m v m v v m m m m m v v v m m m m - H. Klinkner
m v m v v m m m m m v v v m m m m - H. Klinkner
m v m v v m m m m m v v v m m m m - H. Klinkner
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Name:<br />
BBS Technik Idar-Oberstein<br />
Impulserhaltung, Stoßgesetze<br />
Datum:<br />
Zwei Wagen bewegen sich laut Skizze.<br />
Welche Bewegungszustände herrschen nach dem<br />
Stoß, wenn ...<br />
a) eine plastische Masse und<br />
b) ein Feder sich zwischen den Wagen befindet?<br />
Anfang Ende actio = reactio<br />
F ⋅ ∆t = m 1 ⋅ ( v 1a - v 1e ) = m 2 ⋅ (v 2a - v 2e ) = Kraftstoß = Impulsänderung<br />
m 1 ⋅ v 1a - m 1 ⋅ v 1e = m 2 ⋅ v 2a - m 2 ⋅ v 2e<br />
m 1 ⋅ v 1a + m 2 ⋅ v 2a = m 1 ⋅ v 1e + m 2 ⋅ v 2e Impulserhaltungsgesetz<br />
Impuls vorher = Impuls nachher<br />
Vektor ( Richtung beachten!)<br />
zu a) unelastischer Stoß<br />
(Beide Wagen haben die gleiche Endgeschwindigkeit)<br />
m 1 ⋅ v 1a + m 2 ⋅ v 2a = (m 1 + m 2 ) ⋅ v e<br />
v<br />
e<br />
m ⋅ v + m ⋅v<br />
=<br />
m + m<br />
1 1a<br />
2 2a<br />
1 2<br />
a) unelastischer Stoß<br />
ein Teil der kinetischen Energie ging „verloren“. Verformungsarbeit Wärme<br />
10kg<br />
8 m 6kg<br />
3 m<br />
ve<br />
= ⋅ s<br />
+ ⋅ s = 6,125 m<br />
16kg<br />
s<br />
zu b) elastischer Stoß<br />
keine Verluste nicht nur der Impuls, sondern auch die Energie bleiben erhalten:<br />
m − m 2 ⋅ m<br />
v = ⋅ v + ⋅v<br />
1 2 2<br />
1e m<br />
1 2<br />
1<br />
+ m<br />
a a<br />
2<br />
m1 + m2<br />
W kin vorher = W kin nachher<br />
Impuls vorher = Impuls nachher<br />
b) elastischer Stoß<br />
10kg − 6kg 12kg<br />
v<br />
1e<br />
= ⋅ 8 m + ⋅ 3 m = 4,25 m<br />
16kg<br />
s 16kg<br />
s s<br />
m − m 2 ⋅ m<br />
v = ⋅ v + ⋅v<br />
2 1 1<br />
2e m<br />
2 1<br />
2<br />
+ m<br />
a a<br />
1<br />
m2 + m1<br />
− 4kg<br />
20kg<br />
= ⋅ 3 m + ⋅ 8 m = 9,25 m<br />
16kg<br />
s 16kg<br />
s s
Name:<br />
BBS Technik Idar-Oberstein<br />
Impulserhaltung, Stoßgesetze<br />
Datum:<br />
Exkurs:<br />
Herleitung der Formel für den elastischen Stoß<br />
Keine bleibende Verformung Bewegungsenergie bleibt erhalten:<br />
Impulserhaltung<br />
und<br />
Energieerhaltung<br />
m1 ⋅ v<br />
1a + m2 ⋅ v<br />
2a = m1 ⋅ v<br />
1e + m2 ⋅v<br />
2 2 2 2<br />
2e<br />
1 m v 1 m v 1 m v 1 m v<br />
m ⋅ ( v − v ) = m ⋅ ( v −v<br />
)<br />
1 1a 1e 2 2e 2a<br />
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅<br />
2 2 2 2<br />
m ⋅ ( v − v ) = m ⋅ ( v −v<br />
)<br />
1 1a 2 2a 1 1e 2 2e<br />
2 2 2 2<br />
1 1a 1e 2 2e 2a<br />
3. Binom:<br />
2 2<br />
a −b =(a+b)(a−b)<br />
⋅ ⇒<br />
2 2 2 2<br />
m1 ⋅ ( v1a −v1e) m2 ⋅ ( v2e −v2a)<br />
=<br />
m ⋅ ( v −v ) m ⋅( v −v<br />
)<br />
1 1a 1e 2 2e 2a<br />
( v1a + v1e) ⋅ ( v1 a<br />
− v1e) ( v<br />
2e + v<br />
2a) ⋅ ( v<br />
2e −v<br />
2a)<br />
=<br />
( v −v ) ( v −v<br />
)<br />
1a 1e 2e 2a<br />
( v + v ) = ( v + v )<br />
1a 1e 2e 2a<br />
m ⋅ ( v − v ) = m ⋅ ( v + v −v −v<br />
)<br />
1 1a 1e 2 1a 1e 2a 2a<br />
= m ⋅ ( v + v − 2 ⋅v<br />
)<br />
2 1a 1e 2a<br />
v = v + v −v<br />
2e 1 a 1e 2a<br />
m ⋅v − m ⋅ v + 2 ⋅m ⋅ v = m ⋅ v + m ⋅v<br />
1 1a 2 1a 2 2a 1 1e 2 1e<br />
v ⋅ ( m − m ) + 2 ⋅ m ⋅ v = v ⋅ ( m + m )<br />
1a 1 2 2 2a 1e<br />
1 2<br />
m − m 2 ⋅ m<br />
v = ⋅ v + ⋅v<br />
1 2 2<br />
1e m<br />
1 2<br />
1<br />
+ m<br />
a a<br />
2<br />
m1 + m2
Name:<br />
BBS Technik Idar-Oberstein<br />
Impulserhaltung, Stoßgesetze 2<br />
Datum:<br />
1. Zwei unterschiedlich große Massen (2 kg, 5 kg) haben zufällig den gleichen Impuls<br />
Haben sie dann auch die gleiche kinetische Energien?.<br />
Da m 1 ⋅ v 1 = m 2 ⋅ v 2 , so hat die kleinere Masse eine entsprechend höhere Geschwindigkeit. Bei der<br />
kin. Energie wirkt sich aber die Geschwindigkeit quadratisch aus, d.h. die kleinere Masse hat die<br />
höhere Energie.<br />
m2 m2<br />
z. B. : m1 sei ⇒ v1 = x ⋅v2 ( denn : m1 ⋅ v1 = ⋅ x ⋅v<br />
x<br />
x<br />
2)<br />
m1 2 m2 2 m2 2 2 m2<br />
2<br />
Wkin<br />
1<br />
= ⋅ v1 = ⋅ ( x ⋅ v2)<br />
= ⋅ x ⋅ v2 = x ⋅ ⋅ v2<br />
= x ⋅Wkin<br />
2<br />
2 2 ⋅ x<br />
2 ⋅ x<br />
2<br />
2. Ein Wagen mit der Gesamtmasse von 100 kg bewegt sich laut Skizze mit<br />
gleich bleibender Geschwindigkeit von 4 m/s. Ein zweiter Wagen bewegt<br />
sich mit 12 m/s dem ersten entgegen. Unmittelbar nach dem Stoß sind<br />
beide Wagen in Ruhe.<br />
a) Begründe, warum die Massen unterschiedlich sein müssen!<br />
b) Berechne die träge Masse m 2 . 33,3 kg<br />
Da beide Massen ihren Impuls vollständig verlieren, müssen die Impulse (entgegengesetzt) gleich<br />
groß gewesen sein.<br />
m ⋅ v + m ⋅ ( − v ) = 0 ⇒ m ⋅ v = m ⋅v<br />
1 1 2 2 1 1 2 2<br />
Da v > v ist, muss m < m sein.<br />
m<br />
2 1 2 1<br />
m ⋅v<br />
100kg<br />
⋅ 4 m<br />
s<br />
12 m<br />
s<br />
1 1<br />
2<br />
= = =<br />
v2<br />
33,3 kg<br />
3. Ein Eisenbahnwaggon von 8 t rollt beim Rangieren<br />
eine 60 cm hohe Gefällstrecke herab und stößt dann<br />
laut Skizze (verlustfrei) gegen ein Hindernis.<br />
a) Welche max. Kraft entsteht in jeder der beiden Federn mit D = 48000 N/cm? 480 kN<br />
b) Wie groß ist der Kraftstoß auf das Hindernis?<br />
c) Wie ändern sich die Ergebnis von a) und b), wenn Federn mit 24000 N/cm verwendet werden?<br />
a) geg.: m = 8000 kg<br />
h = 0,6 m<br />
D = 48 000 N/cm<br />
= 4 800 000 N/m<br />
ges.: F max in N<br />
b)<br />
Energiebilanz : W = 2 ⋅W<br />
m ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 1 Fmax<br />
⋅ s D = F<br />
2<br />
s<br />
2<br />
1 Fmax<br />
m ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ ⋅<br />
2 D<br />
Fmax = D ⋅ m ⋅ g ⋅ h = 4800 000 N ⋅ 8000kg ⋅10 m<br />
2<br />
⋅ 0, 6m<br />
m<br />
s<br />
F = 480kN<br />
max<br />
Pot<br />
Spann<br />
F ⋅ ∆ t = m ⋅ ∆v<br />
ve<br />
= 0<br />
F ⋅ ∆ t = m ⋅v<br />
v aus kin. Energie :<br />
1 2<br />
m ⋅ v = m ⋅ g ⋅h<br />
2<br />
v = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅10 m ⋅ 0,6 m = 3, 45<br />
m<br />
s<br />
s<br />
F ⋅ ∆ t = 8000kg ⋅ 3, 45 m = 27 712kg<br />
m<br />
s<br />
s<br />
oder Ns<br />
Hinweis für physikalisch-technisch Sensible: Da sich die Feder wieder entspannt, ist der Kraftstoß größer als<br />
errechnet (∆v ist größer). Wären die Reibungsverluste Null, dann wäre der Kraftstoß doppelt so groß wie errechnet<br />
und der Waggon rollte wieder den Berg hoch. ;-)<br />
c) Bei Verwendung einer weicheren Feder verringert sich die max. Kraft (um den Faktor 2 , s. 3a)<br />
Der Kraftstoß ändert sich nicht. (Die Zeit ∆t wird größer, aber m⋅v bleibt unverändert.)
Name:<br />
BBS Technik Idar-Oberstein<br />
4. Zwei zylindrische Körper von m 1 = 120 g und m 2 = 300 g werden<br />
durch eine plötzlich sich entspannender Feder in entgegen<br />
gesetzter Richtung aus dem Lauf geworfen.<br />
Mit welcher Geschwindigkeit werden sie davon geschleudert, wenn die Feder eine Spannenergie von<br />
5 Nm abgibt? 7,72 m/s 3.09 m/s<br />
geg.: m 1 = 0,12 kg<br />
m 2 = 0,3 kg<br />
W Spann = 5 Nm<br />
ges.: v 1 und v 2 in m/s<br />
Impulserhaltung, Stoßgesetze 2<br />
1 Impulserhaltung: 0 = m 1 ⋅(-v 1 ) + m 2 ⋅v 2 <br />
2 Energieerhaltung: W Spann = ½ ⋅ m 1 ⋅ v 1 2 + ½ ⋅ m 2 ⋅ v 2<br />
2<br />
Datum:<br />
m1 ⋅v2<br />
v1<br />
=<br />
m<br />
2<br />
2 2<br />
1 m2 2 1 2 1 2 ⎛ m2<br />
⎞<br />
WSpann<br />
= m1 2<br />
⋅ v2 + m2 ⋅ v2 = ⋅v2 ⋅ m2<br />
2 m 2 2 ⎜ +<br />
m ⎟<br />
1<br />
⎝ 1 ⎠<br />
2 ⋅W<br />
2 ⋅ 5Nm<br />
v = 2 ⋅ g ⋅ h = =<br />
m 0, 09<br />
kg + 0,3 kg<br />
0,12<br />
Spann<br />
2 2<br />
2<br />
m<br />
+ m2<br />
1<br />
kg ⋅ m<br />
m<br />
v = = 3, 086 ⇒ = = s = 7,715 m<br />
s m s<br />
10<br />
2<br />
m<br />
s<br />
m<br />
m 0,3 3, 086<br />
2<br />
⋅v<br />
kg ⋅<br />
2<br />
2<br />
v1<br />
1, 05 kg<br />
1 0,12 kg<br />
5. Eine Masse m 1 = 2 kg trifft mit der Geschwindigkeit von 3 m/s unelastisch auf eine ruhende zweite<br />
Masse von m 2 = 8 kg.<br />
a) Welche Endgeschwindigkeit entsteht und 0,6 m/s<br />
b) welcher Bruchteil der anfänglichen kinetischen Energie wird in Form von Formänderungsarbeit<br />
in Wärme „verwandelt“? 80 %<br />
a) geg.: m 1 = 2 kg<br />
v 1a = 3 m/s<br />
m 2 = 8 kg<br />
v 2a = 0 m/s<br />
ges.: v e in m/s<br />
Verlust in %<br />
b)<br />
m 1 ⋅ v 1a + m 2 ⋅ v 2a = (m 1 + m 2 )⋅v e<br />
= 0<br />
⋅ 2kg<br />
⋅3<br />
m<br />
v<br />
s<br />
e<br />
= = = 0,6<br />
m + m 10kg<br />
s<br />
m1 v1<br />
a<br />
m<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
W 1 1<br />
kin vorher<br />
= m1 ⋅ v1 a<br />
= 2 kg ⋅ 9 m<br />
2<br />
= 9 Nm<br />
2 2 s<br />
2<br />
1 2<br />
W ( 1<br />
kin nachher<br />
= m1 + m2) ⋅ ve<br />
= ⋅10kg ⋅ 0,36 m<br />
2<br />
= 1,8 Nm<br />
2 2<br />
s<br />
⇒ Differenz = Wärme = 9Nm − 1,8 Nm = 7,2 Nm<br />
7,2 Nm<br />
⇒ Wärme = = 0,8 = 80%<br />
W 9Nm<br />
vorher<br />
6. Ein Auto (m 1 = 1,6 t) soll ein anderes (m 2 = 0,9 t) abschleppen.<br />
Welche Geschwindigkeiten treten nach dem Ruck auf, der entsteht, wenn das ziehende Auto beim<br />
Straffen des elastischen Abschleppseiles die Geschwindigkeit von 0,8 m/s besitzt? 0,224 m/s 1,024 m/s<br />
geg.: m 1 = 1,6 t<br />
v 1a = 0,8 m/s<br />
m 2 = 0,9 t<br />
v 2a = 0 m/s<br />
ges.: v 1e und v 1e in m/s<br />
m − m 2 ⋅ m<br />
v = ⋅ v + ⋅v<br />
1 2 2<br />
1e m<br />
1 2<br />
1<br />
+ m<br />
a a<br />
2<br />
m1 + m2<br />
v<br />
1e<br />
1,6 t − 0,9 t<br />
= ⋅ 0,8 m = 0,224 m<br />
1,6 t + 0,9 t s s<br />
Impulserhaltung: m 1 ⋅v 1a = m 1 ⋅v 1e + m 2 ⋅v 2e<br />
v<br />
v<br />
2e<br />
2e<br />
m1 ⋅ ( v 1,6 (0,8 0,224 )<br />
1a<br />
−v 1e)<br />
t ⋅ m − m<br />
= = s s<br />
m2<br />
0,9t<br />
= 1, 024 m<br />
s<br />
= 0
Name:<br />
BBS Technik Idar-Oberstein<br />
Impulserhaltung, Stoßgesetze 2<br />
Datum:<br />
7. Ballistisches Pendel:<br />
Um die Geschwindigkeit eines Geschosses (m 1 = 12 g) zu bestimmen,<br />
wird dieses in eine pendelnd aufgehängte Sandkiste (m 2 = 20 kg)<br />
geschossen, die dadurch um h = 2 cm angehoben wird.<br />
Welche Geschwindigkeit hatte das Geschoss?<br />
1055 m/s<br />
geg.: m 1 = 0,012 kg<br />
m 2 = 20 kg<br />
h = 0,02 m<br />
ges.: v 1a in m/s<br />
Impulserhaltung: m 1 ⋅v 1a = (m 1 + m 2 ) ⋅ v e<br />
1 (<br />
2<br />
m1 + m2 ) ⋅ ve<br />
= ( m1 + m2<br />
) ⋅ g ⋅h<br />
2<br />
ve<br />
= 2 ⋅ g ⋅h<br />
(= 0,63 m)<br />
s<br />
( m1 + m2) 20, 012kg v<br />
1a<br />
= ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h = ⋅ 2 ⋅10 m<br />
2<br />
⋅ 0, 02m<br />
m1<br />
0, 012kg s<br />
v<br />
1a<br />
= 1055 m<br />
s<br />
= aus W kin = W pot<br />
8. Begründe, warum α 1 = α 2 sein muss.<br />
Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, ist auch der Impuls ein Vektor.<br />
Somit kann man seine Komponenten getrennt betrachten: Beim Stoß kehrt<br />
sich nur der senkrecht zur Wand wirkend Impuls um (s. Skizze). Deshalb<br />
bleiben die Winkelverhältnisse gleich: α 1 = α 2 .<br />
9. Ein Tennisball und ein Tonklumpen haben beide die gleiche Masse und werden mit der gleichen<br />
Geschwindigkeit gegen die Wand geworfen.<br />
Begründe, warum der Kraftstoß auf die Wand dennoch unterschiedlich ist.<br />
Beide Massen haben am Anfang den gleichen Impuls.<br />
Der Tonklumpen verliert den Impuls vollständig, weil am Ende seine Geschwindigkeit gleich bleibt.<br />
P = m⋅∆v = F⋅∆t = I Kraftstoß I ist hier = m⋅v<br />
Der Tennisball verliert den Impuls (kurzzeitig) vollständig, wird aber sofort (durch die<br />
Spannenergie) in die rückwärtige Bewegung beschleunigt.<br />
Kraftstoß I ist hier = m⋅2v<br />
10. Kreuze die richtigen Antworten an.<br />
Der Impuls hat die gleiche Einheit wie der Kraftstoß.<br />
Auch beim elastischen Stoß bleibt die Summe der Impulse konstant.<br />
Der Impuls eines Körpers ist immer so groß wie der Kraftstoß während des Zusammentreffens.<br />
Beim unelastischen Stoß entsteht Wärme.<br />
Beim elastischen Stoß ist die Kraft während der Berührung konstant.<br />
Impuls und Kraftstoß sind durch das Grundgesetz der Mechanik erklärbar.<br />
Zusätzliche Infos, Beispiele, Aufgaben, Videos:<br />
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/materialseiten/m05_erhaltungssatz.htm