Methoden zur Berechnung von InduktivitÃ¤ten - Fachgebiet ...

Methoden zur Berechnung von Induktivitäten 

Fragestellung: wie lassen sich die Selbst- und Gegeninduktivitäten beliebiger 

Leiteranordnungen berechnen? 

a) Berechnung der Selbstinduktivität über den magnetischen Fluss 

Φ 

Aus Φ = Li folgt für die Selbstinduktivität: L = 

i 

Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in der betrachteten Leiterschleife 

2. Berechnung des Flusses, der die von der Leiterschleife 

aufgespannte Fläche durchsetzt. 

b) Berechnung der Gegeninduktivität über den magnetischen Fluss 

Φ12 

Aus Φ 12 

= L 12 

i 2 

= Mi 2 

folgt für die Gegeninduktivität: = 

M 

i2 

Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in einer der beiden betrachteten 

Leiterschleifen 

2. Berechnung des Flusses, der von der anderen Leiterschleife 

umfasst wird. 

Fachgebiet 

Hochspannungstechnik 

ETIT II / VL 19 1


I 

I 

A 

d 

Beispiel 1: Für die Doppelleitung nach [C1], Bsp. 5.7, 

für die in ETIT II_16 bereits der die Fläche A durchsetzende 

magnetische Fluss ermittelt wurde, ist die 

Selbstinduktivität zu berechnen. 

Φ ' bereits berechnet (ETIT II_16): 

d 

0Il 

dρ 

0 

µ µ Il d 

Φ 

1 

= ∫BdA 

= µ 

0∫HdA 

= ln 

2π ∫ = 

ρ 2π ρ 

A 

A 

ρ0 

0 

Φ2 = Φ1 

0 

1 2 

2 µ Il 

Φ = Φ + Φ = Φ1 

= ln d 

Φ µ 0I 

Φ′ = = ln d 

π ρ 

l π ρ 

0 

0 

Damit einfache Ermittlung der 

längenbezogenen Induktivität: 

Φ′ 

L′ = = 

I 

µ 

0 

ln d 

π ρ 

0 



ETIT II / VL 19 2


Beispiel 2: Gegeninduktivität der gezeigten beiden Doppelleitungen (a, b) und (c, d) 



ETIT II / VL 19 3


Beispiel 2: Gegeninduktivität der gezeigten beiden Doppelleitungen (a, b) und (c, d) 

0 ad 

M ′ = 

µ ln 

ρ ρ 

2π ρ ρ 

ac 

bc 

bd 



ETIT II / VL 19 4


Die eben gezeigte Methode ist nur dann anwendbar, wenn der Fluss eindeutig 

der Leiterschleife zugeordnet werden kann, die ihn umfasst. Allgemeiner ist das 

folgende Verfahren: 

c) Berechnung der Selbstinduktivität über die magnetische Feldenergie 

1 2 

W 

Aus Wm 

= LI folgt: L = 

2 

2 

I 

2 m 

Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in der betrachteten Leiterschleife 

2. Berechnung der Feldenergie mit einer der bereits dafür 

hergeleiteten Beziehungen: 

2 

1 1 1B 

= = = 

2 2 2 µ 

2 

wm 

µ H BH 

3. Bildung des Quotienten 

2 

2 m 

W 

I 



ETIT II / VL 19 5


Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels 

Innenleiter: Außenradius ρ 1 

, 

Permeabilität µ 1 

Außenleiter: Innenradius ρ 2 

, 

Permeabilität µ 3 

Dazwischen: Luft mit µ 2 

= µ 0 



ETIT II / VL 19 6



1 2 

Verwendung der Beziehung für die Energiedichte: wm 

= µ H 

2 

Bereits hergeleitet (ETIT II_15): 

Feldstärke im Innern eines Leiters: 

H 

ρ 1 

1 

ρ 

ρ 

H( ρ) 

= I 

2πρ 

Feldstärke außerhalb eines Leiters: H ( ρ ) 

H ρ 

2 

1 

I 

= 2πρ 

ρ 1 

ρ 



ETIT II / VL 19 7



a) für den Innenleiter 

wm 

1 

ρ 

= I 

2 

= µ H H( ρ) 

2 

2 

2πρ 

1 



ETIT II / VL 19 8



a) für den Innenleiter 

L 

µ µ −7 

H 

10 

8π 

2 m 

′ 1 r1 

1 

= = ⋅ 



ETIT II / VL 19 9



b) für den Luftraum 

wm 

1 

2 

2 

= µ H ( ) 

H ρ = I 

2πρ 

(Beziehung für 

magnetische Feldstärke 

um einen Leiter) 



ETIT II / VL 19 10



b) für den Luftraum 

L 

2 

′ 

µ 

2 

ρ2 −7 

ρ2 

H 

= ln = 2⋅10 ⋅ln 

2π ρ ρ m 

1 1 

Berechnung der Selbstinduktivität des Außenleiters analog zu der des Innenleiters! 

L' 2 ist der Induktivitätsbelag einer Koaxialleitung. 



ETIT II / VL 19 11


Induktivitätsbelag der Doppelleitung: 

L 

µ 

Induktivitätsbelag der Koaxialleitung: 

′ = 0 

L 

2 2 

2 

ln 

π ρ0 

2π 

ρ1 

ln d 

Kapazitätsbelag der Doppelleitung 

(s. ETIT II_05) 

′ = 

µ ρ 

Kapazitätsbelag der Koaxialleitung 

(s. ETIT II_05): 

C′ = 

πε 

d 

ln 

ρ 

0 

C′ = 

2πε 

ρ2 

ln 

ρ 

1 

LC ′ ′= µε 

LC ′ ′ = µε 

Gilt für beliebige Leitungsanordnungen! (an dieser Stelle unbewiesen) 

Weiteres Verfahren zur Berechnung von L', wenn C' bereits bekannt ist! 



ETIT II / VL 19 12

Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie 

Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebung (s. ETIT II_07) 

Annahmen: 

• die Stromquelle liefere einen konstanten Strom I 

• alle Leitungen seien widerstandsfrei 

• der Leiterstab könne sich in x-Richtung reibungsfrei bewegen 

• der Übergangswiderstand zwischen Leiterstab und Leiterschienen sei widerstandsfrei 



ETIT II / VL 19 13


Energie tritt in drei Formen auf: 

• magnetische Feldenergie W m 

• mechanische Energie W mech 

(potentielle 

Energie des Gewichts G) 

• elektrische Energie W e 

der Stromquelle 

Lässt man eine langsame Verschiebung 

des Leiterstabes um dx nach rechts zu, 

so ändert sich die Gesamtenergie des 

Systems nicht: 

( ) + W 0 

d W = d W + W + W = dW dW + d = 

ges e mech m e mech m 

Mechanische Energie nimmt zu (Anheben des Gewichts): dWmech = Fxdx 

1 2 

1 2 

Magnetische Energie Wm 

= LI 

nimmt zu (Vergrößerung von L): dWm 

= I dL 

2 

2 

Die Stromquelle gibt Energie ab (Produkt u·I im Verbraucherzählpfeilsystem


dWe 

= −uIdt 

Anwendung des Induktionsgesetzes: 

Umlauf: dΦ 

U ind = -dΦ/dt 

− u = − 

dt 

dL 

mit Φ = LI: u = I 

dt 

dWe 

=−I 

2 

dL 

Energiebilanz: 

2 1 2 

dWe + dWmech + dWm = − I dL + Fxdx + I dL = 0 

2 

Auflösen nach F x 

: 

1 

I 

2 

dL = dW m 

2 

und da 

F 

x 

F 

x 

1 

= I 

2 

= 

2 

dL 

dx 

dW 

dx 

( I ) 

m 

(hochgestellter Index (I) 

steht dabei für I = const.) 

Die Kraft entspricht der Änderung der magnetischen Feldenergie. 



ETIT II / VL 19 15


F 

x 

1 

= I 

2 

2 

dL 

dx 

Die Kraft ist stets so gerichtet, dass 

sie die Induktivität der Stromschleife 

zu vergrößern sucht. 

2 2 A 

Wegen L = N Λ = N µ bedeutet das auch: 

l 

Die Kraft ist stets so gerichtet, dass sie 

die von der Stromschleife umfasste Fläche 

zu vergrößern sucht. 



ETIT II / VL 19 16


Auswirkung z.B.: Wandern von Kurzschlussstromlichtbögen 

F ur 

I k 



ETIT II / VL 19 17


Demonstrationsversuch: "Feuerrad" 

ur 

F 

Zünden eines Lichtbogens 

(Schmelzdraht) hier 

I ca. 1 kA, U ca. 3 kV 



ETIT II / VL 19 18


Anwendung: "Arc Rotator" 

• Kraft wirkt jederzeit 

tangential am Umfang 

• Kraftrichtung immer 

gleich (auch bei 

Wechselstrom) 

ur 

F 

• Lichtbogen bleibt nicht 

auf der Stelle stehen, 

sondern läuft immer 

am Umfang entlang 

ur 

B 

ur 

v 

QuickTime 

Movie 



ETIT II / VL 19 19


Anwendung: Vakuumschaltröhre mit Radialfeldkontakten 

ur 

F 



ETIT II / VL 19 20


Anwendung: Freileitungsisolator mit Lichtbogenarmaturen 

(Gabelring, Gabel-Hornring) 



ETIT II / VL 19 21


Anwendung: 

Löschen von Schaltlichtbögen, unterstützt durch magnetische Beblasung 

Gleichstromschalter 

(Bahn, Straßenbahn) 

Schaltkontakte 

fest 

ur 

F 1 

ur 

F ur 2 F 3 

B ur 

Löschkammern 

beweglich 

v 

ur 

F 

ur 

F 

ur 

F 

1 

2 

3 

… Aufweitung der 

Stromschleife 

… magnetische 

Beblasung 

… Thermik 

I 

Spule 



ETIT II / VL 19 22


Anwendung: 

Löschen von Schaltlichtbögen, unterstützt durch magnetische Beblasung 

Gleichstromschalter 

(Bahn, Straßenbahn) 

- gute Kühlung des Lichtbogens 

- hoher Spannungsbedarf (viele Fußpunkte) 

Schaltkontakte 

fest 

ur 

F 1 

ur 

F ur 2 F 3 

B ur 

Löschkammern 

beweglich 

v 

ur 

F 

ur 

F 

1 

2 

ur 

F 3 

… Aufweitung der 

Stromschleife 

… magnetische 

Beblasung 

… Thermik 

I 

Spule 



ETIT II / VL 19 23


Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) 

F 

x 

( I ) 

dWm 

d ⎛1 2⎞ 

1 2dL( x) 

= = ⎜ LI 

⎟ = I 

dx dx ⎝2 ⎠ 2 dx 

Lx ( ) = Lx ′ + K 

L' ... Induktivitätsbelag der Leitung 

K ... ein von x unabhängiger Korrekturterm 

zur Berücksichtigung von Randeffekten 

am Leitungsende 

dL( x) 

⇒ = L′ 

dx 

Für die Doppelleitung bereits hergeleitet: 

F 

x 

1 dL( x) 1 

2 dx 2 

L′ 

2 2 

= I = I = 

2 

µ 

0I 

d 

ln 

2π 

ρ 

0 

L′ = 

µ 

0 

ln d 

π ρ 

0 

Die Kraft ist proportional I 2 



ETIT II / VL 19 24



Im 380-kV-Netz: z.B. d = 3 m 

ρ 0 

= 0,1 m 

I = 60 kA (Kurzschluss) 

F 

= 

x 

µ I d 4π 

⋅10 ⋅60 ⋅10 3 Vs⋅A 

2 −7 2 6 2 

0 

= ln = 

ln 

2π ρ0 

2π 

0,1 Am 

2,45 

kN 245 

kg 

F ur 

I 

F ur 

I 

Konstruktive Maßnahmen 

erforderlich: 

F ur 

Ausnützen magnetischer Kräfte 

zur Vergrößerung des 

Kontaktdrucks! 



ETIT II / VL 19 25



Leistungsschalter (LS) Trennschalter (TS) LS: optimiert zum 

Unterbrechen hoher Ströme, 

aber nicht zum Isolieren 

muss Kurzschlussstrom 

sicher unterbrechen können 

Erdungsschalter (ES) 

TS: optimiert zum Isolieren, 

aber nicht zum Unterbrechen 

hoher Ströme muss 

Kurzschlussstrom sicher 

führen können, ohne zu 

öffnen 

ES: optimiert zum 

spannungslosen 

Kurzschließen der Leitung 

muss Kurzschlussstrom 

sicher führen können, ohne 

zu öffnen 



ETIT II / VL 19 26



Was passiert, wenn man einen Trennschalter bei fließendem Strom öffnet …. 



ETIT II / VL 19 27


Prüfung der 

Kurzschlussstromtragfähigkeit 

an 

Einsäulen- 

Scherentrennschaltern 

und an 

Erdungsschaltern 

• î ca. 150 kA, 300 ms 

• I ca. 60 kA, 3 s 



ETIT II / VL 19 28


Prüfung der 

Kurzschlussstromtragfähigkeit 

an 

Einsäulen- 

Scherentrennschaltern 

und an 

Erdungsschaltern 

• î ca. 150 kA, 300 ms 

• I ca. 60 kA, 3 s 



ETIT II / VL 19 29

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