R - Fachgebiet Hochspannungstechnik

Elektrische Feldstärke, Spannung, Potential 

In einem elektrostatischen Feld werde ein Bezugspunkt 0 festgelegt. Die elektrische 

Spannung U ν0 

zwischen beliebigen Punkten ν des Raumes und dem Bezugspunkt 0 

ist dann 

0 

 

ν 

 

ϕ = U = Eds 

= − Eds 

ν 

ν0 

∫ 

ν 

∫ 

0 

Spannung U ν0 

(elektrostatisches) Potential φ ν 

des Punktes ν 

Potential des Bezugspunktes: φ 0 

= 0 

Eine Funktion φ des Ortes, in kartesischen 

Koordinaten φ(x, y, z), die für einen 

gegebenen Bezugspunkt 0 das 

Potential in jedem Raumpunkt angibt, 

heißt Potentialfunktion des elektrostatischen Felds. 

Fachgebiet 

Hochspannungstechnik 

ETIT II / VL 3 1


Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und Potential: 

Im Punkt (x, y, z) herrsche das Potential φ(x, y, z). 

Dann herrscht im Punkt (x + dx, y + dy, z + dz) das Potential 

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 

ϕ( x + dx, y + dy, z + dz) = ϕ( x, y, z) 

+ dx + dy + dz 

∂x ∂y ∂z 



ETIT II / VL 3 2


∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 

ϕ( x + dx, y + dy, z + dz) = ϕ( x, y, z) 

+ dx + dy + dz 

∂x ∂y ∂z 

Die Potentialerhöhung des Punktes (x + dx, y + dy, z + dz) gegenüber dem Punkt 

(x, y, z) ist andererseits 

 

− Eds 

= −E dx −E dy −E dz 

x y z 

Der Vergleich beider Gleichungen ergibt unmittelbar: 

E x 

∂ϕ 

=− ∂ x 

E y 

∂ϕ 

=− Ez 

∂ y 

∂ϕ 

=− ∂ z 

⎧∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ⎫ 

Schreibweise mit der Vektoroperation "Gradient" (grad) ( grad ϕ = ⎨ , , ⎬ ) 

⎩∂x ∂y ∂z 

⎭ 

 

E 

=−gradϕ 



ETIT II / VL 3 3

Elektrische Verschiebungsdichte, Dielektrizitätszahl 

 

E 

Q 

= ⋅ 

2 

4πε 

r 

0 

→0 

r 

Die Feldstärke an einem beliebigen Punkt im Raum ist außer von der sie 

verursachenden Ladung Q auch von den Raumeigenschaften (ε 0 

) abhängig. 

Einführung einer am selben Ort wirkenden, jedoch von den Raumeigenschaften 

unabhängigen Größe zweckmäßig: 

 

D 

= ε 0 

⋅ 

 

E 

elektrische Verschiebungsdichte 

elektrische Flussdichte 

elektrische Erregung 

 

D 

Q 

= ⋅ 

2 

4πr 

→0 

r 

As 

m 

[ D ] = 

2 

D ist durch die Größe und geometrische Anordnung der Ladungen festgelegt. 

E und damit die Kraft auf eine Probeladung hängen vom ε r des Dielektrikums ab. 

|E| ist umso kleiner, je größer das ε r des Dielektrikums ist. 



ETIT II / VL 3 4


Q 

Vakuum 

r 

 

D 

 

E 

Q 

= ⋅ 

4π r 

1 2 

1 2 

4πε 

0r 

→0 

r 

Q 

= ⋅ 

→0 

r 

Q 

Polystyrol 

r 

 

→0 

Q 

D = ⋅ r = D 

4π r 

2 2 

1 

E 

2 

≈ 0,4 ⋅ E 

 

1 

Grund: Polarisation des Materials 

Es baut sich ein dem ursprünglichen Feld 

entgegenwirkendes Feld auf. 



ETIT II / VL 3 5


Arten der Polarisation 

Orientierungspolarisation: 

(polare Werkstoffe) 

Ausrichtung vorhandener 

Dipole 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

Hauptfeld 

Gegenfeld 

+ + 

+ + + - 

+ + 

Beispiel für einen polaren Werkstoff: Wasser H 2 

O 

+ + 

H 

H 

O 

-- 

• gewinkelte Anordnung der Atome 

• Elektronen des Wasserstoffs halten 

sich bevorzugt in der Nähe des 

Sauerstoffs auf 

positiver und negativer Ladungsschwerpunkt 

sind 0,62 nm voneinander entfernt 

Dipolmoment: p = 6·10 30 As·m 



ETIT II / VL 3 6


Arten der Polarisation 

Orientierungspolarisation: 

(polare Werkstoffe) 

Ausrichtung vorhandener 

Dipole 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

Hauptfeld 

Gegenfeld 

+ + 

+ + + - 

+ + 

Elektronenpolarisation: 

(unpolare Werkstoffe) 

Elektronenhüllen der Atome 

verschieben sich asymmetrisch 

zum Kern 

+ + 

+ + + - 

+ + 

Ionenpolarisation: 

(unpolare Werkstoffe) 

Vorhandene positive und 

negative Ionen verschieben 

sich gegeneinander 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ 

- 

+ + + 

- - - 

+ + + + 

- 

- - - 



ETIT II / VL 3 7


Berücksichtigung des Polarisationseffektes durch die Dielektrizitätszahl 

(auch: relative Dielektrizitätskonstante) 

ε rr 

Damit Bilden der Permittivitiät 

ε = ε 0·ε rr 

Elektrische Feldstärke: 

Elektrische Verschiebungsdichte: 

 

→ 

→ 

Q Q 

E = ⋅ r = ⋅ r 

2 

π π ε r 

0 0 

2 

4 εr 

4 ε0 

r 

 

D = ε ⋅ E = ε ⋅ε 

⋅E 

0 r 

(gilt nur für isotrope Werkstoffe) 



ETIT II / VL 3 8


nach [C1] 

Dielektrizitätszahlen 

nach [F1] 



ETIT II / VL 3 9


Dielektrizitätszahlen (T = 20 °C, p = 1 bar, f


Dielektrikum: Aluminiumoxid (ε r 

= 10) 

Aluminium-Elko 

Dielektrikum: Tantaloxid (ε r 

= 25) 

Tantal-Elko 



ETIT II / VL 3 11


Dielektrikum: Öl-Papier, Polyethylen 

Hochspannungskabel 

ε r 

≈ 4,5 ε r 

≈ 2,3 



ETIT II / VL 3 12


Isolation von 

Leistungstransformatoren 

Öl-Papier! ε r 

≈ 4,5 



ETIT II / VL 3 13


Dielektrikum: SF 6 

(Schwefel-Hexafluorid) 

Gasisolierte Schaltanlage (GIS) ε r 

= 1 



ETIT II / VL 3 14


Dielektrikum: Porzellan ε r 

≈ 6 

Praktisch alle Freiluft-Betriebsmittel der 

elektrischen Energieversorgung 

Leistungsschalter 

Messwandler 

(Freileitungs)-Isolatoren 



ETIT II / VL 3 15


Dielektrikum: 

Polyethylen (PE) ε r 

≈ 2,3 

Polytetrafluorethylen (PTFE) ("Teflon") ε r 

≈ 2,1 

(häufig geschäumt für ε r 

≈ 1...2) 

In der HF-Technik: Radome, Kabelisolation 

Achtung bei HF- 

Anwendungen: 

ε r ist grundsätzlich 

frequenzabhängig! 



ETIT II / VL 3 16


Nichtleiter mit besonders hohen Dielektrizitätszahlen bezeichnet man als 

Ferroelektrika 

(Beispiel: Bariumtitanat mit ε r 

= 1000 ... 4000 Dielektrikum für besonders 

kompakte Kondensatoren) 

Dipole in größeren Bezirken, den Weiss'schen Bezirken, gekoppelt und 

einheitlich ausgerichtet. Die Weiss'schen Bezirke sind unterschiedlich 

ausgerichtet; Körper damit elektrisch neutral 

ε r 

-Wert temperaturabhängig; oberhalb der ferroelektrischen Curie-Temperatur 

verschwinden die Kopplungseffekte ε r 

nimmt stark ab 

Ferroelektrikum mit starker permanenter Polarisierung Elektret (in Anlehnung 

an Magnet) 

Ein Elektret ruft ein dauerndes elektrisches Feld hervor 



ETIT II / VL 3 17


Herstellung: Polarisierung im elektrostatischen Feld oberhalb der Curie-Temperatur; 

anschließende Abkühlung "friert" die ausgerichteten Weiss'schen Bezirke ein. 

Anwendung: Elektret-Mikrofon 

Teflon-Folie 

(Elektret) 

15 µm ... 25 µm 

10 µm ... 30 µm 

Luftspalt 

u = E ⋅l 

−E ⋅ d = 

L F 

0 



ETIT II / VL 3 18


Erfinder des Elektret-Mikrofons: Prof. em. Sessler, TU Darmstadt 

http://www.wdr5.de/sendungen/leonardo/457585.phtml 



ETIT II / VL 3 19

Elektrischer Fluss, Gauß'scher Satz der Elektrostatik 

Elektrische Verschiebungsdichte D auch als Flussdichte bezeichnet 

Als elektrischen Fluss Ψ bezeichnet man die von einer Ladung Q ausgehende 

Wirkung. 

[Ψ] = [Q] = As = C 

Flussröhre 

Elektrische Verschiebungsdichte 

= 

Dichte des elektrischen Flusses 

bezogen auf Durchtrittsfläche 

D 

∆Ψ 

= ∆ A 



ETIT II / VL 3 20


∆Ψ = 

D⋅∆A 

kugelförmige 

Hüllfläche 

Gilt für jedes r, da zwar D 

mit 1/r 2 abnimmt, aber gleichzeitig 

A mit r 2 anwächst. 

Gilt nur, wenn D 

und A 

gleiche Richtung haben, sonst: 

 

∆Ψ = D ∆Acos 

∆ = D⋅∆A 

( D, A) 

Gesamtfluss bzw. eingeschlossene Ladung: 

 

Ψ= Q = D1⋅∆ A1+ D2⋅∆ A2 + ..... = Dk ⋅∆Ak 

∑ 

k 



ETIT II / VL 3 21


 

Ψ= Q = D1⋅∆ A1+ D2⋅∆ A2 + ..... = Dk ⋅∆Ak 

Für ∆A k 

0 entsteht der Grenzwert der Summe, d.h. das Integral 

(Hüllflächenintegral): 

Q 

∑ 

k 

 

= ∫ D ⋅ d A 

 

A 

Gauß'scher Satz der Elektrostatik 

"Der Fluss der elektrischen Verschiebungsdichte durch eine 

beliebige geschlossene Fläche A ist gleich den von der Fläche 

insgesamt umhüllten Ladungen." 

Fluss durch eine beliebige, jedoch nicht geschlossene Fläche: Ψ = ∫ D 

 

⋅ 

A 

 

d A 



ETIT II / VL 3 22


Ψ = Q1+ Q2 + Q3 + Q4 



ETIT II / VL 3 23


Anwendung des Gauß'schen Satzes zur Berechnung der Verschiebungsdichte 

im Umfeld einer Punktladung: 

 

2 

Q = ∫ D ⋅ d A = ∫DdA= D() r ∫dA= 

D()4 

r π r (Vereinfachungen aus Symmetriegründen) 

Q 

D = 

4π r 

A A A 

2 

siehe Definition der elektrischen Verschiebungsdichte! 

Q 

F 

D = = ε ⋅ E = ε ⋅ 

2 

4π 

r 

Q 

2 

Q 

F = 

4πεr 

2 

Coulombsches Gesetz! 

Begründung für Faktor 4π: Effekte in der Umgebung einer Punktladung 

Der Gauß'sche Satz der Elektrostatik kann immer dann nutzbringend zur 

Bestimmung von D eingesetzt werden, wenn es sich um symmetrische 

(Kugel-, Zylinder-) Anordnungen handelt, da sich dann Hüllflächen ergeben, 

auf denen D konstant ist und vor das Integral gezogen werden kann. 



ETIT II / VL 3 24

Die Potentialfunktion einer Punktladung 

Q 

r P 

= r 

P 

dr 

Anwendung der Zusammenhänge: 

B 

 

E 

Q 

= ⋅ 

4πεr 

r B 

2 

→0 

r 

U 

AB 

B 

= ∫ E 

 

⋅ d s 

 

A 

Zur Bestimmung der Potentialfunktion Integration längs eines beliebigen Weges 

zwischen Q und B; naheliegend: entlang einer Feldlinie: 

B 

B B 

Q 1 

Q ⎛ 1 1 ⎞ 

UPB 

= ∫E⋅ ds 

= ∫E() 

r dr = dr 

2 

4πε 

∫ 

UPB 

= ⎜ − ⎟ = ϕ( P) −ϕ( B) 

r 

P P P 

4πε 

⎝rP 

rB 

⎠ 

= Potentialdifferenz zwischen einem beliebigen Punkt P ("Aufpunkt") und einem 

Bezugspunkt B. Ist ein Bezugspunkt nicht festgelegt, so gilt allgemein: 

Q 1 

ϕ( P) 

= + const 

4πε 

r 

Zu einem bestimmten elektrischen Feld sind beliebig viele Potentialfunktionen 

angebbar, die sich durch eine Konstante voneinander unterscheiden. 



ETIT II / VL 3 25


Q 

P 

dr 

B 

r P 

= r 

r B 

Ist der Bezugspunkt sehr weit (∞) entfernt oder handelt es sich um einen geerdeten 

Punkt, so geht man von φ(B) = 0 aus. Für das Beispiel: 

φ(B) = 0 für r B 

∞ const = 0 

ϕ( P) 

= 

Q 1 

4πε 

r 

Potentialfunktion der Punktladung 



ETIT II / VL 3 26


Anwendungsbeispiel: Potential und maximale Feldstärke einer geladenen 

Metallkugel "frei im Raum"; R = 1 cm; Q = 1·10 -7 C 

R 

Vorgehensweise: 

Q 

Annahme von Q als Punktladung 

Kugel = Äquipotentialfläche im Abstand r = R 

−7 

Q 1 10 1 As 

−12 

4πε As 

0ε 

r 

R 4π 

⋅8,854 ⋅10 ⋅1 0,01 

ϕ( R) = = ⋅ = 89 877 V ≈90 kV 

⋅m 

Vm 

−7 

Q 1 10 1 As 

2 −12 

4πε As 

0ε 

r 

R 4π 

⋅8,854 ⋅10 ⋅1 0,0001 

ER ( ) = = ⋅ = 8 987 700 V/m ≈90 kV/cm 

2 

⋅m 

Vm 

(Aber: Durchbruchfeldstärke von Luft nur ca. 30 kV/cm!) 



ETIT II / VL 3 27


Anwendungsfall: Van-de-Graaff-Generator 

R K QK 

ϕ( RK 

) = 

4 

0 

πε ε 

r 

1 

R 

K 

1 ... Sprühelektrode 

2 ... Abnahmeelektrode 

3 ... Metallische Hohlkugel 

4 ... Isolierrohr 

5 ... Isolierstoffband 

Q K ... Gesamtladung auf der Kugeloberfläche 

R K ... Kugelradius 

Die Spannungshöhe kann solange gesteigert werden, bis die 

Durchbruchfeldstärke des Umgebungsmediums an der Kugeloberfläche 

überschritten wird und die durch Vorentladungen 

abfließenden Ladungen die neu zugeführte Ladung kompensieren. 

Die maximale Spannungshöhe wird daher maßgeblich durch den 

Kugeldurchmesser bestimmt, da von diesem die Feldstärke auf 

der Kugeloberfläche abhängt. 



ETIT II / VL 3 28


Van de Graaff 

mit Prototyp 1 MV 

(ca. 1930) 

Labors in den Kugeln 

Vorstellung 

Prototyp 1 MV 

(ca. 1930) 

5 MV Tandemgenerator 

(South Dartmouth, Mass./USA,1931) 



ETIT II / VL 3 29




ETIT II / VL 3 30


Größter luftisolierter Van de Graaff Generator 25 MV 

Oak Ridge National Laboratory, USA 



ETIT II / VL 3 31


Brookhaven National Laboratory 

2 Van de Graaff Generatoren je 15 MV, 24 m lang 

Baujahr 1970 



ETIT II / VL 3 32

R - Fachgebiet Hochspannungstechnik

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