Spin- und Ortsraum-Wellenfunktion
Spin- und Ortsraum-Wellenfunktion
Spin- und Ortsraum-Wellenfunktion
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>Spin</strong>- <strong>und</strong> <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
◮ Der <strong>Spin</strong> ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum.<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 1
<strong>Spin</strong>- <strong>und</strong> <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
◮ Der <strong>Spin</strong> ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum.<br />
◮ Gesamtwellenfunktion, z.B. eines Elektrons (s = 1 2 ):<br />
◮ ψ(⃗x, t) <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong> (wie bisher)<br />
( )<br />
c↑ (t)<br />
◮ χ(t) = <strong>Spin</strong>raum-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
c ↓ (t)<br />
Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t)<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 1
<strong>Spin</strong>- <strong>und</strong> <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
◮ Der <strong>Spin</strong> ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum.<br />
◮ Gesamtwellenfunktion, z.B. eines Elektrons (s = 1 2 ):<br />
◮ ψ(⃗x, t) <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong> (wie bisher)<br />
( )<br />
c↑ (t)<br />
◮ χ(t) = <strong>Spin</strong>raum-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
c ↓ (t)<br />
Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t)<br />
◮ Quantenzahlen des Wasserstoff-Atoms:<br />
(n,l, m, m<br />
} {{ } s ) (+ Kernspin)<br />
Ort<br />
}{{}<br />
<strong>Spin</strong><br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 1
<strong>Spin</strong>- <strong>und</strong> <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
◮ Der <strong>Spin</strong> ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum.<br />
◮ Gesamtwellenfunktion, z.B. eines Elektrons (s = 1 2 ):<br />
◮ ψ(⃗x, t) <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong> (wie bisher)<br />
( )<br />
c↑ (t)<br />
◮ χ(t) = <strong>Spin</strong>raum-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
c ↓ (t)<br />
Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t)<br />
◮ Quantenzahlen des Wasserstoff-Atoms:<br />
◮ Bisher enthielt Ĥ keine <strong>Spin</strong>-Operatoren<br />
(n,l, m, m<br />
} {{ } s ) (+ Kernspin)<br />
Ort<br />
}{{}<br />
<strong>Spin</strong><br />
⇒ m s = ± 1 2 entartet<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 1
<strong>Spin</strong>- <strong>und</strong> <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
◮ Der <strong>Spin</strong> ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum.<br />
◮ Gesamtwellenfunktion, z.B. eines Elektrons (s = 1 2 ):<br />
◮ ψ(⃗x, t) <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong> (wie bisher)<br />
( )<br />
c↑ (t)<br />
◮ χ(t) = <strong>Spin</strong>raum-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
c ↓ (t)<br />
Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t)<br />
◮ Quantenzahlen des Wasserstoff-Atoms:<br />
◮ Bisher enthielt Ĥ keine <strong>Spin</strong>-Operatoren<br />
(n,l, m, m<br />
} {{ } s ) (+ Kernspin)<br />
Ort<br />
}{{}<br />
<strong>Spin</strong><br />
⇒ m s = ± 1 2 entartet<br />
◮ Aufhebung der Entartung:<br />
◮ externes Magnetfeld:<br />
V ∼ ⃗ B · ˆ⃗ S =<br />
<br />
2<br />
(<br />
Bxσ x + B yσ y + B zσ z<br />
)<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 1
<strong>Spin</strong>- <strong>und</strong> <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
◮ Der <strong>Spin</strong> ,,lebt” in einem unabhängigen abstrakten Raum.<br />
◮ Gesamtwellenfunktion, z.B. eines Elektrons (s = 1 2 ):<br />
◮ ψ(⃗x, t) <strong>Ortsraum</strong>-<strong>Wellenfunktion</strong> (wie bisher)<br />
( )<br />
c↑ (t)<br />
◮ χ(t) = <strong>Spin</strong>raum-<strong>Wellenfunktion</strong><br />
c ↓ (t)<br />
Ψ ges(⃗x, t) = ψ(⃗x, t)χ(t)<br />
◮ Quantenzahlen des Wasserstoff-Atoms:<br />
◮ Bisher enthielt Ĥ keine <strong>Spin</strong>-Operatoren<br />
(n,l, m, m<br />
} {{ } s ) (+ Kernspin)<br />
Ort<br />
}{{}<br />
<strong>Spin</strong><br />
⇒ m s = ± 1 2 entartet<br />
◮ Aufhebung der Entartung:<br />
◮ externes Magnetfeld:<br />
V ∼ ⃗ B · ˆ⃗ S =<br />
<br />
2<br />
(<br />
Bxσ x + B yσ y + B zσ z<br />
)<br />
◮ ,,<strong>Spin</strong>-Bahn-Kopplung”: V LS ∼ ˆ⃗ L· ˆ⃗ S (→ ,,Feinstruktur”)<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 1
5.3 Addition von Drehimpulsen am Beispiel des<br />
<strong>Spin</strong>s<br />
◮ Beispiel:<br />
Elektron <strong>und</strong> Proton im Gr<strong>und</strong>zustand des H-Atoms<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 2
5.3 Addition von Drehimpulsen am Beispiel des<br />
<strong>Spin</strong>s<br />
◮ Beispiel:<br />
Elektron <strong>und</strong> Proton im Gr<strong>und</strong>zustand des H-Atoms<br />
◮ Unabhängige <strong>Spin</strong>-Operatoren ˆ⃗ S (e) <strong>und</strong> ˆ⃗ S<br />
(p)<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 2
5.3 Addition von Drehimpulsen am Beispiel des<br />
<strong>Spin</strong>s<br />
◮ Beispiel:<br />
Elektron <strong>und</strong> Proton im Gr<strong>und</strong>zustand des H-Atoms<br />
◮ Unabhängige <strong>Spin</strong>-Operatoren ˆ⃗ S (e) <strong>und</strong> ˆ⃗ S<br />
(p)<br />
◮ Beide <strong>Spin</strong>s können gleichzeitig gemessen werden.<br />
⇒ [Ŝ (e)<br />
i<br />
, Ŝ (p)<br />
j<br />
] = 0<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 2
5.3 Addition von Drehimpulsen am Beispiel des<br />
<strong>Spin</strong>s<br />
◮ Beispiel:<br />
Elektron <strong>und</strong> Proton im Gr<strong>und</strong>zustand des H-Atoms<br />
◮ Unabhängige <strong>Spin</strong>-Operatoren ˆ⃗ S (e) <strong>und</strong> ˆ⃗ S<br />
(p)<br />
◮ Beide <strong>Spin</strong>s können gleichzeitig gemessen werden.<br />
⇒ [Ŝ (e)<br />
i<br />
, Ŝ (p)<br />
j<br />
] = 0<br />
◮ Def.:<br />
ˆ⃗S = ˆ⃗ S (e) + ˆ⃗ S<br />
(p)<br />
,,Gesamt-<strong>Spin</strong>”<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 2
5.3 Addition von Drehimpulsen am Beispiel des<br />
<strong>Spin</strong>s<br />
◮ Beispiel:<br />
Elektron <strong>und</strong> Proton im Gr<strong>und</strong>zustand des H-Atoms<br />
◮ Unabhängige <strong>Spin</strong>-Operatoren ˆ⃗ S (e) <strong>und</strong> ˆ⃗ S<br />
(p)<br />
◮ Beide <strong>Spin</strong>s können gleichzeitig gemessen werden.<br />
⇒ [Ŝ (e)<br />
i<br />
, Ŝ (p)<br />
j<br />
] = 0<br />
◮ Def.:<br />
ˆ⃗S = ˆ⃗ S (e) + ˆ⃗ S<br />
(p)<br />
,,Gesamt-<strong>Spin</strong>”<br />
◮ Man kann nachrechnen:<br />
◮ [Ŝ x, Ŝ y] = iŜ z , [Ŝ y, Ŝ z] = iŜ x , [Ŝ z, Ŝ x] = iŜ y<br />
◮ [ ˆ⃗ S 2 , Ŝ x] = [ ˆ⃗ S 2 , Ŝ y] = [ ˆ⃗ S 2 , Ŝ z] = 0<br />
d.h. ˆ⃗ S ist wirklich ein <strong>Spin</strong>-Operator!<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 2
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(e) 2 <strong>und</strong> Ŝ (e)<br />
z : | 1 2 , m e〉 e<br />
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(p) 2 <strong>und</strong> Ŝ (p)<br />
z : | 1 2 , m p〉 p<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 3
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(e) 2 <strong>und</strong> Ŝ (e)<br />
z : | 1 2 , m e〉 e<br />
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(p) 2 <strong>und</strong> Ŝ (p)<br />
z : | 1 2 , m p〉 p<br />
◮ unabhängige <strong>Spin</strong>-Räume<br />
⇒ Ŝ (e)<br />
i<br />
wirkt nicht auf | 1 2 , m p〉 p <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 3
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(e) 2 <strong>und</strong> Ŝ (e)<br />
z : | 1 2 , m e〉 e<br />
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(p) 2 <strong>und</strong> Ŝ (p)<br />
z : | 1 2 , m p〉 p<br />
◮ unabhängige <strong>Spin</strong>-Räume<br />
⇒ Ŝ (e)<br />
i<br />
wirkt nicht auf | 1 2 , m p〉 p <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
◮ Wie sehen die gemeinsamen Eigenzustände von ˆ⃗ S 2 <strong>und</strong> Ŝ z aus?<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 3
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(e) 2 <strong>und</strong> Ŝ (e)<br />
z : | 1 2 , m e〉 e<br />
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(p) 2 <strong>und</strong> Ŝ (p)<br />
z : | 1 2 , m p〉 p<br />
◮ unabhängige <strong>Spin</strong>-Räume<br />
⇒ Ŝ (e)<br />
i<br />
wirkt nicht auf | 1 2 , m p〉 p <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
◮ Wie sehen die gemeinsamen Eigenzustände von ˆ⃗ S 2 <strong>und</strong> Ŝ z aus?<br />
◮ Ansatz: Produktzustände |m e , m p 〉 ≡ | 1 2 , m e〉 e ⊗| 1 2 , m p〉 p<br />
→ vier Basiszustände: |↑,↑〉, |↑,↓〉, |↓,↑〉, |↓,↓〉<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 3
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(e) 2 <strong>und</strong> Ŝ (e)<br />
z : | 1 2 , m e〉 e<br />
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(p) 2 <strong>und</strong> Ŝ (p)<br />
z : | 1 2 , m p〉 p<br />
◮ unabhängige <strong>Spin</strong>-Räume<br />
⇒ Ŝ (e)<br />
i<br />
wirkt nicht auf | 1 2 , m p〉 p <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
◮ Wie sehen die gemeinsamen Eigenzustände von ˆ⃗ S 2 <strong>und</strong> Ŝ z aus?<br />
◮ Ansatz: Produktzustände |m e , m p 〉 ≡ | 1 2 , m e〉 e ⊗| 1 2 , m p〉 p<br />
→ vier Basiszustände: |↑,↑〉, |↑,↓〉, |↓,↑〉, |↓,↓〉<br />
◮ Ŝ z |m e , m p 〉 = Ŝ z<br />
(e) |m e , m p 〉 + Ŝ z (p) |m e , m p 〉 = (m e + m p )|m e , m p 〉<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 3
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(e) 2 <strong>und</strong> Ŝ (e)<br />
z : | 1 2 , m e〉 e<br />
◮ gem. Eigenzustände von ˆ⃗ S<br />
(p) 2 <strong>und</strong> Ŝ (p)<br />
z : | 1 2 , m p〉 p<br />
◮ unabhängige <strong>Spin</strong>-Räume<br />
⇒ Ŝ (e)<br />
i<br />
wirkt nicht auf | 1 2 , m p〉 p <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
◮ Wie sehen die gemeinsamen Eigenzustände von ˆ⃗ S 2 <strong>und</strong> Ŝ z aus?<br />
◮ Ansatz: Produktzustände |m e , m p 〉 ≡ | 1 2 , m e〉 e ⊗| 1 2 , m p〉 p<br />
→ vier Basiszustände: |↑,↑〉, |↑,↓〉, |↓,↑〉, |↓,↓〉<br />
◮ Ŝ z |m e , m p 〉 = Ŝ z<br />
(e) |m e , m p 〉 + Ŝ z (p) |m e , m p 〉 = (m e + m p )|m e , m p 〉<br />
⎧<br />
⎪⎨ |↑,↑〉 m s = 1<br />
⇒ |↑,↓〉, |↓,↑〉 m s = 0<br />
⎪⎩<br />
|↓,↓〉 m s = −1<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 3
◮ Anwendung von Leiter-Operatoren:<br />
◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e)<br />
+ |↑,↑〉 + Ŝ (p)<br />
+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0<br />
⇒ |↑,↑〉 ist der höchst-mögliche m s-Zustand zu gegebenem s<br />
⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 4
◮ Anwendung von Leiter-Operatoren:<br />
◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e)<br />
+ |↑,↑〉 + Ŝ (p)<br />
+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0<br />
⇒ |↑,↑〉 ist der höchst-mögliche m s-Zustand zu gegebenem s<br />
⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉<br />
◮ analog: Ŝ −|↓,↓〉 = 0 ⇒ |↓,↓〉 = |s = 1, m s = −1〉<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 4
◮ Anwendung von Leiter-Operatoren:<br />
◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e)<br />
+ |↑,↑〉 + Ŝ (p)<br />
+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0<br />
⇒ |↑,↑〉 ist der höchst-mögliche m s-Zustand zu gegebenem s<br />
⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉<br />
◮ analog: Ŝ −|↓,↓〉 = 0 ⇒ |↓,↓〉 = |s = 1, m s = −1〉<br />
◮ |s = 1, ms = 0〉 ∼ Ŝ −|↑,↑〉 = Ŝ (e)<br />
−<br />
|↑,↑〉 + Ŝ(p) |↑,↑〉 = |↓,↑〉 +|↑,↓〉<br />
−<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 4
◮ Anwendung von Leiter-Operatoren:<br />
◮ Ŝ +|↑,↑〉 = Ŝ (e)<br />
+ |↑,↑〉 + Ŝ (p)<br />
+ |↑,↑〉 = 0 + 0 = 0<br />
⇒ |↑,↑〉 ist der höchst-mögliche m s-Zustand zu gegebenem s<br />
⇒ |↑,↑〉 = |s = 1, m s = 1〉<br />
◮ analog: Ŝ −|↓,↓〉 = 0 ⇒ |↓,↓〉 = |s = 1, m s = −1〉<br />
◮ |s = 1, ms = 0〉 ∼ Ŝ −|↑,↑〉 = Ŝ (e)<br />
−<br />
⇒ normierte <strong>Spin</strong>-1-Zustände (,,Triplett”):<br />
|s = 1, m s = 1〉 = |↑,↑〉<br />
( )<br />
|s = 1, m s = 0〉 = √ 1<br />
2 |↑,↓〉 +|↓,↑〉<br />
|s = 1, m s = −1〉 = |↓,↓〉<br />
|↑,↑〉 + Ŝ(p) |↑,↑〉 = |↓,↑〉 +|↑,↓〉<br />
−<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 4
◮ Da wir ursprünglich zwei m = 0-Zustände hatten (|↑,↓〉 <strong>und</strong> |↓,↑〉), gibt es<br />
noch einen weiteren Basis-Zustand, der zu |s = 1, m s = 0〉 orthogonal ist:<br />
|ξ〉 = 1 √<br />
2<br />
(<br />
|↑,↓〉−|↓,↑〉<br />
)<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 5
◮ Da wir ursprünglich zwei m = 0-Zustände hatten (|↑,↓〉 <strong>und</strong> |↓,↑〉), gibt es<br />
noch einen weiteren Basis-Zustand, der zu |s = 1, m s = 0〉 orthogonal ist:<br />
|ξ〉 = 1 √<br />
2<br />
(<br />
|↑,↓〉−|↓,↑〉<br />
)<br />
◮ Man kann nachrechnen: Ŝ + |ξ〉 = Ŝ − |ξ〉 = 0 ⇒ |ξ〉 = |s = 0, m s = 0〉<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 5
◮ Da wir ursprünglich zwei m = 0-Zustände hatten (|↑,↓〉 <strong>und</strong> |↓,↑〉), gibt es<br />
noch einen weiteren Basis-Zustand, der zu |s = 1, m s = 0〉 orthogonal ist:<br />
|ξ〉 = 1 √<br />
2<br />
(<br />
|↑,↓〉−|↓,↑〉<br />
)<br />
◮ Man kann nachrechnen: Ŝ + |ξ〉 = Ŝ − |ξ〉 = 0 ⇒ |ξ〉 = |s = 0, m s = 0〉<br />
⇒ normierter <strong>Spin</strong>-0-Zustände (,,Singulett”):<br />
( )<br />
|s = 0, m s = 0〉 = √ 1<br />
2 |↑,↓〉−|↓,↑〉<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 5
◮ Da wir ursprünglich zwei m = 0-Zustände hatten (|↑,↓〉 <strong>und</strong> |↓,↑〉), gibt es<br />
noch einen weiteren Basis-Zustand, der zu |s = 1, m s = 0〉 orthogonal ist:<br />
|ξ〉 = 1 √<br />
2<br />
(<br />
|↑,↓〉−|↓,↑〉<br />
)<br />
◮ Man kann nachrechnen: Ŝ + |ξ〉 = Ŝ − |ξ〉 = 0 ⇒ |ξ〉 = |s = 0, m s = 0〉<br />
⇒ normierter <strong>Spin</strong>-0-Zustände (,,Singulett”):<br />
( )<br />
|s = 0, m s = 0〉 = √ 1<br />
2 |↑,↓〉−|↓,↑〉<br />
◮ also: zwei <strong>Spin</strong>- 1 -Teilchen koppeln zu <strong>Spin</strong> 0 oder zu <strong>Spin</strong> 1<br />
2<br />
◮ <strong>Spin</strong>-0-Singulett:<br />
◮ <strong>Spin</strong>-1-Triplett:<br />
antisymmetrisch unter Vertauschung<br />
symmetrisch unter Vertauschung<br />
02.07.2013 | Michael Buballa | 5