Tight-Binding-Theorie für optische und magnetische ... - E-LIB

2.2 Modellierung elektronischer Eigenschaften
Das zugehörige Matrix-Eigenwertproblem ist dann von der Form
Ĥ Bulk
αα ′ (k) = 1 N
∑
e ik(R−R′) 〈R,α|Ĥ|R′ ,α ′ 〉
(2.2)
} {{ }
R,R ′ t α,α′
R,R ′
und ergibt dann die Dispersion ε(k) und Koeffizienten c α (k) nach exakter Diagonalisierung
von Gl.(2.2) in einer endlichen Basis. N ist hier die Anzahl der Einheitszellen und
sorgt für die korrekte Normierung.
Der Übergang zu einem System ohne jegliche Translationsinvarianz, z.B. einem
Quantenpunkt, ergibt direkt:
Ĥ Qd
RR ′ ,αα ′ = 〈R,α|Ĥ|R′ ,α ′ 〉. (2.3)
Die zugehörigen Eigenfunktionen sind Linearkombinationen der EBOM-Basis mit den
Koeffizienten c R,α :
|ψ〉 Qd = ∑ c R,α |R,α〉. (2.4)
R,α
Der nächste Schritt zur Verallgemeinerung von Gl.(2.2) zur Beschreibung eines
zweidimensionalen translationsinvarianten Systems, z.B. einer Benetzungsschicht, wird
über Einschränkung der Fourier-Summe auf die translationsinvarianten Dimensionen in
der Ebene erreicht. Dies entspricht einer Abbildung auf ein eindimensionales Problem
im Ortsraum, bei dem die effektiven Hüpfmatrixelemente über eine partielle Fourier-
Summe erzeugt werden und ist nichts Anderes als eine Faktorisierung in einen Anteil in
der Ebene (⊥,"in-plane") und senkrecht (‖,"out-of-plane") dazu. Es folgt die entsprechende
Gleichung mit N ⊥ als Anzahl der "in-plane" Einheitszellen:
Ĥ Wl
R ‖ R ′ ‖ ,αα′ (k ⊥ ) = 1
N ⊥
∑
R ⊥ ,R ′ ⊥
e ik ⊥(R ⊥ −R ′ ⊥ )
× 〈R ⊥ + R ‖ ,α|Ĥ|R′ ⊥ + R′ ‖ ,α′ 〉. (2.5)
Im Vergleich zu Gl.(2.2) existieren jetzt zusätzliche Matrixelemente zwischen verschiedenen
Benetzungsschichten R ‖ , R ′ ‖ und nicht nur zwischen verschiedenen Orbitalen α, α′ .
Eine Diagonalisierung dieses Matrix-Eigenwertproblems ergibt die Benetzungsschicht-
Dispersion ε(k ⊥ ) und Entwicklungskoeffizienten c R‖ ,α(k ⊥ ) der zugehörigen Eigenfunktionen:
|k ⊥ 〉 Wl = ∑ R ‖ ,α
c R‖ ,α(k ⊥ )
1 ∑
√
N⊥
R ⊥
e ik ⊥R ⊥
|R ⊥ + R ‖ ,α〉
} {{ }
|k ⊥ ,R ‖ ,α〉
. (2.6)
An der Grenzfläche einer Heterostruktur mit zwei unterschiedlichen Materialien A/B
wird in dieser Arbeit das gemittelte Hüpfmatrixelement der beiden Konstituenten verwendet
und zusätzlich muss ein angemessener Valenzbandversatz ΔE V als zusätzlicher
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