Haskell und Kategorientheorie - Informatik - Universität Bonn

Monaden Kategorien Mehr Kategorientheorie 

Haskell und Kategorientheorie 

Gemeinsamkeiten und Unterschiede 

Stefan Mehner 

Institut für Informatik III 

Universität Bonn 

11.12.12 

Stefan Mehner 


Universität Bonn


Gliederung 

1 Monaden 

Warum? 

Monaden sind Funktoren mit Zusatz 

2 Kategorien 

Motivation und Definition 

Beispiele 

In Haskell? 

3 Mehr Kategorientheorie 

Funktoren 

Natürliche Transformationen 

Adjungierte Funktoren 

Stefan Mehner 




Warum? 

Gliederung 

1 Monaden 

Warum? 


2 Kategorien 


Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 




Warum? 

Ein »= sie zu binden 

Was soll das? 

(»=) :: forall a b. m a -> (a -> m b) -> m b 

Und warum mit diesen Eigenschaften: 

return a »= k == k a 

m »= return == m 

m »= (\ x -> k x »= h) == (m »= k) »= h? 

Stefan Mehner 




Warum? 

Ein »= sie zu binden 

Was soll das? 


Und warum mit diesen Eigenschaften: 

return a »= k == k a 

m »= return == m 

m »= (\ x -> k x »= h) == (m »= k) »= h? 

Stefan Mehner 




Warum? 

Konvention 

Statt 


ab jetzt 

(=«) :: forall a b. (a -> m b) -> m a -> m b 

Stefan Mehner 




Warum? 

Verwandte Funktionen 

(=«) :: (a -> [b]) -> [a] -> [b] 

Wir kennen die Applikation: 

(a -> b) -> a -> b 

Insbesondere: 

(a -> [b]) -> a -> [b] 

Die Funktion map... 

(a -> b ) -> [a] -> [b] 

...die man auch so benutzen kann: 

(a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 

Stefan Mehner 




Warum? 


(=«) :: (a -> [b]) -> [a] -> [b] 


(a -> b) -> a -> b 

Insbesondere: 

(a -> [b]) -> a -> [b] 


(a -> b ) -> [a] -> [b] 


(a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 

Stefan Mehner 




Warum? 


(=«) :: (a -> [b]) -> [a] -> [b] 


(a -> b) -> a -> b 

Insbesondere: 

(a -> [b]) -> a -> [b] 


(a -> b ) -> [a] -> [b] 


(a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 

Stefan Mehner 




Warum? 


(=«) :: (a -> [b]) -> [a] -> [b] 


(a -> b) -> a -> b 

Insbesondere: 

(a -> [b]) -> a -> [b] 


(a -> b ) -> [a] -> [b] 


(a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 

Stefan Mehner 




Warum? 


(=«) :: (a -> [b]) -> [a] -> [b] 


(a -> b) -> a -> b 

Insbesondere: 

(a -> [b]) -> a -> [b] 


(a -> b ) -> [a] -> [b] 


(a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 

Stefan Mehner 




Warum? 


Wir brauchen: (=«) :: (a -> [b]) -> [a] -> [b] 

Wir haben: (a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 

Idee: Verkette mit concat :: [[b]] -> [b] 

Oder verwende direkt concatMap :: (a -> [b]) -> 

[a] -> [b] 

Stefan Mehner 




Warum? 



Wir haben: (a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 



[a] -> [b] 

Stefan Mehner 




Warum? 



Wir haben: (a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 



[a] -> [b] 

Stefan Mehner 




Warum? 



Wir haben: (a -> [b]) -> [a] -> [[b]] 



[a] -> [b] 

Stefan Mehner 





Gliederung 

1 Monaden 

Warum? 


2 Kategorien 


Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 





Die Typklasse Functor 

class Functor f where 

fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 

Dabei soll gelten: 

fmap id == id 

fmap (f . g) == fmap f . fmap g 

Jede Instanz von Monad wird zur Instanz von Functor via 

fmap f x = (return.f) =« x 

Die Regeln für Functor folgen aus denen für Monad 

Stefan Mehner 





Die Typklasse Functor 


fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 

Dabei soll gelten: 

fmap id == id 

fmap (f . g) == fmap f . fmap g 

Jede Instanz von Monad wird zur Instanz von Functor via 

fmap f x = (return.f) =« x 

Die Regeln für Functor folgen aus denen für Monad 

Stefan Mehner 





Die Funktion join 

join :: Monad m => m (m a) -> m a 

join = (id =«) 

Aus Monadengesetzen folgt: 

join.return = id 

join.(fmap return)=id 

join.join=join.(fmap join) 

Stefan Mehner 





Die Funktion join 

join :: Monad m => m (m a) -> m a 

join = (id =«) 

Aus Monadengesetzen folgt: 




Stefan Mehner 





Die Regeln für join am Beispiel [] 


join(return [0, 1])=join [[0, 1]]=[0, 1] 


join(fmap return [0, 1])=join [[0], 

[1]]=[0, 1] 


join(join[[[0], [1]], [ [2]]]) =join[[0], 

[1], [2]] =[0, 1, 2] 

join(fmap join[[[0], [1]], [ [2]]]) 

=join[[0, 1], [2]] =[0, 1, 2] 

Stefan Mehner 










[1]]=[0, 1] 


join(join[[[0], [1]], [ [2]]]) =join[[0], 

[1], [2]] =[0, 1, 2] 

join(fmap join[[[0], [1]], [ [2]]]) 

=join[[0, 1], [2]] =[0, 1, 2] 

Stefan Mehner 










[1]]=[0, 1] 


join(join[[[0], [1]], [ [2]]]) =join[[0], 

[1], [2]] =[0, 1, 2] 

join(fmap join[[[0], [1]], [ [2]]]) 

=join[[0, 1], [2]] =[0, 1, 2] 

Stefan Mehner 





Beispiele für join 

[[a]]->[a] 

Maybe (Maybe a) -> Maybe a 

(r -> r -> a) -> r -> a 

Monoid w => ((a, w), w) -> (a, w) 

(s -> (s -> (a, s), s)) -> s -> (a, s) 

Stefan Mehner 






[[a]]->[a] 


(r -> r -> a) -> r -> a 

Monoid w => ((a, w), w) -> (a, w) 

(s -> (s -> (a, s), s)) -> s -> (a, s) 

Stefan Mehner 






[[a]]->[a] 


(r -> r -> a) -> r -> a 

Monoid w => ((a, w), w) -> (a, w) 

(s -> (s -> (a, s), s)) -> s -> (a, s) 

Stefan Mehner 






[[a]]->[a] 


(r -> r -> a) -> r -> a 

Monoid w => ((a, w), w) -> (a, w) 

(s -> (s -> (a, s), s)) -> s -> (a, s) 

Stefan Mehner 






[[a]]->[a] 


(r -> r -> a) -> r -> a 

Monoid w => ((a, w), w) -> (a, w) 

(s -> (s -> (a, s), s)) -> s -> (a, s) 

Stefan Mehner 





So geht es nicht 

[a]->a 

Maybe a -> a 

(r -> a) -> a 

Monoid w => (a, w) -> a 

(s -> (a, s)) -> a 

Stefan Mehner 





=« rekonstruieren 

Durch =« und return lässt sich fmap definieren 

Durch =« lässt sich join definieren 

Aus fmap und join erhält man =« zurück: 

f =« x = join (fmap f x) 

Stefan Mehner 










Stefan Mehner 










Stefan Mehner 





Die andere Sichtweise 

Für den Mathematiker sind fmap, return und join 

elementar 

=« ist daraus zusammengesetzt 

Beide Möglichkeiten sind äquivalent 

Die Regeln gehen ineinander über 

Stefan Mehner 







elementar 




Stefan Mehner 







elementar 




Stefan Mehner 







elementar 




Stefan Mehner 





Gliederung 

1 Monaden 

Warum? 


2 Kategorien 


Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 





Ein wiederkehrendes Thema in der Mathematik... 

Gilt a ≤ b und b ≤ c, dann auch a ≤ c 

Gilt k|m und m|n, dann auch k|n 

⊂,≡,... 

Sind f : U → V und g : V → W lineare Abbildungen, dann 

auch g ◦ f : U → W 

injektive, surjektive, stetige, differenzierbare, usw 

Abbildungen 

Gruppen-, Ring-, Modul-, Algebrenhomomorphismen 

Stefan Mehner 








⊂,≡,... 




Abbildungen 


Stefan Mehner 








⊂,≡,... 




Abbildungen 


Stefan Mehner 








⊂,≡,... 




Abbildungen 


Stefan Mehner 








⊂,≡,... 




Abbildungen 


Stefan Mehner 








⊂,≡,... 




Abbildungen 


Stefan Mehner 





...verlangt nach einer gemeinsamen Abstraktion 

Wir haben: 

Objekte (Zahlen, Mengen, Vektorräume, algebraische 

Strukturen, ...) 

Beziehungen zwischen Objekten (Relationen, 

Abbildungen, ...) 

die Möglichkeit, Beziehungen zusammenzufassen 

(Transitivität der Relationen, Verkettung von Abbildungen) 

Stefan Mehner 






Wir haben: 







Stefan Mehner 






Wir haben: 







Stefan Mehner 





Slang 

Wir sagen: 

Objekte 

Morphismen oder Pfeile 

Verkettung von Morphismen 

Alles zusammen heißt Kategorie. 

Stefan Mehner 





Bedingungen 

Wir fordern: 

Zu jedem Objekt A gibt es einen Morphismus id A : A → A 

mit 

A id A 

−→ A −→ f B verkettet zu A −→ f B 

A 

f −→ B id B 

−→ B verkettet zu A f −→ B. 

Wir nennen ihn Identität von A. 

Verkettung ist assoziativ, das heißt für 

A 

f −→ B 

g 

−→ C 

sind (h◦ g)◦f und h◦(g ◦ f) gleich. 

h −→ D 

Stefan Mehner 





Bedingungen 

Wir fordern: 

Zu jedem Objekt A gibt es einen Morphismus id A : A → A 

mit 

A id A 

−→ A −→ f B verkettet zu A −→ f B 

A 

f −→ B id B 

−→ B verkettet zu A f −→ B. 

Wir nennen ihn Identität von A. 

Verkettung ist assoziativ, das heißt für 

A 

f −→ B 

g 

−→ C 

sind (h◦ g)◦f und h◦(g ◦ f) gleich. 

h −→ D 

Stefan Mehner 




Beispiele 

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1 Monaden 

Warum? 


2 Kategorien 


Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 




Beispiele 

Kategorie der Mengen 

Objekte sind Mengen 

Morphismen sind beliebige Abbildungen 

Abbildungen verketten zu Abbildungen 

Jede Menge hat ihre Identität ̌ 

Verkettung ist assoziativ ̌ 

Stefan Mehner 




Beispiele 







Stefan Mehner 




Beispiele 







Stefan Mehner 




Beispiele 







Stefan Mehner 




Beispiele 







Stefan Mehner 




Beispiele 

Kategorie der punktierten Mengen 

Objekte sind Mengen mit einem ausgezeichneten Element 

(Basispunkt) 

Morphismen sind Abbildungen, die Basispunkte auf 

Basispunkte abbilden 


Jede Menge hat ihre Identität und diese erhält den 

Basispunkt ̌ 


Stefan Mehner 




Beispiele 



(Basispunkt) 





Basispunkt ̌ 


Stefan Mehner 




Beispiele 



(Basispunkt) 





Basispunkt ̌ 


Stefan Mehner 




Beispiele 



(Basispunkt) 





Basispunkt ̌ 


Stefan Mehner 




Beispiele 



(Basispunkt) 





Basispunkt ̌ 


Stefan Mehner 




Beispiele 

Kategorie der Monoide 

Objekte sind Monoide 

Morphismen sind Monoidhomomorphismen 

(f(a·b) = f(a)·f(b) und f(e) = e ′ ) 


Jedes Monoid hat seine Identität und diese ist ein 

Homomorphismuš 


Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 

Partiell geordnete Mengen als Kategorie 

Objekte sind Elemente 

Morphismen sind die Beziehungen a ≤ b 

(b ≤ c)◦(a ≤ b) = a ≤ c (Transitivität) 

Für jedes Element gilt a ≤ a (Reflexivität) ̌ 

Verkettung ist assoziativ, da zwischen zwei Objekten 

höchstens ein Morphismus existiert ̌ 

Merke: Nicht alle Morphismen sind Abbildungen! 

Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 









Stefan Mehner 




Beispiele 

Kein Beispiel: Graphen 

Objekte sind Knoten 

Morphismen sind Kanten 

Game over 

Stefan Mehner 




Beispiele 




Game over 

Stefan Mehner 




Beispiele 




Game over 

Stefan Mehner 





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1 Monaden 

Warum? 


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Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 





Kategorien sind Mengen von Datentypen 

Die Kategorie der Mengen entspricht allen Datentypen 

Die Kategorie der Monoide entspricht der Typklasse 

monoid 

Punktierte Mengen? 

Stefan Mehner 








monoid 


Stefan Mehner 








monoid 


Stefan Mehner 





Punktierte Mengen als Typklasse 

class Pointed a where 

point :: a 

instance Pointed Integer where point = 0 

instance Pointed Bool where point = False 

instance Pointed [a] where point = [] 

instance Pointed Maybe a where point = 

nothing 

Achtung: Die punktierten Abbildungen lassen sich nicht so 

charakterisieren. 

Stefan Mehner 







point :: a 





nothing 



Stefan Mehner 







point :: a 





nothing 



Stefan Mehner 





Wörterbuch 

Kategorientheorie 

Objekt 

Morphismus 

Kategorie 

Haskell 

Datentyp 

Funktion 

Typklasse, Menge von Typen 

Stefan Mehner 




Funktoren 

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Warum? 


2 Kategorien 


Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 




Funktoren 

Definition 

Ein Funktor F führt von einer Kategorie in eine andere. 

Jedem Objekt X wird ein Objekt F(X) zugeordnet 

Jedem Morphismus X → Y wird ein Morphismus 

F(X) → F(Y) zugeordnet 

Dabei sollen folgende Regeln gelten: 

F(id) = id (genauer F(id X ) = id F(X) ) 

F(g ◦ f) = F(g)◦F(f) 

Stefan Mehner 




Funktoren 

Definition 







F(g ◦ f) = F(g)◦F(f) 

Stefan Mehner 




Funktoren 

Definition 







F(g ◦ f) = F(g)◦F(f) 

Stefan Mehner 




Funktoren 

Definition 







F(g ◦ f) = F(g)◦F(f) 

Stefan Mehner 




Funktoren 

Definition 







F(g ◦ f) = F(g)◦F(f) 

Stefan Mehner 




Funktoren 

Beispiel: Freie Monoide 

Der Funktor frei erzeugtes Monoid führt von der Kategorie der 

Mengen in die Kategorie der Monoide. 

Jeder Menge wird das von dieser Menge frei erzeugte 

Monoid zugeordnet 

Oder: Jedem Datentyp a wird der Datentyp [a] 

zugeordnet 

Das Ergebnis ist tatsächlich ein Monoid 

Jeder Abbildung wird die entsprechende Abbildung 

zwischen Monoiden zugeordnet (Buchstabenersetzung) 

Diese Abbildungen sind mit den Verknüpfungen der 

Monoide verträglich 

Die Regeln für Funktoren sind erfüllt 

Stefan Mehner 




Funktoren 







zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 







zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 







zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 







zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 







zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 

Beispiel: Basispunkt hinzufügen 

Der Funktor externen Basispunkt hinzufügen führt von der 

Kategorie der Mengen in die Kategorie der punktierten 

Mengen. 

Jede Menge wird um einen zusätzlichen Punkt erweitert 

Oder: Jedem Datentyp a wird der Datentyp Maybe a 

zugeordnet 

Das Ergebnis ist tatsächlich punktiert 

Jeder Abbildung wird um die Regel Basispunkt auf 

Basispunkt erweitert 

Diese Abbildungen ist tatsächlich Abbildung punktierter 

Mengen 


Stefan Mehner 




Funktoren 




Mengen. 



zugeordnet 





Mengen 


Stefan Mehner 




Funktoren 




Mengen. 



zugeordnet 





Mengen 


Stefan Mehner 




Funktoren 




Mengen. 



zugeordnet 





Mengen 


Stefan Mehner 




Funktoren 




Mengen. 



zugeordnet 





Mengen 


Stefan Mehner 




Funktoren 




Mengen. 



zugeordnet 





Mengen 


Stefan Mehner 




Funktoren 

Beispiel: Vergissfunktoren 

Der Vergissfunktor führt von der Kategorie der Monoide in die 

Kategorie der Mengen. 

Jedem Monoid wird die zugrunde liegende Menge 

zugeordnet 

Jeder Abbildung wird die zugrunde liegende 

Mengenabbildung zugeordnet 


Das funktioniert genauso für punktierte Mengen: Wir 

vergessen, welcher Punkt markiert ist. Achtung: Vergessen 

macht nicht freies Monoid rückgängig! 

Stefan Mehner 




Funktoren 





zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 





zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 





zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 





zugeordnet 







Stefan Mehner 




Funktoren 

Beispiele für Funktoren: Identitätsfunktoren 

Nichts zu verändern ist auch für jede Kategorie ein Funktor 

Stefan Mehner 




Funktoren 

Zurück zur Typklasse Functor 


fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 

f ordnet jedem Typ einen anderen Typ zu (f:: * -> *) 

fmap erklärt das Verhalten für Abbildungen 

Die Regeln für Identität und Verknüpfung sollen erfüllt sein 

Das wird aber tatsächlich nie geprüft 

Stefan Mehner 




Funktoren 



fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 





Stefan Mehner 




Funktoren 



fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 





Stefan Mehner 




Funktoren 



fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 





Stefan Mehner 




Funktoren 



fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 





Stefan Mehner 




Funktoren 

Wörterbuch 

Kategorientheorie 

Objekt 

Morphismus 

Kategorie 

Funktor 

Haskell 

Datentyp 

Funktion 

Typklasse, Menge von Typen 

Instanz von Functor 

Stefan Mehner 





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Warum? 


2 Kategorien 


Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 





Motivierendes Beispiel 

Habe zwei Funktoren von Mengen nach punktierte Mengen: 

Maybe (Basispunkt ist Nothing) 

[] (Basispunkt ist []) 

Betrachte folgende Funktion: 

maybeToList :: Maybe a -> [a] 

maybeToList Nothing = [] 

maybeToList Just x = [x] 

Für f::a -> b gilt: 

fmap f (maybeToList x)=maybeToList (fmap f x) 

Stefan Mehner 















Stefan Mehner 















Stefan Mehner 





Weitere Beispiele 

Just vermittelt auf gleiche Weise zwischen dem 

identischen Funktor und Maybe 

\x->[x] vermittelt zwischen identischem Funktor und [] 

... 

So etwas nennt man natürliche Transformation 

Stefan Mehner 









... 


Stefan Mehner 









... 


Stefan Mehner 









... 


Stefan Mehner 





Definition 

C und D seien zwei Kategorien 

F und G seien zwei Funktoren von C nach D 

Zu jedem Objekt X aus C gibt es Objekte F(X) und G(X) 

in D 

Eine natürliche Transformation ordnet jedem Objekt X 

zusätzlich einen Morphismus F(X) → G(X) zu 

Ist Y ein weiteres Objekt in C, dann gibt es ebenso F(Y), 

G(Y) und einen Morphismus F(Y) → G(Y) 

Ist f : X → Y ein Morphismus, erhalten wir 

F(f) : F(X) → F(Y) und G(f) : G(X) → G(Y) 

Nun führen zwei Wege von F(X) nach G(Y), nämlich über 

F(Y) oder über G(X) 

Beide Wege sollen übereinstimmen 

Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Definition 




in D 










Stefan Mehner 





Wichtiger Sonderfall 

D = C 

F = id und G seien zwei Funktoren von C nach C 

Zu jedem Objekt X aus C gibt es ein Objekt G(X) in C 


einen Morphismus X → G(X) zu 

Ist Y ein weiteres Objekt in C, dann gibt es ebenso G(Y) 

und einen Morphismus Y → G(Y) 


G(f) : G(X) → G(Y) 

Nun führen zwei Wege von X nach G(Y), nämlich über Y 

oder über G(X) 


Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 






D = C 








G(f) : G(X) → G(Y) 




Stefan Mehner 





Natürliche Transformationen aus Monaden 

Sei m::* -> * Monade 

Dann ist m ein Funktor 

return ist eine natürliche Transformation zwischen der 

Identität und m 

join ist eine natürliche Transformation zwischen m.m und 

m 

Stefan Mehner 











m 

Stefan Mehner 











m 

Stefan Mehner 











m 

Stefan Mehner 





Mathematische Definition von Monaden 

Sei C eine Kategorie (z.B. Mengen) 

Eine Monade besteht aus 

einem Funktor T : C → C 

einer natürlichen Transformation η : id → T 

einer natürlichen Transformation µ : T ◦ T → T 

So, dass folgende Regeln gelten: 

µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 












µ◦η = µ◦(Tη) = id 

µ◦µ = µ◦(Tµ) 

Stefan Mehner 





Wörterbuch 

Kategorientheorie Haskell 

Objekt 

Datentyp 

Morphismus Funktion 

Kategorie Typklasse, Menge von Typen 

Funktor 

Instanz von Functor 

η 

return 

µ join 

Stefan Mehner 





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Warum? 


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Beispiele 



Funktoren 



Stefan Mehner 





Satz aus der linearen Algebra 

Satz, 1. Formulierung 

Seien V und W zwei Vektorräume und b 1 ,..., b n eine Basis 

von V . Dann ist jede linare Abbildung f : V → W eindeutig 

durch f(b 1 ),..., f(b n ) festgelegt und jede Wahl der 

f(b 1 ),..., f(b n ) kann zu einer linearen Abbildung fortgesetzt 

werden. 

Stefan Mehner 







Sei W ein Vektorraum, S = {b 1 ,..., b n } eine Menge und V der 

von S erzeugte Vektorraum. Dann ist jede linare Abbildung 

f : V → W eindeutig durch f(b 1 ),..., f(b n ) festgelegt und jede 

Wahl der f(b 1 ),..., f(b n ) kann zu einer linearen Abbildung 

fortgesetzt werden. 

Stefan Mehner 







Sei W ein Vektorraum, S = {b 1 ,..., b n } eine Menge und K[S] 

der von S erzeugte Vektorraum. Dann ist jede linare Abbildung 

f : K[S] → W eindeutig durch eine Mengenabbildung S → W 

festgelegt und jede solche kann zu einer linearen Abbildung 

fortgesetzt werden. 

Stefan Mehner 








der von S erzeugte Vektorraum. Die linaren Abbildungen 

f : K[S] → W stehen in kanonischer Bijektion zu den 

Mengenabbildungen S → W . 

Stefan Mehner 






Satz, finale Formulierung 


der von S erzeugte Vektorraum. Dann 

Mor Set (S, Vergiss(W)) = Mor K−VR (K[S], W) 

Vergiss und K[_] sind adjungiert. 

Stefan Mehner 





Externer Basispunkt und Vergessen 

_+{0} : Mengen → punktierteMengen 

Vergiss : punktierteMengen → Mengen 

Mor Set (S, Vergiss(P)) = Mor P−Set (S +{0}, P) 

Stefan Mehner 









Stefan Mehner 









Stefan Mehner 





Freies Monoid und Vergessen 

_ ∗ : Mengen → Monoide 

Vergiss : Monoide → Mengen 

Mor Set (S, Vergiss(M)) = Mor Monoide (S ∗ , M) 

Stefan Mehner 









Stefan Mehner 









Stefan Mehner 





Einheit 

Es gilt: 


Setze M = S ∗ : 

Mor Set (S, Vergiss(S ∗ )) = Mor Monoide (S ∗ , S ∗ ) 

Element id rechts, liefert Abbildungη S : S → Vergiss(S ∗ ) 

links 

Das geht für jedes S 

Alle Abbildungen zusammen sind natürliche 

Transformation η : id → Vergiss(_ ∗ ) 

Stefan Mehner 





Einheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Einheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Einheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Einheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Funktor + Einheit + ? 

Vergiss(_ ∗ ) ist der Funktor, der [] entspricht 

η : id → Vergiss(_ ∗ ) ist eine der natürlichen 

Transformationen 

Wie entsteht µ? 

Stefan Mehner 










Stefan Mehner 










Stefan Mehner 





Koeinheit 

Es gilt: 


Setze S = Vergiss(M): 

Mor Set (Vergiss(M), Vergiss(M)) = Mor Monoide (Vergiss(M) ∗ , M) 

Element id links, liefert Abbildung ǫ M : Vergiss(M) ∗ → M 

links 

Das geht für jedes M 


Transformation ǫ : Vergiss(_) ∗ → id 

Stefan Mehner 





Koeinheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Koeinheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Koeinheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Koeinheit 

Es gilt: 





links 




Stefan Mehner 





Von der Koeinheit zum Produkt 

Habe Abbildung 

Das liefert 

ǫ M : Vergiss(M) ∗ → M 

µ S : Vergiss(Vergiss(S ∗ ) ∗ ) → Vergiss(S ∗ ) 

Stefan Mehner 





Von der Koeinheit zum Produkt 

Habe Abbildung 

Das liefert 

ǫ M : Vergiss(M) ∗ → M 

µ S : Vergiss(Vergiss(S ∗ ) ∗ ) → Vergiss(S ∗ ) 

Stefan Mehner 





Allgemein 

C, D Kategorien 

X Objekt in D, Y Objekt in C 

F : D → C und G : C → D adjungierte Funktoren, also 

Mor D (X, F(Y)) = Mor C (G(X), Y) 

Das liefert 

Funktor FG : C → C 

Mor D (X, F(G(X))) = Mor C (G(X), G(X)) 

Mor D (F(Y), F(Y)) = Mor C (G(F(Y)), Y) 

Stefan Mehner 





Allgemein 





Das liefert 




Stefan Mehner 





Allgemein 





Das liefert 




Stefan Mehner 





Allgemein 





Das liefert 




Stefan Mehner 





Allgemein 





Das liefert 




Stefan Mehner 





Allgemein 





Das liefert 




Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 

Natürliche Transformation η : id → FG 

Natürliche Transformation ǫ : GF → id (in D) 

Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 

Natürliche Transformation µ : FGFG → FG 

Das ist eine Monade 

Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Allgemein 

Wir haben 




Das liefert 



Stefan Mehner 





Fun Fact 

Satz 

Alle Monaden entstehen so. 

Stefan Mehner 





Beispiele 

Maybe entsteht aus externen Basispunkt anfügen und 

vergessen 

[] entsteht aus freies Monoid und vergessen 

Reader? 

IO? 

Stefan Mehner 





Beispiele 


vergessen 


Reader? 

IO? 

Stefan Mehner 





Beispiele 


vergessen 


Reader? 

IO? 

Stefan Mehner 





Beispiele 


vergessen 


Reader? 

IO? 

Stefan Mehner

Haskell und Kategorientheorie - Informatik - Universität Bonn

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