Prof. Dr. K. Kassner Dr. V. Becker Theoretische Physik VI ...

Prof.Dr.K.Kassner
Dr.V.Becker
TheoretischePhysikVI:Kosmologie
Blatt3
SS2013
25.04.2013
3. Cepheiden 5Pkt.
(a)
Die Abbildung zeigt die Lichtkurven verschiedener etwa gleich weit von uns entfernten
Cepheiden. Messen Sie die Länge der Perioden und tragen die Maxima und
MinimaderHelligkeitgegendieseauf.Zeigtsicheine Regelmäßigkeit?
(2Pkt.)
(b)
(c)
WarumwäreHenriettaLeavittsEntdeckungderPerioden-Leuchtkraft-Beziehungmit
Cepheidenaus derMilchstraßenicht ohne Weiteresmöglichgewesen?
Mit dem Hubble-Weltraumteleskop kann man Sterne bis herab zu einer scheinbaren
Helligkeit von m = 30mag erkennen. Welches ist die maximale Entfernung, die man
mitderCepheiden-Methodenochbestimmenkann,wenndieabsoluteHelligkeitder
leuchtkräftigstenCepheidenetwaum M = −5mag schwankt?
(1Pkt.)
(2Pkt.)
4. Dipol-AnisotropiederkosmischenHintergrundstrahlung 6Pkt.
Die kosmische Hintergrundstrahlung ist sehr homogen. Die größten Abweichungen von
der Homogenität (≈ 0.1%) sind richtungsabhängig und entstehen durch die Bewegung
derErderelativzurHintergrundstrahlung.WeitereAbweichungen(≈ 10 −3 %)entstanden
durchDichteschwankungenunddamitverbundeneSchwankungenderRaumkrümmung
zumZeitpunkt, als Photonen und Materieentkoppelten.
(a)
ZeigenSie,dasseinBeobachter,dersichrelativzurkosmischenHintergrundstrahlung
miteinerGeschwindigkeit v bewegtundBeobachtungenineinerdurcheinenWinkel
ϑ ′ zu seiner Bewegungsrichtung gegebenen Richtung durchführt, 1 deren Schwarzkörper-Spektrum,
das im Ruhesystem die Temperatur T hat, als ein Schwarzkörper-
(4Pkt.)
1 WegenderAberrationbedeutetdies,dassdieStrahlungausSichtderQuelleuntereinemWinkel ϑausgesandt
wurde,wobei cos ϑ ′ = (cos ϑ+v/c)/(1+(v/c)cos ϑ)
Vorrechnen: 17.05.2013 1

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Spektrum mitderTemperatur T ′ wahrnimmt, wobei
T ′ =
T
γ(1− βcos ϑ ′ )
[
γ =
) −1/2
]
(1− v2
c 2 , β = v . (1)
c
(b)
Hinweis: Es ist nützlich, sich vorzustellen, dass die Strahlung senkrecht auf einen Detektor
mit gegebener Fläche einfällt, und dann zu berechnen, wie groß eine Fläche
senkrecht zur Bewegungsrichtung des Beobachters sein muss, auf die dieselben Photonen
(nun schräg) fallen. Diese senkrechte Fläche ist im Bezugssystem des Beobachters
und dem der Strahlung 2 gleich groß, weil für sie die Längenkontraktion keine
Rolle spielt. Dann ist es sinnvoll, sich zu überlegen, wieviele aus einem Raumwinkelelement
kommende Photonen der Detektor pro Zeitintervall dt ′ empfängt. Dieselbe
Photonenzahl muss ein relativ zur Strahlung ruhender Beobachter sehen, aber
er drückt sie mithilfe der spektralen Photonendichte in seinem Bezugssystem aus.
Gleichsetzung und Verwendung von aus den Lorentztransformationen (und/oder
der Aberrationsformel) folgenden Beziehungen liefert eine Beziehung zwischen den
PhotonendichtenindenbeidenBezugssystemen,diesichineinefürdiebeobachteten
Temperaturen umrechnen lässt. Die üblicherweise betrachtete spektrale Energiedichte
unterscheidet sich von der Photonendichte im Wesentlichen durch einen Faktor hν
(alswenigerwesentlicheFaktorenkommennoch4π vomRaumwinkelund2vonder
Anzahl derPolarisationenhinzu).
Biszur erstenOrdnung in β entspricht diesderDipol-Anisotropie
T(ϑ) = T 0 (1+ βcos ϑ). (2)
(2Pkt.)
Die Dipol-Anisotropie wird mit maximal 1.2·10 −3 T 0 gemessen. Bestimmen Sie die
Geschwindigkeit der Erde relativ zum Ruhsystem des kosmischen Mikrowellenhintergrunds.
Lösung:
(a) Wir betrachten zwei Beobachter O und O ′ . Beobachter O sieht isotrope Schwarzkörperstrahlung
und befindet sich relativ zur Strahlung in Ruhe. Beobachter O ′
bewegtsichrelativzuO mitGeschwindigkeit v entlang der x-Achse.
Der bewegte Beobachter führt einen Detektor mit sich. Dieser Detektor hat die
Fläche A ′ , deren Flächennormale um den Winkel ϑ ′ gegen seine Bewegungsrichtung
geneigtist.
Der Detektor detektiert Strahlung aus einem Raumwinkelbereich dΩ ′ , die senkrechtzuseinerOberflächeeinfällt.AllePhotonen,diedieFläche
A ′ treffen,müssen
eine senkrecht zur Bewegungsrichtung von O ′ liegende Fläche der Größe A 0 =
A ′ /|cos ϑ ′ | passieren, um zu A ′ zu gelangen (Skizze?). Diese Fläche einzuführen
ist bequem, weil sie für beide Beobachter dieselbe Orientierung und Größe hat
(das gilt nicht für A ′ , eine Fläche, die in Bewegungsrichtung der Längenkontraktion
unterworfen ist und deren Winkel relativ zur Bewegungsrichtung für beide
Beobachter aufgrundderLorentztransformationenverschiedenist).
2 Also demBezugssystem eines Beobachters,fürden dieStrahlungisotrop ist.
Vorrechnen: 17.05.2013 2

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Sei n ′ (ν ′ , ϑ ′ ) die spektrale Photonendichte (Zahl von Photonen pro Volumenelement,
Frequenzintervall und Raumwinkelelement), die vom Beobachter O ′ gesehen
wird.Im Zeitintervalldt detektiertderDetektordann dN Photonen.
dN = n ′ (ν ′ , ϑ ′ )dν ′ dΩ ′ A 0
∣ ∣ cos ϑ ′∣ ∣cdt ′ (3)
(Die Photonen kommen aus einem Volumen der Größe A 0 |cos ϑ ′ |cdt ′ , da wegen
des schrägenEinfallseinSchiefzylinderderHöhe |cos ϑ ′ |cdt ′ durchlaufenwird.)
ImkorrespondierendenZeitintervalldtsiehtBeobachterOdieselbeZahlanPhotonenaufdemDetektorvonO
′ eintreffen,drücktdieseaberindenGrößenseines
Bezugssystemaus.
dN = n(ν)dνdΩA 0 |v+ccos ϑ|dt (4)
(Hier kommen alle Photonen an, die im Volumen A 0 |v+ccos ϑ|dt liegen – O ′
würde aufgrund seiner Bewegung auch dann Photonen einsammeln, wenn die
in Ruhe wären. DaO isotrope Hintergrundstrahlung sieht, hängt n(ν) nicht noch
voneinemWinkel ab.)
Die TransformationenzwischendenbeidenBezugssystemenlauten
dt ′ = dt
γ
cos ϑ ′ cos ϑ+β
=
1+ βcos ϑ
dΩ ′ = dϕ dcos ϑ ′ =
dΩ
γ 2 (1+ βcos ϑ) 2 (7)
ν ′ = νγ(1+ βcos ϑ). (8)
Damit lassensichdiebeidenPhotonendichten ineinanderumrechnen.
( ν
n ′ (ν ′ , ϑ ′ ′) 2
) = n(ν)
(9)
ν
Mitderplanckschen StrahlungsformellässtsichdieTransformationderFrequenzen
ineineTransformationvonTemperaturenum rechnen.
n ′ (ν ′ , ϑ ′ 2ν
) =
′ 2
( )
c 3 e hν′
kT ′ −1
[
aus U = 8πhν′ 3
c 3 1
e hν′
kT ′ −1
Setzten wir diesen Zusammenhang und den analogen Zusammenhang für n(ϑ)
in Gleichung9ein,so erhaltenwir
]
(5)
(6)
(10)
ν‘
T ′ = ν T
(11)
bzw.
T ′ (ϑ) =
T
γ(1− βcos ϑ ′ )
(12)
Vorrechnen: 17.05.2013 3

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(b) EntwickelnwirGleichung (12) bis zurerstenOrdnung in β, so ergibtsich:
T ′ ≈ T(1+ βcos ϑ) (13)
Die maximale gemessene Anisotropie beträgt ca. 1.2·10 −3 . Mit ϑ = 0 ergibt sich
dann
1.2·10 −3 = T′ max
T
−1 = β (14)
und somit v ≈ 360 km s
. Abzüglich der bekannten Bewegungen der Sonne und der
Milchstraße ergibtsich darauseine v ≈ 600 km s .
5. Uran-Blei-Datierung 7Pkt.
IndieserAufgabewollenwireinigeÜberlegungenanstellen,wiemanmithilfederbekannten
Gesetzmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls aus dem gemessenen Gehalt bestimmter
Isotope in GesteinenderenAlter bestimmenkann.
Für diese Altersbestimmung interessant sind, wie wir im Einzelnen sehen werden, die
ZerfallsreihenderbeidenUran-Isotope 235 Uund 238 U
• Uran-Actinium-Reihe: 235 U → 207 Pb;Halbwertszeit: τ 235 = 7.04×10 8 a
• Uran-Radium-Reihe: 238 U → 206 Pb;Halbwertszeit: τ 238 = 4.47×10 9 a
Das stabilste und häufigste Blei-Isotop ist 208 Pb (es hat einen doppelt magischen Kern),
aber auch 206 Pb und 207 Pb sind stabil.
FolgendeErkenntnissedienenals Richtschnur beiderEntwicklung einerMethode:
• Die Isotopenverhältnisse eines festen Elements in einer Probe können viel genauer
bestimmtwerdenals Isotopenverhältnisse verschiedenerElemente.
• DasUranimSonnensystemstammtmitAusnahmedesinderNeuzeitvonMenschen
erzeugtenausderZeitvorderEntstehungdesPlanetensystems.Wenigstensgiltdies
für die zwei betrachteten Isotope 235 U und 238 U. Sie wurden ursprünglich in einer
Supernova (oder mehreren) erzeugt. Natürliche Prozesse produzieren seit der Entstehung
der Sonne diese Isotope praktisch nicht mehr, weil die Halbwertszeit aller
nochschwererenElemente(wiePlutonium),dieindiebetreffendenIsotopezerfallen
könnten, so kurz sind, dass es sie nach ein paar Millionen Jahren nicht mehr in substanzieller
Menge gab. (Einzig das Isotop 234 U wurde und wird weiter produziert,
weilesdurch Zerfallvon 238 Uentsteht.)
• Die Häufigkeit der beiden Uranisotope ist in verschiedenen Gegenden der Erde verschieden,
sie kommen natürlich in Uranerz häufiger vor als in anderen Gesteinen.
Aber das Verhältnis ihrer Häufigkeiten ist auf der Erde (und im ganzen Sonnensystem)
homogen; dies ist das aktuelle Isotopenverhältnis in allen Gesteinsarten auf der
Erde! Bei einem durch die Gegebenheiten im solaren Urnebel bestimmten anfänglichen
Isotopenverhältnis ist das später vorliegende Häufigkeitsverhältnis nur eine
Funktion der seither verstrichenen Zeit, solange weder Prozesse auftreten, die neues
Uran erzeugen, noch solche, die die beiden Isotope voneinander trennen (was chemische
Prozesse gar nicht und physikalische nur sehr ineffizient tun). Es folgt dann
alleinausdenHalbwertszeitenderIsotope,derverstrichenenZeitunddemAnfangsquotienten.DasIsotopenverhältnis
238 U/ 235 UistunsereUhr,mitderwirZeitenmessen
können. Darauf basiert die ganze Datierungsmethode, mit der Eigentümlichkeit,
Vorrechnen: 17.05.2013 4

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dasswirdengegenwärtigenZeigerstandderUhrkennen,nichtaberdendesfrüheren
Zeitpunkts, denwir ermittelnwollen.
• Für die Verhältnisse stabiler Isotope bei niedrigeren Ordnungszahlen gelten etwas andereGesetzmäßigkeiten.SindbeideIsotopenichtTeil(alsoEndpunkt)einerradioaktiven
Zerfallsreihe, so entstehen sie nicht neu, ihr Verhältnis bleibt also über die Zeit
konstant. Das gilt zumindest für diejenigen Isotopenpaare, deren relativer Massenunterschied
klein ist. Chemisch unterscheiden sich Isotope nicht, also müssen trennende
Prozesse physikalischer Natur sein. Der relevante physikalische Unterschied
ist aber der Massenunterschied der Atome. Beim Wasserstoff ist der groß; schweres
Wasser hat eine Dichte von 1.105 g/cm 3 , könnte sich also in natürlichen Strömungen
gegenüber normalem Wasser ab- oder anreichern. Aber bei Massenzahlen jenseitsvon100sinddiephysikalischeProzesse,dieIsotopetrennen,rarundineffizient,
wie oben schon bemerkt. Kann mindestens eines von zwei stabilen Isotopen durch
radioaktiven Zerfall entstehen, dann ist das Isotopenverhältnis prinzipiell variabel. Es
hängt aber anders als das Verhältnis nicht nachgebildeter zerfallender Isotope nicht
nur von der Zeit ab. Nehmen wir zur Vereinfachung der Diskussion an, dass beide
Isotope aus Zerfallsreihen entstehen, wie es in unserer Aufgabe für 207 Pb und 206 Pb
ja der Fall ist. Dann sind an der Bildung von beiden normalerweise verschiedene chemische
Elemente beteiligt. Die Bildungsraten hängen davon ab, in welcher Menge
diese Elemente zur Verfügung gestellt werden, und da können chemische Prozesse
Einfluss nehmen. Nun ist das Anfangselement der Zerfallsreihe zwar hier in beiden
FällenUran,aberdieReihegehtübermehrereZwischenstufen,dienichtdergleichen
Elementsequenz entsprechen. Das deuten auch die Namen Uran-Actinium-Reihe für
235 U → 207 Pb und Uran-Radium-Reihe für 238 U → 206 Pb an. Dass wir trotz vieler
Zwischenschritte mit einer einzigen Halbwertszeit rechnen dürfen, liegt daran, dass
dieHalbwertszeitdeserstenZerfallsinbeidenReihendieGesamtzeitdominiert.
• Die Isotopenverhältnisse, wie sie bei der Entstehung alter Gesteine herrschten, sind
nicht unbedingt bekannt. Aber siesind fürstabile Isotope bei gleicherEntstehungsart
(z.B.MeteoritengesteinimsolarenUrnebel)gleich–dasisteineHomogenitätsannahme.
(Für die Uranisotopne kann sie natürlich nicht gemacht werden, denn da ist das
Isotopenverhältnis jaeine FunktionderZeit.)
Bezeichnen wir die gegenwärtige Zeit mit t g , die Bildungszeit des zu untersuchenden Gesteins
mit t 0 und setzen ∆t = t g − t 0 , so gilt, wenn wir Häufigkeiten eines Isotops mit
dessenNamen und einerZeitkennzeichnung darstellen,offensichtlich:
235 U ≡ 235 U(t g ) = 235 U 0 ×2 −∆t/τ 235
( )
∆ 207 Pb = 235 U 0 − 235 U = 235 U 2 ∆t/τ 235
−1
R 1 ≡ 207 Pb
204 Pb = 207 Pb 0
204 Pb + ∆ 207 Pb
204 Pb
Eine Häufigkeit ohne Index bezieht sich also auf die Gegenwart, eine mit Index 0 auf die
Bildungszeit. ∆ 207 Pb ist die Differenz zwischen der gegenwärtigen und der zur Zeit t 0
existierenden Menge an 207 Pb. Analoge Beziehungen gelten für den Zerfall von 238 U, und
dieentsprechende relativeHäufigkeitvon 206 Pbbezeichnen wirmit R 2 .
204 Pb, dessen Häufigkeit im Nenner steht, ist zwar kein stabiles Bleiisotop. Aber seine
Halbwertszeitistgrößerals1.4×10 17 a,d.h.,eszerfälltmehrals10 7 mallangsameralsdie
beiden Uranisotope. Auf der Zeitskala der gegenwärtigen Lebensdauer des Universums
kann die in einer Probe durch Zerfall abhanden kommende Menge an 204 Pb guten Gewissensvernachlässigtwerden,esistalso
”
nahezu“ stabil.ZumanderengibteskeineZerfallsreihe,die
204 Pbliefert.DamitnimmtdieHäufigkeitvon 204 PbineinemGesteinnachdessen
Vorrechnen: 17.05.2013 5

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Entstehungauchnichtmehrzu.EsgiltalsoinextremguterNäherung 204 Pb = 204 Pb 0 .HingegengibteseineZerfallsreihe,dieauf
208 Pbführt( 232 Th→ 208 PbmiteinerHalbwertszeit
von 1.405×10 10 a). Deshalb ist es nicht günstig, in der Definition von R 1 und R 2 in den
Nenner dieMenge an 208 Pbzu schreiben.
Messen können wir im Prinzip alle gegenwärtigen Größen, unbekannt sind alle Größen
mit Index 0, also 235 U 0 und 238 U 0 , aber auch die zur Gesteinsbildungszeit bereits vorhandenenHäufigkeitenderstabilenIsotope
206 Pb 0 und 207 Pb 0 .
Misst man jedoch R i (A) und R i (B), i = 1,2 für zwei vor verschiedenen Zeiten ∆t A und
∆t B entstandene Gesteine derselben Art, so kann man 206 Pb 0 und 207 Pb 0 eliminieren (die
sind fürbeideGesteinssortengemäß derobigenHomogenitätsannahme dieselben).
(a)
(b)
(c)
FührenSie dieseEliminationdurch,d.h.entwickelnSie eineFormelfür
q AB ≡ (R 1 (A)−R 1 (B))/(R 2 (A)−R 2 (B)).
GrundsätzlichbräuchtenwirdenNenner 204 PbinderDefinitionvon R 1/2 nicht,denn
wir interessieren uns nur für das Verhältnis q AB , aus dem wir (bei nicht zu unterschiedlichenZeiten
∆t A und ∆t B )aufdasVerhältnisderUranisotopezurEntstehungszeit
der Gesteine schließen können. Da wir jedoch dieses Verhältnis nicht in einer Gesteinsprobe
messen können, müssten wir ohne ein drittes Bleiisotop zur Ermittlung
der Differenzen R 1 (A)−R 1 (B) bzw. R 2 (A)−R 2 (B) die Absolutwerte von 207 Pb und
206 Pb in beiden Proben messen, was sehr viel ungenauer ist als die Messung von Isotopenverhältnissenper
Massenspektrometrie.
Nehmen Sie im Weiteren explizit an, dass |∆t A − ∆t B | ≪ τ 235 , τ 238 und lösen Sie nach
∆t A (oder ∆t B ) auf.
Berechnen Sie das ungefähre Alter zweier Gesteinsproben, in denen die gemessenen
relativenHäufigkeitenvon 207 Pbund 206 PbdieWerteR 1 (A) = 0.4205,R 2 (A) = 0.4590
sowie R 1 (B) = 0.4197, R 2 (B) = 0.4586 haben. Außerdem ist bekannt, dass das gegenwärtigeVerhältnis
derbeidenUran-Isotope 238 U/ 235 U=137.88ist.
(2Pkt.)
(3Pkt.)
(2Pkt.)
Lösung: Die Häufigkeiten, um die es hier geht, ergeben sich einerseits aus den primordialenAnfangsanteilenvon
207 Pbund 206 Pb,d.h.denAnteilen,dienichtdurchden
Zerfall instabiler Isotope anderer Atome entstanden sind, und andererseits aus den
durch radioaktiven Zerfall entstandenen Anteilen. Das primordiale Isotopenverhältnis
207 Pb 0 / 206 Pb 0 ist homogen. Sind die chemischen und dynamischen Verhältnisse
bei der Entstehung gleichartiger Gesteine gleich, dann sollten die Absolutanteile an
Blei gleich sein und damit auch die primordialen Anteile an Bleiisotopen. Die nicht
primordialenAnteilesolltenauchgleichsein,wenndieChemiedieinsiezerfallenden
Elemente während des Entstehungsprozesses der Gesteine in gleichen Mengen zur
Verfügung stellt oder entzieht (ein chemischer Prozess könnte z.B. eine lösliche Radiumverbindung
produzieren, die im Verlauf der Gesteinsentstehung ausgewaschen
wird).So etwalässtsich dieHomogenitätsannahme rechtfertigen.
(a) Für dieDifferenzvon R 1 erhaltenwir
R 1 (A)−R 1 (B) = 207 Pb 0
204 Pb + ∆ 207 Pb(∆t A )
204 − 207 Pb 0
Pb 204 Pb − ∆ 207 Pb(∆t B )
204 Pb
= 207 Pb(∆t A )− 207 Pb(∆t B )
204 Pb
Vorrechnen: 17.05.2013 6

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sowie
also
R 2 (A)−R 2 (B) = 206 Pb(∆t A )− 206 Pb(∆t B )
204 Pb
q AB = 207 Pb(∆t A )− 207 Pb(∆t B )
206 Pb(∆t A )− 206 Pb(∆t B )
und können vonhier aballeBleiisotopeaußer 207 Pb und 206 Pb außerAcht lassen.
MitdenGleichungenderAufgabenstellung lässtsich q AB wie folgtumformen
235 U ( 2 ∆t A/τ 235
−1 ) − 235 U ( 2 ∆t B/τ 235
−1 )
q AB =
238 U(2 ∆t A/τ 238 −1)− 238 U(2 ∆t B/τ 238 −1)
und wir erhalten:
q AB = 235 U 2 ∆t A/τ 235
−2 ∆t B/τ 235
238 U 2 ∆t . (15)
A/τ 238 −2 ∆t B /τ 238
(b) Es ist klar, dass eine einzige Gleichung wie (15) nicht ausreichen kann, die zwei
Zeiten ∆t A und ∆t B zu bestimmen. Nimmt man die beiden Zeiten jedoch als nahezu
gleich an, so kann man eine von beiden (oder ihren Mittelwert) näherungsweise.berechnen
q AB = 235 U
238 U 2∆t A
= 235 U
238 U 2∆t A
( ) 1
τ
− 1
235 τ 1−2
(∆t B −∆t A )/τ 235
238
1−2 (∆t B−∆t A )/τ 238
( 1
τ 235
− 1
τ 238
)
1−1−ln2(∆tB − ∆t A )/τ 235
+O ( (∆t B − ∆t
1−1−ln2(∆t B − A ) 2)
∆t A )/τ 238
= 235 ( )
U 1
238 U 2∆t A τ
− 1
235 τ τ238 238 +O ( (∆t B − ∆t A ) 2) ,
τ 235
wowirgemäß2 x = e ln2x = 1+ln2x+O ( x 2) entwickelthaben.DurchLogarithmierenerhaltenwir:
lnq AB = 235 (
U 1
ln
238 U +ln2∆t A − 1 )
+ln τ 238
,
τ 235 τ 238 τ 235
was sich leichtnach ∆t A auflösenlässt:
,
∆t A =
ln τ 235
238 U
+ln
τ 235 238 U +ln R 1(A)−R 1 (B)
R 2 (A)−R 2 (B)
( 1
ln2 − 1 ) . (16)
τ 235 τ 238
Für ∆t B erhältman imRahmendieserNäherung dasselbeErgebnis.
(c) Zwischenergebnisse:
ln τ 235
= ln 7.04
τ 238 44.7 = −1.84837
238 U
ln
235 = ln137.88 = 4.92638
U
q AB = 0.4205−0.4197
0.4590−0.4586 = 2.0
1
− 1 = 1.1967×10 −9 a −1
τ 235 τ 238
Vorrechnen: 17.05.2013 7

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Endergebnis:
∆t A = 4.55×10 9 a.
Es sind insgesamt 18 Punkte zu erreichen. Die Aufgaben sind zum unten genannten Termin
vorzurechnen.
Vorrechnen: 17.05.2013 8