Abstand zweier windschiefer Geraden - Grundwissen
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<strong>Abstand</strong> <strong>zweier</strong> <strong>windschiefer</strong> <strong>Geraden</strong> - <strong>Grundwissen</strong><br />
Gegeben sind zwei windschiefe <strong>Geraden</strong> g und h durch die Gleichungen<br />
r r r r r r<br />
: x = a + r ⋅ u und : x = a + r ⋅ v .<br />
g<br />
1<br />
h<br />
2<br />
Dann berechnet sich der <strong>Abstand</strong> d der <strong>Geraden</strong> g zur <strong>Geraden</strong> h durch folgendes<br />
Verfahren:<br />
• Stelle den Term einer Hilfsebene H in Parameterform auf, die die Gerade g<br />
r<br />
enthält (d.h. deren Stützvektor der Stützvektor a1<br />
der <strong>Geraden</strong> g und deren<br />
erster Spannvektor der Richtungsvektor u r der <strong>Geraden</strong> g ist) und die parallel<br />
zur <strong>Geraden</strong> h verläuft (d.h. deren zweiter Spannvektor der Richtungsvektor<br />
v r r r r r<br />
der <strong>Geraden</strong> h ist): H : x = a1<br />
+ r ⋅u<br />
+ s ⋅ v<br />
r r r<br />
• Wandle die Ebene H in die Normalenform um: H : n ∗[x<br />
− a1 ] = 0<br />
• Bestimme den <strong>Abstand</strong> d eines beliebigen Punktes der <strong>Geraden</strong> h (z.B. des<br />
Startpunktes A 2 ) zu der Hilfsebene H, d.h.<br />
• Stelle den Term einer Hilfsgeraden k auf, die durch den Punkt A 2 verläuft<br />
(d.h. deren Stützvektor der Stützvektor a r<br />
2 der <strong>Geraden</strong> h ist) und die<br />
orthogonal zur Hilfsebene H liegt (d.h. deren Richtungsvektor der<br />
Normalenvektor n r r r r<br />
der Hilfsebene H ist): k : x = a<br />
2<br />
+ r ⋅ n<br />
• Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsebene H mit der Hilfsgeraden k:<br />
{ S} = k ∩ H<br />
• Berechne den <strong>Abstand</strong> d der Punkte A 2 und S.<br />
Dieser <strong>Abstand</strong> d ist der <strong>Abstand</strong> der <strong>Geraden</strong> g zur <strong>Geraden</strong> h.<br />
© 2005 Thomas Unkelbach Seite 1 von 2
Beispiel:<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Gegeben sind die <strong>Geraden</strong> g : x<br />
r<br />
⎛14⎞<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= ⎜−3⎟<br />
+ r⋅⎜<br />
2 ⎟ und h : x<br />
r = ⎜ 4 ⎟ + r ⋅⎜−<br />
3⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝−3<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
Gesucht ist der <strong>Abstand</strong> d der <strong>Geraden</strong> g zur <strong>Geraden</strong> h.<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
• H : x<br />
r = ⎜−<br />
3⎟<br />
+ r ⋅ ⎜ 2 ⎟ + s ⋅⎜−<br />
3⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝−<br />
3⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
⎛9⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ r ⎜ ⎟<br />
• H : ⎜6⎟<br />
∗[x<br />
− ⎜−<br />
3⎟]<br />
= 0<br />
⎜7⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛14⎞<br />
⎛9⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
• k : x<br />
r = ⎜ 4 ⎟ + r ⋅⎜6⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝7⎠<br />
⎛9⎞<br />
⎛14⎞<br />
⎛9⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
• H ∩ k : ⎜6⎟<br />
∗[<br />
⎜ 4 ⎟ + r ⋅ ⎜6⎟<br />
− ⎜−<br />
3⎟]<br />
= 0 ⇔ r = −1, also<br />
⎜7⎟<br />
⎜ 3 ⎟ ⎜7⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
r r<br />
• s − a<br />
2<br />
r<br />
s<br />
⎛14⎞<br />
⎛9⎞<br />
⎛ 5 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= ⎜ 4 ⎟ + ( −1)<br />
⋅⎜6⎟<br />
= ⎜−<br />
2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝7⎠<br />
⎝−<br />
4⎠<br />
⎛ 5 ⎞ ⎛14⎞<br />
⎛−<br />
9⎞<br />
⎛−<br />
9⎞<br />
⎛−<br />
9⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= ⎜−<br />
2⎟<br />
− ⎜ 4 ⎟ = ⎜−<br />
6⎟<br />
, d = ⎜−<br />
6⎟<br />
∗⎜−<br />
6⎟<br />
= 81+<br />
36 + 49 = 166<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
4⎠<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝−<br />
7 ⎜<br />
⎠ 7⎟<br />
⎜ 7⎟<br />
⎝−<br />
⎠ ⎝−<br />
⎠<br />
Der <strong>Abstand</strong> d der <strong>Geraden</strong> g zur Gerdaen h beträgt<br />
166 LE .<br />
© 2005 Thomas Unkelbach Seite 2 von 2