H - Fachgebiet Hochspannungstechnik

Durchflutungsgesetz 

Anwendungsbeispiel 1: 

Magnetische Feldstärke 

einer Zylinderspule 

3 gleichwertige 

Darstellungen! 

H 2 

H 

1 

I 

N 

l 1 

Zylinderspule, Länge l 1 

>> Durchmesser, 

eng bewickelt mit N Windungen Draht, 

Stromfluss I: 

Feld H 1 

im Inneren praktisch homogen, äußeres Feld H 2 

vernachlässigbar klein 

gegenüber H 1 

H 2 

≈ 0 (empirischer Befund) 

N 

∫ H 

⋅ d s 

≈ H Θ 

I 

Anwendung des Durchflutungsgesetzes: 

1l 

= = NI 

⇒ H ≈ H1 

= 

l 

L 

Integration in homogenem Feld entlang einer Feldlinie! 

1 

Fachgebiet 

Hochspannungstechnik 

ETIT II / VL 15 1


Anwendungsbeispiel 2: Magnetische Feldstärke in der Umgebung einer 

Doppelleitung ([C1], Bsp. 5.4) 

y 

a 

a 

Zwei stromdurchflossene Leiter im kartesischen Koordinatensystem, Ausdehnung 

in z-Richtung; Abstand 2a; wie groß ist die magnetische Feldstärke in der 

Ebene x = 0, wenn 

a) I 1 

= I 2 

= I 

b) I 1 

= -I 2 

= I ist? 

x 



ETIT II / VL 15 2




Fall a) 

I 1 

= I 2 

= I 

y 

H 2y 

H 2x 

H 1x 

α 

H 2 

H 1y 

H 1 

I 2 α 

I 1 

a a 

x 



ETIT II / VL 15 3




Fall a) 

I 1 

= I 2 

= I 

y 

(0, y) = 0 

H 2 

H x 

2 2 

2y 

π a + y 

H 

α 

2x 

H 1x 

H 1y 

H 

H 

y 

I 

(0, y) 

= − 

y 

H 1 

I 2 α 

I 1 

a a 

x 



ETIT II / VL 15 4




Fall b) 

I 1 

= -I 2 

= I 

y 

H 1y 

H 1x 

H 2x 

α 

H 2y 

H H 1 2 

I 2 α 

I 1 

a a 

x 



ETIT II / VL 15 5




Fall b) 

I 1 

= -I 2 

= I 

y 

(0, y) = 0 

(0, y) 

2 2 

H 1x 

H 2x 

α 

H 1y 

H 2y 

H 

H 

x 

y 

I 

= − 

π a 

a 

+ y 

H H 1 2 

I 2 α 

I 1 

a a 

x 



ETIT II / VL 15 6


Anwendungsbeispiel 3: Das Magnetfeld innerhalb und außerhalb eines 

gestreckten, vom Gleichstrom I durchflossenen Leiters 

ρ 0 

Der Leiter wird gleichmäßig vom Strom durchsetzt. 

Alle Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise. 

Außerhalb des Leiters wird die Durchflutung vom 

Gesamtstrom gebildet: 

|H| 

 

∫ Hds 

= H2πρ 

= I ⇒ H ( ρ ) = 

L 

I 

2πρ 

H 

∼ 

1 

ρ 

H( ρ ) 

0 

= 

I 

2πρ 

0 

ρ 0 

ρ 



ETIT II / VL 15 7




ρ 0 

Innerhalb des Leiters ist nur derjenige Stromanteil an 

der Durchflutung beteiligt, der vom jeweils betrachteten 

Radius eingeschlossen wird. 

|H| 

H ∼ ρ 

H 

∼ 

1 

ρ 

I 

ρ 

I I ρ 

= JAr 

= = = 

πρ πρ ρ 

2 

2 

A 

2 r 

πρ I 

2 2 

0 0 0 

2 

⎛ ρ ⎞ 

⎜ I 

2 

I 

⎟ 

ρ ρ0 

ρ 

H( ρ) 

⎝ ⎠ I 

= = = 

2πρ 2πρ 2πρ 

I 

H( ρ0) 

= 

2πρ 

2 

0 

0 

ρ 0 

ρ 



ETIT II / VL 15 8




ρ 0 

|H| 

Das Innere eines stromdurchflossen 

Leiters ist nicht magnetfeldfrei! 

∼ 

H 

H ρ∼ 

1 

ρ 

ρ 0 

ρ 



ETIT II / VL 15 9


Anwendungsbeispiel 4: Magnetische Flussdichte in einem Ring aus Dynamoblech 

aus [M1] 

I 1 

= 100 A I 2 

= 200 A d mi 

= 10 cm 

Wie groß ist die magnetische Flussdichte im Ring, 

wenn 

a) nur I 1 

fließt 

b) nur I 2 

fließt 

c) I 1 

und I 2 

fließen? 



ETIT II / VL 15 10





ETIT II / VL 15 11



aus [M1] 

I 1 

= 100 A I 2 

= 200 A d mi 

= 10 cm 

Wie groß ist die magnetische Flussdichte im Ring, 

wenn 

a) nur I 1 

fließt 

b) nur I 2 

fließt 

c) I 1 

und I 2 

fließen? 

B(I 1 ) = 1,03 T B(I 2 ) = 1,29 T B(I 1 +I 2 ) = 1,42 T 

Schlussfolgerung: auf Grund der nichtlinearen Permeabilität ist 

B(I 1 +I 2 ) ≠ B(I 1 ) + B(I 2 ) 



ETIT II / VL 15 12

Das Gesetz von Biot-Savart 

Jean-Baptiste Biot, 1774 – 1862; Félix Savart, 1791 – 1841 

Französische Physiker 

Durchflutungsgesetz nur anwendbar, wenn der Verlauf der 

magnetischen Feldlinien im Prinzip bekannt ist Integration 

über eine Feldlinie, auf der die Feldstärke konstant ist 

(s. vorherige Beispiele). 

Biot 

Allgemeiner: Gesetz von Biot-Savart (aus dem Durchflutungsgesetz herleitbar *) ) 

*) Herleitung hier zu kompliziert; s. VL Technische Elektrodynamik 

 

∆B( P) 

= 

 

µ I ∆s 

× r 

2 

4π 

r 

Gesetz von Biot-Savart 

... gibt an, welchen Beitrag ein 

stromdurchflossenes Leiterelement 

irgendeines Stromkreises zur 

magnetischen Flussdichte in einem 

beliebigen Aufpunkt P liefert. 

0 



ETIT II / VL 15 13


 

∆B( P) 

= 

 

µ I ∆s 

× r 

2 

4π 

r 

0 

Durch Integration über den 

Weg L (d.h. über die Quellpunktskoordinate 

s) ergibt 

sich die magnetische Flussdichte 

auf Grund des Stroms 

in der geschlossenen Leiterschleife: 

 

B( P) 

 

µ I ds 

× r 

= ∫ 

2 

4π 

L 

r 

Voraussetzung: Raum konstanter 

Permeabilität! 

0 



ETIT II / VL 15 14


Anwendungsbeispiel: Ein Stromkreis, der vom Strom I durchflossen wird, hat die 

Form eines regelmäßigen n-Ecks. Die Größe des n-Ecks ist durch den Radius a 

des einbeschriebenen Kreises gegeben. Wie groß ist die magnetische Flussdichte 

im Mittelpunkt des n-Ecks? ([C1], Bsp. 5.6) 

Dazu zunächst Lösung der Teilaufgabe: 

Magnetfeld eines endlich langen stromdurchflossenen 

Leiters im Aufpunkt P 

 

e3, 

B 

M 

a 

r 0 

I 



ETIT II / VL 15 15


µI 

B( P) 

= ∫ 

4π 

s 

 

ds 

× r 

2 

r 

Anmerkung: aus dem Umlaufintegral wird 

für dieses Teilproblem ein Streckenintegral! 

0 



ETIT II / VL 15 16




ETIT II / VL 15 17




ETIT II / VL 15 18




ETIT II / VL 15 19


µ 

B 

P 

I 

2π 

a 

( ) = e3 

cos 

= Magnetfeld verursacht von einer Seite eines regelmäßigen n-Ecks 

ϑ 



ETIT II / VL 15 20


 

B 

M 

 

µ nI 

π 

2π 

a n 

( ) = e3 

sin 

= Magnetfeld verursacht von allen Seiten eines regelmäßigen n-Ecks 



ETIT II / VL 15 21


Spezialfälle: 

 

B 

µ nI 

π 

2π 

a n 

( ) = e3 

sin 

M 

 

a) quadratische stromdurchflossene Leiterschleife der Kantenlänge l 

n = 4; a = l/2 

M µ n π µ 4 π 

B( M) = e I I 

3 sin = 3 

a 

e sin 

I 

2π 

a n π l 4 

l 

b) kreisförmige stromdurchflossene Leiterschleife mit Radius r 

π 

n → ∞ ⇒ n sin = π *); a = r 

n 

M µ I π µ I π µ I 

( ) = n 

r B M e 3 sin = 3 nsin 

= 

 

3 

I 

2π a n e 2π r n 

e 

n→∞ 

2r 

*) wegen sin x = x für x

H - Fachgebiet Hochspannungstechnik

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