Systemtheorie III - Institut für Akustik und Sprachkommunikation

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Akustik und Sprachkommunikation
Professur für Systemtheorie und Sprachtechnologie
SYSTEMTHEORIE III
Prof. Dr.-Ing. habil. Helmut Schreiber
Prof. Dr.-Ing. habil. Renate Merker
Prof. Dr.-Ing. habil. Rüdiger Hoffmann
Oktober 2011

Vorwort zur 1. Auflage
Die vorliegende Aufgabensammlung wurde aus Übungsaufgaben zusammengestellt,
die in den letzten drei Jahren in den rechnerischen Übungen im Lehrgebiet Systemtheorie
III behandelt wurden. Die Anordnung und Numerierung der Aufgaben erfolgt entsprechend
der stofflichen Gliederung der Vorlesung:
Kapitel 8:
Kapitel 9:
Kapitel 10:
Stochastische Signale
Statische Systeme
Dynamische Systeme
Die genannte Lehrveranstaltung ist Bestandteil des Hauptstudiums für die Studienrichtung
Informationstechnik im Studiengang Elektrotechnik und wird im 5. Semester
durchgeführt. Für diese Lehrveranstaltung werden die im 3. und 4. Semester im Lehrgebiet
Systemtheorie I/II erworbenen Kenntnisse vorausgesetzt.
Außerdem wird im 6. bzw. 8. Semester noch ein Wahlpflichtfach Stochastische Signale
und Systeme angeboten, das die Systemtheorie III inhaltlich vertieft und einige Anwendungen
der Theorie der stationären zufälligen Prozesse hervorhebt (Rauschanalyse
elektronischer Schaltungen, Optimalfilter im Sinne von Wiener u. a.). Entsprechende
Übungsaufgaben hierzu sind in einem Anhang zusammengefasst.
Die vorliegende Aufgabensammlung enthält zusätzlich eine Auswahl von Prüfungsklausuren
aus den letzten Jahren. Für eine der Prüfungsklausuren ist jeweils eine Bearbeitungszeit
von 120 Minuten vorgesehen. Als Hilfsmittel für die Lösung der Prüfungsaufgaben
dürfen die Formelsammlungen verwendet werden, die gleichfalls in dieser
Aufgabensammlung mit enthalten sind.
Dresden, 01.04.1996
R. Merker, H. Schreiber
Vorwort zur 2. Auflage
Abgesehen von einigen wenigen Korrekturen unterscheidet sich die neue Auflage nicht
von der bisherigen. In Übereinstimmung mit der in der englischsprachigen Literatur
überwiegend anzutreffenden Schreibweise wird die komplexe Variable im Bildbereich
der Laplace–Transformation nunmehr mit s = σ + jω (anstelle bisher p = σ + jω) bezeichnet.
Herrn cand. ing. H. Garten danken wir für die freundliche Unterstützung bei der Überarbeitung
dieses Lehrmaterials.
Dresden, 01.04.1999
R. Merker, H. Schreiber
2

INHALTSVERZEICHNIS
8 Stochastische Signale 6
9 Statische Systeme 12
10 Dynamische Systeme 15
P Prüfungsklausuren 20
F Formelsammlung 34
LITERATURVERZEICHNIS
[1] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 5. Auflage. Dresden : TUDpress
Verlag der Wissenschaften GmbH, 2006 (TUDpress Lehrbuch). – ISBN 10:
3938863846, ISBN 13: 978–3938863848
[2] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 4. Auflage. Berlin Heidelberg :
Springer-Verlag, 1993 (Springer-Lehrbuch)
[3] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 3. Auflage. Berlin : Verlag Technik,
1989
[4] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 4. Auflage. Dresden : TUDpress
Verlag der Wissenschaften GmbH, 2006 (TUDpress Lehrbuch). – ISBN 10:
3938863676, ISBN 13: 978–3938863671
[5] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 3. Auflage. Berlin Heidelberg :
Springer-Verlag, 1993 (Springer-Lehrbuch)
[6] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 2. Auflage. Berlin : Verlag
Technik, 1988
[7] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 4. Auflage. Berlin :
Springer-Verlag, 2005 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 10: 354029225X, ISBN 13: 978–
3540292258
[8] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 3. Auflage. Berlin Heidelberg
: Springer-Verlag, 1992 (Springer-Lehrbuch)
[9] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 2. Auflage. Berlin : Verlag
Technik, 1986
[10] WUNSCH, G.: Handbuch der Systemtheorie. Berlin : Akademie-Verlag, 1986
3

ÜBUNGSAUFGABEN

8 STOCHASTISCHE SIGNALE
8.1. Die Beleuchtung eines Raumes erfolgt durch zwei in Reihe geschaltete Glühlampen
L 1 und L 2 , die unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeaiten p 1 bzw.
p 2 ausfallen (Durchbrennen des Glühfadens). Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die
Raumbeleuchtung aus?
8.2. In einem Stromkreis (siehe Bild 8.2) befinden
sich vier Widerstände, die mit den Wahrscheinlichkeiten
p 1 , p 2 , p 3 und p 4 unabhängig voneinander
durchbrennen (d. h., R i → ∞, i ∈ {1, 2, 3, 4}). Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
Gesamtstrom I unterbrochen wird!
R 1
I
R 2
R 3
R 4
Bild 8.2
8.3. Zwei Schützen schießen auf eine Scheibe. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt
für den ersten Schützen 0,8 und für den zweiten Schützen 0,9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
wird die Scheibe getroffen?
8.4. Über einen gestörten Kanal werden kodierte Steuerkommandos vom Typ 111 und
000 übertragen, wobei der erste Typ mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 und der zweite Typ
mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 gesendet wird. Jedes Zeichen (0 oder 1) wird mit der
Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig übertragen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Signal 101 empfangen wird?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
α) 111, β) 000
gesendet wurde, falls 101 empfangen wird?
8.5. Gegeben ist eine Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F X :
⎧
⎪⎨ 0 ξ ≤ −1,
F X (ξ) = 1 − ξ
⎪⎩
2 −1 < ξ ≤ 0,
1 ξ > 0.
a) Man berechne und skizziere die Dichtefunktion f X !
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert kleiner als − 1 an? 2
c) Man berechne P { − 1 ≤ X < 2} mit Hilfe
3
α) der Verteilungsfunktion, β) der Dichtefunktion!
6 8 Stochastische Signale

8.6. Man berechne den Erwartungswert E(X ), den quadratischen Mittelwert E(X 2 )
und die Varianz Var(X )
a) für eine diskrete Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F X gemäß Bild 8.6a,
b) für eine stetige Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F X :
⎧
⎪⎨ 0 ξ ≤ 0,
F X (ξ) = ξ
⎪⎩
2 0 < ξ ≤ 1,
1 ξ > 1
gemäß Bild 8.6b!
1
0,9
F X (ξ)
1
F X (ξ)
0,4
0,3
ξ
-1 0 1 2 3 4
0
Bild 8.6a Bild 8.6b
1
ξ
8.7. Bei einem elektronischen System sei die Lebensdauer (gerechnet vom Zeitpunkt
der Inbetriebnahme bis zum Ausfallzeitpunkt) eine Zufallsgröße X mit der Dichte f X :
{
a e −ax x ≥ 0 (a > 0)
f X (x) =
0 x < 0.
Die mittlere Lebensdauer betrage 10 Jahre. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass
a) das System mindestens 3 Jahre zuverlässig arbeitet,
b) das System mindestens weitere 2 Jahre zuverlässig arbeitet, wenn bekannt ist,
dass es bereits 3 Jahre zuverlässig gearbeitet hat!
8.8. Die Lebensdauer eines bestimmten Bauelementes kann durch eine Zufallsgröße
X mit der Dichtefunktion f X :
{
λ 2 x e −λx x > 0
f X (x) =
(λ = 0,25/ Jahr)
0 x ≤ 0
näherungsweise beschrieben werden.
7

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauelement innerhalb von 6
Jahren nicht ausfällt?
b) Ein Gerät enthalte 4 Bauelemente dieser Art, deren Ausfall unabhängig voneinander
erfolgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät innerhalb von
6 Jahren nicht ausfällt?
8.9. Eine Lieferung von elektronischen Bauelementen enthalte 5% Ausschuss (defekte
Bauelemente). Wieviel Bauelemente muss eine Stichprobe mindestens enthalten
(d. h., wieviel Bauelemente müssen mindestens geprüft werden), damit in ihr mit einer
Wahrscheinlichkeit nicht kleiner als 0,9 wenigstens ein defektes Bauelement enthalten
ist?
8.10. Ein zufälliger Vektor X = (X 1 , X 2 ) ist in einem Rechteck B 1 (Bild 8.10) gleichverteilt,
d. h. für die Dichte gilt
f X (x 1 , x 2 ) =
{
1
ab
(x 1 , x 2 ) ∈ B 1
0 (x 1 , x 2 ) /∈ B 1
(a > b > 0).
b
x 2
Bild 8.10
B 2
B 1
x 1
0 b a
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert aus dem Viertelkreisgebiet B 2
an?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X 1 einen Wert größer als b annimmt
(X 2 beliebig)?
8.11. Der zufällige Vektor X = (X 1 , X 2 ) habe die Verteilungsfunktion F X .
Man berechne (ausgedrückt durch
die Werte von F X )
a) P{X ∈ B 1 },
b 2
B 2
B 1
x 1
0 a 1 a 2
b) P{X ∈ B 1 | X ∈ B 2 }!
b 1
x 2
Bild 8.11
(Vgl. Bild 8.11).
8.12. Bei einer telegrafischen Nachrichtenübertragung wird 1% aller Buchstaben fehlerhaft
empfangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Text von
200 Buchstaben
8 8 Stochastische Signale

a) kein
b) höchstens ein
Fehler enthalten ist?
8.13. Ein zufälliger Vektor X = (X 1 , X 2 ) sei in einem Rechteck B gleichverteilt, d. h.,
dass f X (x 1 , x 2 ) konstant für (x 1 , x 2 ) ∈ B ist. (Siehe Bild 8.13.)
a) Geben Sie die Dichte f X an!
b) Berechnen und skizzieren Sie die Randdichten
f X1 und f X2 !
c) Berechnen Sie P{X 1 ≥ 1}!
1
x 2
Bild 8.13
B
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass X 2 einen Wert annimmt, der größer
als der Wert von X 1 ist!
0 1
2
3
x 1
8.14. Ein zufälliger Vektor X = (X 1 , X 2 ) ist in einem Rechteck B verteilt mit der Dichte
f X :
f X (x 1 , x 2 ) =
{
x1
π
(x 1 , x 2 ) ∈ B,
0 (x 1 , x 2 ) /∈ B.
π
x 2
B
a) Man berechne f X1 (x 1 | x 2 ) und f X2 (x 2 | x 1 ) und untersuche,
ob X 1 und X 2 aus X unabhängig sind!
0
1
x 1
b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X 1 einen
Wert kleiner als 0,5 annimmt!
−π
Bild 8.14
8.15. Ein zufälliger Vektor X = (X 1 , X 2 , X 3 ) ist im Innern der Kugel x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ≤ R 2
gleichverteilt, d. h., X hat im Innern der Kugel eine konstante Dichte. Wie lautet die
Dichtefunktion?
8.16. Gegeben seien drei unabhängige Zufallsgrößen X 1 , X 2 und X 3 mit E(X i ) = 0 und
Var(X i ) = σ i
2
(i ∈ {1, 2, 3}).
a) Bestimmen Sie Var(Y ) für Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 (a i ∈ R)!
b) Geben Sie speziell Var(X 1 + X 2 ) und Var(X 1 − X 2 ) an!
8.17. Gegeben ist der zufällige Prozess X = (X t ) t∈T mit X t = X (t) = X 1 sin(ω 0 t − X 2 ),
worin X 1 und X 2 im Intervall (0, 2π] gleichverteilte Zufallsgrößen bezeichnen. Geben
Sie einige Realisierungen von X an und veranschaulichen Sie diese grafisch!
9

8.18. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Rauschspannung, die durch
einen stationären zufälligen Prozess X mit der Dichtefunktion f X :
f X (x, t) = 1 (
2a exp − |x| )
(a > 0)
a
beschrieben werden kann. Man berechne (für eine feste Zeit t)
a) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spannung einen festen Wert a 0 > 0 überschreitet;
b) den Erwartungswert der Spannung;
c) den Erwartungswert der Leistung an R!
d) Was erhält man mit den Zahlenwerten a = 1 V, a 0 = 2 V und R = 3 Ω?
∫
Hinweis zu b): x e cx dx = ecx
(cx − 1) + C
c2 ∫
Hinweis zu c): x 2 e cx dx = ecx
c 3 (x2 c 2 − 2cx + 2) + C
8.19. In der Schaltung Bild 8.19, die durch eine Rauschspannungsquelle
und eine Rauschstromquelle erregt wird, ist der
Strom in R 2 durch den zufälligen Prozess
R 1
I 2
R 2
I 2 = U − IR 1
R 1 + R 2
darstellbar. U und I seien stationäre (und stationär
verbundene) Prozesse mit den Korrelationsfunktionen
s U , s I und s UI .
U
I
Bild 8.19
a) Bestimmen Sie s I2 (τ), ausgedrückt durch s U (τ), s I (τ) und s UI (τ)!
b) Wie groß ist der Mittelwert der Leistung an R 2 ?
8.20. Gegeben ist der zufällige Prozess Y :
Y (t) = X 1 cos ω 0 t + X 2 sin ω 0 t
(ω 0 ∈ R, Konstante),
worin X 1 und X 2 unabhängige Zufallsgrößen mit
E(X 1 ) = E(X 2 ) = 0 und E(X 2 1 ) = E(X 2 2 ) = σ 2
bezeichnen.
a) Man berechne den Erwartungswert E(Y (t)) = m Y (t)!
b) Man berechne die Korrelationsfunktion E(Y (t 1 )Y (t 2 )) = s Y (t 1 , t 2 )!
c) Ist der Prozess Y im weiteren Sinne stationär?
10 8 Stochastische Signale

8.21. Es ist zu zeigen, dass für die Korrelationsfunktion s X eines stationären Prozesses
X = (X t ) t∈T gilt
| s X (τ) | ≤ s X (0) (τ = t 2 − t 1 ; t 1 , t 2 ∈ T ).
Hinweis:
Man berechne den (nicht negativen) Ausdruck E ( (X (t) ± X (t + τ)) 2) ≥ 0!
8.22. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Spannung, die durch einen stationären
zufälligen Prozess U mit verschwindendem Mittelwert und dem Leistungsdichtespektrum
S U :
{
S 0 −ω 0 ≤ ω ≤ +ω 0
S U (ω) =
(S 0 > 0, Konstante)
0 ω < −ω 0 , ω > +ω 0
beschrieben werden kann.
a) Geben Sie das Leistungsdichtespektrum und die Korrelationsfunktion des Stromes
I durch den Widerstand R an!
b) Wie groß ist die von R aufgenommene mittlere Leistung?
8.23. Ein Ohmscher Widerstand R wird von einem Strom durchflossen, der durch
einen stationären Gauß-Prozess X mit
m X (t) = 0 und s X (τ) = A 2 e −α|τ| (A, α ∈ R, α > 0)
beschrieben werden kann.
a) Man bestimme das Leistungsdichtespektrum S X (ω)!
b) Wie groß ist die mittlere Leistung an R?
c) Wie lautet die Dichte f X (x, t)?
d) Wie lautet die Dichte f X (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 )? (τ = t 2 − t 1 )
8.24. Gegeben ist ein stationärer Gauß-Prozess X mit verschwindendem Mittelwert
und der Korrelationsfunktion s X :
(
s X (τ) = A 2 e −α|τ| cos βτ − α )
β sin β|τ| (A > 0, α > 0, β > 0).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X (t) einen Wert annimmt, der größer
als b ist?
Zahlenbeispiel: A = 1 V, α = 10 4 s −1 , β = 10 5 s −1 , b = 0,5 V.
Hinweis: Gaußsches Fehlerintegral
Φ(u) = 1 √
2π
∫u
0
exp
(− v )
2
dv;
2
Φ(u) = −Φ(−u); Φ(∞) = 0,5; Φ(0,5) ≈ 0,1915
11

9 STATISCHE SYSTEME
9.1. Gegeben ist ein nichtlineares statisches System (Bild 9.1a) mit exponentieller
Kennlinie ϕ : R → R, y = ϕ(x) = e 3x .
X ϕ Y
1
f X (x)
0 1
Bild 9.1a Bild 9.1b
2
x
Die Eingabewerte dieses Systems können durch eine Zufallsgröße X mit Dreieck-Verteilung
(Dichtefunktion siehe Bild 9.1b) beschrieben werden. Welche Dichtefunktion
hat die Zufallsgröße Y am Ausgang dieses Systems? Stellen Sie f Y (y) grafisch dar!
9.2. Gegeben ist das in Bild 9.2 dargestellte statische System. Die Eingabewerte sind
durch einen zufälligen Vektor X = (X 1 , X 2 ) mit der Dichtefunktion f X gegeben.
Man berechne die Dichtefunktion f Y des zufälligen
Vektors Y = (Y 1 , Y 2 ) am Ausgang des Systems
a) allgemein für beliebige f X ,
X 1
X 2
+ Y 1
a Y 2
b) speziell für
f X (x 1 , x 2 ) = 1 (
2πσ exp − x )
1 2 2
+ x 2 2 2σ 2
(σ > 0)!
Bild 9.2
9.3. Die von einem Computer über die RANDOM-Funktion ausgegebenen Pseudozufallszahlen
können näherungsweise durch eine Zufallsgröße X mit Gleichverteilung im
Intervall (0, 1) beschrieben werden.
Welche Rechenoperation muss man auf diese Zahlen anwenden, um Zufallszahlen Y
mit Cauchy-Verteilung mit der Dichte f Y :
f Y (y) = 1 π
1
y 2 + 1
zu erhalten (Bild 9.3)?
f X (x)
f Y (y)
1
X y = ϕ(x) =? Y
0
1
x
Bild 9.3
0
y
12 9 Statische Systeme

9.4. Gegeben ist das im Bild 9.4 dargestellte statische System. X 1 und X 2 seien unabhängige
Zufallsgrößen, für die E(X 1 ) = E(X 2 ) = 0 sowie Var(X 1 ) = Var(X 2 ) = σ 2
gilt.
a) Berechnen Sie E(Y 1 ) und E(Y 2 )!
b) Berechnen Sie Var(Y 1 ) und Var(Y 2 )!
X 1
α + Y 1
c) Berechnen Sie Cov(Y 1 , Y 2 )!
d) Welchen Wert hat der Korrelationskoeffizient
ϱ(Y 1 , Y 2 )?
e) Bestimmen Sie f Y (y 1 , y 2 ) für
f X (x 1 , x 2 ) = 1 (
2πσ exp − x )
1 2 2
+ x 2
!
2 2σ 2
X 2
β
−β
Bild 9.4
+
Y 2
9.5. Am Eingang eines Gleichrichters mit der in Bild 9.5 gegebenen Kennlinie ϕ:
y = ϕ(x) =
{
e ax −1 x ≥ 0,
0 x < 0
liegt der nichtstationäre Prozess X mit
der Dichte f X , wobei für beliebige t ∈ T
f X (x, t) = 0 gilt, falls x < 0 ist.
X
ϕ
Y
Bild 9.5
0
y
ϕ
x
a) Man berechne f Y (y, t) allgemein!
b) Was erhält man speziell für
⎧
( )
⎨ α
−αx
f X (x, t) = 1 + β
⎩
2 t exp x ≥ 0,
2 1 + β 2 t 2
0 x < 0?
Für die Konstanten gilt a > 0, α > 0, β > 0.
9.6. In der Schaltung Bild 9.6 sind die Korrelationsfunktion s X und die Dichtefunktion
f X des stationären Prozesses X wie folgt gegeben:
s X (τ) = 2A 2 e −α|τ| cos βτ
f X (x, t) = 1 (
2A exp − |x| )
A
(A > 0, α > 0, β > 0).
X
R 1
R 2
(X ⇔ U 1 , Y ⇔ U 2 )
Bild 9.6
Y
13

a) Man berechne die Korrelationsfunktion des Prozesses Y !
b) Wie lautet die eindimensionale Dichte des Prozesses Y ?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Y zur Zeit t einen Wert größer als
a annimmt? (a > 0)
d) Welche Lösung erhält man in c) mit A = 1 V, a = 2 V, R 1 = 1 Ω, R 2 = 2 Ω?
9.7. Die angegebene Schaltung (Bild 9.7) enthält zwei Addierglieder und zwei ideale
Verstärker mit den Verstärkungsfaktoren v 1 bzw. v 2 . Die Prozesse X (Eingabeprozess),
U und V („Störprozesse“) seien stationär und unabhängig mit den Mittelwerten m X =
m U = m V = 0.
X
U
+
v 1 + v 2 Y
V
Bild 9.7
Der Prozess X hat das Leistungsdichtespektrum
S X (ω) =
A2
(A > 0, a > 0)
ω 2 + a 2
und die Prozesse U und V stellen ein „weißes Rauschen“ mit
dar.
S U (ω) = S V (ω) = S 0 (S 0 > 0)
a) Man bestimme die Kreuzkorrelationsfunktion der Prozesse X und Y !
b) Welches Leistungsdichtespektrum hat der Prozess Y ?
9.8. Über einer Diode mit der Strom-Spannungs-Kennlinie
( ) ) u
i = ϕ(u) = I 0
(exp − 1 (I 0 > 0, U 0 > 0)
U 0
liegt eine Spannung, die durch einen stationären zufälligen Prozess U mit der Dichte
f U :
⎧
⎨ 1
0 ≤ u ≤ U 0
f U (u, t) = U 0
⎩
0 u < 0, u > U 0
beschrieben werden kann.
a) Man berechne die Dichte f I des Stromes I und stelle f I (i, t) grafisch dar!
b) Mit Hilfe der Formel
∫ ∞
E(ϕ(X )) = ϕ(x)f X (x) dx
−∞
berechne man den Erwartungswert des Stromes I!
14 9 Statische Systeme

10 DYNAMISCHE SYSTEME
10.1. Man zeige: Ein stationärer Prozess X mit der Korrelationsfunktion s X ist genau
dann stetig im quadratischen Mittel (i. q. M.), wenn s X (τ) in τ = 0 stetig ist.
Hinweis: Man untersuche den Ausdruck
||X (t + τ) − X (t)|| 2 = E ( (X (t + τ) − X (t)) 2) für τ → 0!
10.2. Gegeben ist ein i. q. M. differenzierbarer zufälliger Prozess X mit dem Mittelwert
m X und der Korrelationsfunktion s X . Man zeige, dass
a) mẊ (t) = d dt m X (t),
b) sẊ X
(t 1 , t 2 ) = ∂
∂t 1
s X (t 1 , t 2 ) und
c) s X Ẋ (t 1, t 2 ) = ∂
∂t 2
s X (t 1 , t 2 ) gilt!
d) Wie lauten diese Gleichungen, wenn X stationär ist?
10.3. An einer idealen Kapazität C liegt eine Spannung,
die durch einen stationären Gauß-Prozess U mit
m U (t) = 0 und
s U (τ) = A 2 exp ( −aτ 2) (A ∈ R, a > 0)
beschrieben werden kann (Bild 10.3).
Man berechne für den Strom I durch C
a) den Mittelwert m I (m I (t) =?),
0
s U (τ)
Bild 10.3
τ
b) die Kreuzkorrelationsfunktionen s IU und s UI (s IU (τ) =?, s UI (τ) =?) (Skizze!),
c) die Korrelationsfunktion s I (s I (τ) =?) (Skizze!),
d) die Dichtefunktion f I (f I (i, t) =?)!
10.4. In der dargestellten Schaltung (Bild 10.4)
kann die angelegte Spannung durch einen stationären
Prozess U mit der Korrelationsfunktion s U :
L
U C R
s U (τ) = 2U 0 2 e −a|τ| (a > 0)
beschrieben werden.
Bild 10.4
Man berechne die Leistungsdichtespektren für die angelegte Spannung U und den
Strom I durch R!
15

Hinweis: Korrespondenz der Fourier-Transformation:
−a|τ| 2a
e
ω 2 + a 2
10.5. An den Klemmen eines RLC-Zweipols (Bild 10.5) liegt eine Rauschspannung, die
durch einen stationären Prozess U mit konstantem
I R
Leistungsdichtespektrum S U (ω) =
S 0 beschrieben wird.
I L
R
a) Welches Leistungsdichtespektrum hat
der Gesamtstrom I?
C
b) Welche Korrelationsfunktion hat der
Strom I R ?
Hinweis: Siehe Aufgabe 10.4
U
Bild 10.5
10.6. Für ein lineares dynamisches System mit der Impulsantwort (Gewichtsfunktion)
g, das durch einen stationären zufälligen Prozess X mit gegebener Korrelationsfunktion
s X erregt wird (siehe Bild 10.6), bestimme man allgemein die Kreuzkorrelationsfunktion
s XY , ausgedrückt durch s X und g in Integralform!
Welches Ergebnis erhält man speziell für s X (τ) = S 0 δ(τ)?
Hinweis: Für stationäre Prozesse gilt für beliebige Zeitpunkte t
∫ ∞
Y (t) = g(λ)X (t − λ) dλ.
0
X
g
Bild 10.6
Y
10.7. In der dargestellten Schaltung (Bild 10.7) wird die Eingangsspannung X (⇔ U 1 )
durch einen stationären Gauß-Prozess mit dem Leistungsdichtespektrum S X (ω) = K
(„Weißes Rauschen“) und m X (t) = 0 beschrieben.
a) Wie lautet das Leistungsdichtespektrum
S Y (ω) der Ausgangsspannung Y (⇔ U 2 )?
b) Welche Korrelationsfunktion s Y hat der
Prozess Y ?
c) Geben Sie f Y (y, t) und f Y (y 1 , t 1 ; y 2 , t 2 ) an!
U 1
R
C R U 2
(X ⇔ U 1 , Y ⇔ U 2 )
Bild 10.7
Hinweis: Korrespondenz der Fourier-Transformation:
1
ω 2 + a 2 ¡ 1 2a e−a|τ| (a > 0)
16 10 Dynamische Systeme

10.8. In der gegebenen Schaltung (Bild 10.8) bezeichnet X einen stationären zufälligen
Prozess mit dem konstanten Leistungsdichtespektrum S X (ω) = S 0 . Man berechne das
Leistungsdichtespektrum des Prozesses Y am Ausgang des Systems!
∫
X 4 + +
∫
Y
2
3
−3
Bild 10.8
10.9. Für die in Bild 10.9 dargestellte Schaltung mit den rauschenden Widerständen
R 1 , R 2 und R 3 berechne man das Leistungsdichtespektrum der Rauschspannung U an
den Klemmen AB und gebe die Rauschersatzschaltung an!
A
L
R 3
B
R 2 R 1
Bild 10.9
10.10. Zur quantitativen Beschreibung eines i. q. M. ergodischen Prozesses U verwendet
man häufig den Begriff der „effektiven Rauschspannung“
√
U eff = u 2 (t) = √ E (U 2 (t)).
Man berechne die effektive Rauschspannung
a) für den Fall, dass die Korrelationsfunktion s U gegeben ist:
s U (τ) = A 2 e −α|τ| cos βτ (A > 0, α > 0, β > 0);
Zahlenbeispiel: A = 1 V, α = 10 −3 s −1 , β = 10 −4 s −1 ;
b) für einen Ohmschen Widerstand R im Niederfrequenzgebiet, d. h. für das Leistungsdichtespektrum
S U gilt
{
2kTR |ω| < ω 0 ,
S U (ω) =
0 |ω| > ω 0 .
Zahlenbeispiel: R = 1 M Ω, f 0 = ω 0
2π = 20 kHz, T = 300 K, k = 1,38 · 10−23 Ws/ K.
10.11. Gegeben ist die in Bild 10.11 dargestellte Blockschaltung zur Effektivwertmessung
schwacher Signale. In dieser Schaltung bezeichnen X das Eingabesignal, dessen
Effektivwert gemessen werden soll, und U bzw. V die Rauschsignale der beiden Verstärker
mit den Verstärkungsfaktoren v 1 bzw. v 2 . Die genannten Signale X , U und V
17

können als unabhängige stationäre und ergodische zufällige Prozesse mit verschwindendem
Mittelwert betrachtet werden. Man zeige, dass das Ausgangssignal der Schaltung
proportional zu
√
X eff = x 2 (t) = √ E (X 2 (t))
ist und nicht von den Rauschspannungen der Verstärker abhängig ist!
U
+
v 1
X
+
v 2
× E(. . . )
√
(. . . )
Y
V
Bild 10.11
18 10 Dynamische Systeme

PRÜFUNGSKLAUSUREN

P
PRÜFUNGSKLAUSUREN
Systemtheorie III
1. Abschlussprüfung
1. Durch das unabhängige Werfen zweier Spielwürfel ist eine diskrete zweidimensionale
Zufallsgröße (X 1 , X 2 ) definiert.
a) Man berechne die Erwartungswerte E(X 1 ) und E(X 2 )!
b) Man berechne die Varianzen Var(X 1 ) und Var(X 2 )!
c) Lässt sich der Korrelationskoeffizient ϱ(X 1 , X 2 ) ohne Rechnung angeben? (Begründung!)
Welchen Wert hat er gegebenenfalls?
2. Gegeben ist ein nichtlineares statisches System mit einem Eingang und einem
Ausgang (Bild 2). Am Eingang dieses Systems ist eine im Intervall [0, 3] gleichverteilte
Zufallsgröße X gegeben. Welche Kennlinie ϕ muss dieses System haben,
damit die Zufallsgröße Y am Ausgang des Systems die durch
{ 0,5y 0 ≤ y ≤ 2
f Y (y) =
0 y < 0, y > 2
gegebene Dichtefunktion hat?
X
Y
Bild 2 Statisches System
a) Man stelle f X (x), F X (x), f Y (y) und F Y (y) grafisch dar!
b) Man berechne y = ϕ(x) und stelle diese Kennlinie ebenfalls grafisch dar!
Falls es mehrere Lösungen gibt, wähle man eine geeignete aus!
3. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Spannung, die durch einen stationären
zufälligen Prozess U mit verschwindendem Mittelwert und dem Leistungsdichtespektrum
S U :
{
S0 für −ω
S U (ω) =
0 ≤ ω ≤ +ω 0
(S
0 für ω < −ω 0 , ω > ω 0 > 0, Konstante)
0
beschrieben werden kann.
a) Geben Sie das Leistungsdichtespektrum und die Korrelationsfunktion des
Stromes I durch den Widerstand R an!
b) Wie groß ist die von R aufgenommene mittlere Leistung?
4. Die Schaltung Bild 4 enthält zwei Addierglieder und zwei ideale Verstärker mit
den Vertärkungsfaktoren v 1 bzw. v 2 . Die Prozesse X (Eingabeprozess), U und
V („Störprozesse“) seien stationär und unabhängig mit den Mittelwerten m X =
m U = m V = 0.
20 P Prüfungsklausuren

Der Prozess X hat das Leistungsdichtespektrum
S X (ω) =
A2
ω 2 + a 2 (A > 0, a > 0)
und die Prozesse U und V stellen ein „weißes Rauschen“ mit
dar.
S U (ω) = S V (ω) = S 0 (S 0 > 0)
X
U
V
+ v 1 +
v 2
Y
Bild 4 Schaltung
a) Man bestimme die Kreuzkorrelationsfunktion der Prozesse X und Y !
b) Welches Leistungsdichtespektrum hat der Prozess Y ?
5. In der gegebenen Schaltung Bild 5 bezeichnet X einen stationären zufälligen Prozess
mit dem konstanten Leistungsdichtespektrum S X (ω) = S 0 . Man berechne
das Leistungsdichtespektrum des Prozesses Y am Ausgang des Systems!
X + Y
4
0,3
Bild 5 Schaltung
6. Gegeben ist der in Bild 6a dargestellte Zweipol mit zwei rauschenden Ohmschen
Widerständen, welche sich auf gleicher Temperatur T befinden sollen.
Man bestimme die Leistungsdichtespektren der Rauschquellen in den Rauschersatzschaltungen
Bild 6b und Bild 6c!
R
2
R
2
R
2
R
R
1
1
S
C
C
U
a) b) c)
Bild 6 a) Zweipol b) und c) Rauschersatzschaltungen
R
1
S I
C
21

Systemtheorie III
2. Abschlussprüfung
1. Von einer diskreten Zufallsgröße X ist bekannt, dass sie die Werte x 1 = −2 und
x 2 = 0 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 und den Wert x 3 = 4 mit der
Wahrscheinlichkeit 0,5 annmimmt.
a) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F X !
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X )!
c) Bestimmen Sie die Varianz Var(X )!
2. Gegeben ist ein nichtlineares statisches System mit einem Eingang und einem
Ausgang (Bild 2). Am Eingang dieses Systems ist eine exponentiell verteilte Zufallsgröße
X mit
{ e
−x
x > 0
f X (x) =
0 x < 0
gegeben. Welche Kennlinie ϕ muss dieses System haben, damit die Zufallsgröße
Y am Ausgang des Systems die durch
{ 1 − 0,5y 0 ≤ y ≤ 2
f Y (y) =
0 y < 0, y > 2
gegebene Dichtefunktion hat?
X
Y
Bild 2 Statisches System
a) Man stelle f X (x), F X (x), f Y (y) und F Y (y) grafisch dar!
b) Man berechne y = ϕ(x) und stelle diese Kennlinie ebenfalls grafisch dar!
Falls es mehrere Lösungen gibt, wähle man eine geeignete aus!
R
1
I
V
U
R
2
W
Bild 3 Schaltung
3. In der dargestellten Schaltung Bild 3 sind drei Rauschspannungsquellen eingezeichnet,
deren Rauschspannungen durch stationäre zufällige Prozesse U, V und
W mit verschwindenden Mittelwerten und den Autokorrelationsfunktionen s U ,
s V und s W beschrieben werden können. Die Prozesse U und V sind korreliert mit
der Kreuzkorrelationsfunktion s UV , während W von U und V unabhängig ist. Man
berechne die Autokorrelationsfunktion des Stromes I durch den Widerstand R 1 ,
ausgedrückt durch die oben genannten Korrelationsfunktionen!
22 P Prüfungsklausuren

4. Gegeben ist die Blockschaltung Bild 4. Für den Prozess Y am Ausgang des Systems
bestimme man s Y (τ) und f Y (y, t), wenn X 1 und X 2 zwei unabhängige stationäre
Gauß-Prozesse mit verschwindenden Mittelwerten und den Korrelationsfunktionen
s X1 (τ) = A e −α|τ| und s X2 (τ) = B e −β|τ| (A, B, α, β > 0)
bezeichnen!
Hinweis: Der Prozess Y ist ebenfalls ein stationärer Gauß-Prozess.
X
1
2
+ Y
X
2
Bild 4 Schaltung
5. In der gegebenen Schaltung Bild 5 bezeichnet X einen stationären zufälligen Prozess
mit dem konstanten Leistungsdichtespektrum S X (ω) = S 0 . Man berechne
das Leistungsdichtespektrum des Prozesses Y am Ausgang des Systems!
X
4
+ Y
-0,8
Bild 5 Schaltung
6. Gegeben ist der in Bild 6a dargestellte Zweipol mit zwei rauschenden Ohmschen
Widerständen, welche sich auf gleicher Temperatur T befinden sollen.
Man bestimme die Leistungsdichtespektren der Rauschquellen in den Rauschersatzschaltungen
Bild 6b und Bild 6c!
R
2
R
2
R
2
R
R
1
1
S
L
L U
a) b) c)
Bild 6 a) Zweipol b) und c) Rauschersatzschaltungen
R
1
L
S I
23

Systemtheorie III
3. Abschlussprüfung
1. Von einer Zufallsgröße X ist die Dichtefunktion f X wie folgt gegeben:
f X (x) =
{ 1
2
(x + a)
2a −a ≤ x ≤ a
0 x < −a, x > a
(a > 0).
a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion dieser Zufallsgröße!
b) Skizzieren Sie die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion!
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X )!
2. Ein zufälliger Vektor X = (X 1 , X 2 ) ist in dem Gebiet B (Bild 2) gleichverteilt, d. h.,
X hat in B eine konstante Dichte f X .
a
x
2
B
0
a
x 1
Bild 2 Gebiet B
a) Berechnen Sie die Dichte f X sowie die Randdichte f X1 und geben Sie diese in
der folgenden Form an:
⎧
{ ⎨ . . . x . . . (x1 , x
f X (x 1 , x 2 ) =
2 ) ∈ B
1 < 0
f
. . . (x 1 , x 2 ) /∈ B
X1 (x 1 ) = . . . 0 ≤ x 1 ≤ a
⎩
. . . x 1 > a
b) Stellen Sie f X1 grafisch dar!
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X 1 einen Wert größer als 0,5a
annimmt?
X
X
2
2
+ Y
1 1
X
3
+ Y2
Bild 3 Schaltung
3. In der Schaltung Bild 3 bezeichnen X 1 , X 2 und X 3 unabhängige Zufallsgrößen
mit den Erwartungswerten E(X 1 ) = E(X 2 ) = E(X 3 ) = 0 und den Varianzen
Var(X 1 ) = Var(X 2 ) = Var(X 3 ) = 3. Man bestimme den Korrelationskoeffizienten
ϱ = ϱ(Y 1 , Y 2 ) der Zufallsgrößen Y 1 und Y 2 !
X
Y
Bild 4:
Statisches System
24 P Prüfungsklausuren

4. Gegeben ist das in Bild 4 dargestellte nichtlineare statische System, dessen Systemcharakteristik
durch die bijektive Abbildung
ϕ : R → R, y = ϕ(x) = − 3√ x = −x 1 3
gegeben ist. Die Zufallsgröße X am Eingang des Systems ist im Intervall [1, 8]
gleichverteilt, d. h., X hat in diesem Intervall die konstante Dichte f X :
⎧
⎨ 0 x < 1
1
f X (x) = 1 ≤ x ≤ 8
⎩
7
0 x > 8.
Man berechne die Dichtefunktion der Zufallsgröße Y und stelle f Y (y) grafisch
dar! (Intervalle beachten!)
5. Gegeben ist das in Bild 5 dargestellte lineare dynamische System, worin X einen
stationären zufälligen Prozess mit konstantem Leistungsdichtespektrum S X :
S X (ω) = S 0
(„Weißes Rauschen“)
bezeichnet. Man berechne das Leistungsdichtespektrum und (mit Hilfe der Korrespondenzentabelle)
die Korrelationsfunktion des Ausgangsprozesses Y !
X
+ +
-0,3 -0,3
Y
U
1
C
L
C
R
U
2
Bild 5 Dynamisches System
Bild 6 RLC-Schaltung
6. Gegeben ist die lineare RLC-Schaltung Bild 6. Die angelegte Rauschspannung U 1
kann durch einen stationären zufälligen Prozess mit dem Leistungsdichtespektrum
S U1 :
S U1 (ω) =
Kω 2
(ω 2 + α 2 ) 2 + β 2 (K > 0, α > 0, β > 0)
beschrieben werden. Man bestimme das Leistungsdichtespektrum der Spannung
U 2 !
25

Systemtheorie III
4. Abschlussprüfung
1. Von einer Zufallsgröße X ist die Dichtefunktion f X wie folgt gegeben:
⎧
⎨ 0,50 0 < x ≤ 1
f X (x) = 0,25 1 < x ≤ 3
⎩
0 x ≤ 0, x > 3.
a) Man skizziere die Dichtefunktion dieser Zufallsgröße!
b) Man berechne und skizziere die zugehörige Verteilungsfunktion!
c) Man berechne die Wahrscheinlichkeit P{X ≥ 2}!
d) Man bestimme den Erwartungswert E(X )!
2. Die Zufallsgrößen X 1 , X 2 und X 3 seien unabhängig mit den Erwartungswerten
E(X 1 ) = E(X 2 ) = E(X 3 ) = 0
und den Varianzen
Var(X 1 ) = Var(X 2 ) = Var(X 3 ) = σ 2 .
a) Man berechne E(Y ) und Var(Y ) am Ausgang des statischen Systems Bild 2!
b) Man bestimme den Korrelationskoeffizienten ϱ = ϱ(X 1 , Y ) der Zufallsgrößen
X 1 und Y !
c) Wie ändern sich die Ergebnisse von a) und b), wenn der Verstärker V 2 in Bild
2 ausfällt (d. h. V 2 = 0 gilt)?
X
X
X
1 1 1
V
2 2 2
V
3 3
V V = 3
+
Bild 2 Statisches System
Y
V = -2
V 3 = 3
L
U
R I
Bild 3 RL-Reihenschaltung
3. Über der RL-Reihenschaltung Bild 3 liegt eine Rauschspannung U mit dem Leistungsdichtespektrum
S U (ω) = S 0 = konst
a) Welche Leistungsdichtespektren haben die Teilspannungen U L und U R sowie
der Strom I?
b) Welche Korrelationsfunktion hat der Strom I?
c) Wie groß ist die in R verbrauchte mittlere Leistung?
26 P Prüfungsklausuren

4. Welche Dichte f Y (y, t) hat der zufällige Prozess
Y = aX + b
(a ∈ R, b ∈ R),
wenn X ein stationärer Gauß-Prozess mit verschwindendem Mittelwert (d. h. es
ist
m X (t) = 0) und der Korrelationsfunktion s X :
ist?
s X (τ) = A 2 exp(−α|τ|) (A > 0, α > 0)
5. a) Was versteht man unter einem stationären zufälligen Prozess?
b) Welche Eigenschaften haben Mittelwert und Korrelationsfunktion eines stationären
zufälligen Prozesses?
c) Welche Korrelationsfunktion hat ein stationärer Prozess X , wenn sein Leistungsdichtespektrum
durch
{
S0 = konst −ω
S X (ω) =
0 ≤ ω ≤ ω 0
0 ω > ω 0 , ω < −ω 0
gegeben ist? Man stelle die Korrelationsfunktion qualitativ grafisch dar!
R , T
1 1
R
, T
2 2
Bild 6 Rauschende Widerstände
6. Zwei thermisch rauschende Ohmsche Widerstände R 1 mit der absoluten Temperatur
T 1 und R 2 mit der absoluten Temperatur T 2 werden parallel geschaltet (Bild
6). Geben Sie das Leistungsdichtespektrum S U (ω) der Rauschspannung U über
der Parallelschaltung an!
27

Systemtheorie III
5. Abschlussprüfung
1. Eine Zufallsgröße X sei durch die in Bild 1 dargestellte Verteilungsfunktion F X
gegeben.
a) Berechnen und skizzieren Sie die zugehörige Dichtefunktion f X !
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X ) und die Varianz Var(X ) dieser Zufallsgröße!
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert größer als 1 an?
F
X
( x)
1
0,5
-1 0 1 2 3
Bild 1 Verteilungsfunktion
x
X Y
Bild 2 Statisches System
2. Eine Zufallsgröße X mit der in Bild 1 dargestellten Verteilungsfunktion soll mit Hilfe
eines nichtlinearen statischen Systems (Bild 2) so transformiert werden, dass
man am Ausgang des Systems eine Zufallsgröße Y mit der Verteilungsfunktion
F Y :
{ 1 − e
−y
y ≥ 0
F Y (y) =
0 y < 0
erhält. Bestimmen Sie die Kennlinie ϕ des statischen Systems!
Hinweis: Geben Sie die Kennlinie in der Form y = ϕ(x) einschließlich ihres Definitionsbereiches
an und skizzieren Sie qualitativ den Kennlinienverlauf!
3. Von einem stationären zufälligen Prozess X wurden folgende Angaben ermittelt:
(I) Der Prozess genügt einer Gleichverteilung;
(II) Für Mittelwert und Varianz gilt m X (t) = E(X (t)) = 4 bzw. Var(X (t)) = 12.
Geben Sie die Dichtefunktion f X des Prozesses an! (Formel und Skizze!)
4. Betrachtet wird ein i. q. M. differenzierbarer stationärer zufälliger Prozess X , dessen
Leistungsdichtespektrum durch S X (ω) gegeben ist. Die Ableitung i. q. M. des
Prozesses X wird mit Ẋ bezeichnet.
a) Man bestimme allgemein S X Ẋ , S Ẋ X und S Ẋ !
Hinweis zu a): Gehen Sie von den entsprechenden Beziehungen für die Korrelationsfunktionen
aus und benutzen Sie die Formelsammlung!
b) Welche Lösung erhält man in a), wenn speziell S X (ω) = S 0 exp(−k 2 ω 2 ) gegeben
ist? (S 0 und k 2 bezeichnen positive Konstanten).
28 P Prüfungsklausuren

5. Gegeben ist die in Bild 5 dargestellte Schaltung eines linearen dynamischen Systems
(RC-Netzwerk). Die Rauschspannung U am Eingang des Systems kann näherungsweise
durch einen stationären stochastischen Prozess mit konstantem
Leistungsdichtespektrum S U (ω) = K beschrieben werden.
a) Welches Leistungsdichtespektrum S I (ω) hat der Strom I durch den Widerstand
R 2 ?
b) Welche Autokorrelationsfunktion hat der Strom I?
c) Welcher Ausdruck s UI (τ) ergibt sich für die Kreuzkorrelationsfunktion von U
und I?
Hinweis zu c): Man drücke zunächst s UI (τ) allgemein durch ein Integral über
s U (τ) und die Impulsantwort g(τ) des Systems aus!
U
R
1
C
R
2
I
A
L
R , T
1 1
C
R
, T
2 2
B
Bild 5 RC-Netzwerk
Bild 6 Zweipol
6. Gegeben ist der in Bild 6 dargestellte elektrische Zweipol mit thermisch rauschenden
Widerständen R 1 und R 2 , wobei sich R 1 auf der Temperatur T 1 und
R 2 auf der Temperatur T 2 befinden möge. Welches Leistungsdichtespektrum hat
die Rauschspannung an den Klemmen AB dieses Zweipols?
29

Systemtheorie III
6. Abschlussprüfung
1. Eine funktechnische Anlage besteht aus drei hintereinander geschalteten Baugruppen
und funktioniert nur dann, wenn keine der drei Baugruppen ausgefallen
ist. Die Lebensdauern der Baugruppen können durch unabhängige Zufallsgrößen
X i mit der Dichtefunktion
f Xi : f Xi (x i ) =
{
ai e −a ix i
x i ≥ 0
0 x i < 0
(a i > 0, i ∈ {1, 2, 3})
beschrieben werden.
Die mittlere Lebensdauer der einzelnen Baugruppen betrage E(X 1 ) = 4 Jahre,
E(X 2 ) = 6 Jahre und E(X 3 ) = 10 Jahre. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass die Anlage mindestens 1 Jahr zuverlässig arbeitet!
2. Ein zufälliger Vektor X = (X 1 , X 2 ) ist im Innern des Einheitskreises (Bild 2, Gebiet
B) gleichverteilt, d. h., X hat in B eine konstante Dichte f X .
a) Berechnen Sie die Dichte f X sowie die Randdichte f X1 und geben Sie diese in
der folgenden Form an:
⎧
{ ⎨ . . . x . . . (x1 , x
f X (x 1 , x 2 ) =
2 ) ∈ B
1 < . . .
f
. . . (x 1 , x 2 ) /∈ B
X1 (x 1 ) = . . . . . . ≤ x 1 ≤ . . .
⎩
. . . x 1 > . . .
b) Untersuchen Sie, ob X 1 und X 2 in dem angegebenen Gebiet unabhängig sind!
1
x
2
B
-1 0
-1
Bild 2 Gebiet B
1
x 1
X
Bild 3 Statisches System
Y
3. Am Eingang eines statischen nichtlinearen Systems (Bild 3) liegt eine Zufallsgröße
X , deren Dichte durch die Gleichung
{ 3 e
−3x
x ≥ 0
f X : f X (x) =
0 x < 0
gegeben ist. Bestimmen Sie die Kennlinie ϕ : R → R, y = ϕ(x) des Systems so,
dass die Zufallsgröße Y am Ausgang des Systems die Dichte
{ 0,5y 0 ≤ y ≤ 2
f Y : f Y (y) =
0 y < 0, y > 2
hat. Geben Sie die errechnete Kennlinie in Form einer Gleichung und als Skizze
an!
30 P Prüfungsklausuren

4. Gegeben ist das in Bild 4 dargestellte nichtlineare statische System, worin X 1 und
X 2 zwei unabhängige im weiteren Sinne stationäre Gauß-Prozesse mit verschwindenden
Mittelwerten, d. h. E(X 1 (t)) = E(X 2 (t)) = 0 bezeichnen. Die Korrelationsfunktionen
der Prozesse X 1 und X 2 seien durch s X1 (τ) bzw. s X2 (τ) gegeben.
a) Man bestimme die Korrelationsfunktion und die Varianz des Ausgangsprozesses
Y !
b) Ist der Prozess Y ebenfalls im weiteren Sinne stationär?
c) Ist der Prozess Y ebenfalls ein Gauß-Prozess?
Begründen Sie b) und c) mit einigen Worten! (Keine Rechnung!)
X
X
2
1
3
2
-1
+ Y
U
1
C
L
C
R
U
2
Bild 4 Statisches System
Bild 5 RLC-Schaltung
5. Gegeben ist die lineare RLC-Schaltung Bild 5. Die angelegte Rauschspannung U 1
kann durch einen stationären zufälligen Prozess mit dem Leistungsdichtespektrum
S U1 :
S U1 (ω) =
Kω 2
(ω 2 + α 2 ) 2 + β 2 (K > 0, α > 0, β > 0)
beschrieben werden. Man bestimme das Leistungsdichtespektrum der Spannung
U 2 !
6. Gegeben ist ein RC-Tiefpass mit thermisch rauschenden Widerständen (Bild 6).
Die beiden Widerstände seien gleich groß und befinden sich auf gleicher Temperatur.
Die Spannungen bezeichnen die durch das thermische Rauschen der Widerstände
an den Klemmen des Vierpols entstehenden Rauschspannungen, der
sich eingangs- und ausgangsseitig im Leerlauf befindet.
a) Wie lautet das Leistungsdichtespektrum der beiden Rauschspannungen und
deren Kreuzleistungsdichtespektrum?
b) Wie lautet die Korrelationsfunktion von U 2 ?
c) Wie groß ist die effektive Rauschspannung U 2eff =
√
E(U 2 2 (t)) ?
U
R
1 2
C
R
U
Bild 6 RC-Tiefpass
31

32 P Prüfungsklausuren

FORMELSAMMLUNG

F
FORMELSAMMLUNG
Formelsammlung Systemtheorie III (Blatt 1)
Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
P(A) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= P(A) + P(B), falls A ∩ B = ∅ (A, B unvereinbar)
P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)
= P(A) − P(B), falls B ⊂ A
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)
= P(A)P(B), falls A und B unabhängig
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
(P(B) ≠ 0)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B) =
n∑
P(B|A i )P(A i )
i=1
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P(A i |B) = P(B|A i)P(A i )
P(B)
Bayessche Formel
Eindimensionale Zufallsgrößen
F X (ξ) = P{X < ξ} =
∫ ξ
f X (x) dx
−∞
∫ b
P{a ≤ X < b} = f X (x) dx = F X (b) − F X (a)
a
Spezielle Verteilungen
f X (x) =
P{X = k} =
1
√
2π σ
exp
)
(x − m)2
(−
2σ 2
(σ > 0) Normalverteilung (Gaußverteilung)
( n
k)
p k (1 − p) n−k (k = 0, 1, 2, . . . , n) Binomialvert. (Bernoulliv.)
P{X = k} = λk
k! e−λ (k = 0, 1, 2, . . .) Poissonverteilung
34 F Formelsammlung

Momente eindimensionaler Zufallsgrößen
Gewöhnliche Momente:
Erwartungswert m = E(X )
Moment n-ter Ordng. m n = E(X n )
Zentrale Momente:
Dispersion, Varianz
µ 2 = E((X − m) 2 ) = Var(X )
Zentralmoment n-ter Ordnung
µ n = E((X − m) n )
Charakteristische Funktion:
ϕ X (λ) = E ( e ) jλX
X diskret
∑
x i P{X = x i }
i
∑
xi n P{X = x i }
i
∑
(x i − m) 2 P{X = x i }
i
∑
(x i − m) n P{X = x i }
i
∑
e jλx i
P{X = x i }
i
X stetig
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
xf X (x) dx
x n f X (x) dx
(x − m) 2 f X (x) dx
(x − m) n f X (x) dx
e jλx f X (x) dx
Zweidimensionale Zufallsgrößen X = (X 1 , X 2 )
F X (ξ 1 , ξ 2 ) = P{X 1 < ξ 1 , X 2 < ξ 2 } =
∫ ξ 1 ∫ ξ 2
f X (x 1 , x 2 ) dx 2 dx 1
P{a 1 ≤ X 1 < b 1 , a 2 ≤ X 2 < b 2 } =
Randdichte
f X1 (x 1 ) =
∫ ∞
−∞
Bedingte Dichte
f X1 (x 1 |x 2 ) = f X (x 1 , x 2 )
f X2 (x 2 )
−∞ −∞
∫ b 1
∫
a 1
b 2
a 2
f X (x 1 , x 2 ) dx 2 dx 1
f X (x 1 , x 2 ) dx 2 f X2 (x 2 ) =
= F X (b 1 , b 2 ) − F X (b 1 , a 2 ) − F X (a 1 , b 2 ) + F X (a 1 , a 2 )
∫ ∞
−∞
f X2 (x 2 |x 1 ) = f X (x 1 , x 2 )
f X1 (x 1 )
f X (x 1 , x 2 ) dx 1
Korrelationskoeffizient
Cov(X 1 , X 2 )
ϱ(X 1 , X 2 ) = √
Var(X1 ) Var(X 2 ) = E((X 1 − m X1 )(X 2 − m X2 ))
√
E ((X1 − m X1 ) 2 ) E ((X 2 − m X2 ) 2 )
35

Formelsammlung Systemtheorie III (Blatt 2)
Transformation von Zufallsgrößen durch statische Systeme
Eindimensionale Zufallsgrößen:
X
F X
X
f X
ϕ = ?
ϕ
Y
F Y
Y
f Y = ?
ϕ bijektiv, monoton wachsend
y = ϕ(x) = F −1
Y
(F X (x))
ϕ bijektiv
f Y (y) = f X (x)
∣ dϕ ∣
∣
dx
∣
x=ϕ −1 (y)
Zweidimensionale Zufallsgrößen:
X 1
X 2
f X
Φ
Y 1
Y 2
f Y = ?
Φ bijektiv
f Y (y 1 , y 2 ) = f X (x 1 , x 2 )
∣
∣
∣
∣ ∂(ϕ 1,ϕ 2 )
∂(x 1 ,x 2 )
∣
(x 1 ,x 2 )=Φ −1 (y 1 ,y 2 )
Zufällige Prozesse
Erwartungswert
m X (t) = E(X (t)) =
∫ ∞
xf X (x, t) dx
Varianz
−∞
Var(X (t)) = E ( ((X (t) − m X (t)) 2) =
∫ ∞
(x − m X (t)) 2 f X (x, t) dx
(Auto-)Korrelationsfunktion
s X (t 1 , t 2 ) = E(X (t 1 )X (t 2 )) =
−∞
∫ ∞ ∫ ∞
x 1 x 2 f X (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ) dx 1 dx 2
−∞ −∞
Kreuzkorrelationsfunktion
s XY (t 1 , t 2 ) = E(X (t 1 )Y (t 2 )) = s YX (t 2 , t 1 )
Kovarianzfunktion
Cov(X (t 1 ), X (t 2 )) = E((X (t 1 ) − m X (t 1 ))(X (t 2 ) − m X (t 2 )))
= s X (t 1 , t 2 ) − m X (t 1 )m X (t 2 )
Kovarianzmatrix
⎛
⎞
Cov(X (t 1 ), X (t 1 )) · · · Cov(X (t 1 ), X (t n ))
⎜
Cov(X ) = ⎝
.
. ..
⎟ . ⎠
Cov(X (t n ), X (t 1 )) · · · Cov(X (t n ), X (t n ))
36 F Formelsammlung

Stationäre zufällige Prozesse
Erwartungswert E(X (t)) = m X (t) = m X (= konst.)
Varianz Var(X (t)) = σ X
2
(= konst.)
(Auto-)Korrelationsfunktion
Kreuzkorrelationsfunktion
s X (τ) = E(X (t)X (t + τ))
s XY (τ) = E(X (t)Y (t + τ)) = s YX (−τ)
Leistungsdichtespektrum S X (ω) =
∫ ∞
s X (τ) e −jωτ dτ
−∞
(Theorem von Wiener/Chintschin) s X (τ) = 1
2π
∫ ∞
−∞
S X (ω) e jωτ dω
Gaußsche Prozesse
f X (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) =
(
1
√
(2π)n det C exp − 1 )
2 (x − m)C−1 (x − m) ′
Hierbei gilt: (x − m) = (x 1 − m X (t 1 ) · · · x n − m X (t n )) Zeilenmatrix
(x − m) ′ die zu (x − m) transponierte Matrix
C = Cov(X )
Kovarianzmatrix mit den Elementen
Cov(X (t i ), X (t j )) = s X (t i , t j ) − m X (t i )m X (t j )
Markowsche Prozesse
f X (x n , t n |x 1 , t 1 ; . . . ; x n−1 , t n−1 ) = f X (x n , t n |x n−1 , t n−1 ) (t 1 < t 2 < · · · < t n )
f X (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) =
f X (x n , t n |x n−1 , t n−1 ) · f X (x n−1 , t n−1 |x n−2 , t n−2 ) · · · f X (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) · f X (x 1 , t 1 )
f X (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) = f X (x n , t n ; x n−1 , t n−1 )
f X (x n−1 , t n−1 )
· · · fX (x 2 , t 2 ; x 1 , t 1 )
f X (x 1 , t 1 )
· f X (x 1 , t 1 )
37

Formelsammlung Systemtheorie III (Blatt 3)
Analysis zufälliger Prozesse
Konvergenz i. q. M. einer Folge X = (X i ) i∈N von Zufallsgrößen:
( )
l. i. m. X i = X lim ||X i − X || = 0 E l. i. m. X i = lim E(X i )
i→∞ i→∞ i→∞
i→∞
Stetigkeit i. q. M. eines zufälligen Prozesses X = (X t ) t∈T :
l. i. m. X (t + τ) = X (t) lim ||X (t + τ) − X (t)|| = 0
τ→0 τ→0
Differentiation i. q. M. eines zufälligen Prozesses X = (X t ) t∈T :
Ẋ (t) = l. i. m.
τ→0
X (t + τ) − X (t)
τ
Für i. q. M. differenzierbare zufällige Prozesse X = (X t ) t∈T gilt:
)
Erwartungswert
mẊ (t) = E
(Ẋ (t) = d dt m X (t)
)
(Auto-)Korrelationsfunktion sẊ (t 1 , t 2 ) = E
(Ẋ (t1 )Ẋ (t 2) = ∂2
∂t 1 ∂t 2
s X (t 1 , t 2 )
)
Kreuzkorrelationsfunktion sẊ X
(t 1 , t 2 ) = E
(Ẋ (t1 )X (t 2 ) = ∂ s X (t 1 , t 2 )
∂t 1
( )
s X Ẋ (t 1, t 2 ) = E X (t 1 )Ẋ (t 2) = ∂ s X (t 1 , t 2 )
∂t 2
Für i. q. M. differenzierbare stationäre zufällige Prozesse X = (X t ) t∈T gilt:
)
Erwartungswert
mẊ (t) = E
(Ẋ (t) = 0
)
(Auto-)Korrelationsfunktion sẊ (τ) = E
(Ẋ (t) Ẋ (t + τ) = − d2
dτ s 2 X (τ)
)
Kreuzkorrelationsfunktion sẊ X
(τ) = E
(Ẋ (t)X (t + τ) = − d dτ s X (τ)
s X Ẋ (τ) = E (
X (t)Ẋ (t + τ) )
= d dτ s X (τ)
Bezeichnet X = (X t ) t∈T einen i. q. M. integrierbaren zufälligen Prozess und f eine
determinierte Funktion, so gilt:
⎛
⎞
E ⎝
∫ b
f(t, τ)X (t) dt⎠ =
∫ b
f(t, τ) E(X (t)) dt
a
a
38 F Formelsammlung

Ergodische zufällige Prozesse
1
x(t) = lim
T →∞ 2T
1
x(t)x(t + τ) = lim
T →∞ 2T
∫ T
−T
∫ T
−T
x(t) dt = E(X (t)) = m X (t) = m X = konst.
x(t)x(t + τ) dt = E(X (t)X (t + τ)) = s X (τ)
Lineare dynamische System
Gegeben: Stationärer zufälliger Prozess X X
g(t)
G(jω)
Y
Prozess am Systemausgang: Y (t) =
∫ t
g(t − τ)X (τ) dτ =
∫ ∞
g(τ)X (t − τ) dτ
−∞
∫∞
Erwartungswert m Y (t) = m X g(τ) dτ
0
(m X (t) = m X = konst.)
0
∫ ∞ ∫ ∞
(Auto-)Korrelationsfunktion s Y (τ) = g(τ 1 )g(τ 2 )s X (τ + τ 1 − τ 2 ) dτ 1 dτ 2
0 0
∫ ∞
Kreuzkorrelationsfunktion s XY (τ) = g(τ 1 )s X (τ − τ 1 ) dτ 1
Leistungsdichtespektrum
Kreuzleistungsdichtespektrum
0
S Y (ω) = |G(jω)| 2 S X (ω)
S XY (ω) = G(jω)S X (ω)
Berechnung der Korrelationsfunktion am Systemausgang durch Residuenmethode:
s Y (τ) =
∑
Res G(s)G(−s)
(˜SX (s) + ˜S
)
X (−s) e s|τ| mit
˜S X (s) =
Re(s)