Lösungen zu nicht besprochenen Aufgaben der 1. Übung

Lösung zur Aufgabe 22.1
Man berechne die Bogenlänge folgender Kurven:
(a) x = e t cost, y = e t sint, z = e t , 0 ≤ t ≤ b,
(n) y = x 2 , z = 4 3 x3/2 , 0 ≤ x ≤ b.
Lösung:
(a) Es handelt sich um eine Kurve im Raum, die Formel für die Bogenlänge lautet also
L =
∫ b
0
√ẋ(t)2
+ẏ(t) 2 +ż(t) 2 dt.
Wir berechnen die Ableitungen von x, y und z nach t:
Daraus folgt
ẋ(t) 2 +ẏ(t) 2 +ż(t) 2
ẋ(t) = e t cos(t)−e t sin(t) = e t (cos(t)−sin(t)),
ẏ(t) = e t sin(t)+e t cos(t) = e t (sin(t)+cos(t)),
ż(t) = e t .
= e 2t (cos(t)−sin(t)) 2 +e 2t (sin(t)+cos(t)) 2 +e 2t
= e 2t (cos 2 (t)−2sin(t)cos(t)+sin 2 (t)+sin 2 (t)+2sin(t)cos(t)+cos 2 (t)+1)
= 3e 2t .
Somit ergibt sich für die Bogenlänge:
L =
∫ b
0
√
3e
2t
dt = √ b
3∫
e t dt = √ ∣
3e t ∣∣
b
= √ 3(e b −1).
0
(n) Bei der Kurve handelt es sich um eine Raumkurve, sie ist aber noch geeignet zu parametrisieren.
Das geht am einfachsten, indem x = t gesetzt wird. Dann ergibt sich
Die Formel für die Bogenlänge lautet:
x(t) = t, y(t) = t 2 , z(t) = 4 3 t3/2 , 0 ≤ t ≤ b.
L =
∫ b
0
√ẋ(t)2
+ẏ(t) 2 +ż(t) 2 dt.
Wir berechnen die Ableitungen von x, y und z nach t:
ẋ(t) = 1, ẏ(t) = 2t, ż(t) = 2t 1/2 .
0
Daraus folgt
und somit
ẋ(t) 2 +ẏ(t) 2 +ż(t) 2 = 1+4t 2 +4t = (1+2t) 2
L =
∫ b
0
(1+2t) dt = [ t+t 2] b
0 = b+b2 .
1

Lösung zur Aufgabe 22.2
Man berechne die Bogenlänge folgender Kurven, wobei (r,ϕ) ebene Polarkoordinaten bezeichnen:
(a) r = aexp(βϕ), ϕ 1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , a > 0,β ≠ 0 (logarithmische Spirale),
(d) r = a(1+cosϕ), a > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π (Kardioide).
Lösung:
(a) Die Formel für die Bogenlänge lautet:
L =
∫ ϕ2
Wir berechnen die Ableitung von r nach ϕ:
ϕ 1
√
r(ϕ)2 +ṙ(ϕ) 2 dϕ.
ṙ(ϕ) = aβe βϕ .
Daraus folgt
und somit
r(ϕ) 2 +ṙ(ϕ) 2 = a 2 e 2βϕ +a 2 β 2 e 2βϕ = a 2 (1+β 2 )e 2βϕ
L = a √ 1+β 2 ∫ ϕ2
ϕ 1
e βϕ dϕ = a β
(d) Die Formel für die Bogenlänge lautet:
L =
∫ 2π
Wir berechnen die Ableitung von r nach ϕ:
Daraus folgt
0
√
1+β2 e βϕ ∣ ∣∣∣
ϕ=ϕ 2
ϕ=ϕ 1
= a β
√
r(ϕ)2 +ṙ(ϕ) 2 dϕ.
ṙ(ϕ) = −asin(ϕ).
√
1+β
2 ( e βϕ 2
−e βϕ 1 ) .
r(ϕ) 2 +ṙ(ϕ) 2 = a 2 (1+2cos(ϕ)+cos 2 (ϕ))+a 2 sin 2 (ϕ) = 2a 2 (1+cos(ϕ)).
Beim Integrieren verwenden wir gleich die folgende Formel für den Cosinus:
(
√
ϕ 1
( ϕ
)
cos = ±
2)
2 (1+cos(ϕ)) ⇒ 1+cos(ϕ) = 2cos2 .
2
2

Mit Hilfe dieser Formel ergibt sich:
L = √ ∫ 2π √
2a 1+cos(ϕ) dϕ
0
√
= √ ∫ 2π
2a
0
∫ 2π
= 2a
0
(∫ π
= 2a
0
(
= 2a 2sin
= 8a.
)
dϕ
( ϕ
2cos 2 2
(
∣ ϕ
)∣ ∣∣
∣cos dϕ
2
( ∫ ϕ 2π ( ) ϕ
cos dϕ− cos dϕ
2)
π 2)
( ϕ ∣∣
π ( ) ϕ ∣∣
2π
2)∣
2)∣
0
− 2sin
Die Aufspaltung des Integrals beim 4. Gleichheitszeichen ist notwendig, weil der Term
cos( ϕ ) im Bereich ϕ ∈ [0,2π] das Vorzeichen wechselt (genauer gesagt: an der Stelle
2
ϕ = π findet ein Vorzeichenwechsel statt).
π
3

Lösung zur Aufgabe 12.23
Berechnen Sie den Inhalt des Sektors,
(a) der durch die Kurven y = x 2 , y = x 3 und y = √ x begrenzt wird,
mit dem Koordina-
(b) den das Kurvenstück x(t) = 3cos(t), y(t) = 2t + cos 2 t, 0 ≤ t ≤ π 2
tenursprung bildet,
Lösung:
(a) Wir fertigen zunächst eine Skizze des Sektors an.
Als nächstes werden x 1 und x 2 berechnet. Die Stelle x 1 ist die x-Koordinate des Schnittpunktes
der Kurven y = x 2 und y = √ x. Durch Gleichsetzen ergibt sich:
x
2 = √ x ⇒ √ x = 2 ⇒ x 1 = 4.
Die Stelle x 2 ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der Kurven y = x und y = √ x.
3
Durch Gleichsetzen ergibt sich:
x
3 = √ x ⇒ √ x = 3 ⇒ x 2 = 9.
Wir können nun die Fläche zerlegen und einmal den Bereich 0 ≤ x ≤ 4 betrachten und
zum anderen den Bereich 4 ≤ x ≤ 9. Die Inhalte beider Teilflächen können wir erhalten,
indem wir jeweils die Differenz aus „oberer“ und „unterer“ Funktion integrieren:
∫ 4 ( x
A =
0 2 − x ∫ 9 ( √x− x
)
dx+
dx
} {{ 3)
} 4 3
= 1 6 x
= 1
12 x2 ∣ ∣∣∣
4
= 19
6 .
0
[ 2
+
3 x3/2 − 1 ] 9
6 x2 4
Da die Fläche ein Sektor ist, den die Kurve y = √ x in einem gewissen Bereich mit dem
Ursprung bildet, kann auch die Sektorformel verwendet werden:
A = 1 2
∫ x1
x 2
[xy ′ (x)−y(x)] dx.
4

Die Integralgrenzen sind so wie oben geschrieben wirklich in der richtigen Reihenfolge, da
die Kurve zum Anwenden der Sektorformel immer entgegengesetzt des Uhrzeigersinnes
durchlaufen werden muss. Damit ist in unserem Fall der Schnittpunkt mit der Geraden
y = x der Startpunkt und der Schnittpunkt mit y = x der Endpunkt. Setzen wir die
3 2
Werte in die Formel ein und integrieren, erhalten wir auch unseren Wert:
A = 1 2
= − 1 4
∫ 4
9
∫ 4
9
[
x·
1
2 √ x −√ x
√ x dx
= − 1 6 (√ x) 3 ∣ ∣∣∣
4
= 19
6 .
9
]
dx
(b) Wir verwenden die Sektorformel für Kurven, die in Parameterdarstellung gegeben sind:
A = 1 2
∫ π
2
0
[x(t)ẏ(t)−ẋ(t)y(t)] dt.
Zunächst sind die Ableitungen von x und y nach t zu berechnen:
Daraus folgt
A = 1 2
= 1 2
ẋ(t) = −3sin(t), ẏ(t) = 2−2cos(t)sin(t).
∫ π
2
0
∫ π
2
0
⎛
⎜
⎝6cos(t)−3sin(t) cos 2 (t)
} {{ }
=1−sin 2 (t)
⎞
⎟
+6tsin(t) ⎠ dt
(
6cos(t)+(6t−3)sin(t)+3sin 3 (t) ) dt
= 1 [
6sin(t)−(6t−3)cos(t)+6sin(t)−3cos(t)+cos 3 (t) ]π 2
2
0
= 11
2 . 5

Lösung zur Aufgabe 12.25
Benutzen Sie zur Darstellung der Lemniskate (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ), a > 0 Polarkoordinaten
und berechnen Sie den Inhalt des so begrenzten Bereiches. Welches Volumen hat der
durch Rotation der Lemniskate um die x-Achse erzeugte Körper?
Lösung: Beim Übergang zu Polarkoordinaten setzen wir x = rcos(ϕ) und y = rsin(ϕ).
Setzen wir das in die Gleichung der Lemniskate ein, so erhalten wir unter Beachtung von
(x 2 +y 2 ) 2 = [r 2 (cos 2 (ϕ)+sin 2 (ϕ))] 2 = r 4 :
Division durch r 2 liefert
r 4 = 2a 2 r 2 (cos 2 (ϕ)−sin 2 (ϕ)) = 2a 2 r 2 cos(2ϕ).
r 2 = 2a 2 cos(2ϕ).
Der Winkel ϕ nimmt dabei alle Werte im Bereich [0,2π] an, für die cos(2ϕ) ≥ 0 ist, denn auf
der linken Seite der obigen Gleichung steht stets ein Wert ≥ 0, also muss das auch für die rechte
Seite der Fall sein. Damit darf ϕ in folgenden Bereichen liegen:
0 ≤ ϕ ≤ π 4 , 3π
4 ≤ ϕ ≤ 5π 4 , 7π
4 ≤ ϕ ≤ 2π.
Zur Berechnung des gesuchten Flächeninhaltes wollen wir nun die Sektorformel für Kurven in
Polarkoordinatendarstellung anwenden, die wie folgt lautet:
A = 1 2
∫ ϕ2
ϕ 1
r 2 dϕ.
Da ϕ bei uns in unterschiedlichen Bereichen liegen kann, ist bei uns der Flächeninhalt die
Summe aus drei Integralen:
A = 1 2
∫ π/4
0
r 2 dϕ+ 1 2
∫ 5π/4
3π/4
r 2 dϕ+ 1 2
∫ 2π
7π/4
r 2 dϕ.
Allerdings genügt es aus Symmetriegründen, nur den Inhalt des Sektors zu berechnen, der sich
für 0 ≤ ϕ ≤ π/4 ergibt und diesen dann zu vervierfachen. Das ist an folgender Skizze gut zu
sehen.
Also erhalten wir für den gesuchten Flächeninhalt:
A = 4· 1
2
∫ π/4
0
r 2 dϕ = 4a 2 ∫ π/4
0
cos(2ϕ) dϕ = 2a 2 sin(2ϕ) ∣ ∣ π/4
0
= 2a 2 .
6

Als nächstes ist noch das Volumen des Körpers zu berechnen, der bei Rotation der Lemniskate
um diex-Achse entsteht. Dieses berechnen wir nicht mehr mithilfe der Polarkoordinaten sondern
gemäß der Formel
∫ xE
V = π y 2 dx
x A
mit kartesischen Koordinaten. Die Grenzen x A und x E sind x-Werte von Schnittpunkten der
Lemniskate mit der x-Achse, die wir zunächst berechnen. Dazu setzen wir in der Gleichung
y = 0 und erhalten
(x 2 +0 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 −0 2 ) ⇒ x 4 = 2a 2 x 2 ⇒ x 2 (x 2 −2a 2 ) = 0.
Aus dieser Gleichung erhält man relativ schnell die Lösungen x = 0, x = − √ 2a und x = √ 2a.
Als Integrationsgrenzen müssen die äußersten Stellen gewählt werden, also x A = − √ 2a und
x E = √ 2a. Aus Symmetriegründen kann aber auch nur von 0 bis √ 2a integriert werden, der
Wert muss jedoch dann verdoppelt werden. Nun ist noch der Integrand y 2 zu bestimmen. Das
geht durch Umstellen der Lemniskaten-Gleichung nach y 2 . Zunächst lässt sich die Gleichung
wie folgt umstellen:
[y 2 ] 2 +2(x 2 +a 2 )y 2 +(x 4 −2a 2 x 2 ) = 0.
Mittels der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt
[y 2 ] 1/2 = −x 2 −a 2 ± √ (x 2 +a 2 ) 2 −x 4 +2a 2 x 2
= −x 2 −a 2 ± √ 4a
√
2 x 2 +a 4
= −x 2 −a 2 ±2a x 2 + a2
4 .
Die Lösung mit „–“ entfällt, da dann y 2 < 0 wäre, was nicht sein kann. Also bleibt
√
y 2 = −x 2 −a 2 +2a x 2 + a2
4 .
Setzen wir diese Darstellung in das Integral ein, so ergibt sich mithilfe einer geeigneten Formel
aus der Integraltabelle des Tafelwerks:
∫ √ ( √ )
2a
V = 2π −x 2 −a 2 +2a x 2 + a2
dx
4
= 2π
[
0
− 1 3 x3 −a 2 x+a·
(
= πa
[ln( √ √ ]
2
3 2+1)− .
3
x
√
x 2 + a2
4 + a2
4 ln ∣ ∣∣∣∣
x+
√
x 2 + a2
4
∣
)] √ 2a
0
7

Lösung zur Zusatzaufgabe zum begleitenden Dreibein
Gegeben ist die Kurve im Raum mit der Gleichung
⎛ ⎞ ⎛
x(t) t 2
⃗x(t) = ⎝ y(t) ⎠ = ⎝ ln(t)
z(t) 2t
⎞
⎠, t ≥ 0.
(c) In dieser Aufgabe ist das begleitende Dreibein der Kurve an der Stelle t = 1 gesucht. Das
heißt, es sind Tangenteneinheitsvektor, Hauptnormalenvektor und Binormalenvektor an
dieser Stelle zu berechnen. Zur Ermittlung des Tangenteneinheitsvektors müssen wir den
Ableitungsvektor ˙⃗x(1) bilden und anschließend normieren. Für den Ableitungsvektor gilt
⎛
˙⃗x(t) = ⎝
2t
1/t
2
⎞
⎛
⎠ ⇒ ˙⃗x(1) = ⎝
2
1
2
⎞
⎠
und für seinen Betrag
⎛
∣
∣˙⃗x(1) ∣ =
⎝
∣
2
1
2
⎞
⎠
∣ = √ 2 2 +1 2 +2 2 = 3.
Somit erhalten wir für den Tangenteneinheitsvektor:
⎛ ⎞
⃗T(1) = 1 2
⎝ 1 ⎠.
3
2
Als nächstes berechnen wir den Binormalenvektor, und zwar nach der Formel
1
⃗B(1) =
∣
∣˙⃗x(1)× ¨⃗x(1)
˙⃗x(1)× ¨⃗x(1).
∣
Dazu ist zunächst die zweite Ableitung von ⃗x zu berechnen:
⎛ ⎞ ⎛
2
¨⃗x(t) = ⎝ −1/t 2 ⎠ ⇒ ¨⃗x(1)
2
= ⎝ −1
0
0
Nun bestimmen wir das Kreuzprodukt ˙⃗x(1)× ¨⃗x(1):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
˙⃗x(1)× ¨⃗x(1)
2 2
= ⎝ 1 ⎠× ⎝ −1 ⎠ = ⎝
2 0
Für dessen Betrag ergibt sich
⎛
∣
∣˙⃗x(1)× ¨⃗x(1)
∣ =
⎝
∣
8
2
4
−4
⎞
⎠
∣ = 6
2
4
−4
⎞
⎠.
⎞
⎠.

und somit für den Binormalenvektor
⎛
⃗B(1) = 1 ⎝
3
Es fehlt noch der Hauptnormalenvektor, der sich einfach als Kreuzprodukt aus Binormalenvektor
und Tangenteneinheitsvektor ergibt:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⃗N(1) = B(1)× ⃗ T(1) ⃗ = 1 1 2
⎝ 2 ⎠× ⎝ 1 ⎠ = 1 2
⎝ −2 ⎠.
9 3
−2 2 −1
1
2
−2
⎞
⎠.
9