ETIT II_13 - Fachgebiet Hochspannungstechnik

Kraftwirkungen im Magnetfeld - Beispiele 

Anwendung: Drehspulmesswerk ([C1], Bsp. 5.1) 

Eine vom Strom I durchflossene Spule aus 

N quadratischen Leiterschleifen, von denen 

jede die Fläche A = a 2 aufweist, ist in einem 

annähernd homogenen, radialsymmetrischen 

Magnetfeld der Flussdichte B angeordnet. 

Welches Drehmoment M 1 wirkt auf die Spule? 

Welcher Winkel α stellt sich bei Anbringen der 

Spiralfedern ein? 

Fachgebiet 

Hochspannungstechnik 

ETIT II / VL 13 1



B a/2 a/2 

I 

I 

B 






M1 

= NAIB 

α ∼ 

I 





Anwendung: Ablenkung eines Elektrons im Magnetfeld (aus [H1]) (Lorentzkraft) 

B = 4 mT 

l = 30 mm 

v = 0,1 · c 0 

Hendrik Antoon 

Lorentz, 1853-1928 

Ein Elektron durchfliegt mit der Geschwindigkeit v ein homogenes Magnetfeld B 

auf eine Länge l. Um welchen Winkel α wird das Elektron abgelenkt? 

Anmerkung: als Lorentzkraft bezeichnet man allgemein die Kraftwirkung auf ein geladenes Teilchen im E- 

 

F = Q E + v × B 

und im B-Feld. Die allgemeine Beziehung für die Lorentzkraft lautet: ( ) 
















r = 42,6 mm 

α = 44,8° 




Kraftwirkungen im Magnetfeld – Hall-Effekt 

Edwin Herbert Hall 

1855 - 1938 

I 

+ 

+ 

+ 

F + 

2 

+ 

I - • Gleichstrom der Höhe I 

B • Auf die Elektronen wirkt Kraft nach rechts: F1 

= evB 

E - 

- 

v • Rechte Plattenseite lädt sich negativ auf, die linke 

F - Plattenseite positiv. Dadurch von links nach rechts 

1 - wirkendes elektrisches Feld E. Dieses übt ebenfalls 

- Kraft auf Elektronen aus: F2 

= eE 

U H 

• Stromdichte: 

b 

I 

J = ven 

e 

= = 

A 

I 

v = 

en bd 

e 

• Leiterplättchen der Breite b und der Dicke d 

• Magnetfeld mit Flussdichte B senkrecht darauf 

• Gleichgewichtszustand F 1 

= F 2 

I 

bd 

mit 

eE = evB 

E = vB 

U H 

= Eb = vBb 

v = Elektronengeschwindigkeit in m/s 

e = Elementarladung in As 

n e = Elektronendichte in 1/m 3 

A = Strömungsquerschnitt = b·d in m 2 





I 

F 

2 

E 

I 

b 

v F 

1 

B 

U H 

= Eb = vBb 

IB 

U = = I 

H 

KB0 B 

en d 

e 

I 

v = 

en bd 

e 

U H …. Hallspannung 

K B0 … Leerlaufempfindlichkeit 

Bei Metallen: n e 

sehr groß 

K B0 

sehr niedrig 

U H 

Technisch brauchbare Hall-Generatoren durch 

Aufdampfen dünner, schwach dotierter Halbleiterschichten 

(z.B. 5 µm dick) auf ein Trägermaterial. 

Bei InSb (Indium-Antimonid): 

U H 

= 1 V @ I = 15 mA, B = 1 T 

Mit Hall-Sonden lassen sich Betrag und Richtung von Magnetfeldern vermessen. 





Hall-Sensoren in IC-Gehäusen zur Magnetfeldmessung 

Strompfad 

Führung des Magnetfelds 

(ferromagnetisches Material) 

IC-Gehäuse 

Hall-Sensor zur indirekten Strommessung 

Hall-Sensor im Luftspalt 

mit Anschlüssen 




Magnetische Feldstärke 

Magnetisches Feld 

F 

F 

I l 

⎡ µ I ⎤ 

⎣2πρ 

⎦ 

1 

= I2l 

⎢ ⎥ 

µ I 

1 

= = 

2 

2πρ 

B 

1 

Elektrostatisches Feld 

⎡ 

→0 

Q ⎤ 

2 

F1 = Q1 ⋅ ⎢ ⋅ r 

2 ⎥ 

⎣4πε 

0r 

⎦ 

 

→0 

F1 Q 

2 

= ⋅ r = E 

2 

1 

Q 4πε 

r 

1 0 

Einführung einer am selben Ort wirkenden, jedoch von den Raumeigenschaften 

unabhängigen Größe zweckmäßig: 

 

→0 

B 

Q 

D = ε0 ⋅ E = ⋅ r 

2 

H = = I 

[ I] 

A 

[ H] 

= = 

4π 

r 

µ 2 πρ [ ρ] 

m 

elektrische Verschiebungsdichte 

magnetische Feldstärke 

magnetische Erregung 

 

B 

 

= µ H 

Voraussetzung: 

isotropes Medium 




Permeabilitätskonstante des Vakuums 

Im Vakuum ist µ = µ 0 

. 

Kraftwirkung zweier stromdurchflossener Leiter im Vakuum: 

F 

I I l 

ρ 

1 2 

= K = 

µ 

0I1I2l 

2πρ 

Konstante K durch Definition des Ampere festgelegt: 

−7 Vs µ 

0 

K = 2 ⋅ 10 = Am 2 π 

Vs 

µ 

0 

= 4π ⋅ 10 = 4π 

⋅10 

Am 

−7 −7 

H 

m 

Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, unendlich 

lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar 

kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je je einem Meter Leiterlänge die Kraft 

2·10 -7 -7 N hervorrufen würde. (s. ETIT II_02) 




Relative Permeabilitätszahl 

In Analogie zum elektrostatischen Feld (relative Dielektrizitätszahl ε r 

): 

= µ r 

... relative Permeabilität(szahl) 

µ µ µ 

r 

0 

Im Gegensatz zur relativen Dielektrizitätszahl ist die relative Permeabilitätszahl 

häufig keine Konstante! 

Magnetisch linear 

Magnetisch nichtlinear 

Diamagnetische Stoffe 

Paramagnetische Stoffe 

Ferromagnetische Stoffe 

Verantwortlich für magnetische Eigenschaften: Magnetfelder durch Kreisströme 

auf Grund der Elektronenbewegung und durch den Elektronenspin. 



ETIT II / VL 13 13


Diamagnetische Stoffe µ r


Paramagnetische Stoffe 

µ r >∼ 1 

Die durch Kreisströme und Elektronenspin verursachten Magnetfelder heben 

sich nicht gegenseitig auf. Die Atome solcher Stoffe stellen kleinste Dauermagnete 

dar (Elementarmagnete), die jedoch normalerweise regellos angeordnet 

sind, so dass sich nach außen keine magnetische Wirkung zeigt. Durch ein 

äußeres Magnetfeld werden die Elementarmagnete ausgerichtet und verstärken 

das Feld. Bei gleicher magnetischer Feldstärke H ergibt sich eine größere 

Flussdichte B als im Vakuum µ r 

ist geringfügig größer als Eins. 

Paramagnetischer Werkstoff in einem 

homogenen Magnetfeld [F1] 





Stoff 

µ r 

Wismut 

Blei 

Kupfer 

Wasser 

Stickstoff 

Luft 

Sauerstoff 

Aluminium 

Wolfram 

Platin 

0,999843 

0,999984 

0,999990 

0,999991 

0,999999 

1,0000004 

1,000002 

1,000024 

1,000067 

1,000256 

Diamagnetisch 

Paramagnetisch 

Für alle diese Stoffe kann vereinfachend mit µ r 

= 1 gerechnet werden. 






µ r >> 1; stark nichtlinear 

Die durch Kreisströme und Elektronenspin verursachten Magnetfelder 

heben sich nicht gegenseitig auf. Die Atome solcher Stoffe stellen 

kleinste Dauermagnete dar, die in großen Bezirken, den Weiß'schen 

Bezirken, zusammengefasst sind. Die Weiß'schen Bezirke haben 

magnetische Vorzugsrichtungen. Durch ihre regellose Anordnung 

zeigt sich normalerweise nach außen keine magnetische Wirkung. 

Wird ein äußeres Magnetfeld langsam von Null an gesteigert, nimmt 

das Volumen derjenigen Weiß'schen Bezirke zu, die mit dem Magnetfeld 

einen kleinen Winkel bilden. Das Volumen der übrigen Bezirke 

nimmt ab Vergrößerung der Flussdichte. Bei weiterer Steigerung 

der Magnetfeldstärke klappen die Magnetisierungsrichtungen ganzer 

Bezirke schlagartig um erhebliche Vergrößerung der Flussdichte. 

Schließlich geht der Stoff in die magnetische Sättigung, in der alle 

Bezirke ausgerichtet sind. 

µ r 

ist wesentlich größer als Eins und feldstärkeabhängig. 

Zu den ferromagnetischen Stoffen gehören Eisen, Kobald, Nickel und 

bestimmte Metalllegierungen. Zahlenwerte: µ r 

= 10 4 ... 10 6 






µ r >> 1; stark nichtlinear 

Oberhalb der Curie-Temperatur verschwindet der Ferromagnetismus restlos, 

der Stoff wird paramagnetisch. Diese Eigenschaftsänderung ist jedoch reversibel. 

Beispiele für Curie-Temperaturen: 

• Eisen: ϑ C 

= 770 °C 

• Nickel: ϑ C 

= 358 °C 

• Kobalt: ϑ C 

= 1120 °C 

Ausnutzung dieses Effektes z.B. beim magnetisch geregelten Lötkolben: 

L ... Lötspitze; H ... Heizwicklung; M ... Dauermagnet; 

F ... Feder; S ... Schaltkontakt 

nach [F1] 

Funktionsweise: 

ϑ < ϑ : L und M ziehen sich an ⇒ S geschlossen 

L 

C 

ϑ > ϑ : L wird paramagnetisch ⇒ S öffnet 

L 

C 






Hystereseschleife 

Sättigung 

Remanenzflussdichte 

Koerzitivfeldstärke 

Neukurve 

Koerzitivfeldstärke = für das 

Verschwinden der Flussdichte 

erforderliche entmagnetisierende 

Feldstärke 

Koerzitivfeldstärke 

Remanenzflussdichte 

Sättigung 








1) Weichmagnetischer Werkstoff (ca. H K 

< 0,1 kA/m) 

Anwendung: Transformatoren, Maschinen 

2) Hartmagnetischer Werkstoff (ca. H K 

> 0,5 kA/m) 

Anwendung: Dauermagnete 

Moderne Werkstoffe erreichen B R 

> 1 T bei H K 

bis zu Werten von B R 

/µ 0 

(also z.B. B R 

= 1 T und H K 

= 796 kA/m) 






Magnetisierungskennlinie 

(Kommutierungskurve) 

Für weichmagnetische Werkstoffe wird meistens 

mit der Magnetisierungskennlinie (auch: 

Kommutierungskurve) gearbeitet Kurve durch 

die Kommutierungspunkte; fast identisch mit der 

Neukurve 

Wie kann man einen magnetisierten 

Werkstoff entmagnetisieren?..... 

[F1] 






Magnetisierungskennlinie 

B 0,5 Vs ⋅ Am ⋅m z.B. hier: µ 

r 

= = = 

−7 2 3979 

µ H 4π 

⋅10 ⋅100 m ⋅ Vs ⋅ A 

0 




Durchflutungsgesetz 

Bereits hergeleitet für die magnetische Feldstärke: 

H B 

= = I 

µ 2 πρ 

umformen 

2 πρH( ρ ) = I 

"Das Produkt aus der magnetischen Feldstärke H auf einer Feldlinie vom Radius ρ 

und der Länge dieser Feldlinie L = 2πρ ist gleich dem Strom I, der von dieser 

Feldlinie umfasst wird." 





2 πρH( ρ ) = I 

Nun Annahme: 

Für jeweils gleiche Winkel α Bewegung auf 

unterschiedlichen Feldlinien im Abstand 

ρ 1 

, ρ 2 

, ..... 

Das Produkt aus magnetischer Feldstärke 

und Kreisbogenlänge ist dann für jeden 

Radius gleich: 

I 

H( ) = = I 

α 

αρ1 ρ1 αρ1 

2 πρ 

1 

2 π 

I α 

αρ2H( ρ2) 

= αρ2 

= I 

2πρ 

2π 

usw. 

2 





I α 

αρkH( ρk ) = αρk 

= I 

2πρ 

2π 

k 

Annäherung einer beliebigen Kurve L um den 

stromführenden Leiter herum durch eine 

Treppenkurve. Es gilt dann: 

∑ 

k 

H ∆ s = I 

k 

k 

mit ∆s k 

... Länge des k-ten Bogenelements 

Bei beliebiger Richtung von ∆s k 

darf nur die in Richtung 

von ∆s k 

wirkende Feldstärkekomponente (H·cos α) gezählt werden. 

∆s 

k und H 

k als Vektoren, Bildung des Skalarprodukts: 

 

H ∆s 

cos( H k, ∆sk 

) = H k ⋅ ∆sk 

= I 

∑ 

k 

k 

k 

∫ H 

⋅ d s 

= I 

 

L 

∑ 

k 


(Umlaufsinn von L bzgl. I nach Rechtsschraubenregel) 





Das Produkt aus magnetischer Feldstärke und Weg wird auch als 

magnetische Spannung V bezeichnet: 

[V] = [H] [l] = A 

L 

V = H l 

∫ H 

d s 

 

Dementsprechend heißt auch magnetische Umlaufspannung. 

L 

∫ H 

d s 

 

= I "Die magnetische Umlaufspannung ist gleich dem vom 

Integrationsweg umschlossenen Strom." 

Treten mehrere Ströme durch die von L aufgespannte 

Fläche, so gilt: 

∫ H 

s 

I 

 

L 

⋅ d = ∑ k 

= 

k 

Θ 

Θ ... Durchflutung 

Bei räumlich verteilter Strömung: 

∫ 

L 

 

H ⋅ ds = J ⋅dA 

∫ 

A 

Θ = I1 + I2 − I3 + I4 





∫ H 

⋅ d s 

= ∑ I k 

= Θ 

 

L 

k 

I 1 

= 2 A I 2 

= 4,5 A 

Wie groß ist für die gewählten Integrationswege jeweils die Durchflutung? 

Θ = -2 A 

Θ = 4,5 A Θ = 0 

Θ = 2,5 A 

Θ = -2 A 

Θ = -6,5 A 

nach [F1]

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