Prof. Dr. K. Kassner Dr. V. Becker Theoretische Physik VI ...

TheoretischePhysik VI:Kosmologie
SS2013
Sei n ′ (ν ′ , ϑ ′ ) die spektrale Photonendichte (Zahl von Photonen pro Volumenelement,
Frequenzintervall und Raumwinkelelement), die vom Beobachter O ′ gesehen
wird.Im Zeitintervalldt detektiertderDetektordann dN Photonen.
dN = n ′ (ν ′ , ϑ ′ )dν ′ dΩ ′ A 0
∣ ∣ cos ϑ ′∣ ∣cdt ′ (3)
(Die Photonen kommen aus einem Volumen der Größe A 0 |cos ϑ ′ |cdt ′ , da wegen
des schrägenEinfallseinSchiefzylinderderHöhe |cos ϑ ′ |cdt ′ durchlaufenwird.)
ImkorrespondierendenZeitintervalldtsiehtBeobachterOdieselbeZahlanPhotonenaufdemDetektorvonO
′ eintreffen,drücktdieseaberindenGrößenseines
Bezugssystemaus.
dN = n(ν)dνdΩA 0 |v+ccos ϑ|dt (4)
(Hier kommen alle Photonen an, die im Volumen A 0 |v+ccos ϑ|dt liegen – O ′
würde aufgrund seiner Bewegung auch dann Photonen einsammeln, wenn die
in Ruhe wären. DaO isotrope Hintergrundstrahlung sieht, hängt n(ν) nicht noch
voneinemWinkel ab.)
Die TransformationenzwischendenbeidenBezugssystemenlauten
dt ′ = dt
γ
cos ϑ ′ cos ϑ+β
=
1+ βcos ϑ
dΩ ′ = dϕ dcos ϑ ′ =
dΩ
γ 2 (1+ βcos ϑ) 2 (7)
ν ′ = νγ(1+ βcos ϑ). (8)
Damit lassensichdiebeidenPhotonendichten ineinanderumrechnen.
( ν
n ′ (ν ′ , ϑ ′ ′) 2
) = n(ν)
(9)
ν
Mitderplanckschen StrahlungsformellässtsichdieTransformationderFrequenzen
ineineTransformationvonTemperaturenum rechnen.
n ′ (ν ′ , ϑ ′ 2ν
) =
′ 2
( )
c 3 e hν′
kT ′ −1
[
aus U = 8πhν′ 3
c 3 1
e hν′
kT ′ −1
Setzten wir diesen Zusammenhang und den analogen Zusammenhang für n(ϑ)
in Gleichung9ein,so erhaltenwir
]
(5)
(6)
(10)
ν‘
T ′ = ν T
(11)
bzw.
T ′ (ϑ) =
T
γ(1− βcos ϑ ′ )
(12)
Vorrechnen: 17.05.2013 3