Programmreport 2012 - DORIS - Bundesamt für Strahlenschutz
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Für die probabilistische bzw. stochastische Simulation von Prozessen werden danach Verdünnungs- und<br />
Ausbreitungsmodelle untersucht, die mit Hilfe gewöhnlicher bzw. stochastischer Differentialgleichungen, mit<br />
Differentialgleichungssystemen oder mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden.<br />
5.2.1 Spezifizierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen <strong>für</strong> Modellparameter<br />
Für die probabilistische Beschreibung von Modellparametern stehen oft mehrere Verteilungsarten zur Auswahl,<br />
die sich weitgehend ähneln, sich jedoch insbesondere in den Randbereichen voneinander unterscheiden.<br />
Zur Auswahl der Verteilungsart und Anpassung der Verteilungsparameter an Stichprobendaten sollten<br />
vornehmlich solche Verteilungen in die engere Wahl einbezogen werden, die auf Basis fachspezifischer Überlegungen<br />
zur Genesis der jeweiligen Verteilungsart plausibel sind. Verteilungen, die nach gängigen Goodness-of-Fit-Tests<br />
(vorzugsweise Anwendung des Anderson-Darling-Tests) mit einer geringen Irrtumswahrscheinlichkeit<br />
abgelehnt werden, stellen in der Regel kein sinnvolles statistisches Modell <strong>für</strong> den untersuchten<br />
Modellparameter dar. Nach einer Anwendung dieser Kriterien können mehrere Verteilungsarten in der engeren<br />
Auswahl verbleiben. In der Regel sollten dann Verteilungen mit möglichst wenigen anzupassenden Parametern<br />
bevorzugt werden, die mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden können. Der darauf<br />
basierende Log-Likelihood-Test ist eine effiziente Methode zur Selektion aus verschiedenen möglichen Verteilungsarten.<br />
Für eine hohe Wahrscheinlichkeit der korrekten Selektion der Verteilungsart sind häufig Stichprobenumfänge<br />
von 200 (oder mehr) erforderlich. Der benötigte Stichprobenumfang wird durch mehrere Faktoren bestimmt,<br />
wie der Anzahl und Art von Verteilungsfamilien, mit denen die untersuchte Zufallsgröße ähnlich gut modelliert<br />
werden kann, sowie dem Verlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte der "wahren" Verteilungsfamilie in Relation<br />
zu den alternativen Verteilungen. Für die Wahl einer speziellen Verteilung aus ähnlichen Alternativen sind bei<br />
der probabilistischen (Expositions-)Modellierung weitere Gesichtspunkte relevant. Diesbezügliche Kriterien<br />
sind die Eignung der Verteilungsart <strong>für</strong> andere Datensätze des gleichen Typs sowie die Konsequenzen <strong>für</strong> die<br />
Bewertung von extremen Ereignissen.<br />
5.2.2 Schätzunsicherheiten und Abhängigkeiten zwischen Verteilungsparametern<br />
1D-Monte-Carlo-Simulationen nutzen Punktschätzer der Verteilungsparameter, die z. B. mit der Maximum-Likelihood-Methode<br />
berechnet werden können. Mit Ansätzen der klassischen Statistik können dazu<br />
zwar Konfidenzintervalle <strong>für</strong> die einzelnen Verteilungsparameter berechnet werden, es werden jedoch keine<br />
Abhängigkeiten zwischen unsicheren Verteilungsparametern bestimmt. Diese werden aber <strong>für</strong> eine korrekte<br />
Erfassung der epistemischen Unsicherheiten dieser Schätzungen mit Hilfe von 2D-Monte-Carlo-Simulationen<br />
benötigt.<br />
Eine gängige Methode zur Bestimmung solcher Abhängigkeiten ist das Bootstrapping. Aus der <strong>für</strong> eine Stichprobe<br />
geschätzten Verteilung wird hierbei eine große Anzahl neuer Stichproben simuliert, mit denen die Verteilungsparameter<br />
erneut geschätzt werden, um epistemische Unsicherheiten der ursprünglichen Schätzung<br />
zu quantifizieren. Diese Vorgehensweise ist aber in vielen Fällen unzureichend, da nominelle Vorgaben zum<br />
Vertrauensniveau von Konfidenzgrenzen erheblich verfehlt werden können<br />
Eine mathematisch konsistente Lösung des Problems ist die Berechnung Bayes'scher Posteriordichten <strong>für</strong> die<br />
aus einer Stichprobe resultierende Wahrscheinlichkeit, dass die Verteilungsparameter der zu Grunde liegenden<br />
Population in einem bestimmten Bereich des Parameterraums liegen. Die Analyse und Simulation unsicherer<br />
Verteilungsparameter unter Beachtung gegenseitiger Abhängigkeiten ist Kern der Bayes-Theorie, die<br />
<strong>für</strong> probabilistische Modellierungen vorzugsweise genutzt werden sollte. Beim Ansatz von geeigneten<br />
nicht-informativen Priorverteilungen <strong>für</strong> die unbekannten Verteilungsparameter resultieren auch gute frequentistische<br />
Eigenschaften <strong>für</strong> Konfidenzintervalle. Zur Berechnung und Simulation von Posteriordichten können<br />
neben allgemeinen Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden in vielen Fällen relativ einfach realisierbare spezielle<br />
Verfahren genutzt werden.<br />
5.2.3 Berücksichtigung statistischer Abhängigkeiten zwischen Modellparametern<br />
Zwischen den Parametern von Expositionsmodellen können statistische Abhängigkeiten vorliegen, die sich<br />
insbesondere auf die Randbereiche der Verteilung der Zielgröße stark auswirken können. Solche Abhängigkeiten<br />
werden oft vernachlässigt oder nur mit stark vereinfachten Ansätzen modelliert, die zu Fehleinschätzungen<br />
der Wahrscheinlichkeit des Auftretens extremer Ereignisse führen.<br />
Zur Analyse und Simulation von Abhängigkeiten zwischen Modellparametern kann die Copula-Theorie effektiv<br />
genutzt werden. Copulas sind spezielle Funktionen, mit denen gemeinsame Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen<br />
mit Hilfe ihrer Randverteilungen dargestellt werden können. Zur Auswahl und Anpassung von<br />
Copulas an multivariate Stichproben wurden im vorliegenden Bericht die wichtigsten mathematischen Metho-<br />
TB 05<br />
Ergebnisse<br />
Ergebnisse der abgeschlossenen Forschungsvorhaben im Jahr <strong>2012</strong> - TB 05 63