Approximation von Funktionen

Approximation von Funktionen
Gegeben sei eine Funktion f(x) sowie ein Intervall [a,b]. Die Aufgabe bestehe darin, die Funktion
f(x) auf dem Intervall [a,b] durch eine andere (einfachere) Funktion
ϕ(x) = α 0 ϕ 0 (x)+α 1 ϕ 1 (x)+...+α n ϕ n (x)
zu approximieren, das heißt anzunähern. Die einzelnen Funktionenϕ 0 (x),ϕ 1 (x),...,ϕ n (x) müssen
dabei vorgegebene Funktionen sein. Sie heißen Ansatzfunktionen. In unseren Beispielen
wird es sich dabei meistens um Polynome handeln, zum Beispiel ϕ 0 (x) = 1, ϕ 1 (x) =
x,...,ϕ n (x) = x n . Zu bestimmen sind nun noch die Koeffizienten α 0 ,...,α n , und zwar so,
dass die sich ergebende Funktion ϕ(x) die bestmögliche Approximation von f(x) ist. Die Idee
bei der Quadratmittelapproximation ist es, die Koeffizienten α k so zu bestimmen, dass das
Integral
∫ b
a
(f(x)−ϕ(x)) 2 dx
einen möglichst kleinen Wert annimmt. Mithilfe von Aussagen aus der mathematischen Optimierung
kann man nachweisen, dass man die entsprechenden α k als Lösung eines linearen
Gleichungssystems A⃗α = ⃗ b ermitteln kann. Dieses lineare Gleichungssystem heißt Normalgleichungssystem
und hat folgende Gestalt:
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
(ϕ 0 ,ϕ 0 ) [a,b] (ϕ 0 ,ϕ 1 ) [a,b] ··· (ϕ 0 ,ϕ n ) [a,b] α 0
(ϕ 0 ,ϕ 1 ) [a,b] (ϕ 1 ,ϕ 1 ) [a,b] ··· (ϕ 1 ,ϕ n ) [a,b]
α 1
⎜
⎟⎜
⎟
⎝ . .
... . ⎠⎝
. ⎠ = ⎜
⎝
(ϕ 0 ,ϕ n ) [a,b] (ϕ 1 ,ϕ n ) [a,b] ··· (ϕ n ,ϕ n ) [a,b] α n
⎞
(ϕ 0 ,f) [a,b]
(ϕ 1 ,f) [a,b]
⎟
.
(ϕ n ,f) [a,b]
⎠ . (1)
Die Einträge der Koeffizientenmatrix A bzw. der rechten Seite ⃗ b sind dabei Skalarprodukte der
Ansatzfunktionen untereinander bzw. mit der Ausgangsfunktion f. Für zwei Funktionen u,v
wird mit (u,v) [a,b] das Skalarprodukt im Funktionenraum L 2 [a,b] bezeichnet. Es berechnet sich
gemäß folgender Vorschrift:
(u,v) [a,b] =
∫ b
a
u(x)·v(x) dx.
Um das Normalgleichungssystem aufstellen zu können, sind also zunächst einige Integrale auszurechnen.
Zusammenfassend wollen wir noch einmal aufschreiben, welche Schritte durchzuführen sind,
wenn eine Funktion f(x) auf dem Intervall [a,b] approximiert werden soll und dabei die Ansatzfunktionen
ϕ 0 (x),...,ϕ n (x) vorgegeben sind.
S1: Berechne für k = 0,1,...,n und l = k,k +1,...,n alle Skalarprodukte (ϕ k ,ϕ l ) [a,b] und
bilde daraus die Koeffizientenmatrix A des Normalgleichungssystems.
S2: Berechne für k = 0,1,...,n alle Skalarprodukte (ϕ k ,f) [a,b] und bilde daraus die rechte
Seite ⃗ b des Normalgleichungssystems.
S3: Bestimme α 0 ,α 1 ,...,α n als Lösung des Normalgleichungssystems A⃗α = ⃗ b.
S4: Das gesuchte Polynom lautet wie folgt:
ϕ(x) = α 0 ϕ 0 (x)+α 1 ϕ 1 (x)+...+α n ϕ n (x).
1

Beispiel: Die Funktion f(x) = e x ist im Intervall [0,1] durch ein Polynom zweiten Grades
anzunähern. Als Ansatzfunktionen sind dabei die Polynome ϕ 0 (x) = 1, ϕ 1 (x) = x und ϕ 2 (x) =
x 2 zu verwenden.
Wir müssen das Normalgleichungssystem A⃗α = ⃗ b gemäß der Vorschrift (1) aufstellen. Dafür
sind zunächst die Skalarprodukte (ϕ i ,ϕ j ) [0,1] für i = 0,1,2 und j ≥ i zu berechnen, um die
Matrix A zu erhalten. Dabei wird mit (·,·) [0,1] das Skalarprodukt des Funktionenraumes L 2 [0,1]
bezeichnet, das heißt für zwei Funktionen u und v ist:
(u,v) [0,1] =
∫ 1
0
u(x)v(x) dx.
Wir berechnen also nacheinander die auftretenden Integrale:
• (ϕ 0 ,ϕ 0 ) [0,1] = ∫ 1
0 1 dx = x|1 0 = 1,
• (ϕ 0 ,ϕ 1 ) [0,1] = ∫ 1
0 x dx = 1 2 x2∣ ∣ 1 0 = 1 2 ,
• (ϕ 0 ,ϕ 2 ) [0,1] = ∫ 1
0 x2 dx = 1 3 x3∣ ∣ 1 0 = 1 3 ,
• (ϕ 1 ,ϕ 1 ) [0,1] = ∫ 1
0 x2 dx = 1 3 x3∣ ∣ 1 0 = 1 3 ,
• (ϕ 1 ,ϕ 2 ) [0,1] = ∫ 1
0 x3 dx = 1 4 x4∣ ∣ 1 0 = 1 4 ,
• (ϕ 2 ,ϕ 2 ) [0,1] = ∫ 1
0 x4 dx = 1 5 x5∣ ∣ 1 0 = 1 5 .
Die Matrix A sieht demnach wie folgt aus:
⎛ ⎞
1 1/2 1/3
A = ⎝ 1/2 1/3 1/4 ⎠.
1/3 1/4 1/5
Als nächstes ist die rechte Seite, der Vektor ⃗ b, zu berechnen. Dafür müssen alle Skalarprodukte
(ϕ i ,f) [0,1] für i = 0,1,2 berechnet werden:
• (ϕ 0 ,f) [0,1] = ∫ 1
0 ex dx = e x | 1 0 = e−1,
• (ϕ 1 ,f) [0,1] = ∫ 1
0 xex dx = (x−1)e x | 1 0 = 1,
• (ϕ 2 ,f) [0,1] = ∫ 1
0 x2 e x dx = (x 2 −2x+2)e x | 1 0 = e−2.
Die auftretenden Integrale können dabei aus der Integraltabelle des Tafelwerks oder durch
partielle Integration erhalten werden. Für den Vektor ⃗ b erhalten wir somit:
⎛ ⎞
e−1
⃗ b = ⎝ 1 ⎠.
e−2
2

Nun kann das Normalgleichungssystem A⃗α = ⃗ b aufgestellt und mittels Gauß-Verfahren gelöst
werden:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎝
1 1/2 1/3 e−1
1/2 1/3 1/4 1
1/3 1/4 1/5 e−2
⎠
Aus der letzten Zeile kann nun
Z2=2·Z2−Z1,Z3=3·Z3−Z1
−→
Z3=4·Z3−6·Z2
−→
⎝
⎛
⎝
α 2 = 210e−570 ≈ 0.8391839764
1 1/2 1/3 e−1
0 1/6 1/6 3−e
0 1/4 4/15 2e−5
⎠
1 1/2 1/3 e−1
0 1/6 1/6 3−e
0 0 1/15 14e−38
bestimmt werden. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, ergibt sich
1
6 α 1 + 1 6 ·0.8391839764 = 3−e ⇒ α 1 = 6·
(3−e− 1 )
6 ·0.8391839764 ≈ 0.8511250529.
Alles in die erste Gleichung eingesetzt ergibt schließlich
α 0 + 1 2 ·0.8511250529+ 1 3 ·0.8391839764 = e−1 ⇒ α 0 ≈ 1.01299131.
Als Bestapproximation erhalten wir somit (Werte jeweils auf 4 Nachkommastellen gerundet)
ϕ(x) = 1.0130+0.8511x+0.8392x 2 .
⎞
⎠.
Verwendung orthogonaler Polynome als Ansatzfunktionen
Im letzten Beispiel haben wir gesehen, dass ein gewisser Aufwand darin besteht, das lineare
Gleichungssystem A⃗α = ⃗ b zu lösen. Es stellt sich aber heraus, dass bei geeigneter Wahl der
Ansatzpolynome ϕ k die zugehörige Koeffizientenmatrix A eine sehr einfache Struktur hat. Genauer
gesagt: wählt man die Ansatzfunktionen so, dass die Skalarprodukte (ϕ k ,ϕ l ) [a,b] gleich
Null sind für k ≠ l, dann hat die Matrix A nur noch von Null verschiedene Einträge auf ihrer
Hauptdiagonalen. Die Systemmatrix des Gleichungssystems ist dann also eine Diagonalmatrix,
sodass die Lösung des Gleichungssystems dann sehr leicht bestimmt werden kann. Zwei Funktionen,
deren Skalarprodukt gleich Null ist, heißen zueinander orthogonal. Wir sind also in
Zukunft bestrebt, orthogonale Ansatzfunktionen zu verwenden.
Für das Intervall[−1,1] sind orthogonale Polynome bekannt, nämlich die sogenannten Legendre-
Polynome, die wir mit P 0 ,P 1 ,P 2 ,... bezeichnen wollen. Definiert sind sie wie folgt:
P 0 (x) = 1,
P 1 (x) = x,
2k +1
P k+1 (x) =
k +1 xP k(x)− k
k +1 P k−1(x) (k = 1,2,3,...). (2)
3

Ab P 2 sind die Legendre-Polynome also rekursiv definiert. Für k ≠ l erfüllen diese Polynome
nun gerade die gewünschte Eigenschaft
(P k ,P l ) [−1,1] =
∫ 1
−1
P k (x)P l (x) dx = 0.
Für k = l, also für Skalarprodukte der Form (P k ,P k ) [−1,1] , gilt
(P k ,P k ) [−1,1] =
∫ 1
−1
(P k (x)) 2 dx = 2
2k +1 .
Diese Werte stehen letztlich auf der Hauptdiagonalen der Matrix A. Zu berechnen sind dann
lediglich noch die Skalarprodukte (P k ,f) [−1,1] für die rechte Seite des Normalgleichungssystems.
Mehr Aufwand hat man bei Verwendung der Legendre-Polynome praktisch nicht.
Nun sind die Legendre-Polynome nur auf dem Intervall [−1,1] orthogonal zueinander. Im Allgemeinen
ist [a,b] aber ein anderes Intervall. Dann verwendet man nicht die Legendre-Polynome
selbst, sondern verallgemeinerte Legendre-Polynome, die wir mit Q 0 ,Q 1 ,Q 2 ,... bezeichnen.
Definiert sind sie durch die Vorschrift
Q k (x) = P k
( 2x−b−a
b−a
Das heißt, die verallgemeinerten Legendre-Polynomen erhält man aus den ursprünglichen Legendre-
Polynomen, indem man anstelle von x den Ausdruck 2x−b−a als Argument einsetzt. Wir wollen
b−a
nachweisen, dass die auf diese Weise definierten Polynome Q k wirklich paarweise orthogonal
im Funktionenraum L 2 [a,b] sind. Dazu berechnen wir für zwei beliebige Polynome Q k ,Q l das
Skalarprodukt (Q k ,Q l ) [a,b] :
∫ b ∫ b
( ) ( )
2x−b−a 2x−b−a
(Q k ,Q l ) [a,b] = Q k (x)Q l (x) dx = P k ·P l dx.
b−a b−a
Wir substituieren:
a
z = 2x−b−a ⇒ dz
b−a dx = 2 b−a
⇒ dx =
b−a 2 dz.
Auch die Integrationsgrenzen substituieren wir mit. Als neue Grenzen ergeben sich
z(a) = 2a−b−a
b−a
−1
a
)
.
= −1 und z(b) = 2b−b−a
b−a
Das alles in das ursprüngliche Integral eingesetzt liefert:
(Q k ,Q l ) [a,b] = b−a ∫ 1
{
· P k (z)·P l (z) dz =
2
= 1.
0 , falls k ≠ l,
b−a
2k+1
, falls k = l.
Dabei wurde benutzt, was wir über die Legendre-Polynome P k im Intervall [−1,1] wissen. Die
Polynome Q k sind also tatsächlich paarweise orthogonal zueinander bzgl. des Skalarprodukts
im Raum L 2 [a,b]. Wir haben außerdem gleich die Ausdrücke (Q k ,Q k ) [a,b] mit berechnet, sodass
wir auch wissen, welche Werte anschließend auf der Hauptdiagonalen von A im Normalgleichungssystem
stehen.
Wir wollen nun noch einmal die Schritte zusammentragen, die durchzuführen sind, wenn folgende
Aufgabenstellung vorliegt: Eine gegebene Funktion f(x) ist auf dem Intervall [a,b] durch
ein Polynom n-ten Grades zu approximieren. Dabei sind orthogonale Ansatzpolynome zu verwenden.
4

S1: Schreibe die Legendre-PolynomeP 0 ,P 1 ,...,P n (bis zum Polynomn-ten Grades) auf. Nutze
dazu die Rekursionsformel (2).
S2: Bilde die auf das Intervall [a,b] angepassten Legendre-Polynome Q 0 ,Q 1 ,...,Q n gemäß
der Vorschrift ( ) 2x−b−a
Q k (x) = P k (k = 0,1,...,n).
b−a
Das heißt, in den P k muss x durch den Ausdruck 2x−b−a
b−a
S3: Berechne die Skalarprodukte der Q k mit f, das heißt berechne
ersetzt werden.
(Q k ,f) [a,b] =
∫ b
a
Q k (x)·f(x) dx für
k = 0,1,...,n.
S4: Die k-te Gleichung im Normalgleichungssystem A⃗α = ⃗ b lautet nun (wegen der Diagonalgestalt
von A):
(Q k ,Q k ) [a,b] ·α k = (Q k ,f) [a,b] .
ausgerechnet, sodass nun sofort die Koeffizi-
Wir hatten oben bereits (Q k ,Q k ) [a,b] = b−a
enten α k berechnet werden können:
α k =
S5: Das gesuchte Polynom ist
2k+1
2k +1
b−a ·(Q k,f) [a,b]
(k = 0,1,...,n).
ϕ(x) = α 0 Q 0 (x)+α 1 Q 1 (x)+...+α n Q n (x).
Beispiel: Wir kehren noch einmal zu unserem Beispiel von Seite 2 zurück. Dort war die Funktion
f(x) = e x durch ein Polynom zweiten Grades auf dem Intervall [0,1] zu approximieren.
Dieses Mal wollen wir die verallgemeinerten Legendre-Polynome als Ansatzfunktionen nehmen.
Wir arbeiten die eben genannten Schritte nacheinander ab.
S1: Da die Funktion f(x) durch ein Polynom zweiten Grades zu approximieren ist, ist bei uns
n = 2, sodass wir zunächst die Legendre-Polynome P 0 , P 1 und P 2 benötigen. Für P 0 und
P 1 gilt:
P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x.
Für P 2 ist die Rekursionsformel (2) zu verwenden:
P 2 (x) = 2·1+1
1+1 xP 1(x)− 1
1+1 P 0(x) = 3 2 x2 − 1 2 .
S2: Das Intervall ist in diesem Beispiel [0,1], also ist a = 0 und b = 1. Für die Q k gilt somit
Q k (x) = P k (2x−1). Also:
Q 0 (x) = P 0 (2x−1) = 1,
Q 1 (x) = P 1 (2x−1) = 2x−1,
Q 2 (x) = P 2 (2x−1) = 3 2 (2x−1)2 − 1 2 = 6x2 −6x+1.
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S3: Wir berechnen die Skalarprodukte (Q k ,f) [0,1] für k = 0,1,2:
(Q 0 ,f) [0,1] =
(Q 1 ,f) [0,1] =
(Q 2 ,f) [0,1] =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
1·e x dx = e x | 1 0 = e−1,
(2x−1)e x dx = (2x−3)e x | 1 0 = 3−e,
(6x 2 −6x+1)e x dx = (6x 2 −18x+19)e x∣ ∣ 1 0 = 7e−19.
S4: Die Koeffizienten α k für k = 0,1,2 werden nach der Vorschrift α k = 2k+1
b−a · (Q k,f) [a,b]
berechnet:
S5: Das gesuchte Polynom lautet:
α 0 = 2·0+1
1−0
α 1 = 2·1+1
1−0
α 2 = 2·2+1
1−0
·(e−1) = e−1,
·(3−e) = 9−3e,
·(7e−19) = 35e−95.
ϕ(x) = (e−1)·1+(9−3e)·(2x−1)+(35e−95)·(6x 2 −6x+1).
Multiplizieren wir aus und runden alle Werte auf vier Nachkommastellen, so erhalten wir
ϕ(x) = 1.0130+0.8511x+0.8392x 2 ,
also exakt dasselbe Polynom, welches wir bei Verwendung der Ansatzfunktionen 1, x und
x 2 erhalten haben. Das ist kein Zufall, das Polynom muss immer dasselbe sein, egal welche
Ansatzfunktionen verwendet werden. Bei Verwendung der orthogonalen Ansatzpolynome
hatten wir aber nicht den Aufwand zur Lösung des linearen Gleichungssystems. Außerdem
konnten wir uns die Berechnung einiger Skalarprodukte sparen.
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