwingers“. 





m tot 

• Anzahl zu berücksichtigender Eigenformen 

5.4.2 Vorgehen in Schritten 

Grundsätzlich sind alle Eigenformen zur Berechnung der Gesamtantwort 

Die Gesamtantwort eines Gebäudes mit N-Geschossen kann 

des Systems zu berücksichtigen. Bei MMS mit sehr 

mit dem Antwortspektrenverfahren folgendermassen berechnet 

vielen Freiheitsgraden können höhere Eigenformen über einem 

werden: 

gewissen Schwellenwert vernachlässigt werden. 

1) Eigenschaften des MMS: 

Gemäss EC 8 müssen alle Eigenformen, die wesentlich zur Gesamtantwort 

beitragen, berücksichtigt werden, wobei es genügt, 

- Freiheitsgrade wählen 

wenn die Summe der effektiven modalen Massen m* 

neff , 

mindestens 

90% der Gesamtmasse m tot 

- Massenmatrix M und Steifigkeitsmatrix K bestimmen 

erreicht oder alle Eigenformen 

mit m* neff , 

> 0.05m tot 

berücksichtigt wurden. Bei räumlichen 

- modales Dämpfungsmass ζ* 

n 

festlegen. 

Modellen gelten diese Bedingungen für jede Hauptrichtung. 

2) Modalanalyse des MMS: 

- Eigenkreisfrequenzen ω n 

und Eigenvektoren φ n 

berech- 

In SIA 261 Ziffer 16.5.3.5 wird die EC8-Regel, dass die Summe 

der effektiven modalen Massen m* 

neff , 

mindestens 90% der Gesamtmasse 

erreichen soll, übernommen. 

Um die gleiche Genauigkeit der Gesamtantwort zu erreichen, 

sind je nach Antwortgrösse mehr oder weniger Eigenformen erforderlich. 

Verschiebungen erfordern meist weniger Eigenformen 

als Kräfte insbesondere Querkräfte. 

Die horizontalen Verschiebungen eines regelmässigen Gebäudes 

können aufgrund der Grundform allein recht gut bestimmt 

werden. Für die Bestimmung der Schnittkräfte sind meist auch 

höhere Eigenformen erforderlich. 

2 ( K – ω nM) 

⋅ φn = 0 

- modale Matrizen M * und K * berechnen 

m n 

* 

(5.29) 

T 

= φ n Mφn , k* T 

n 

= φ n Kφn 

(5.30) 

- Partizipationsfaktoren berechnen. 

Γ n 

T 

φ n M1 

= ----------------- 

T 

φ n Mφn 

Γ n 

(5.31) 




3) Maximalantwort jeder Eigenform 

- Für die Eigenkreisfrequenz ω n 

und das modale Dämpfungsmass 

ζ* n 

die Spektralwerte S a 

( ω n 

, ζ* 

n 

) und S d 

( ω n 

, ζ* 

n 

) aus 

den entsprechenden Antwortspektren der Einwirkung ablesen. 

- modale Maximalwerte der Verschiebung berechnen: 


5.5 Beispiel eines Zweimassenschwingers 

5.5.1 Dynamische Eigenschaften 

u nmax 

, 

= φ n 

⋅ Γ n 

⋅ S d 

( ω n 

, ζ* 

n 

) 

- modale Maximalwerte der Schnittkräfte berechnen: 

(5.32) 

F nmax 

, 

= s n 

⋅ S a 

( ω n 

, ζ* 

n 

) = Γ n 

Mφ n 

⋅ S a 

( ω n 

, ζ* 

n 

) 

(5.33) 

- Berechnungen des Schritts 3) für alle relevanten Eigenformen 

von n = 1, 2 , …, 

N wiederholen. 

4) Für die Maximalantwort des Gesamtsystems werden die entsprechenden 

modalen Maximalwerte mit einer geeigneten 

Regel (SRSS, CQC, ABSSUM) überlagert. 

Bemerkung 

Das nichtlineare Verhalten des Tragwerks kann berücksichtigt 

werden, indem die Ersatzkraft F nmax , 

aus der spektralen Ordinate 

S a 

( ω n 

, ζ n 

, q) 

eines inelastischen Antwortspektrums (Bemessungsspektrum) 

der Pseudo-Beschleunigung bestimmt wird: 

F nmax 

, 

= s n 

⋅ S a 

( ω n 

, ζ n 

, q) 

= Γ n 

Mφ n 

⋅ S a 

( ω n 

, ζ n 

, q) 

(5.34) 

• Freiheitsgrade 

Horizontale Verschiebungen u 1 und u 2 auf Höhe der Massen 

m 1 und m 2 

•Masse 

Die beiden Stockwerkmassen betragen je eins 

m 

Massenmatrix M 1 

0 

= = 

10 

0 m 2 

01 

m 1 

= m 2 

= 1 




• Steifigkeit 

Die horizontale Steifigkeit pro Stockwerk beträgt 

k = 1 


5.5.2 Eigenschwingungen 

5.5.2.1 Eigenwertgleichung 

Steifigkeitsmatrix K 

k 11 

k 

= 12 

= 

1 – 1 

k 21 

k 22 

– 1 2 

( K – ω 2 M) 

⋅ 

φ 1 

= 0 

φ 2 

1. Einheitsverschiebung 

u 1 

= 1 

Gesucht sind die von null verschiedenen Eigenvektoren 

φ 1 

φ 2 

Dazu muss die Determinante gleich null sein: 

det( K – ω 2 M) = 0 

det( K – ω 2 M) = det 1 – ω2 – 1 

= 

– 1 2 – ω 2 

0 

2. Einheitsverschiebung 

u 2 = 1 

Man erhält eine quadratische Gleichung in : 

ω 2 

oder 

( 1 – ω 2 ) ⋅ ( 2 – ω 2 ) – (– 

1) ⋅ (– 

1) 

= 2– 3ω 2 + ω 4 – 1 = 0 

• Dämpfung 

Die Dämpfung wird als vernachlässigbar 

klein angenommen. 

ω 4 – 3ω 2 + 1 = 0 

Die beiden Lösungen ergeben die Eigenwerte: 

Dämpfungsmatrix 

C 

= 

00 

00 

ω 2 = 3 ------------------------ 

+− 9 – 4 = 

2 

3 +− 5 

--------------- 

2 




5.5.2.2 Eigenvektoren und Eigenfrequenzen 

Zu jedem der beiden Eigenwerte lässt sich ein Eigenvektor 

und eine Eigenkreisfrequenz bestimmen. 

• Grundschwingungsform 

2 

Mit dem kleineren Eigenwert ω 1 

= --------------- 

3 – 5 

erhält man die 

2 

1. Eigenkreisfrequenz ω 

3 – 5 

1 

= --------------- 

2 

= 0.62 

Indem man den Eigenwert in das Gleichungssystem 

ω 2 

ω 2 

2 φ ( K – ω 1M) 

⋅ 1 

= 0 

φ 2 


Die 1. Zeile ergibt die Gleichung: 

2 

-------------------------- 

–( 3 – 5) 

φ 

2 11 

– 1φ 21 

= 0 

Wird ferner die grössere Koordinate des Eigenvektors auf eins 

normiert φ 11 

= 1, so erhält man für φ 21 

: 

2–( 3 – 5) 

-------------------------- – φ 

2 21 

= 0 

oder 

φ 21 

= 

5 – 1 

--------------- 

2 

= 0.62 

Der 1. Eigenvektor wird zu: 

einsetzt, erhält man zwei voneinander abhängige 

φ 

Gleichungen, mit denen die Form des 1. Eigenvektors 11 

bestimmt 

werden kann: 

φ 21 

φ 

1 

11 

= 

φ 

5 – 1 

= 

21 --------------- 

2 

1 

0.62 

3 – 5 

1 – --------------- – 1 

2 

– 1 2 

3 – 5 

– --------------- 

2 

⋅ 

φ 11 

φ 21 

= 

0 

0 




• Höhere Schwingungsform 

2 

Mit dem grösseren Eigenwert ω 2 

= 

3 + 5 

--------------- erhält man die 

2 

2. Eigenkreisfrequenz ω 2 

= 

3 + 5 

--------------- 

2 

= 1.62 

Analog zur Grundschwingungsform erhält man durch Einsetzen 

des Eigenwerts in das Gleichungssystem den 2. Eigenvektor: 

ω 2 

2 


Der 2. Eigenvektor wird zu: 

φ 1– 

5 

12 

= 

------------ 

2 = 

φ 22 

1 

– 2 1 – 5 

φ 12 

= --------------- = --------------- = – 0.62 

1 + 5 2 

–0.62 

1 

3+ 

5 

1 – --------------- – 1 

2 

– 1 2 

3 + 5 

– --------------- 

2 

⋅ 

φ 12 

φ 22 

= 

0 

0 

Die 1. Zeile ergibt die Gleichung: 

2–( 3 + 5) 

---------------------------φ 

2 12 

– 1φ 22 

= 0 

Wird ferner die grössere Koordinate des Eigenvektors auf eins 

normiert φ 22 

= 1, so erhält man für φ 12 

: 

2–( 3 + 5) 

---------------------------φ 

2 12 

– 1 = 0 

oder 

5.5.2.3 Orthogonalitätsrelationen 

Im Folgenden werden die Orthogonalitätsrelationen überprüft. 

Dazu wird die Matrix der Eigenvektoren benötigt: 

5 – 1 

φ 

Φ 11 

φ 1 –--------------- 

= 12 

= 

2 

φ 21 

φ 22 

--------------- 

5 – 1 

1 

2 




• Orthogonalität bezüglich Massenmatrix 

Die modale Massenmatrix M* ist diagonal: 

5 – 1 

5 – 1 

M* Φ T 1 --------------- 

1 –--------------- 

= MΦ = 

2 

⋅ 

10 

⋅ 

2 

= 

--------------- 

5 – 1 01 5 – 1 

– 1 

--------------- 1 

2 

2 

= 

5 – 1 

1 --------------- 

2 

⋅ 

--------------- 

5 – 1 

– 1 

2 

5 – 1 

1 –--------------- 

2 

= 

--------------- 

5 – 1 

1 

2 

M* 

d.h. M* ist tatsächlich diagonal. 

1.38 0 

0 1.38 

• Orthogonalität bezüglich Steifigkeitsmatrix 

Die modale Steifigkeitsmatrix K* ist diagonal: 

= 

5 – 1 

1 + --------------- 

2 

0 

2 

5 – 1 

0 1 + --------------- 

 

2 

2 

5 – 1 

5 – 1 

K* Φ T 1 --------------- 

1 –--------------- 

= KΦ = 

2 

⋅ 

1 – 1 

⋅ 

2 

= 

--------------- 

5 – 1 – 1 2 5 – 1 

– 1 

--------------- 1 

2 

2 


= 

5 – 1 

1 – --------------- – 1 + ( 5 – 1) 

2 

⋅ 

--------------- 

5 – 1 5 – 1 

– – 1 --------------- + 2 

2 2 

Berechnung der einzelnen Glieder von K* : 

d.h. die Matrix K* ist tatsächlich diagonal. 

5 – 1 

1 –--------------- 

2 

= 

--------------- 

5 – 1 

1 

2 

5 – 1 

1 – ( 5 – 1) 

+ 2--------------- 

2 

--------------- 

5 – 1 5– 

1 

+ --------------- 

2 – 1 

2 2 2 

--------------- 

5 – 1 --------------- 

5 – 1 2 5 – 1 

+ – 1 2 ( 5 – 1) 

2 2 

+ + --------------- 

 

2 

2 

5 – 1 

k* 11 1 – ( 5 – 1) 

2 --------------- 

 

2 

2 – 5 5 – 2 5 + 1 

= 

+ = + ---------------------------- = 0.528 

2 

5 – 1 

k* 12 

--------------- --------------- 

5 – 1 

2 

2 

2 1 2 5 – 2 + 5 – 2 5 + 1 – 4 

= + – = --------------------------------------------------------------- = 0 

4 

k* 21 

= k* 12 

= 0 

5 – 1 

k* 22 2 ( 5 – 1) 

--------------- 

2 5– 

2 5+ 

1 

= + + = 1 + 5 + ---------------------------- = 3.618 

2 

4 

K* 

= 

0.528 0 

0 3.618 




5.5.3 Bewegungsdifferentialgleichung in modalen 

Koordinaten 

Die Bewegungsdifferentialgleichung in modalen Koordinaten 

von einem System ohne Dämpfung ( C * = 0) ist: 

M* ⋅ q·· 

·· 

+ K* ⋅ q = – L ⋅ u g 

() t 

q 1 

mit q = Vektor der modalen Koordinaten 

q 2 

L 1 

und L = Vektor der Partizipationsfaktoren 

L 2 


1 ist der Vektor der Starrkörperverschiebungen 

infolge einer Fusspunktverschiebung 

u g 

= 1 in Richtung der Anregung. 

1 

= 

1 

1 

Eingesetz in die Bewegungsdifferentialgleichung 

in modalen Koordinaten: 

erhält man: 

M* ⋅ q·· + K* ⋅ q = – L ⋅ u··g () t 

Berechnung des Vektors der Partizipationsfaktoren: 

5 – 1 

L Φ T 1 --------------- 

= ⋅ M⋅ 

1 = 

2 

⋅ 

10 

⋅ 

1 

= 

5 – 1 01 1 

–--------------- 

1 

2 

1.62 

0.382 

1.38 0 

0 1.38 

⋅ 

q··1 

q··2 

+ 

0.528 0 

0 3.618 

Zur Kontrolle können die Eigenkreisfrequenzen in modalen Koordinaten 

berechnet und mit den Resultaten im Abschnitt 5.5.2 

verglichen werden: 

k 

ω 11 

* 0.528 

1 

= ------------ = ------------ = 0.62 

m 11 

* 1.38 

k 

ω 22 

* 3.618 

2 

= ------------ = ------------ = 1.62 

m 22 

* 1.38 

⋅ 

q 1 

q 2 

= 

– 

1.62 

u··g 

0.382 

⋅ () t 




• Berechnung weiterer modalen Grössen 

Als modaler Partizipationsfaktor Γ n 

wird die folgende Grösse bezeichnet: 

Eingesetzt erhält man für Γ 1 

und Γ 2 

: 

Die effektive modale Masse ist wie folgt definiert: 

Γ n 

L 

--------- n 

m n 

* 

Eingesetzt erhält man für und : 

= 

L 1 

Γ 1 

--------- 

1.62 

= = --------- = 1.17 

m 1 

* 1.38 

L 2 0.382 

Γ 2 

= --------- = ------------ = 0.28 

m 2 

* 1.38 

m* 2 

1eff , 

Γ 1 m1 * 

m * Γ neff , 

= 

2 ⋅ n mn * 

m* 1eff , 

m* 

2eff , 

= ⋅ = 1.17 2 ⋅ 1.38 = 1.90 

m* 2 

2eff , 

Γ 2 m2 * 

= ⋅ = 0.28 2 ⋅ 1.38 = 0.106 


5.5.4 Antwortspektrenverfahren 

Zur Erläuterung des Antwortspektrenverfahrens erhält der Zweimassenschwinger 

konkrete Massen und Steifigkeiten. Ferner 

wird angenommen, dass der Zweimassenschwinger entsprechend 

dem elastischen Antwortspektrum des “El Centro” Erdbebens 

angeregt wird. 

5.5.4.1 Modellbildung 

Wie im Abschnitt 5.5.1, jedoch 

werden hier die Massen 

und Steifigkeiten neu 

festgelegt: 

m 1 

= m 2 

= 1kg 

Die Massenmatrix wird: 

Die Federsteifigkeit wird zu k 1 

= k 2 

= k = 100 N/m angenommen 

und die entsprechende Umformung der Einheiten führt zu: 

k = 100 N/m = 100 kgm/s 2 m – 1 = 100 kg/s 2 

Die Steifigkeitsmatrix wird somit zu: 

M 

k 

K 11 

k 

= 12 

= 

100 – 100 

k 21 

k 22 

– 100 200 kg/s2 

= m 1 

0 10 

0 m = 

2 

01 kg 




5.5.4.2 Eigenvektoren und Eigenfrequenzen 

Die Resultate für Einheitsmassen und Einheitssteifigkeiten im 

Abschnitt 5.5.2 sind mit dem Faktor 

zu multiplizieren. 


Eigenkreisfrequenz: 

Eigenperiode: 

• Höhere Eigenschwingungsform 

Eigenkreisfrequenz: 

Eigenperiode: 

--- 

k 

m 

= 

100kg ⁄ s 2 

----------------------- = 100 s – 1 

1kg 

ω 1 

= 0.62 ⋅ 100s – 1 = 6.2 Hz 

T 1 

----- 

2π 2π 

= = --------------- = 1.02 s 

6.2 Hz 

Bei den Eigenvektoren ändert sich nichts, da es sich dabei um 

dimensionslose Grössen handelt: 

Φ 

ω 1 

ω 2 

= 1.62 ⋅ 100s – 1 = 16.2 Hz 

T 2 

2π 2π 

= ----- = ------------------ = 0.39 s 

16.2 Hz 

ω 2 

5 – 1 

φ 11 

φ 1 –--------------- 

= 12 

= 

2 

φ 21 

φ 22 5 – 1 

--------------- 1 

2 


5.5.4.3 Zerlegung nach Eigenschwingungsformen 

Bewegungsdifferentialgleichung in u 1 -u 2 -Koordinaten 

(ohne Dämpfung): 

10 

01 kg u··1 

⋅ + 

u··2 

M ⋅ u·· 

100 – 100 

– 100 200 

+ K ⋅ u = – M⋅ 

1 ⋅ u··g t 

kg ⁄ s2 

Variablentransformation in modale Koordinaten q 1 und q 2 : 

mit Φ: Matrix der Eigenvektoren (siehe Abschnitte 5.5.2 und 

5.5.3) 

Bewegungsdifferentialgleichung in modalen Koordinaten 

(ohne Dämpfung): 

1.38 0 

0 1.38 kg ⋅ 

q··1 + 

q··2 

Man erhält zwei entkoppelte Einmassenschwingergleichungen 

in modalen Koordinaten. 

⋅ 

u = Φ ⋅ q 

u 1 

u 2 

M* ⋅ u·· + K* ⋅ u = – L ⋅ u··g () t 

52.8 0 

kg ⁄ s2 

0 362 

⋅ 

q 1 

q 2 

= 

– 

10 

01 kg 1 u··g 

1 

⋅ () t 

= 

– 1.62 

0.382 kg ⋅ u··g() 

t 




5.5.4.4 Modale Maximalantwort 

Die modalen Maximalantworten der beiden Eigenformen erhält 

man analog zum Einmassenschwinger mit Hilfe des entsprechenden 

Spektralwertes aus dem Antwortspektrum. 

Das Maximum der modalen Koordinate ist gleich: 

L 1 

q 1max , 

= 

S d 

( ω 1 

, ζ 1 

): Spektralwert der Verschiebung für Eigenfrequenz 

ω 1 

und Dämpfung ζ 1 

(hier ζ 1 

= 5% ) 

Bei Verwendung eines Antwortspektrums der Beschleunigung 

wird das Maximum der modalen Koordinate : 

L 1 

q 1max , 

= 

S a 

( ω 1 

, ζ 1 

): Spektralwert der Beschleunigung für Eigenfrequenz 

ω 1 

und Dämpfung ζ 1 

(hier ζ 1 

= 5% ) 

q 1 

--------- ⋅ S 

m 1 

* d 

( ω 1 

, ζ 1 

) 

q 1 

--------- 

1 

⋅ ----- ⋅S m 1 

* 2 a 

( ω 1 

, ζ 1 

) 

ω 1 


Herausgelesen aus dem elastischen Antwortspektrum der Beschleunigung 

des “El Centro” Erdbebens erhält man: 

Absolute Beschleunigung [m/s 2 ] 

S a1 

= 4.25 m/s 2 

S a2 

= 7.34 m/s 2 

10 

S a2 = 7.34 m/s 2 

und 

ζ = 5% 

5 S a1 = 4.25 m/s 2 T 

0 

2 = 0.39 s T 1 = 1.02 s 

0.01 0.10 1.00 10.00 

Periode [s] 

1.62kg 

, 

---------------- 

1 

= ⋅ --------------------- 

1.38kg ( 6.2Hz) 2 ⋅4.25 m/s 2 = 0.130m 

q 1max 

0.38kg 1 

, 

= ---------------- ⋅ ------------------------ 

1.38kg ( 16.2Hz) 2 ⋅7.34 m/s 2 = 0.008m 

q 2max 




5.5.4.5 Rücktransformation 

Die maximalen Deformationen und Federkräfte jeder Eigenschwingungsform 

in den ursprünglichen Koordinaten erhält man, indem der Eigenvektor mit 

dem entsprechenden Maximum der modalen Koordinate multipliziert wird. 


( 1) 

u max 

( 1) 

f max 

= = = s 1 ⋅ S a1 4.25 1.17 


• Höhere Eigenschwingungsform 

( 2) 

u max 

q 2max , 

⋅ φ 2 

0.008m ⋅ 

–0.62 

1 

–5.0 

8.0 mm 

( 2) 

f max 

( 2) 

K ⋅ u max 

100 – 100 

⋅ 

–0.005 

100 200 0.008 

– 0.5 – 0.8 

0.5 + 1.6 

–1.3 

2.1 N 

= q 1max , ⋅ φ 1 0.130m ⋅ 

1 130 

0.62 

81 mm 

Oder als Alternative (Erlaubt die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten): 

= ( 1) 

K ⋅ u 100 – 100 0.130 

max 

⋅ 

13.0 – 8.1 4.9 

100 200 0.081 

– 13.0 + 16.2 

3.2 N 

s 2 = Γ 2 

Mφ 2 = 0.28 ⋅ 

10 

⋅ 

–0.62 

= 

–0.173 

01 1 0.28 

( 1) 

f max s 2 

⋅ S a2 

7.34 

–0.173 

⋅ 

10 

⋅ 

1 1.17 

0.28 

–1.3 

2.1 N 

01 0.62 0.725 

Oder als Alternative (Erlaubt die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten): 

s 1 = Γ 1 

Mφ 1 = 1.17 

= 

( 1) 

f max 

0.725 

4.9 

3.2 N 




5.5.4.6 Überlagerung 

Die Gesamtantwort wird aus den Maximalantworten der beiden 

Eigenschwingungsformen nach der SRSS-Überlagerungsregel 

(Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate) bestimmt. 

• Maximale Verschiebungen 

2 ( n) 

u 1max , 

u 1 

k = 1 

= ( ) 2 

= ( 130mm) 2 + (– 5mm) 2 = 130mm 

2 ( n) 

u 2max , 

u 2 

k = 1 

= ( ) 2 

= ( 81mm) 2 + ( 8mm) 2 = 81mm 

Die erhaltenen Verschiebungen der Gesamtantwort sind (auf 

zwei Stellen genau) gleich gross wie die Verschiebungen der 

Grundschwingungsform. Die relativ kleinen Anteile aus der höheren 

Schwingungsform gehen in den Berechnungen der 

SRSS-Überlagerungsregel quasi verloren. 


• Maximale Schnittkräfte (Querkräfte V) 

Obere Querkraft: 

V 1 max 

, 

= ( 4.9N) 2 + (– 

1.3N) 2 = 5.1N 

Untere Querkraft: 

V 2 max 

, 

= ( 8.1N) 2 + ( 0.8N) 2 = 8.1N 

Gegenüber den Schnittkräften der Grundschwingungsform allein 

stellt man bei den Schnittkräften der Gesamtantwort eine 

leichte Zunahme im oberen Teil des Zweimassenschwingers 

fest. 

Unbedingt sich folgende Fallgrube merken! 

Falsch wäre es, die maximalen Schnittkräfte direkt aus den maximalen 

Verschiebungen zu bestimmen: 

V 1 max 

, 

≠ 100N ⁄ m ⋅ ( 0.130m – 0.081m) 

= 4.9N 

V 2 max 

, 

≠ 100N ⁄ m ⋅ 0.081m = 8.1N 

Man würde so zu kleine Schnittkräfte erhalten. 




5.5.5 Antwortspektrumverfahren vs. 

Zeitverlaufsberechnungen 

5.5.5.1 Modellbildung 


5.5.5.2 Resultate 

• Dynamische Eigenschaften 

Fall 1 Fall 2 

Perioden: 

T 1 

= 1.02s 

Perioden: 

T 1 

= 0.74s 

T 2 

= 0.39s 

T 2 

= 0.54s 

Eingenvektoren: 

Eingenvektoren: 

1: φ 11 

= 1 , φ 21 

= 0.62 

1: φ 11 

= 1 , φ 21 

= 0.27 

2: φ 12 

= 1 , φ 22 

= – 1.62 

2: φ 12 

= 1 , φ 22 

= – 0.37 

Massen: 

Fall 1 Fall 2 

m 1 

= 1.0kg Massen: 

m 1 

= 

0.1kg 

Part. Faktoren: 

Γ 1 

= 1.17 

Γ 2 

= – 0.17 

Part. Faktoren: 

Γ 1 

= 2.14 

Γ 2 

= – 1.14 

Steifigkeiten: 

m 2 

k 1 

k 2 

= 1.0kg 

= 100N/m 

= 100N/m 

Steifigkeiten: 

m 2 

k 1 

k 2 

= 1.0kg 

= 10N/m 

= 100N/m 

Die Eigenvektoren sind derart normiert, dass sie im zweiten 

Stockwerk gleich Eins sind. Für den Fall 1 ergeben sich deshalb 

unterschiedliche Werte für die Eigenvektoren und die Partizipationsfaktoren 

verglichen mit dem Abschnitt 5.5.2. 

Fall 1 entspricht dem Modell aus Abschnitt 5.5.4. 

Fall 2 stellt ein dynamisches System dar, bei welchem die zweite 

Eigenform eine wesentliche Rolle spielt. 




• Beanspruchungen 


• Zeitverläufe: Fall 1 

Verschiebungen: 

1: 

2: 

Fall 1 Fall 2 

Δ = 0.129m 

Δ = 0.005m 

Verschiebungen: 

1: 

2: 

Δ = 0.130m 

Δ = 0.072m 

Verschiebung [cm] 

20 

10 

0 

-10 

Erste Eigenform 

Summe: 

Δ = 0.134m 

Summe: 

Δ = 0.202m 

-20 

0 5 10 15 20 

SRSS: 

Zeitverlauf: 

Querkraft oben: 

SRSS: 

Zeitverlauf: 

Querkraft unten: 

SRSS: 

Zeitverlauf: 

Δ = 0.130m 

Δ = 0.130m 

V = 5.10N 

V = 5.69N 

V = 8.05N 

V = 8.44N 

SRSS: 

Zeitverlauf: 

Querkraft oben: 

SRSS: 

Zeitverlauf: 

Querkraft unten: 

SRSS: 

Zeitverlauf: 

Δ = 0.148m 

Δ = 0.165m 

V = 1.36N 

V = 1.51N 

V = 4.40N 

V = 4.92N 



20 

10 

0 

-10 

-20 

0 5 10 15 20 

20 

10 

0 

-10 

Zweite Eigenform 

Summe 

-20 

0 5 10 15 20 

Zeit [s] 




• Zeitverläufe: Fall 2 


• Zeitverläufe: Zusammenfassung 



20 

10 

0 

-10 

-20 

0 5 10 15 20 

20 

10 

0 

-10 



-20 

0 5 10 15 20 


20 

10 

0 

-10 

-20 

0 5 10 15 20 

20 

10 

Fall 1 



Summe 

Fall 2 


20 

10 

0 

-10 

Summe 

Die Maxima treten nicht zur gleichen Zeit auf! 

-20 

0 5 10 15 20 

Zeit [s] 


0 

-10 



Summe 

-20 

0 5 10 15 20 

Zeit [s]

5 Berechnungsverfahren

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?