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Prozessfähigkeit
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Grundlagen
Fähigkeitskennzahlen dienen zur Beschreibung der aktuellen sowie der zukünftig zu
erwartenden Leistung eines Prozesses.
Allgemein versteht man unter einer Fähigkeitskennzahl das Verhältnis aus Toleranz
zur Streuung des Prozesses. Dabei bezieht man sich auf einen Bereich, bei dem
99,73% innerhalb der Spezifikation liegen (±3σ bzw. ±3s). Im Falle eines Herstellungsprozesses
handelt es sich um die Prozessfähigkeit C p . Zur Berücksichtigung
einer Mittelwertverschiebung (Abweichung von der idealen Prozesslage), wird der
Wert C pk eingeführt, der immer schlechter oder gleich groß ist wie C p (C pk ≤ C p ). In
der Regel gilt ein Prozess als fähig, wenn C pk ≥ 1,33 ist.
Im folgendem werden für verschiedene Verteilungsformen die Beziehungen dargestellt:
Normalverteilung
Die Normalverteilung ist anzuwenden, wenn Abweichungen vom Sollwert durch zufällige
Einflüsse vorliegen, die auditiv wirken.
OTG −UTG
T
C p
=
=
6s
6s
x −UTG
OTG − x
C pu
=
C po
=
3s
3s
pk
( C C )
C = Min ;
pu
po
mit
UTG : untere Toleranzgrenze
OTG : obere Toleranzgrenze
T : Toleranz
µ : Mittelwert
Ist der tatsächliche Mittelwert und die Standardabweichung bekannt, so ist µ und σ
anstelle von x und s einzusetzen. Der C pk - Wert kann über
C
pk
= C 1
p
( − z )
berechnet werden, mit
x − ( OTG + UTG ) / 2
z =
( OTG − UTG ) / 2
für mittigen Sollwert
xsoll
− x
z =
( OTG −UTG ) / 2
für nicht mittigen Sollwert
Beispiele:
4 σ
4 σ 6 σ
2 σ
OTG-UTG = 8 σ
OTG-UTG = 8 σ
C p = 1,33 C pu = 1,33 C po = 1,33 C pk = 1,33 C p = 1,33 C pu = 2,0 C po = 0,67 C pk = 0,67

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Der Vertrauensbereich ist definiert über:
= 1 ±
/;
mit ν = n-1
= 1 ± /
+
Literatur: Rinne, Statistische Methoden der Qualitätssicherung .
Lognormalverteilung
Die Lognormalverteilung ist anzuwenden, wenn die Verteilung links einseitig begrenzt
ist, nur positive Werte vorkommen und Abweichungen vom Sollwert durch
zufällige Einflüsse entstehen, die multiplikativ wirken.
C p
ln( OTG)
− ln( UTG)
=
6 s
log
C pu
pk
x
=
log
−ln(
UTG)
3s
log
( C C )
C = Min ;
pu
po
C po
ln( OTG)
− x
=
3s
log
log
1 ⎛ n
⎜
= ⎜∑
ln(
n
⎝ i=
1
⎞
⎟
) ⎟
⎠
n
x x
log
i
1
2
slog = ∑( ln( x i
) −x
log)
)
n −1
i=
1
Liegen die Einzelwerte nicht vor, so kann näherungsweise x
log
und s
log
aus dem
Mittelwert und der Standardabweichung der Normalverteilung mit
2
2
x 1 ⎛ s ⎞ ⎛ s
≈ −
⎜ +
⎟
log
ln( x)
ln 1
2
2 ⎝ x ⎠
⎟ ⎞
s ≈ ⎜
log
ln 1 +
2
⎝ x ⎠
berechnet werden.

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Betragsverteilung 1. Art
Diese ist anzuwenden wie bei der Normalverteilung, jedoch wenn die Verteilung
einseitig begrenzt ist und nur positive Werte vorkommen können. Der Fähigkeitsindex
wird über eine allgemeingültige Formel berechnet:
C
1
3
pk
= u1
− p
p = Anteil außerhalb der oberen Spezifikationsgrenze und u die Verteilungsform
der standardisierten Normalverteilung.
Anstelle dieser Beziehung kann auch die weiter unten beschriebene Percentil-Methode
verwendet werden, was bei kleinen Überschreitungsanteilen p sinnvoll ist.
Betragsverteilung 2. Art (Rayleigh-Verteilung)
Die Anwendung dieser Verteilungsart ist z.B. für Unwuchten gegeben.
Auch hier gilt die allgemeine Formel:
C
1
3
pk
= u1
− p
mit Annäherung an die
Weibull-Verteilung mit b=2
Verteilungsfreie Percentil-Methode
Bei nicht bekannter Verteilung ist die so genannte Percentil-Methode zu verwenden.
Allgemein gilt:
C p
OTG −UTG
=
X 99
− X
,865%
0,135%
Für eine Normalverteilung entspricht der Nenner 6s. Für eine nicht normal verteilte
Form kann der Bezugsbereich ermittelt werden, wie in der ISO/TR 12783 beschrieben.
Analog zur Normalverteilung gilt:
X
−UTG
50%
C pu
= und
X
50%
− X
0,135%
C po
OTG − X
=
X − X
99,865%
50%
50%
X 50%
pk
( C C )
C = Min ;
pu
po
99,73%
X 0,135% X 99,865%

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Verteilungsformen verschiedener Konstruktionsmerkmale
Die folgende Tabelle zeigt eine
Übersicht, für welche Konstruktionsmerkmale
welche Verteilung
vorkommt:
N
B1
B2
: Normalverteilung
: Betragsnormal 1. Art
: Betragsnormal 2. Art
Prozessfähigkeitsuntersuchung (PFU)
Die Prozessfähigkeitsuntersuchung soll sich auf einen Beobachtungszeitraum von
mindestens 20 Produktionstagen beziehen. So gehen Einflüsse der Maschine, des
Materials, der Methode, des Bedieners und der Umgebung in die Betrachtung ein.
Dabei zieht man in möglichst gleichmäßigen Intervallen Stichproben im Umfang von
3 – 5 x 25 Stichproben. Zur Darstellung der Ergebnisse werden die Prozessfähigkeitskoeffizienten
C p und C pk verwendet. Die Berechnung erfolgt nach den
vorher dargestellten Beziehungen. Die wahren Werte unterliegen einer Zufallsstreuung,
weshalb ein Gesamtstichprobenumfang von 125 empfohlen wird.
Maschinenfähigkeitsuntersuchung (MFU)
Maschinenfähigkeitsuntersuchungen werden über einen kurzen Zeitraum durchgeführt.
Damit gehen hier im Wesentlichen die Maschine und Methode ein. Einflüsse
unterschiedlicher Materialien, Bediener oder Umgebungsbedingungen werden nicht
berücksichtigt und sollen daher möglichst konstant sein. Die Formeln sind die
gleichen, wie für die Prozessfähigkeit. Die Ergebnisse werden jedoch als C m und
C mk bezeichnet. Empfohlener Stichprobenumfang ist 50 (Mindestumfang 20). Man
spricht dabei auch von einer Kurzzeitfähigkeitsuntersuchung. Daraus resultieren
auch die im Allgemeinen höheren Anforderungen an die Maschinenfähigkeitskennwerte
(C m ,C mk ≥ 1,67).
Hinweis: Die Benennung C m ,C mk ist in der neuen DIN/ISO Norm 21747 nicht mehr
vorhanden, stattdessen werden die gleichen Benennungen P p /P pk oder C p /C pk
verwendet.

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Anwendung in Visual-XSel ® 12.0
www.crgraph.de/setup12.exe
Unter der Rubrik Fähigkeitskennzahlen können eine Reihe von Templates
geöffnet werden. Die wichtigste ist die Datei Prozessfähigkeit_CpCpk.vxg.
® Visual-XSel ist ein eingetragenes Warenzeichen

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Geben Sie die auszuwertenden Daten in Spalte B ein, z.B. über die Option
„Löschen+Einfügen“ innerhalb der Sprechblase.
Nicht zu vergessen sind weitere Angaben in den gelb unterlegten Feldern rechts.
Danach erscheint die Sprechblase zum Starten des Makros, das auch mit F9
ausgeführt wird.
C p / C pk mit
Vertrauensbereich
Angabe, ob
normalverteilt,
ansonsten weitere
Templates verwenden
Nutzbarer oder
notwendiger
Toleranzbereich

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Beispiel Betragsnormalverteilung
Für eine Betragsnormalverteilung ist kein Aufruf eines Templates notwendig. Die
Darstellung ist rein über den Diagrammtyp Histogramm möglich. Am besten ist es
über das Startbild Diagramm aufzurufen (hiermit erscheinen weitere Sprechblasen).
Limit hier eintragen.
Nur hiermit wird auch
ein Cp-Wert angezeigt.

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Im Diagramm wird senkrecht das Limit als OSG (obere Spezifikations-Grenze) mit
dem dazugehörigen C po -Wertes angezeigt. Über die rechte Maustaste kann dieses
Limit nachträglich geändert werden. Hinweis: Bei Betragsnormalverteilung gibt es in
der Regel nur eine obere Grenze. Es kann aber auch eine untere definiert werden
und es gibt zusätzliche einen C pu -Wert. C pk ist dann, wie unter Grundlagen
beschrieben, der kleinere von beiden.
Vom Hauptfenster aus kann man über die Ikone Diagramm oder über den
Menüpunkt Diagramm/Diagrammtyp wieder in die Dialogbox der Einstellungen
gelangen. Anstelle die Überschreitungsanteile aus der Funktion zu bestimmen, ist
es auch möglich diese direkte auszuzählen. Hierfür sollten aber genügend große
Stichproben vorliegen.