Studentisches Skriptum zu diesem Teil

1
Basissysteme, Ort und Impuls
Zweites Projekt zur VO Quantenmechanik
Gruppe Fermi
Gruppenmitglieder: Arnulf Wurzer, Markus Rems, David Tudiwer,
Oliver Senekowitsch, Martin Stolterfoht, Paul Pirkner

1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL 2
1 Basissysteme und Basiswechsel
1.1 Basissysteme von Operatoren
Ein quantenmechanischer Zustand |a〉 werde dargestellt durch einen Vektor aus dem Vektorraum
(Hilbertraum). Dieser Vektor kann durch eine Linearkombination von Elementen
einer beliebigen Basis |ϕ n 〉 aufgespannt werden, wobei diese aus einer maximalen Anzahl
linear unabhängiger Vektoren besteht und die Anzahl der Basiselemente die Dimension
des Vektorraums bestimmt.
|α〉 = ∑ n
a n |ϕ n 〉 (1.1)
Ein Operator auf dem Vektorraum, der selbstadjungiert ist, für den  = Ât gilt, hat reelle
Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren. Die Eigenvektoren bilden eine orthonormale
Basis.
Jedes Element des Vektorraumes kann nun in der Basis des Operators dargestellt werden.
|a n 〉 ... n-tes Basiselement der Operatoreigenbasis.
|α〉 = c n |a n 〉 (1.2)
1.2 Basiswechsel
Es ist nun sinnvoll zu fragen, wie man vom Basissystem des einen Operators ins Basissystem
eines anderen transformieren kann.

1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL 3
1.2.1 Allgemein
Ein Basiswechsel ist ein Isomorphismus - also eine bijektive Abbildung zwischen zwei
mathematischen Strukturen - bei der Teile der einen Struktur auf bedeutungsgleiche Teile
einer anderen Struktur abgebildet werden. 2
In unserem Fall sind die zwei Basissysteme {a n } und {b n } die mathematischen Strukturen.
Bedeutungsgleiche Abbildungen meint, dass die speziellen Eigenschaften - also
lineare Unabhängigkeit der neuen Basiselemente sowie Vollständigkeit im Bezug auf den
Vektorraum - erhalten bleiben.
1.2.2 Basiswechsel von Operatoren
Der Basiswechsel wird mit Hilfe einer unitären Transformation durchgeführt.
mit u = Σ
k
|b k 〉〈a k |
|b k 〉 ... k-tes Basiselement des Raums B
|a k 〉 ... k-tes Basiselement des Raums A
Beweis: u |a k 〉 = ∑ |b i 〉〈a i |u k 〉 = ∑ |b i 〉 δ ik = |b k 〉
i
i
wie vorher erwähnt ist u eine unitäre Transformation
⇐⇒ uu t = u t u = 1
|b k 〉 = u |a k 〉 (1.3)
Beweis: uu t = ∑ i
|b i 〉〈a i | ∑ k
|a k 〉〈b k | = ∑ |b i 〉〈a i |a k 〉 〈b k | = ∑ |b i 〉δ ik 〈b k | = ∑
i,k
i,k
i
|b i 〉〈b i | = 1
Wir fassen zusammen: Der Operator Û = ∑ i
in jene der Basis A über und ist unitär.
|b i 〉〈a i | führt die Basiselemente der Basis B
Nun stellt sich die Frage was mit einem Operator passiert, wenn man die Operatoren U
und U t auf ihn anwendet.

2 VERALLGEMEINERUNG AUF UNENDLICH DIMENSIONALEVEKTORRÄUME4
A ik{ai } = 〈a i|Â|a k〉 .... i, k tes Element des Operators  im Basissystem von {a i}
UÂU t = ∑ |a i 〉〈b i | A ik{ai }
i
∑
|b k 〉〈a k |
= ∑ |a i 〉〈b i | 〈a i |Â|a k〉 |b k 〉〈a k |
i,k
= ∑ 〈a i |a i 〉 〈b i |Â|b k〉 〈a k |a k 〉
i,k
k
= ∑ i,k
〈b i |Â|b k〉 = A ik {bi } .... i, k tes Element des Operators  im Basissystem von {b i}
Der Operator in der Basis {a i } wird also in die Basis {b i } transformiert.
2 Verallgemeinerung auf unendlich dimensionaleVektorräume
Die bisher dargestellten Beziehungen gelten zunächst nur für endlich dimensionale Vektorräume,
können aber unter bestimmten Voraussetzungen auf unendlich dimensionale
Vektorräume verallgemeinert werden. 1
Zunächst stellt sich die Frage, wie sieht die Basis eines unendlich dimensionalen Vektorraum
aus? Für endlich dimensionale Vektorräume war die Basis diskret und bestand aus
einer endlichen Anzahl von Basiselementen.
Für unendlich dimensionale Vektorräume ist das im Allgemeinen nicht mehr erfüllt. Hier
kann die Basis auch kontinuierlich sein.
Dies hat Auswirkungen auf die bekannten Relationen:

3 DER ORTSOPERATOR ̂X UND DIE DARSTELLUNG IN SEINER EIGENBASIS5
Table 2.1: Diskrete und kontinuirliche Basis
diskrete Basis kontinuirliche Basis
Orthonormalität 〈a i |a k 〉 = δ ik 〈x|x ′ 〉 = δ(x − x ′ )
Vollständigkeit ̂1 = ∑ |a i 〉〈a i | 1 = ´ dx |x〉〈x|
i
Allgemeiner Zustand
|α〉 = ∑ i
〈a i |α〉 |a i 〉 |α〉 = ´ dx 〈x|α〉 |x〉
Skalarprodukt
〈β|α〉 = ∑ i
= ∑ i
d ∗ i c i
〈β|a i 〉〈a i |α〉
〈β|α〉 = ´ dx 〈β|x〉〈x|α〉
= ´ g ∗ f
3 Der Ortsoperator ̂X und die Darstellung in seiner
Eigenbasis
3.1 Definition und Relationen
Der Ortsoperator ̂X ist definiert durch die Eigenwertgleichung
̂X |x〉 = x |x〉
Natürlich ist es auch möglich, wie vorher den Raum mit den Eigenfunktionen aufzuspannen.
|α〉 = ´
dx 〈x|α〉 |x〉 ,
R
wobei das Skalarprodukt 〈x|α 〉 die Koeffizienten von |α〉 bezüglich der Basis |x〉 herausprojiziert
und das Integral die Summe über die Koeffizienten mal dem Basiselement
bildet.
Zum Vergleich: |α〉 = ∑ 〈a n |α〉 |a n 〉 ... mit |a n 〉 ... diskrete Basis.
n
Es kann die Variable x auch aus dem R 3 gewählt werden. Daraus folgt für einen allgemeinen
Zustand |α〉 :

3 DER ORTSOPERATOR ̂X UND DIE DARSTELLUNG IN SEINER EIGENBASIS6
|α〉 =´
R 3 d 3 x 〈 ⃗x | α 〉 | ⃗x 〉
wobei | ⃗x〉 = |x, y, z〉 und zwar derart, dass die Operatoren ̂X, Ŷ , Ẑ angewendet auf den
Zustand |x, y, z〉 den Eigenwert des Operators mal dem Zustand produzieren.
̂X |x, y, z〉 = x |x, y, z〉
Ŷ |x, y, z〉 = x |x, y, z〉
Ẑ |x, y, z〉 = z |x, y, z〉
Also ist der Zustand |x, y, z〉 ein Eigenzustand zu allen drei Operatoren.
⇒ [ ̂X, Ŷ ] = [Ŷ , Ẑ] = [ ̂X , Ẑ] = 0
Beweis:
|α〉 = ( ̂XŶ − Ŷ ̂X) |α〉
ˆ
|α〉 = dx 〈 ⃗x|α 〉 | ⃗x 〉
R
ˆ
3
⇒ [ ̂X, Ŷ ] |α > =
R 3 dx ( ̂XŶ 〈 ⃗x|α 〉 | ⃗x 〉 − Ŷ ̂X 〈 ⃗x|α 〉 | ⃗x 〉)
〈⃗x|α〉 ist eine Zahl ⇒ [ ̂X, Ŷ ] |α > = ˆ
R 3 dx 〈x|α 〉 ( ̂XŶ | ⃗x 〉 − Ŷ ̂X | ⃗x〉 )
ˆ
= dx 〈x|α 〉 ( ̂Xy | ⃗x〉 − Ŷ x | ⃗x 〉)
R 3 ˆ
= dx 〈x|α 〉 (yx | ⃗x 〉 − xy | ⃗x 〉) = 0
R 3
Auf den Beweis der Kommuntatoren [Ŷ , Ẑ] , [ ̂X, Ẑ] wird hier verzichtet, da diese analog
ablaufen.
3.2 Die Wellenfunktion im Ortsraum
Die Wellenfunktion ψ α (x) ist definiert als ψ α (x) ≡ 〈 x|α〉 und für die Wahrscheinlichkeit,
dass der Zustand |x〉 eine Position in R gilt:

4 IMPULSOPERATOR 7
ˆ
P α (x ∈ R) =
dx |〈 x|α 〉 | 2 = ∥ ∥ ψα (x)‖ 2 = 1
R
Für die Wahrscheinlichkeit einen Zustand |α〉 in einem Zustand 〈β| zu finden ergibt sich
ˆ
P (|α〉 in |β〉) = 〈β|α〉 =
ˆ
dx 〈β|x〉 〈x|α〉=
dx ψ β (x) ψ α (x) .
Um eine Beziehung zwischen der Wellenfunktion und einem anderen Basissystem zu bekoman,
benützt man
ψ α (x) = 〈x|α〉= ∑ i
〈x|a i 〉〈a i |α〉
〈x|a i 〉 stellt nun die Wellenfunktion ψ ai (x) des (Basis-)Zustands |a i 〉 dar und 〈a i |α〉 ist
der Koeffizient c i des Zustandes |α〉 bezüglich des Basiselements |a i 〉 .
⇒ ψ α (x) = ∑ i
c i ψ ai (x)
4 Impulsoperator
4.1 Der Transformationsoperator
Der Translationsoperator führt einen Zustand|x〉 in einen Zustand |x ′ 〉 über, wobei |x ′ 〉 ≡ |x + dx〉
T |x〉 = |x + dx〉 und X|x + dx〉 = (x + dx)|x + dx〉
für einen allgemeinen Zustand |α〉 gilt:
T (dx) |α〉 = ´
dx ′ T (dx) |x ′ 〉〈x ′ |α〉 = ´
dx ′ |x ′ + dx〉 〈x ′ |α〉
R
(Nebenrechnung: x ′′ = x ′ + dx , dx ′ = dx ′′ )
´
dx ′′ |x ′′ 〉 〈x ′′ − dx|α〉 = ´
dx ′′ |x ′′ 〉 ψ (x ′′ − dx)
R
R
R
wobei benutzt wurde, dass 〈 x ′′ − dx|α〉 die Wellenfunktion ψ α des Zustandes |α〉 bezüglich
|x ′′ − dx〉 ist.

4 IMPULSOPERATOR 8
Das bedeutet also, dass die Wirkung des Translationsoperators auf einen Zustand als
Translation (der Koordinaten) der Wellenfunktion und somit der Koeffizienten der Basisfunktion
verstanden werden kann.
Es gelten folgende Relationen:
T (dx + dx ′ ) = T (dx) ◦ T (dx ′ )
T (−dx) = T (dx) −1 daraus folgt T (dx) ◦ T (−dx) = T (dx − dx)
= T (0) = I mit I=Identitätsoperator
T ist unitär: T (dx) t ◦ T (dx) = I
Es gibt eine Verallgemeinerung auf R 3 : T ( ⃗ dx) = T (dx, dy, dz)
4.2 Impulsoperator als Generator des Translationsoperators
Zunächst wollen wir zeigen, dass sich ein unitärer Operator U als Exponentialfunktion
eines hermitischen Operators H darstellen lässt.
Annahme: U = e iH zu zeigen U t U = ̂1
U t = (e iH ) T = ∑ n
(iH) n
n!
= ∑ n
(−i) n (H t ) n
n!
mit H = H t folgt ∑ n
(−iH) n
n!
= e −iH
⇒ UU t = e iH e −iH = 1
q.e.d.
Da ̂T ein unitärer Operator ist, muss er sich durch die Exponentialfunktion eines hermitischen
Operators ̂P darstellen lassen.
T (dx) = e ic ⃗ P d⃗x ,
wobei c eine Konstante ist und festgelegt wird als c ≡ − 1 ħ .
⇒ T (dx) = ∑ n
( −i
ħ )n
n!
( ⃗ P d⃗x) n ≃ 1 − i ħ ⃗ P d⃗x + O(d⃗x) 2
Da der Exponent dimensionierbar sein muss, folgt für [ ⃗ P ] :

4 IMPULSOPERATOR 9
[ ⃗ P ] [d⃗x]
[ħ]
= 1 ⇒ [ ⃗ P ] = [ħ]
[dx]
=
[E] [t]
[s]
=
[F ] [s] [t]
[s]
=
=
[m] [s] [t]
[t] 2
=
[m] [s]
[t]
= [m] [v] = [P ]
woraus Folgt, dass der Operator ⃗ P die Dimension eines Impulses hat.
4.3 Eigenschaften des Impulsoperators
Als erstes wollen wir die Eigenschaft festhalten, die wir im vorherigen Abschnitt benötigt
haben um den Impulsoperator als Generator der Translation zu identifizieren.
P ist ein hermitischer Operator ⇒ P t = P
Nun soll eine Kommutatorrelation zwischen dem Ortsoperator X und dem Impulsoperator
P hergeleitet werden.
Dazu ist es notwendig den Kommutator von X und T(dx) zu berechnen.
[X, T (dx)]|x〉 = X T (dx) |x〉 − T (dx) X |x〉
= X |x + dx〉 − T (dx) x |x〉
= (x + dx) |x + dx〉 − x |x + dx >
= dx |x + dx >
⇒ [X, T (dx)] = dx
(4.1)
T (dx) = 1 − i ħ P xdx ⇒ [X, T (dx)] = [X, 1 − i ħ P xdx] = dx
= X(1 − i ħ P xdx) − (1 − i ħ P xdx)X
= X − i ħ dx X P x − X + i ħ dx P x X
= − i dx[X, P ] = dx
ħ
⇒ [X, P ] = iħ (4.2)

4 IMPULSOPERATOR 10
Um die Kommutatorrelation zu vervollständigen fehlen uns noch:
[X i , P j ] für i ≠ j
[P i , P j ]
[X, T (dy)] |⃗x〉 = X T (dy) |⃗x〉 − T (dy) X |⃗x〉 = X|x, y + dy, z〉 − x T (dy) |⃗x〉
= x |x, y + dy, z〉 − x |x, y + dy, z〉 = 0
[X, T (dy)] = 0 ⇒ [X, P y ] = 0 ⇒ [X i , P j ] = 0 (4.3)
für i ≠ j
[T (dx), T (dy)] |⃗x〉 = T (dx)T (dy) |⃗x〉 − T (dy)T (dx) |⃗x〉 = 0 ⇒ [P i , P j ] = 0 (4.4)
und somit vervollständigt sich der Satz an Relationen zu:
[X i , P j ] = 0
[P i , P j ] = 0
[X i , P j ] = iħ δ ij
(4.5)
4.4 Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum
Wir betrachten einen Zustand |α〉 auf den der Translationsoperator angewendet wird.
Um die Wirkung des Impulsoperators herauszuarbeiten, wendet man einmal den Translationsoperator
selbst an. Anschließend stellt man ihn durch den Impulsoperator dar und
vergleicht die beiden Ergebnisse.
T (dx)|α〉 = ´
dx T (dx) |x〉 〈x|α〉 = ´
dx |x〉 ψ α (x − dx)
R
R

4 IMPULSOPERATOR 11
nun entwickelt man ψ α bis zur ersten Ordnung in dx.
ˆ
T (dx)|α〉 =
R
dx |x〉 (ψ α (x) − ∂
∂x ψ α(x) dx + O(dx 2 )) (4.6)
T (dx)|α〉 = (1 − i ħ P xdx + O(dx 2 )) |α〉
ˆ
= dx |x〉〈x| (1 − i ħ P xdx + O(dx 2 )) |α〉
(4.7)
R
Durch Vergleich der beiden Ausdrücke erhält man:
Zusammenfassend noch einige nützliche Ergebnisse:
〈X|P x |α〉 = −iħ ∂ 〈x|α〉 (4.8)
∂x
〈x|P x |x ′ 〉 = −iħ ∂
∂x δ(x − x′ )
ˆ
〈β|P x |α〉 = dx ′ Ψ β (x ′ )(−iħ ∂
∂x )Ψ α(x ′ )
′
〈x|Px n |α〉 = (−iħ) n ∂n
∂x 〈x|α〉
ˆ
n
〈β|Px n |α〉 = dx ′ Ψ β (x ′ )(−iħ) n ∂n
Ψ α (x ′ )
∂x ′n
(4.9)
4.5 Wellenfunktion im Impulsraum
Die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum ist die Eigenwertgleichung
P |p〉 = p|p〉
|p〉 sind die Eigenzustände und p die Eigenwerte des Impulsoperators.

5 FOURIERTRANSFORMATION 12
Um die Wellenfunktion im Impulsraum Φ einzuführen gehen wir wieder vom allgemeinen
Zustand |α〉 aus, der im Impulsraum aufgespannt wird.
ˆ
|α〉 =
R
ˆ
dp ′ 〈p ′ |α〉 |p ′ 〉 =
R
dp ′ Φ α |p〉 (4.10)
Dies geschieht ähnlich der Aufspannung eines allgemeinen Zustandes im Ortsraum durch
die Eigenzustände des Ortsoperators.
Die Wellenfunktion des allgemeinen Zustandes soll normiert sein, also das Normquadrat
der Wellenfunktion muss 1 sein.
ˆ
‖Φ‖ 2 =
dp ′ |〈p ′ |α〉 | 2 = 1 (4.11)
Die Wellenfunktion im Ortsraum haben wir schon besprochen, als nächsten Schritt müssen
wir einen Basiswechsel vom Ortsraum in den Impulsraum durchführen. Dies geschieht
durch eine Fouriertransformation (ist eine unitäre Transformation).
5 Fouriertransformation
Der Übergang von Ortsraum in den Impulsraum entspricht einer Transformation zwischen
zwei VONS (vollständig orthonormiertes System).
Der Transformationsoperator U ist:
U ∣ ∣ α
(k) 〉 = ∣ ∣ b
(k) 〉 (5.1)
U ik = 〈 a i |U ∣ ∣ a
k 〉 = 〈 a i∣ ∣ b
k 〉 (5.2)
wobei ∣ ∣ α
(k) 〉 und ∣ ∣ b
(k) 〉 ein VONS aus dem Hilbertraum darstellt.
Für den Basiswechsel schreiben wir U|x〉 = |p〉, wir brauchen dafür den Ausdruck für
〈x|p >. Wir erhalten 〈x|p > durch folgende Gleichungen:

5 FOURIERTRANSFORMATION 13
Die erste ist die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum und wird von links mit
〈x| multipliziert.
〈x| P |p〉 = p 〈x|p〉 (5.3)
und aus der Formel für die Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum erhält man:
Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen ergibt:
〈x|P x |p〉 = −iħ ∂ 〈x|p〉 (5.4)
∂x
−iħ ∂ 〈x|p〉 = p 〈x|p〉
∂x
Das ist eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung für 〈x|p〉.
∂
〈x| p〉′
∂x
= p
〈x| p〉
−iħ = p i ħ ⇒ ln〈x|p〉 = px i ħ + N 0
ln〈x|p〉 = px i ħ + N 0
〈x|p〉 = N exp ( i ħ px)
〈x|p〉 hat die Form einer ebenen Welle und entspricht einer Ortswellenfunktion eines
allgemeinen Zustands.
ˆ
|p〉 =
ˆ
dx |x〉〈x|p〉 =
dx N exp( i px) |x〉 (5.5)
ħ
dabei wurde die Vollständigkeitsrelation für unendlichdimensionale Vektorräume verwendet.
Der Transformationsoperator für den umgekehrten Fall lautet:
U −1 |p〉 = |x〉 (5.6)
mit U −1 = U t
⇒ U t |p〉 = |x〉

5 FOURIERTRANSFORMATION 14
Somit ist |x〉 = ´ dp |p〉〈p|x〉 und man sieht, dass der Transformationsoperator für den
Basiswechsel vom Impulsraum zum Ortsraum der Komplex-Konjugierte Operator ist.
Damit können wir die Normierung berechnen:
〈x|x ′ 〉 = ´
dp 〈x|p〉 〈p|x ′ 〉= ´ dp N 2 exp( i (xp − ħ px′ )) = N ´ 2 dp exp(− i ħ p(x′ − x))
R
mit 2πδ(x − x ′ ) = ´ dp exp(−i(x − x ′ )p) und folgender Variablentransformation für p
p
ħ = p′ ⇒ dp = ħ dp ′ ergibt das Integral:
2πħN 2 δ(x − x ′ ) = δ(x − x ′ ) und somit N = 1 √
2πħ
Daraus folgt:
〈x|p〉 = √ 1 exp ( i xp) (5.7)
2πħ ħ
〈p|x〉 = √ 1 exp (− i xp) (5.8)
2πħ ħ
Damit ist gezeigt, dass der Basiswechsel zwischen Orts & Impulsraum über die Fouriertransformation
zusammenhängt.
Das Paar der Fouriertransformierten lautet:
f(x, t) = Ψ α (x, t) = 〈x|α〉 = ´ dp 〈x|p〉〈p|α〉 = ´ dp 〈x|p〉Φ α (p, t)
⇒ Ψ α (x, t) = √
2πħˆ
1
R
dp Φ α (p, t) exp ( i xp) (5.9)
ħ
g(p, t) = Φ α (p, t) =〈p|α〉 = ´ dx 〈p|x〉〈x|α〉 = ´ dx 〈p|α〉Ψ α (x, t)
⇒ Φ α (p, t) = √
2πħˆ
1
R
dx Ψ α (x, t) exp (− i xp) (5.10)
ħ
Für Ψ(x, t) und Φ(p, t) gilt das Parsevalsche Theorem:

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 15
∞ˆ
dp ∣ ∣ Φ(p, t)| 2 =
∞ˆ
dp ∣ ∣ Ψ(x, t)| 2 = 1 (5.11)
−∞
−∞
Φ(p, t) ist die Amplitude einer Welle mit dem Impuls p. Die Integration von |Φ(p, t)| 2 über
alle Impulse soll den Wert 1 ergeben. D.h. |Φ(p, t)| 2 dp ist die Wahrscheinlichkeit das
Elektron mit einem Impuls zwischen p und p+dp zu finden.
6 Die Gaußsche Wellenfunktion
Die Gauß´sche Wellenfunktion hat im Ortsraum die allgemeine Form:
〈x|α〉 = ψ α (x, t) = 1 4 √ x2
exp(ikx − )
πσ2 2σ 2
Der erste Term des Exponenten bezeichnet dabei eine ebene Welle zur Wellenzahl k, der
zweite Term ist die charakteristische Gaußkurve:
Um diese Funktion darzustellen plotten wir sie mit Mathematica. Dabei ist, wie wir unten
noch sehen werden, ein Maß für die Breite der Wellenfunktion und k proportional zum
Impuls in x-Richtung.
Für wählen wir 2 und für k 1:
Figure 6.1: [Realteil der Gauß-Wellenfunktion]

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 16
Figure 6.2: [Imaginärteil der Gauß-Wellenfunktion]
Figure 6.3: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion]
Wenn man nun verkleinert, sieht man dass die Ortsraumdarstellung ”lokalisierter” wird:
Für σ = 1, k = 1:
Figure 6.4: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion; mit = 1 und k = 1:]

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 17
Dieses Wellenpaket soll auf 1 normiert sein:
|ψ (x)
| 2 = 1 √ π σ
exp (− x2
σ 2 )
∞´
−∞
dx exp (− x2 ) = √ π σ
σ 2
wenn der Realteil von σ 2 > 0 ist.
Zwischen den beiden Darstellungen im Orts und Impulsraum ψ (x,t) bzw φ (p,t) besteht
eine Korrelation, die auf die Unschärferelation hindeutet. Ist nämlich ψ (x,t) in einem engen
Bereich lokalisiert, so ist die Verteilung von φ (p,t) breit. Um das zu zeigen wollen wir die
Funktion im Impulsraum darstellen. Dazu müssen wir die Funktion fouriertransformieren
und wählen α = 1 und β = i ( p + k ):
2σ 2 ħ
∞´
FT (ψ(x)) = 1 4 √ √ 1
πσ 2 2πħ
=
1
4 √ 4π 3 σ 2 ħ 2 ∞´
−∞
−∞
dx exp (( p ħ
dx exp ( i x2
px) exp (ikx − ) =
ħ 2σ 2
x2
1
+ k) ix − ) =
2σ 2 4 √ β2
exp ( ) √ π
4 π 3 σ 2 ħ2 4α α
1
= 4 √ p2
exp (( −
4 π 3 σ 2 ħ2 ħ 2
− 2pk
ħ
− k 2 ) σ2
2 ) √ 2σ 2 π
also gilt: 〈p|α〉 = φ α (x) =
√ σ
4 √ σ2
exp (
πħ2 2ħ 2
(p + kħ))
Man sieht das die Funktion im Impulsraum reell ist und um den Wert p = ħk =
〈p〉 zentriert ist.
Das Gauß-Wellenpaket im Impulsraum mit Mathematica geplottet ergibt:

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 18
Figure 6.5: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 2 und k = 1:]
Für einen kleineren Wert von ergibt sich:
Figure 6.6: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 1 und k = 1:]
Die Breite der Funktion im Impulsraum ħ/σ ist also umgekehrt proportional zur Breite
im Ortsraum σ, also je lokalisierter das Paket im Ortsraum ist, desto ausgedehnter ist
es im Impulsraum. Kurz gesagt: Je schärfer der Impuls ist, desto ausgedehnter ist die
Ortsraumverteilung.
Für den Fall das σ gegen Unendlich geht ist die Darstellung im Ortsraum eine ebene Welle
und im Impulsraum die δ − Funktion. Diese entspricht genau der Unschärferelation, die
jedoch für das Gauß-Wellenpaket minimal wird.
Dazu müssen wir uns jedoch die Erwartungswerte für den Orts und Impulsoperator herleiten:
∞´
〈X〉 = √ 1
π σ
−∞
x exp [− x2 ] dx = 0
σ 2
weil der Integrand eine ungerade Funktion ist und über ein symetrisches Intervall integriert
wird.

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 19
〈X 2 〉 α
= 1 √
πσ 2
∞´
−∞
√ 1
(−1) d (√ π
) =
πσ 2 dα α
dx exp(−ikx −
x2 ) x exp (ikx −
2σ 2
x2 ) = = 1
2σ 2 √
2σ 2
∞´
−∞
dx x 2 exp ( x2 ) =
σ 2
= 1 √
πσ 2
−1
2 √ πσ 2 (−πσ2 ) = σ2
2
〈P 〉 α
= 1 √
πσ 2
∞´
−∞
dx exp(−ikx − x2 ) (−iħ d
2σ 2
dx
) exp(ikx −
x2
2σ 2 ) =
= −iħ √
πσ 2
∞´
−∞
dx (ik − x ) exp ( x2 ) =
σ 2 σ 2
√ iħ (ik) √ πσ
πσ 2 = ħk
2
〈P 2 〉 α
= 1 √
πσ 2
∞´
−∞
dx exp(−ikx − x2 ) (−ħ 2
2σ 2
d2 ) exp (ikx − x2 ) =
dx 2 2σ 2
= −ħ2 √
πσ 2
∞´
−∞
dx (− 1
σ 2
− k 2 − 2ikx
σ 2
− x2
σ 4 ) exp( x2
σ 2 ) =
= −ħ2 √
πσ 2
∞´
−∞
dx (− 1 − k 2 + x2 ) exp( x2 ) =
σ 2 σ 4 σ 2
= −ħ2 √
πσ 2 (− 1
σ 2
= ħ 2 k 2 + ħ2
σ 2
− k 2 ) √ πσ 2 + −ħ2 √
πσ 2 ( −1
σ 4 ) d
dα (√ π
α ) =
− ħ2
σ 4 σ 2
2
= ħ2
2 σ 2 + ħ 2 k 2
Daraus folgt die Unschärferelation:
〈
(X − 〈X〉)
2 〉 〈 (P − 〈P 〉) 2〉 = 〈 (△X) 2〉 〈 (△P ) 2〉 = (〈X 2 〉 − 〈X〉 2 )(〈P 2 〉 − 〈P 〉 2 ) = ħ2
4
6.1 Darstellung im dreidimensionalen Raum
Im dreidimensionalen Raum muss man bei der Fouriertransformation gleichviele Normierungsfaktoren
wie Raumrichtungen haben. Ansonsten sind eindimensionaler und dreidimensionaler
Raum analog. Es werden ein paar Beispiele angeführt.
Betrachten wir z.B. die Eigenwertgleichung im eindimensionalen Raum:

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 20
X|x〉 = x|x〉
analog dazu im dreidimensionalen Raum:
⃗X|⃗x〉 = ⃗x |⃗x〉
Orthonormalität:
Eindimensional: 〈x|x ′ 〉 = δ (x − x ′ )
Dreidimensional: 〈⃗x| ⃗x ′ 〉
= δ 3 (⃗x − ⃗x ′ )
Allgemeiner Zustand:
Eindimensional: 〈α|β〉 = ´
dx ψ β (x) ψ α (x)
Dreidimensional: 〈α|β〉 = ´
R
R 3 d 3 x ψ β (⃗x) ψ α ( ⃗ x)
Wirkung des Impulsoperators:
Eindimensional: 〈α|P |β〉 = ´
dx ψ β
R 3
Dreidimensional: 〈α|P |β〉 = ´
Fouriertransformation:
R 3 d 3 x ψ β
(−iħ d
dx ) ψ α
(−iħ▽)ψ α
Eindimensional: 〈x|p〉 = 1 √
2ħπ
exp ( i ħ xp)
1
Dreidimensional: 〈x|p〉 = √(2ħπ) exp( i ⃗x ⃗p)
3 ħ
Man sieht hier bei der Fouriertransformation, dass der Normierungsfaktor für den dreidimensionalen
Raum unter der 3. Potenz steht, weil es sich um 3 voneinander unabhängige
Raumrichtungen handelt.

7 QUELLENANGABEN 21
7 Quellenangaben
Vorlesungsskriptum von Martin Hebenstreit
http://physik.uni-graz.at/˜cbl/QM/
”Quantenmechanik”, 4. Aufl., Torsten Fließbach, ELSEVIER
”Mathematische Methoden in der Physik”, 2. Aufl., Lang/Pucker, ELSEVIER
”Quantenmechanik”, 7. Aufl., Schwabl, Springer Verlag
”Modern Quantum Mechanics”, J.J. Sakurai, Pearson Verlag
”Vorlesungen über Physik. Bd. 3 Quantenmechanik”, Feynman, Oldenbourg
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik
http://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche Unsch%C3%A4rferelation