Bachelorarbeit Entwurf einer zeitdiskreten ... - Hochschule Ulm

Bachelorarbeit 

Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen 

Permanentmagnet-Synchronmotor 

Verfasser 

Jens Wurster 

Studiengang Fahrzeugelektronik 

Matrikelnummer: 3101345 

WS 2011/12 

Erstgutachter 

Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger 

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik

Jens Wurster 

Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet- 

Synchronmotor 

Bachelorarbeit eingereicht im Rahmen der Bachelorprüfung für den Studiengang 

Fahrzeugelektronik der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Hochschule 

Ulm. 

Erstgutachter: 

Zweitgutachter: 

Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger 

Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Schroer 

Bearbeitungszeitraum: 8. August 2011 bis 2. November 2011

Hochschule Ulm 

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik 

Thema der Bachelorarbeit: 

Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-Synchronmotor 

Stichworte: 

Dead-Beat-Regler, Windup-Effekt, Störgrößenaufschaltung, feldorientierte Regelung, 

Matlab/Simulink 

Kurzbeschreibung: 

Inhalt dieser Bachelorarbeit ist die Bewertung verschiedener Dead-Beat-Stromregler für 

einen Permanentmagnet-Synchronmotor. Der Dead Beat-Regler wird mit 

Stellgrößenvorgabe verwendet, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben wird 

minimal gehalten. 

Die Realisierung und die Simulation erfolgt in Matlab/Simulink. 

Title of the paper: 

Design of a discrete-time current control for permanent magnet synchronous motor 

Keywords: 

Dead beat controller, Windup-effect, feed forward control, field-oriented control, 

Matlab/Simulink 

Abstract: 

Contents of this bachelor thesis is the evaluation of various dead beat current controller for 

permanent magnet synchronous motor. The dead beat controller is used with plant output 

and the number of additional manipulated variables is kept to a minimum. 

Implementation and Simulation is done in Matlab/Simulink. 


Jens Wurster 

S e i t e | i

Erklärung 



I. Erklärung 

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig angefertigt habe. 

Es wurden nur, die in der Arbeit ausdrücklich benannten Quellen verwendet. Wörtlich oder 

sinngemäß übernommenes Gedankengut habe ich als solches kenntlich gemacht. 

Ort, Datum Unterschrift: Jens Wurster 


Jens Wurster 

S e i t e | ii

Danksagung 



II. 

Danksagung 

Hiermit möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger für die Betreuung während 

meiner Abschlussarbeit bedanken. Er ermöglichte mir diese Arbeit durchzuführen und war 

während der Durchführung ein sehr wichtiger Ansprechpartner für mich. 

Ich möchte mich natürlich auch bei meinem Umfeld bedanken. Meiner Familie, die mich 

während der Arbeit voll unterstützte und meinem Freundeskreis, der mich auch mal auf 

andere Gedanken gebracht hat. 


Jens Wurster 

S e i t e | i i i

Inhaltsverzeichnis 



III. 


I. Erklärung ............................................................................................................................ ii 

II. Danksagung ....................................................................................................................... iii 

III. Inhaltsverzeichnis .............................................................................................................. iv 

1 Einleitung ............................................................................................................................ 1 

2 Aufgabenstellung ............................................................................................................... 2 

3 Theorie ............................................................................................................................... 3 

3.1 MATLAB/Simulink ........................................................................................................ 3 

3.1.1 MATLAB ................................................................................................................. 3 

3.1.2 Simulink ................................................................................................................. 4 

3.2 Elektrische Antriebsmaschinen ................................................................................... 5 

3.3 Die Gleichstrommaschine ............................................................................................ 5 

3.3.1 Der Aufbau ............................................................................................................. 6 

3.3.2 Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ....................................... 8 

3.3.3 Drehzahl-Drehmomentverhalten ........................................................................ 13 

3.3.3.1 Gleichstrom-Nebenschlussverhalten .......................................................... 13 

3.3.3.2 Gleichstrom-Reihenschlussverhalten ......................................................... 14 

3.4 Clarke-Park-Transformation ...................................................................................... 16 

3.4.1 Die Inverse-Clarke-Park-Transformation ............................................................. 17 

3.4.2 Die Clarke-Transformation .................................................................................. 18 

3.4.3 Die Park Transformation ..................................................................................... 20 

3.5 Der Synchronmotor ................................................................................................... 22 

3.5.1 Der Aufbau ........................................................................................................... 22 

3.5.2 Das Modell der Synchronmaschine ..................................................................... 24 

3.5.2.1 Simulationsmodell der Synchronmaschine ................................................ 29 

3.6 Zeitdiskrete Regelungen ............................................................................................ 31 

3.6.1 Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge ................................................................. 31 

3.6.1.1 Das Abtast- und Halteglied ......................................................................... 32 

3.6.1.2 Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System ....................... 33 

3.6.1.3 Stabilität zeitdiskreter Systeme .................................................................. 35 

3.6.2 Die Testfunktionen im z-Bereich ......................................................................... 36 

3.6.2.1 Die Sprungfunktion ..................................................................................... 36 


Jens Wurster 

S e i t e | iv




3.6.2.2 Der Dirac-Impuls ......................................................................................... 37 

3.6.3 Zeitdiskrete Regler ............................................................................................... 38 

3.6.3.1 Dead-Beat-Regler ........................................................................................ 39 

3.6.3.2 Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe .................... 40 

3.6.3.3 Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts .................... 50 

3.6.3.4 Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben ....................................... 57 

3.7 Raumzeigermodulation ............................................................................................. 62 

3.7.1 Berechnung beliebiger Raumzeiger .................................................................... 67 

3.7.1.1 Der Aussteuerungsgrad............................................................................... 68 

4 Das Simulationsmodell ..................................................................................................... 69 

4.1 Modelldaten .............................................................................................................. 69 

4.2 Der Regelkreis ............................................................................................................ 70 

4.2.1 Das Motormodell ................................................................................................. 72 

4.2.1.1 Das mechanische Modell ............................................................................ 73 

4.2.2 Regelung und Leistungselektronik ...................................................................... 74 

4.2.2.1 Störgrößenaufschaltung ............................................................................. 78 

4.2.2.2 Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung .......... 79 

4.2.2.3 Regler Windup ............................................................................................ 80 

4.3 Dimensionierung der Dead Beat Regler .................................................................... 82 

4.3.1 Die Regelstrecke .................................................................................................. 82 

4.3.2 Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe ....................................................... 83 

4.3.2.1 Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe ...................................... 85 

4.3.2.2 Fazit ............................................................................................................. 90 

4.3.3 Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe ............................................... 91 

4.3.3.1 Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe ................................ 93 

4.3.3.2 Fazit ............................................................................................................. 94 

4.3.4 Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben ................................................ 95 

4.3.4.1 Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben ............................... 97 

4.3.4.2 Fazit ............................................................................................................. 99 

4.3.5 Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben ............................................ 99 

4.3.5.1 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben ......................... 101 

4.3.5.2 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver 

Pulsweitenmodulation .............................................................................. 103 

4.3.5.3 Fazit ........................................................................................................... 105 

4.3.6 Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben .............................................. 106 

4.3.6.1 Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben ............................. 110 


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4.3.6.2 Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation .................. 113 

4.3.6.3 Fazit ........................................................................................................... 117 

5 Gesamtfazit .................................................................................................................... 119 

IV. Abbildungsverzeichnis .................................................................................................... 120 

V. Tabellenverzeichnis ........................................................................................................ 124 

VI. Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 125 


Jens Wurster 

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Einleitung 



1 Einleitung 

Es war im Jahr 1900, als der Pionier Ferdinand Porsche auf der Weltausstellung in Paris das 

erste Hybridfahrzeug vorstellte [1]. Es hat jedoch fast hundert Jahre gedauert bis Toyota mit 

dem ersten Hybrid in Serie ging. Der Verkauf des Toyota Prius begann im Dezember 1997, 

vorerst nur in Japan [2]. Damit begann die Erfolgsgeschichte des Hybrids. Heutzutage sind 

die Hybridtechnik oder rein elektrisch betriebene Fahrzeuge aus der Automobilwelt nicht 

mehr wegzudenken, somit auch der Elektromotor als Traktionsmotor. 

Mit dem Einzug der e-Mobility in die Fahrzeugtechnik hat sich das Berufsfeld des 

Fahrzeugtechnik Ingenieurs verändert. Der Fokus rückt dabei zusätzlich auf die 

Batterietechnik, die Leistungselektronik und elektrische Traktionsmotoren. Diese Bereiche 

stellen den Ingenieur in der Automobilbranche vor neue Herausforderungen. 

Bei der Batterietechnik stehen wir heute noch am Anfang. Zur Zeit sind mit rein elektrisch 

betriebenen Fahrzeugen Reichweiten von ca. 100 km pro Akkuladung möglich. Bei dieser 

Reichweite beginnt bei herkömmlichen Autos mit Verbrennungsmotor der rote Bereich der 

Tankanzeige. Experten meinen, dass bis zum Jahr 2015 Reichweiten von ca. 200 km mit rein 

elektrisch betriebenen Fahrzeugen möglich sind. 

Im Automobil werden Drehfeldmotoren als Antriebsmotor verwendet. Es werden synchrone 

und asynchrone Drehfeldmotoren eingesetzt. Aufgrund von Wirkungsgradvorteilen werden 

vermehrt permanentmagneterregte Synchronmaschinen eingesetzt. Diese sind jedoch 

aufwändiger zu regeln als Asynchron-Maschinen. 

Bachelorarbeit S e i t e | 1 

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Aufgabenstellung 



2 Aufgabenstellung 

Der Elektromotor ist aus modernen Forschung und Lehre durch den Einzug als 

Traktionsmotor in der Fahrzeugtechnik nicht mehr wegzudenken. Für den Student ist somit 

der Umgang mit dieser Technologie bereits im Studium wichtig. 

Im Automotive-Center der Hochschule Ulm gibt es zu Lehrzwecken einen Motorenprüfstand, 

der aus zwei Elektromotoren besteht. Dabei ist die antreibende Maschine ein 

Permanentmagnet-Synchronmotor mit Oberflächenmagnet Anker und die Lastmaschine ein 

Asynchrondrehstrommotor. Beide Motoren arbeiten bis jetzt im ungeregelten Betrieb. Für 

den Synchronmotor wird in dieser Arbeit eine zeitdiskrete Regelung entworfen. Dabei wird 

als zeitdiskreter Regler der Dead-Beat Regler verwendet. Die Anzahl an zusätzlichen 

Stellgrößen wird dabei so gering wie möglich gehalten. 

Die Bewertung und die Simulation der einzelnen Reglerentwürfe wird in Matlab/Simulink 

durchgeführt. 

Ziel dieser Arbeit ist es, einen Dead-Beat Stromregler für den Synchronmotor anhand von 

Simulationsergebnissen zu bewerten und die Realisierbarkeit in der Praxis zu überprüfen. 


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Theorie 



3 Theorie 

Dieses Kapitel soll dem Leser das Verständnis der Arbeit erleichtern. In den einzelnen 

Theorieteilen ist immer auf weiterführende Literatur verwiesen, die einen tieferen Einblick in 

den Themenbereich ermöglicht. 

3.1 MATLAB/Simulink 

Matlab/Simulink ist ein Computerprogramm welches von „The MathWorks“ entwickelt wird. 

Die Einsatzschwerpunkte der Software liegen in der Regelungstechnik, der Mathematik und 

der Signalverarbeitung. 

Die Simulation des Regelungsmodells erfolgt in Simulink, die Auswertung und Initialisierung 

des Modells geschieht in Matlab. 

3.1.1 MATLAB 

Der Name Matlab lässt sich von „MATrix LABoratory“ ableiten [3]. Matlab rechnet mit 

Matrizen, welche nur aus einem Element bestehen können, beziehungsweise nur eine Zeile 

oder Spalte enthalten können. Dadurch lassen sich einzelne Werte und Zeilenvektoren sowie 

Spaltenvektoren darstellen. Zur Berechnung verwendet Matlab numerische 

Lösungsalgorithmen. Wie aus den Hochsprachen bekannt bietet MATLAB eine Vielzahl von 

Funktionen. So lässt sich beispielsweise eine Einheitsmatrix der Größe (n, n) mit dem Befehl 

eye(n) erstellen. 

Um Programme in MATLAB zu programmieren, gibt es sogenannte m-Files. Diese Files sind 

ASCII-Dateien, welche in einem Editor bearbeitet werden. Die m-Files lassen sich mit dem 

Matlab-Compiler ausführen. Die Programmiersprache, die Matlab verwendet unterscheidet 

sich zum Teil von der Programmiersprache C/C++. Hierbei sei auf die ausführliche Hilfe von 

Matlab verwiesen. 


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Theorie 



3.1.2 Simulink 

Bei Simulink handelt es sich um ein Simulationswerkzeug, welches auf MATLAB beruht. 

Simulink ist somit eine von vielen Matlab Toolboxen. 

Mit Simulink lässt sich der zeitliche Verlauf dynamischer Systeme simulieren. Es lassen sich 

sowohl lineare als auch nichtlineare Vorgänge simulieren. Simulationsmodelle werden durch 

Blockschaltbilder aufgebaut. Einzelne Blockschaltbilder zusammengefasst durch 

Signalflusspfeile, ergeben den Signalflussplan. Auf diese Art wird in Simulink grafisch 

programmiert. 

Der Aufbau der Modelle erfolgt in mdl-Files. Die Blockschaltbilder sind in verschiedenen 

Bibliotheken, „Librarys“ unterteilt. 


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Theorie 



3.2 Elektrische Antriebsmaschinen 

Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Ausführungen elektrischer Antriebsmaschinen. 

Elektrische Maschinen lassen sich in ihre technologischen Eigenschaften unterteilen. Die 

gebräuchlichsten sind [4], 

 

 

 

 

Bewegungsart (rotatorisch, translatorisch), 

Erregerfeld (z. B. Drehfeld, Permanentmagnet, steuerbar), 

Drehmoment-Drehzahlkennlinie (z. B. Nebenschlussverhalten, 

Reihenschlussverhalten), 

Synchron/Asynchron. 

Im Folgenden wird auf die Theorie der Gleichstrommaschine eingegangen und das 

elektrische Ersatzschaltbild abgeleitet, da dieses bei der Modellbildung der 

Synchronmaschine wieder erscheint. 

3.3 Die Gleichstrommaschine 

Die Gleichstrommaschine ist die älteste und die technisch einfachste elektrische Maschine 

[5]. Bedingt durch ihren einfachen Aufbau und gute Regeleigenschaften wird die 

Gleichstrommaschine heute immer noch eingesetzt, obwohl diese höhere 

Wartungsintervalle als die Synchron- und Asynchronmaschine hat. Zusätzlich ist ihr 

Wirkungsgrad schlechter als bei Drehfeldmaschinen. 


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Theorie 



3.3.1 Der Aufbau 

Die Gleichstrommaschine besteht aus einem feststehenden Gehäuse, dem Ständer und 

einem sich drehendem Anker. Am Umfang des Ständers sind Dauermagnete oder 

Erregerwicklungen angebracht, die Anzahl der Dauermagnete bzw. Erregerwicklungen 

dividiert durch zwei beschreibt die Polpaarzahl 

einer Maschine. Der Anker der 

Gleichstrommaschine wird über Kohlebürsten elektrisch verbunden. Durch die Rotation des 

Ankers wird der Strom in der Ankerwicklung kommutiert. 

Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine 

Abbildung 3-1 zeigt den technisch einfachsten Aufbau einer Gleichstrommaschine. Der 

Erregerfluss wird von zwei Permanentmagneten geliefert und ist dadurch als konstant zu 

betrachten. Die Polpaarzahl der Maschine ist eins, da diese Maschine zwei Pole hat. Die 

Ankerwicklung wurde aus Darstellungsgründen durch eine einzelne Wicklung dargestellt. 

Aufgrund des Ankerstroms und der daraus resultierenden Lorenzkraft dreht sich der 

Motor im Uhrzeigersinn, da das Kreuzprodukt 

einen Kraftvektor für den oberen Leiter nach rechts erzeugt und für den unteren Leiter nach 

links. Die unterschiedliche Richtung der beiden Kraftvektoren folgt aus der 

(3.1) 


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Theorie 



entgegengesetzten Stromrichtung in den beiden Leiterstücken. Im oberen Leiterstück fließt 

der Strom aus der Zeichenebene heraus und im unteren Leiterstück in die Zeichenebene 

hinein. Die Kraft am Hebelarm erzeugt ein Drehmoment nach: 

(3.2) 

Dreht sich der Anker beginnend bei der Position, siehe (Abbildung 3-2-a), mit der 

mechanischen Winkelgeschwindigkeit , so erreicht er in (Abbildung 3-2-b) die 

neutrale Zone. In dieser neutralen Zone ist das Kreuzprodukt (3.2) gleich null, da der 

Kraftvektor parallel zum Hebelarm ist. Im Moment des Kommutierungsvorgangs fließt 

für einen kurzen Zeitraum kein Strom (Abbildung 3-2-b). 

Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine 

Abbildung 3-2-c zeigt die Gleichstrommaschine kurz nach dem Kommutierungsvorgang. Die 

Stromrichtung in der Leiterschleife wurde umgepolt, durch diese Umpolung zeigt der Vektor 

in die andere Richtung und somit auch 

. In Abbildung 3-2-d hat die Gleichstrommaschine 


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Theorie 



eine halbe Umdrehung zurückgelegt und befindet sich kurz vor dem nächsten 

Kommutierungsvorgang. 

3.3.2 Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine 

Um die Vorgänge in der Gleichstrommaschine besser zu verstehen, ist die Bildung eines 

mathematischen Modells notwendig. Die Darstellung als Signalfußplan und als elektrisches 

Ersatzschaltbild erleichtert das Verständnis des Modells. 

Das Drehmoment lässt sich als Funktion des mechanischen Winkels darstellen. Aufgrund der 

Rotation des Ankers verläuft das Drehmoment für eine Leiterschleife als Cosinusfunktion, da 

sich der wirkende Hebelarm des Kraftvektors nach dieser Funktion verhält. 

Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife 

Der in Abbildung 3-3 dargestellte Graph des Drehmoments stellt den Verlauf mit 

Kommutierung (durchgezogene Linie) und ohne Kommutierung (gestrichelte Linie) dar. Der 

Drehmomentverlauf ist für eine Spule, die in einer Nut gewickelt ist, abgebildet. Die 

Scheitelwerte der Kraft sind laut Gleichung (3.1) proportional zum Strom in den 

Leiterschleifen und somit ist auch das Drehmoment proportional dazu. Wird die Anzahl an 

räumlich versetzten Spulen auf zwei erhöht, ergibt sich folgender Verlauf des Drehmoments: 


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Theorie 



Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen 

Abbildung 3-4 zeigt das Drehmoment zweier um 90° versetzter Spulen. Zusätzlich ist das 

Summendrehmoment ersichtlich. Wird die Anzahl der räumlich versetzter Spulen weiter 

erhöht, so ist das Summendrehmoment als konstant zu betrachten, da die Oberwellen 

mit steigender Anzahl an Spulen immer kleiner werden. Somit ist das Drehmoment 

proportional zum Strom und einer Konstanten, die noch näher bestimmt werden muss. 

(3.3) 

Die drehmomentbildende Kraft ist abhängig von Radius , Spulenlänge und von dem B-Feld 

. Da die Kraft an beiden Leiterstücken wirkt, wird der Faktor mit zwei multipliziert. Somit 

spannt der Faktor (Abbildung 3-5) die Fläche der Leiterschleife auf. Die Konstante aus 

Gleichung (3.3) lässt sich durch beschreiben. 

Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld 


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Theorie 



Die Definition des magnetischen Fluss lautet: 

(3.4) 

Über die Definition (3.4) und die zuvor abgeleiteten Zusammenhänge ergibt sich die erste 

Gleichung der Gleichstrommaschine. Durch die Vielzahl an räumlich versetzten 

Leiterschleifen ist der Einfluss der Flussänderung durch die Rotation des Ankers 

vernachlässigbar. Die Konstante kann als Erregerfluss angenommen werden, dieser Fluss 

wird vom Erregerkreis erzeugt. Je nach Motorbauart ist dieser Fluss konstant oder eine 

Funktion des Erregerstroms . 

(3.5) 

Durch die Rotation des Ankers wird in der Ankerinduktivität eine Spannung induziert. Diese 

Spannung lässt sich laut Induktionsgesetz beschreiben durch: 

Der Erregerfluss bei gleichmäßiger Rotation beschreibt die folgende Gleichung: 

(3.6) 

Eingesetzt in Gleichung (3.6) ergibt sich für die induzierte Spannung Folgendes: 

(3.7) 

Aufgrund der Vielzahl der räumlich versetzten Spulen in der Gleichstrommaschine ist die 

(3.8) 

Winkelabhängigkeit der induzierten Spannung 

vernachlässigbar. Somit gilt: 

(3.9) 

In der Ableitung der induzierten Spannung wurde bewusst auf die Kommutierung 

verzichtet, da die Spannung umgepolt wird und der Betrag erst nach der Differenzierung 

gebildet wird. 

Wird im Ankerkreis der Ankerwiderstand und die Ankerinduktivität in das mathematische 

Modell eingebunden, so ergeben sich weitere Gleichungen des Modells. 

(3.10) 


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Theorie 



(3.11) 

Laut Definition gilt für die mechanische Leistung der Zusammenhang: 

Aus Gleichung (3.10) folgt folgendes Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine: 

(3.12) 

I A 

R A L A 

U i 

U A 

U R U L 

Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine 

Das Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine besteht aus drei Bauelementen. Der 

Ankerwiderstand bildet die elektrischen Verluste im Ankerkreis ab, d. h. die 

Verlustleistung lässt sich beschreiben durch: 

(3.13) 

Die Ankerinduktivität des Ersatzschaltbilds wird als ideal angenommen und hat bei 

dynamischen Vorgängen einen nicht vernachlässigbaren Spannungsabfall. Die ideale 

Spannungsquelle mit der induzierten Spannung stellt die elektromotorische Kraft (EMK) 

dar und bildet den Übergang zwischen dem elektrischen und dem mechanischen System, 

siehe Gleichung (3.9). 

Das Ersatzschaltbild kann für den stationären Fall vereinfacht dargestellt werden. 

U R 

I A 

R A 

U i 

U A 

Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine 


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Theorie 



Im stationären Fall gilt 

., dadurch ist der Spannungsabfall an der Induktivität 

nicht vorhanden. Wird die Gleichstrommaschine nicht belastet, so ist das Lastmoment 

gleich null. Demnach fließt kein Ankerstrom und daraus folgt . 

Eine weitere Möglichkeit das mathematische Modell darzustellen ist der Signalflussplan. 

Durch Umstellen der Gleichung (3.10), (3.5), (3.9) und durch Einbeziehen der 

Differenzialgleichung (3.14) für das mechanische Teilsystem, ergibt sich folgender 

Signalflussplan: 

(3.14) 

Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors 

In dieser Darstellung wurde ebenfalls die Ankerinduktivität im Signalflussplan 

vernachlässigt. Die Ankerspannung ist die Eingangsgröße des Systems. Die 

Ausgangsgröße ist die mechanische Winkelgeschwindigkeit . Das Lastmoment 

stellt die Störgröße dar. Die Laplace-Übertragungsfunktion des Motormodells lautet: 

(3.15) 

Das Modell einer Gleichstrommaschine beschreibt ein PT 1 -Verhalten mit der Zeitkonstante: 

(3.16) 


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Theorie 



Die Störübertragungsfunktion 

lautet: 

(3.17) 

Mit derselben Zeitkonstante wie Gleichung (3.15). (Index „z“ für Störübertragungsfunktion in 

Gleichung (3.17) ) 

3.3.3 Drehzahl-Drehmomentverhalten 

In Abschnitt 3.3.1 wurde die Funktion der Gleichstrommaschine anhand einer 

permanentmagneterregten Gleichstrommaschine erklärt. Diese Variante wird nur bei 

kleinen Leistungen eingesetzt [4]. Es gibt jedoch verschiedene Ausführungen einer 

Gleichstrommaschine, die sich durch die unterschiedlichen Erregungen unterscheiden. 

Im Folgenden wird auf die beiden häufigsten Typen eingegangen. Weiterführende 

Informationen über andere Gleichstrommotorentypen liefern die unter ( [6], [4], [5]) 

genannten Bücher. 

3.3.3.1 Gleichstrom-Nebenschlussverhalten 

Der Erregerkreis der Gleichstrommaschine wird hierbei von einem vom Ankerstrom 

unabhängigen Erregerstrom 

durchflossen. 

U A 

U E 

A1 

I A 

I E 

M 

A2 

E2 

E1 

Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor 

Durch die Variation von und sind Drehzahlstellmethoden möglich [4]. In den meisten 

Fällen gilt jedoch 

Bei dem verwendeten Verbraucherzählpfeilsystem in Abbildung 

3-9, stellt sich für den dargestellten Nebenschlussmotor Rechtslauf ein [7]. Der Erregerfluss 

ist abhängig von Erregerstrom , wie auch von der Sättigungskurve der Erregerinduktivität. 


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Theorie 



Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine 

In Abbildung 3-10 ist das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Nebenschlussmaschine bei 

konstanter Ankerspannung und konstantem Erregerfluss dargestellt. Bei der 

Nebenschlussmaschine existiert eine Leerlaufdrehzahl und ein Anzugsmoment im 

Stillstand. Der Kennlinienverlauf der Nebenschlussmaschine ist linear. 

3.3.3.2 Gleichstrom-Reihenschlussverhalten 

Bei einer Reihenschlussmaschine sind Erregerwicklung und Ankerkreis in Reihe geschaltet, 

dadurch fließt durch beide Wicklungen derselbe Strom. 

U 

A1 

I 

M 

A2 

D2 

D1 

Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor 

Beim Reihenschlussmotor ist der Erregerfluss abhängig vom Ankerstrom . Für den 

Erregerfluss gilt . In Abbildung 3-11 ist der Motor im Rechtslauf verschaltet [7]. 


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Theorie 



Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine 

Abbildung 3-12 zeigt das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Reihenschlussmaschine bei 

konstanter Spannung . Auffallend ist, dass keine Leerlaufdrehzahl existiert. Im 

Leerlauffall gilt die Bedingung 

. Aus Gleichung (3.9) folgt dadurch, dass 

gegen null geht, sodass gegen unendlich gehen muss. Theoretisch existiert daher 

keine Leerlaufdrehzahl. Der Motor geht im Leerlauffall durch. Aufgrund der Reibverluste, die 

im Modell vernachlässigt wurden, erreicht der Motor eine endliche, aber sehr hohe 

Leerlaufdrehzahl. Die hohen Fliehkräfte, die bei dieser Leerlaufdrehzahl vorhanden sind, 

können auf den Motor zerstörend wirken. Die typische Anwendung für eine 

Reihenschlussmaschine ist aufgrund des hohen Anzugmoments der Anlasser im PKW. 


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Theorie 



3.4 Clarke-Park-Transformation 

Die häufigste Anwendung der Clarke-Park-Transformation ist bei der Regelung elektrischer 

Drehfeldmaschinen. Für Drehfeldmaschinen kann ein mathematisches Modell abgeleitet 

werden, welches aus zwei gekoppelten Ersatzschaltbildern besteht (siehe Abschnitt 3.5.2). 

Hierbei wird das dreiphasige Drehstromnetz (L1, L2, L3) in ein System mit den neuen 

Bezugsgrößen des Motormodells transformiert. Bezugsgrößen werden im rotorfesten 

Koordinatensystem dargestellt, wobei sich das Koordinatensystem mit der elektrischen 

Winkelgeschwindigkeit des Rotors dreht. Für den Betrachter im rotorfesten 

Koordinatensystem steht somit der Rotor still. Dies bietet den Vorteil, dass im stationären 

Fall alle sinusförmigen Wechselgrößen zu Gleichgrößen werden. 

Um aus dem dreiphasigen Drehstromnetz (L1, L2, L3) ein zweiphasiges, orthogonales System 

zu bilden, wird die Clarke-Transformation angewandt. Hierbei wird aus dem dreiphasigen 

Netz ein zweiphasiges Bezugssystem mit einem feststehenden Koordinatensystem. Die 

Abszissenachse dieses Koordinatensystems wird mit α bezeichnet, die Ordinatenachse mit β. 

Daher lautet diese Transformation manchmal auch α/β- Transformation. 

In einem zweiten Schritt wird das orthogonale und feststehende Koordinatensystem α, β auf 

ein mit der elektrischen Winkelgeschwindigkeit rotierendes Koordinatensystem 

transformiert. Die Achsen heißen in diesem Fall d-Achse für die rotierende x-Achse und q- 

Achse für die rotierende y-Achse. Diese Transformation wird als Park-Transformation 

bezeichnet oder alternativ als d/q-Transformation. 

Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation 

Abbildung 3-13 zeigt den Wirkungsplan der Clarke-Park-Transformation. Der Block Clarke- 

Transformation hat die drei Ströme der Phasen L1, L2 und L3 als Eingangsgröße und die 


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Theorie 



Größen α und β als Ausgangsvektor. Bei diesem Block kann der Eingangsvektor auf zwei 

Ströme verringert werden, denn im Dreiphasennetz gilt: 

(3.18) 

Der Messaufwand verringert sich, da nur noch zwei der drei Ströme gemessen werden 

müssen. 

Der Block Park-Transformation hat als Eingangsvektor die beiden Größen α, β und zusätzlich 

noch den elektrischen Winkel . Die Ausgangsgrößen der d/q-Transformation sind die 

Größen d und q des rotierenden Koordinatensystems. 

In dieser Arbeit wird die Clarke-Park-Transformation immer in zwei Schritten durchgeführt 

und nicht, wie es in der Literatur zum Teil der Fall ist, in einem Schritt. Dadurch bleibt die 

Transformation übersichtlicher. Die Clarke-Park-Transformation wird hier für Ströme 

abgeleitet, da diese in der Aufgabenstellung für eine Transformation dieser physikalischen 

Größe erforderlich ist. Die Transformation ist natürlich auch für Spannungen oder andere 

physikalische Größen möglich. 

3.4.1 Die Inverse-Clarke-Park-Transformation 

Um aus den d/q-Größen die netzrelevanten Größen L1, L2 und L3 zu gewinnen, verwendet 

man die Inverse-Clarke-Park-Transformation, bei der eine Transformation von den beiden 

orthogonalen Größen d, q nach L1, L2, L3 stattfindet. 

Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation 

Die Blockdarstellung der Inversen-Clarke-Park-Transformation ist aus Abbildung 3-14 

ersichtlich. Der Block der Inversen-Park-Transformation hat als Eingangsvektor die Größen d, 

q und der mechanische Winkel , die beiden Ausgangsgrößen sind α und β. 


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Theorie 



Die Inverse-Clarke-Transformation hat als Eingangsgrößen α und β und als Ausgangsvektor 

die drei Phasen des Drehstromnetzes L1, L2, L3. 

3.4.2 Die Clarke-Transformation 

Bei der Clarke-Transformation wird aus dem dreiphasigen Netz ein orthogonales System mit 

den Ausgangsgrößen α, β gebildet. 

Abbildung 3-15: Clarke Transformation 

Nun müssen die Größen L1, L2 und L3 auf das neue Koordinatensystem in α/β-Koordinaten 

abgebildet werden. Somit ergibt sich für die α-Richtung folgende Gleichung: 

Und in β-Richtung: 

(3.19) 

(3.20) 

Die Gleichungen (3.19) und (3.20) lassen sich über die Winkelfunktionen , 

, und darstellen: 

(3.21) 

(3.22) 


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Theorie 



Gleichungen (3.21) und (3.22) lauten in Matrixschreibweise wie folgt: 

(3.23) 

Der Faktor in Gleichung (3.23) normiert und auf den Betrag der Eingangsgrößen. 

Die Transformation mit diesem Vorfaktor nennt man Längeninvariante-Transformation. Sie 

hat den Vorteil, dass die Scheitelwerte der einzelnen Ströme im stationären Fall gleich groß 

sind. 

Um von den Größen α und β wieder auf die Wechselspannungsgrößen L1, L2, L3 zu 

gelangen, ist die Inverse-Clarke-Transformation nötig. Für die Inverse-Clarke-Transformation 

ist die Inverse der Transformationsmatrix aus Gleichung (3.23) nötig. Bei dieser Matrix 

handelt es sich um eine nicht quadratische Matrix, diese ist somit nicht invertierbar. Wird 

die Knotengleichung (3.18) in die Matrix von Gleichung (3.23) eingebunden, erhält man 

folgende quadratische Matrix: 

(3.24) 

Die Matrix in Gleichung (3.24) ist nun invertierbar, da die Determinante der Matrix ungleich 

null ist. Somit erhält man folgende Gleichung für die Inverse-Clarke-Transformation: 

(3.25) 

Die Knotengleichung, die in die Matrix eingebunden wurde kann nun wieder entfernt 

werden. Da die Transformationsmatrix der Clarke-Transformation durch eine Erweiterung 

invertierbar ist, ist die Clarke-Transformation eindeutig umkehrbar. 


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Theorie 



Die vereinfachte Transformationsgleichung lautet nun: 

(3.26) 

3.4.3 Die Park Transformation 

Die Park-Transformation bildet das statorfeste α/β-Koordinatensystem auf ein rotierendes 

Koordinatensystem d,q ab. 

Abbildung 3-16: Die Park Transformation 

In Abbildung 3-16 lässt sich der Punkt P in beiden Koordinatensystemen beschreiben. 

Beschreibung in α, β: 

(3.27) 

(3.28) 

Beschreibung in d,q: 

Mit dem Additionstheoremen 

(3.29) 

(3.30) 

(3.31) 

(3.32) 

lassen sich die beiden Gleichungen (3.29) und (3.30) umformen. Durch Einsetzten der 

Gleichung (3.27) bzw. (3.28) erhält man: 


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Theorie 



(3.33) 

(3.34) 

Durch Anpassung an die Problemstellung von Gleichungen (3.33) und (3.34), ergibt sich 

folgende Transformationsgleichung in Matrixnotation für die Park-Transformation: 

(3.35) 

Bei der Transformationsmatrix in Gleichung (3.35) handelt es sich um eine orthogonale 

Matrix. Laut [8] gilt für orthogonale Matrizen der Zusammenhang: 

(3.36) 

Um bei der Inversen-Park-Transformation dieselbe Transformationsmatrix wie bei der Park- 

Transformation verwenden zu können, muss der elektrische Winkel mit minus eins 

multipliziert werden. Aufgrund der Achsensymmetrie des Cosinus und der Punktsymmetrie 

des Sinus ergibt sich für den negativen Winkel die gleiche Matrix wie nach Gleichung (3.36) 

(3.37) 


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Theorie 



3.5 Der Synchronmotor 

Beim Synchronmotor dreht sich der Läufer im stationären Zustand mit der synchronen 

Drehzahl des Drehfelds. Diese Drehzahl lässt sich aus der Frequenz 

und der Polpaarzahl 

bestimmen (3.38). Im Leerlauf ist der Polradwinkel (Differenz zwischen Drehfeld und 

Polrad) gleich null. Wird die Maschine mit einem Lastmoment belastet, entsteht eine 

mechanische Drehwinkeldifferenz. Diese Differenz ist im motorischen Betrieb negativ und im 

generatorischen positiv. Ist das Lastmoment zu groß, sodass der Polradwinkel 

misst, so gerät die Maschine außer Tritt und bleibt stehen. 

(3.38) 

Drehstrom-Synchronmaschinen können als Motor, wie auch als Generator eingesetzt 

werden. Die bekannteste Anwendung der fremderregten Synchronmaschine ist als 

Generator bei der Erzeugung von Elektrizität [6]. Permanenterregte Synchronmotoren 

werden vermehrt als Traktionsantrieb bei Elektro-und Hybridfahrzeugen eingesetzt. 

Um bei einem Synchronmotor stufenlos die Drehzahl regeln zu können, muss laut (3.38) die 

Frequenz des Netzes geändert werden. Dies geschieht mit einem leistungselektronischen 

Stellglied. Wird die Synchronmaschine am Netz betrieben, so ist beim Anlaufen ein 

Frequenzhochlauf von null bis zur Sollfrequenz nötig, da sonst die Maschine außer Tritt 

gerät. 

3.5.1 Der Aufbau 

Synchronmaschinen werden in verschiedenen Bauformen ausgeführt. In dieser Arbeit wird 

der Aufbau und die Funktionsweise von Permanentmagnet Synchronmaschinen abgeleitet, 

da diese in der Aufgabenstellung verwendet wird. Für Informationen über die 

unterschiedlichen Bauformen sei auf [6] verwiesen. 

Die Synchronmaschine hat drei um 120° räumlich versetzte Spulen. Diese drei Spulen 

können entweder im Stern oder im Dreieck verschalten werden. In der folgenden Erklärung 

sind die Spulen 1,2,3 an die Außenleiter L1, L2, L3 angeschlossen. Die Frequenz des 

Drehstromnetz und somit des Drehfelds beträgt 

der Polpaarzahl eins handelt. 

, da es sich um eine Maschine mit 


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Theorie 



Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3 

Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine 

In Abbildung 3-18 wird das Drehfeld einer Synchronmaschine zu vier ausgewählten 

Zeitpunkten aus Abbildung 3-17 grafisch dargestellt. Zum Zeitpunkt ist die Summe 

der Einzelflüsse ein Zeiger, der in der Waagrechten liegt und nach rechts zeigt. Zu diesem 


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Theorie 



Zeitpunkt liefert Spule 1 keinen Flussbeitrag, da der Strom durch sie null ist. Die Summe der 

Flüsse lässt sich berechnen durch: 

(3.39) 

Die Länge des Zeigers bleibt zu jedem Zeitpunkt gleich lang. Zum Zeitpunkt 

fließt durch alle drei Spulen ein Strom, dadurch liefert jede Spule einen Flussanteil zum 

Gesamtfluss. Vergleicht man die vier Teilabbildungen aus Abbildung 3-18, so lässt sich das 

linksdrehende Drehfeld der Synchronmaschine erkennen. 

Baut man nun in der Mitte des Synchronmotors einen Stabmagneten ein, so rotiert dieser 

mit der Drehzahl des Drehfelds umher. 

Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz 

Abbildung 3-19 zeigt den Synchronmotor mit dem Rotor. Der Rotor wurde durch einen 

Stabmagneten angenähert. Auf Details im Rotoraufbau wird hier nicht weiter eingegangen, 

es sei auf [4] und [7] verwiesen. Die belastete Synchronmaschine ist durch ihren 

Polradwinkel , zwischen Drehfeld und Rotor charakterisiert. 

3.5.2 Das Modell der Synchronmaschine 

Der Statorstrom aus Abbildung 3-20 wird mithilfe der Clarke-Park-Transformation berechnet. 

Dieser Strom lässt sich in beiden Koordinatensystemen darstellen. Das hochgestellte „S“ 

steht für das statorfeste Koordinatensystem, das hochgestellte „R“ für rotorfest. 


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Theorie 



(3.40) 

(3.41) 

Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem 

Mithilfe der komplexen e-Funktion bildet sich folgender Zusammenhang. 

(3.42) 

Dieselbe Transformation lässt sich auch für den Statorfluss durchführen. Betrachtet man in 

Abbildung 3-21 den Statorfluss, so ist der Permanentfluss nach Definition in Richtung der 

d-Achse ausgerichtet. 

Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem 


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Theorie 



Der Statorkreis im statorfesten Koordinatensystem lässt sich durch dieses Ersatzschaltbild 

ableiten. 

i s 

S 

L s 

u s 

S 

Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung 

Aus dem Ersatzschaltbild in Abbildung 3-22 lässt sich Folgendes ablesen: 

(3.43) 

Wird das Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-22 durch einen Statorwiderstand erweitert, ergibt 

sich Folgendes: 

i s 

S 

L s 

R s 

u s 

S 

u v 

Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators 

Für den ohmschen Spannungsabfall an 

gilt in statorfesten Koordinaten: 

Für die rotorfesten Koordinaten gilt dieser Zusammenhang: 

(3.44) 

(3.45) 

Aus einem Vergleich von Gleichung (3.44) und (3.45) und der Tatsache, dass es sich um einen 

ohmschen Spannungsabfall handelt, ergibt sich: 

(3.46) 

Für den Statorfluss lässt sich derselbe Zusammenhang ableiten wie in Gleichung (3.42). 

Des Weiteren gilt die Verbindung: 

(3.47) 

(3.48) 

Durch Ableiten von Gleichung (3.47) und Einsetzen von Gleichung (3.48) und (3.44) ergibt 

sich: 

(3.49) 


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Theorie 



Durch Umformen von Gleichung (3.49) und unter Berücksichtigung des ohmschen 

Spannungsabfalls ergibt sich die folgende Gleichung für den Statorspannungsabfall im 

rotorfesten Koordinatensystem. 

(3.50) 

Durch Bildung von Real- und Imaginärteil von Gleichung (3.50) erhält man zwei Gleichungen. 

(3.51) 

(3.52) 

(3.53) 

(3.54) 

Analysiert man Gleichung (2.40) und (2.41), so fällt die Kreuzkopplung der beiden Flüsse auf. 

Der Fluss in d-Richtung wirkt positiv auf die Spannung und der Fluss in q-Richtung 

wirkt negativ auf die Spannung . 

Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich zwei Ersatzschaltbilder erstellen, die 

Ähnlichkeiten zum Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine aufweisen. 

i R s L d 

d 

R s i d 

L d di d /dt 

u d 

Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für u d 

-ω el Ψ q 

i R s L q 

q 

R s i q 

L q di q /dt 

u q 

Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für u q 

ω el Ψ d 

Vergleicht man die beiden Ersatzschaltbilder mit dem Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-6, so 

lässt sich erkennen, dass die beiden Spannungen und der elektromotorischen 

Kraft entsprechen. Die innere Leistung lässt sich berechnen durch: 


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Theorie 



(3.55) 

Durch Umstellen und Einsetzen der Bedingung 

(3.56) 

erhält man für Gleichung (3.55) folgenden Zusammenhang: 

(3.57) 

Der Faktor setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Der Faktor drei kommt daher, 

da es sich beim Ersatzschaltbild um ein einphasiges Ersatzschaltbild handelt, der 

Synchronmotor jedoch drei Phasen hat. Der Faktor setzt sich zusammen aus da es 

sich sowohl bei , als auch bei um Scheitelwerte handelt. Durch erfolgt die 

Korrektur auf Effektivwerte. 

Aus Abbildung 3-21 und den bereits abgeleiteten Zusammenhängen lassen sich noch 

folgende Flussgleichungen ablesen. 

(3.58) 

(3.59) 

Durch Einsetzen von Gleichung (3.58) und (3.59) in (3.57), erhält man die Gleichung für die 

mechanische Leistung . 

Verglichen mit Gleichung (3.12) erhält man für das Drehmoment folgende Gleichung: 

(3.60) 

Das Drehmoment aus Gleichung (3.60) setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Der 

vordere Summand ist das sogenannte Reluktanzdrehmoment und der hintere 

Summand das sogenannte Hauptdrehmoment . Das Reluktanzdrehmoment resultiert 

aus der magnetischen Asymmetrie des Polrades in der d- und q- Achse [4]. 

(3.61) 

(3.62) 


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Theorie 



Bei dem am Prüfstand verwendeten Oberflächenmagnetmotor ist der Rotor 

rotationssymmetrisch aufgebaut, weshalb nicht zwischen einer Induktivität in d- und in q- 

Richtung unterschieden werden muss [9]. 

(3.63) 

Dadurch entfällt in Gleichung (3.60) das Reluktanzdrehmoment und die Momentgleichung 

lässt sich vereinfacht darstellen. 

(3.64) 

Der Strom 

wird auch momentenbildender Strom genannt, da dieser für die 

Drehmomentbildung verantwortlich ist. 

Aus Gleichung (3.64) lässt sich noch ein weiteres Merkmal des Oberflächenmagnetmotors 

ableiten. Der Strom trägt nicht zur Momentbildung bei. Gleichung (3.58) zeigt, dass nur 

die Höhe des magnetischen Flusses in d-Richtung beeinflusst. Dieser Strom wird daher auch 

Flussstrom genannt. 

3.5.2.1 Simulationsmodell der Synchronmaschine 

In diesem Abschnitt wird ein Motormodell abgeleitet, mit welchem in Matlab/Simulink der 

Synchronmotor simuliert werden kann. Dieses Modell dient als Grundlage für einen späteren 

Reglerentwurf. Als Grundlage für dieses Modell dienen die im Abschnitt 3.5.2 abgeleiteten 

Gleichungen der Synchronmaschine. 

Durch Umstellen der Gleichungen (3.53) und (3.54) wird Folgendes ersichtlich. 

(3.65) 

(3.66) 

Aus den Gleichungen (3.65) und (3.66) und den beiden Flussgleichungen (3.58) und (3.59) 

lässt sich das Motormodell der Synchronmaschine im Signalflussplan darstellen. 


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Theorie 



Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink 

In Abbildung 3-26 ist die Kreuzkopplung erkennbar. Der Fluss 

multipliziert mit der 

Kreisfrequenz liefert einen positiven Spannungsbeitrag zu . Der Fluss multipliziert 

mit der Kreisfrequenz liefert zu einen negativen Spannungsbeitrag. Zusätzlich wird in 

diesem Motormodell noch das Moment ausgerechnet, welches sich aus Gleichung (3.64) 

ergibt. Die Eingangsgrößen in diesem Modell sind die beiden Spannungen und sowie 

die Kreisfrequenz . Daher wird das Modell auch „spannungsgesteuertes Modell“ genannt. 

Die Ausgangsgrößen sind die beiden Ströme und und zusätzlich das Hauptdrehmoment 

der Synchronmaschine. 


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3.6 Zeitdiskrete Regelungen 

In der heutigen Zeit laufen immer mehr Regelungsalgorithmen auf einem Mikrocontroller 

ab. Diese Mikrocontroller arbeiten jedoch zeitdiskret d. h. sie fragen zyklisch mit einer 

bestimmten Abtastzeit die Wertinformationen an den Eingängen ab. Hierzu benötigen 

diese an den Eingängen einen Analog-Digital-Wandler und an den Ausgängen einen Digital- 

Analog-Wandler. Durch die A/D-Wandlung am Eingang des Mikrocontrollers entsteht aus 

dem zeitdiskreten und wertkontinuierlichen Signal ein zeit- und wertdiskretes Signal. Der 

Quantisierungsfehler kann wegen der großen Wortbreite vernachlässigt werden. Der 

Algorithmus der auf dem Mikrocontroller abläuft kennt somit nur diskrete Eingangswerte. 

Die Abtastzeit ist anwendungsabhängig. Werden schnelle Vorgänge geregelt, z. B. 

Drehzahlen, so ist die Abtastzeit sehr kurz, werden jedoch langsame Vorgänge geregelt, z. B. 

Füllstandsabfragen, so ist die Abtastzeit größer. Für den Synchronmotor soll eine 

Stromregelung entworfen werden, das elektrische Teilsystem ist ein schnelles Teilsystem. 

Das überlagerte mechanische Teilsystem ist langsamer als das elektrische. Die Faustformel 

besagt, dass ein Zehntel der schnellsten Zeitkonstanten als Abtastzeit verwendet wird. 

3.6.1 Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge 

Wird ein kontinuierliches Zeitsignal zeitdiskret abgetastet, so ist eine mathematische 

Beschreibung dieser Abtastfolge notwendig. 

Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied 

In Abbildung 3-27 links wird ein zeitkontinuierliches Signal zu diskreten Abtastpunkten 

abgetastet. Bei der Abtastung entsteht eine Folge von Funktionswerten. Diese Werte lassen 


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Theorie 



sich beschreiben durch oder 

zusammenfassend als Folge: 

Mithilfe von Dirac-Impulsen lässt sich die Folge 

als Summe umschreiben zu: 

(3.67) 

(3.68) 

Wendet man nun zur Beschreibung im Frequenzbereich die Laplacetransformation auf 

Gleichung (3.68) an, so erhält man die folgende Transformierte: 

(3.69) 

Zur Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge wird die z-Transformation angewandt. Durch 

Definition der Substitution bzw. erhält man die z-Transformierte der 

Impulsfolgefunktion. Für weitere Informationen sei auf [10] verwiesen. 

(3.70) 

Die Gleichung (3.70) lautet ausgeschrieben: 

3.6.1.1 Das Abtast- und Halteglied 

(3.71) 

Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Abtast- und Halteglied bereits erwähnt, nur noch 

nicht näher erläutert und definiert. In Abbildung 3-27 rechts ist ein diskretes Zeitsignal nach 

dem Abtast- und Halteglied zu erkennen. Beim Abtastglied wird zu einem bestimmten 

Zeitpunkt das kontinuierliche Zeitsignal abgetastet. Das Halteglied hat hierbei die 

Aufgabe, den Wert für den Zeitraum kT bis (k+1)T zu halten. 


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Theorie 



Abbildung 3-28: Das Halteglied 

In Abbildung 3-28 wird der Funktionswert der Höhe „w“ für einen Abtastzeitraum gehalten. 

Im Zeitbereich lässt sich dies Ausdrücken durch: 

(3.72) 

Durch Anwendung der Laplacetransformation auf Gleichung (3.72) und des 

Verschiebungssatz aus [10], erhält man die Laplaceübertragungsfunktion des Abtast- und 

Halteglieds. 

(3.73) 

Wird bei Gleichung (3.73) die Expotentialfunktion 

folgende Übertragungsfunktion für das Halteglied. 

ausgeklammert, erhält man 

(3.74) 

3.6.1.2 Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System 

Mithilfe der z-Transformation lässt sich aus einer kontinuierlichen Systembeschreibung eine 

diskrete Beschreibung ableiten. Dies wird anhand eines kurzen Beispiels verdeutlicht. Die 

Differenzialgleichung des PT 1 -Glieds soll diskretisiert werden. 

Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT 1 -Glieds 


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Die Differentialgleichung des PT 1 -Glieds lautet: 

(3.75) 

Die Ableitung ist definiert durch: 

(3.76) 

Wird dies auf die Differentialgleichung (3.66) angewandt, so wird zum Zeitpunkt der 

Funktionswert von in gespeichert, der alte Funktionswert von wird in 

gespeichert. Dies geschieht über den Zeitraum . Dadurch kann die Ableitung mit Bildung 

der Rückwärtsdifferenz beschrieben werden durch: 

Wird dieser Zusammenhang (3.77) in Gleichung (3.75) eingesetzt und die Werte von 

und zu dem diskreten Zeitpunkt eingefügt, so erhält man folgende Gleichung. 

(3.77) 

Umgestellt nach 

ergibt sich die Gleichung: 

(3.78) 

Die Differenzengleichung hängt somit nur noch vom aktuellen Eingangswert und vom 

letzen Ausgangswert ab. Wird auf Gleichung (3.78) die z-Transformation angewandt, 

ergibt sich die z-Transformierte: 

(3.79) 

Durch Umstellen der Gleichung (3.79) in eine Übertragungsfunktion erhält man Folgendes: 

(3.80) 


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Theorie 



Wendet man auf die Übertragungsfunktion aus Gleichung (3.80) den Anfangswertsatz aus 

[11] an so erhält man den Anfangswert der diskreten Übertragungsfunkton. 

(3.81) 

3.6.1.3 Stabilität zeitdiskreter Systeme 

Zeitdiskrete Systeme können wie kontinuierliche Systeme stabil bzw. instabil sein. 

Kontinuierliche Systeme im Laplacebereich sind stabil, sobald für die Polstelle 

gilt: 

(3.82) 

Grenzstabil sind Systeme im Laplacebereich, falls gilt . Grenzstabile Systeme mit der 

Polstelle bei eins haben integrierendes Verhalten. Die Polstelle im Laplacebereich setzt sich 

aus einem Realteil und einem komplexen Anteil zusammen. 

Eine Stabilitätsbedingung wird nun für die Übertragungsfunktion 

abgeleitet. 

(3.83) 

im z-Bereich 

Es sei die i-te Polstelle im z-Bereich der Übertragungsfunktion Laut Definition der 

z-Transformation gilt: 

(3.84) 

Setzt man nun Gleichung (3.83) in Gleichung (3.84) ein, so erhält man Folgendes: 

(3.85) 

Betrachtet man den Term 

eins darstellen lässt: 

so zeigt sich, dass sich dieser durch einen Zeiger der Länge 

(3.86) 

Somit muss der vordere Term 

ergibt sich: 

für die Stabilitätsbetrachtung relevant sein. Dadurch 

(3.87) 


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Theorie 



Durch eine abschnittsweise Betrachtung von Gleichung (3.87) erhält man folgenden 

Zusammenhang für die Stabilität im z-Bereich. Sei 

folgt daraus instabil. 

Sei nun folgt daraus stabil. Für grenzstabile Systeme gilt somit . 

Der Stabilitätsbereich der z-Transformation lässt sich also beschreiben durch den 

Einheitskreis mit Radius eins um null. 

(3.88) 

3.6.2 Die Testfunktionen im z-Bereich 

Zur Analyse von unbekannten Systemen gibt es Testfunktionen. Die beiden wichtigsten sind 

die Sprungfunktion und der Deltaimpuls . Für diese zwei werden nun 

beispielhaft die Transformationen hergeleitet. 

3.6.2.1 Die Sprungfunktion 

Betrachtet man die Sprungfunktion , mit ihrer Sprunghöhe eins, einmal als 

kontinuierliche Zeitfunktion und einmal als diskrete Folge, so erhält man folgendes Bild, 

Abbildung 3-30. 

Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts 

Durch Anwendung der Definition der z-Transformation (3.70) gewinnt man aus den 

Folgewerten eine geometrische Reihe für die gilt: 

(3.89) 


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3.6.2.2 Der Dirac-Impuls 

Nun soll die z-Transformierte des Einzelimpulses abgeleitet werden. In Abbildung 3-31 ist der 

Diracimpuls im Zeitbereich dargestellt (links) und im rechten Teil die zugehörige Folge. 

Abbildung 3-31: Der Diracimpuls 

Der Diracimpuls lässt sich als Zeitfunktion beschreiben durch: 

(3.90) 

Durch Transformieren in den Laplacebereich und durch Einsetzten der vorher definierten 

Substitution erhält man Folgendes: 

Für weitere Transformationspaare sei auf [11] verwiesen. 

(3.91) 

Tabelle 3-1: Transformationspaare 


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3.6.3 Zeitdiskrete Regler 

Zur Einführung zeitdiskreter Regler wird zu Beginn der Standardregelkreis definiert [12]. 

Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik 

Aus Abbildung 3-32 können einige Eigenschaften des Regelkreises abgeleitet werden. So ist 

die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises beschrieben durch: 

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis lautet somit: 

(3.92) 

(3.93) 

Die beiden Störübertragungsfunktionen der Störung z 2 und z 1 lassen sich beschreiben durch: 

(3.94) 

(3.95) 

Da die Rechenregeln für Übertragungsfunktionen im z-Bereich identisch mit 

Übertragungsfunktionen im Laplacebereich sind, wurde in Gleichungen (3.92) bis (3.95) auf 

den Hinweis der Transformationsart verzichtet. 

Beim Entwurf von digitalen Reglern kommen die aus der Regelungstechnik bekannten Regler 

P-, I-, PI- und PID-Regler zur Anwendung. Diese Typen müssen jedoch in einen diskreten 

Algorithmus überführt werden. Für die Besonderheiten bei dieser Diskretisierung (z. B. 

Vorwärts-, Rückwärtsdifferenz, Trapezregel) sei auf [12] und [11] verwiesen. 


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Bei digitalen Reglern kann im Gegensatz zu analogen Reglern das Ziel verfolgt werden, nach 

einer endlichen Anzahl von Schritten den Endwert erreicht zu haben. Diese Regler werden 

Kompensationsregler für endliche Einstellzeit oder auch Dead-Beat-Regler genannt. 

3.6.3.1 Dead-Beat-Regler 

Dead-Beat-Regler sind zeitdiskrete Regler, die die Eigenschaft haben, nach einer Anzahl von 

n-Schritten bei sprungförmiger Vorgabe der Führungsgröße den Istwert auf den Sollwert 

geregelt zu haben. Die Ausregelzeit lässt sich bestimmen durch, 

wenn 

die Abtastzeit ist. Nach der Ausregelzeit ist somit die Regeldifferenz gleich null. 

(3.96) 

Beim Dead-Beat-Regler handelt es sich um einen Kompensationsregler, bei dem alle Pole der 

Strecke kompensiert werden. Aufgrund der Kompensation ist ein Dead-Beat-Regler für 

instabile Strecken ungeeignet, da sich Pole nicht exakt kompensieren lassen [12]. Bei der 

Ableitung der Formeln für den Reglerentwurf sei auf den Standardregelkreis verwiesen. 

Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis 

In der Strecke (Abbildung 3-33) ist die Übertragungsfunktion des Abtast- und 

Halteglieds und die Übertragungsfunktion der Strecke zusammengefasst. Somit lassen 

sich zeitkontinuierliche Strecken mit dem Dead-Beat-Regler regeln. 

Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich 


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Die zeitdiskrete Strecke 



lässt sich laut Abbildung 3-34 beschreiben durch: 

(3.97) 

Durch Einsetzen der Laplacetransformierten für das Abtast- und Halteglied aus 

Gleichung(3.74) erhält man Folgendes: 

(3.98) 

Der Faktor entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzeitpunkt. 

Somit folgt aus Gleichung (3.98) durch Umstellung Folgendes. 

Daraus folgt: 

(3.99) 

(3.100) 

Nun lässt sich aus einer kontinuierlichen Strecke die zeitdisktrete Strecke unter 

Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds 

berechnen. Um die z-Transformierte mit 

Transformationstabellen zu berechnen, kann eine Partialbruchzerlegung des Terms 

nötig sein [11], [10]. 

3.6.3.2 Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe 

Zur Herleitung des Dead-Beat Reglers sei auf Abbildung 3-33 verwiesen. Die 

Übertragungsfunktion des Dead-Beat Reglers 

lässt sich beschreiben durch: 

(3.101) 

Die Übertragungsfunktion lässt sich somit aus der bekannten Übertragungsfunktion 

und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion beschreiben. 

(3.102) 

Der Faktor in Gleichung (3.102) ist gleich null, da eine nicht sprungfähige Strecke 

angenommen wird [13]. 


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Nach n-Schritten ist die Ausgangsgröße gleich der Eingangsgröße. Somit gilt bei einer 

Führungsgröße von eins für : 

Somit kann 

als Folge beschrieben werden: 

(3.103) 

Mit der z-Transformation lässt sich die Folge ausdrücken mit: 

(3.104) 

(3.105) 

Die vordere Summe drückt hierbei die Ausgangswerte bis der Folge aus und die 

hintere Summe beschreibt das Erreichen der Führungsgröße am Ausgang. Diese Summe lässt 

sich in zwei Summen zerlegen, wenn der Index „i“ nicht bei „n“, sondern bei null wie die 

vordere Summe startet. 

(3.106) 

Die mittlere Summe zieht hierbei den Fehler wieder ab, der durch die Erweiterung der 

hinteren Summe entsteht. Zusammengefasst gilt somit: 

(3.107) 

Mit Sprungaufschaltung erhält man die Führungsübertragungsfunktion : 

(3.108) 

Durch Umstellen von Gleichung (3.108) erhält man Folgendes für : 

(3.109) 

Somit ist 

Polynom 

ein Polynom der Ordnung n mit negativen Potenzen. Dieses endliche 

lautet ausformuliert: 

(3.110) 


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Da dieses Polynom stationär genau sein muss, gilt für die Summe der einzelnen 

Polynomkoeffizienten: 

(3.111) 

Für die Stellgröße 

gilt nach n-Schritten: 

wird nun ein entsprechendes Polynom ermittelt. Für die Stellgröße 

Die Folge 

wird beschrieben durch: 

(3.112) 

Mit der z-Transformation lässt sich die Folge 

beschreiben: 

(3.113) 

(3.114) 

Wird nun 

gebildet, erhält man ebenfalls ein endliches Polynom: 

(3.115) 

(3.116) 

Der Faktor 

ist die erste Stellgröße des Reglers. 

Durch Bildung des Quotienten erhält man eine weitere Formel für die 

Übertragungsfunktion : 

(3.117) 

Wird nun Gleichung (3.117) durch 

dividiert, erhält man Folgendes: 

(3.118) 


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Theorie 



Durch Koeffizientenvergleich von Gleichung (3.102) und (3.118) und Einbeziehung von 

Gleichung (3.111) erhält man folgende Gleichungen zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten. 

(3.119) 

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist in (3.110) schon abgeleitet 

worden. Somit können in Gleichung (3.101) die Ergebnisse von Gleichung (3.110) und (3.118) 

eingesetzt werden und man erhält Folgendes: 

Durch Einsetzten erhält man: 

(3.120) 

(3.121) 

Wird nun Gleichung (2.104) in Gleichung (2.95) eingesetzt, ergibt sich Folgendes für den 

geschlossenen Regelkreis: 

Aus Gleichungen (3.119) werden die Regelparameter für Gleichung (3.121) bestimmt. 

Die Auslegung eines Dead-Beat-Reglers wird nachfolgend anhand von zwei Beispielen 

demonstriert. 

3.6.3.2.1 Beispiel 1: PT1-Strecke 

Die PT 1 -Strecke habe folgende Übertragungsfunktion: 

mit den Streckenparametern und der Abtastzeit: 


Jens Wurster

Theorie 



Bei der PT 1 -Strecke handelt es sich um eine kontinuierliche Übertragungsfunktion vom Grad 

eins. Somit handelt es sich im Diskreten um eine Strecke der Ordnung eins, d. h., die 

Ausregelzeit ist in diesem Fall laut Gleichung (3.96) eine Abtastzeit lang. 

Durch Einsetzen der Strecke in Gleichung (3.102), erhält man im Klammerausdruck 

folgenden Term 

. Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich folgende Gleichung. 

(3.123) 

Durch Koeffizientenvergleich in Gleichung (3.123), erhält man für die gesuchten Parameter 

und 

folgende Werte: 

Durch Einsetzen in Gleichung (3.102) erhält man Folgendes: 

(3.124) 

(3.125) 

Unter Verwendung der Transformationstabellen in [11] erhält man aus Gleichung (3.125): 

(3.126) 

Durch Ausmultiplizieren erhält man aus Gleichung (3.126) die Übertragungsfunktion für die 

diskretisierte PT 1 -Strecke mit Abtast- und Halteglied. 

(3.127) 

Die Gleichungen (3.119) liefern folgendes Ergebnis. 

(3.128) 

Durch Einsetzen von Gleichungen (3.128) in die Übertragungsfunktion des Reglers (3.121) 

erhält man folgende Gleichung für den Regler. 

(3.129) 


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Theorie 



Der offene Regelkreis wird durch folgende Gleichung beschrieben. 

(3.130) 

(3.131) 

Da es sich beim Dead-Beat Regler um einen Kompensationsregler handelt, wird die Polstelle 

der Streckenübertragungsfunktion gekürzt. 

Beim offenen Regelkreis erkennt man das integrale Verhalten der Übertragungsfunktion. Aus 

dem offenen Regelkreis lässt sich mittels Gleichung (3.93) die Übertragungsfunktion des 

geschlossenen Regelkreises ableiten. 

(3.132) 

Daraus erkennt man, dass der Regelkreis mit einer Verspätung von einem Abtastschritt den 

stationären Endwert erreicht. Dasselbe Ergebnis liefert auch Gleichung (3.122). 

Die Regelgrößenfolge des geschlossenen Regelkreises ergibt sich zu: 

Die Stellgrößenfolge lässt sich beschreiben mit: 

(3.133) 

(3.134) 

Die Stellgröße des Reglers im stationären Fall ist 0,5. Dies ist aus den Streckenparametern 

bereits ablesbar, da die Streckenverstärkung beträgt. Die Simulation des Regelkreises 

erfolgte in Matlab/Simulink. Hierbei wurde folgender Simulationsaufbau verwendet. 

Abbildung 3-35: Simulationsaufbau in Simulink 


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Theorie 



Abbildung 3-36: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die PT 1 -Strecke 

Abbildung 3-36 bestätigt die errechneten Ergebnisse. Im rechten Teil der Abbildung erkennt 

man, dass nach einem Sprung das System innerhalb einer Abtastzeit den stationären 

Endwert erreicht hat. Im linken Teil erkennt man, dass der Regler sofort auf die 

Regeldifferenz reagiert und mit einer Stellgröße von 3,257 reagiert. Einen Takt später ist das 

System eingeschwungen und der Regler gibt aufgrund von den Stellgrößenwert 0,5 

aus. 

3.6.3.2.2 Beispiel 2: I²-Strecke 

In diesem Beispiel wird ein Dead-Beat-Entwurf für die I²-Strecke mit der 

Übertragungsfunktion 

durchgeführt. Die Streckenparameter lauten: 

Bei einer Abtastzeit von: 


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Theorie 

Durch Einsetzen der kontinuierlichen Strecke 



in Gleichung (3.102) erhält man 

folgenden Zwischenschritt: 

(3.135) 

Aus der Transformationstabelle in [11] lässt sich die z-Transformierte ablesen zu: 

(3.136) 

Durch Kürzen und Umstellen von Gleichung (3.136) erhält man: 

(3.137) 

Aus Gleichungen (3.119) folgt folgendes Ergebnis. 

Eingesetzt in die Reglergleichung ergibt sich folgendes Ergebnis. 

(3.138) 

(3.139) 

Durch Einsetzen der Streckenparameter und der Abtastzeit erhält man für Gleichung (3.139): 

(3.140) 

Aus Gleichung (3.140) kann man bei einem Eingangssprung auf eins die Stellgrößen des 

Reglers ablesen. 

(3.141) 

Da der Regler der Ordnung zwei entspricht, erreicht er nach genau zwei Abtastzeiten den 

Endwert, in diesem Beispiel nach . Ist das System im stationären Zustand, so muss die 

Stellgröße des Reglers null sein, da sonst das I²-Verhalten der Strecke eine Änderung am 

Ausgang zur Folge hätte. Der offene Regelkreis lässt sich beschreiben durch: 


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Theorie 



(3.142) 

Durch Ausmultiplizieren und Einsetzen von Bedingungen aus (3.138) erhält man: 

(3.143) 

Nach Kompensation der Streckennullstelle erhält man folgende abschließende Gleichung für 

den offenen Regelkreis: 

Der geschlossene Regelkreis liefert ein endliches Polynom: 

(3.144) 

Aus dieser Gleichung lässt sich gleich die Regelgrößenfolge des Systems ableiten: 

(3.145) 

(3.146) 

Der Regelkreis wird wie in Beispiel 1 mit Matlab/Simulink simuliert. Der Simulationsaufbau 

ähnelt dem in Abbildung 3-35, die Strecke und die Regelparameter sind verschieden. 

Abbildung 3-37: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die I²-Strecke 

Die Simulationsergebnisse (Abbildung 3-37) bestätigen, die in den Gleichungen (3.146) und 

(3.141) berechneten Werte. 

Bei dieser Simulation sind die großen Stellgrößen auffällig. Laut Ableitung ist das Polynom 

verantwortlich für die Stellgrößen, das heißt in diesem Fall die Koeffizienten 


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Theorie 



. Diese Stellgrößen sind im Beispiel bis auf Vorfaktoren von dem Term 

abhängig. Wird also die Abtastzeit verkürzt so wirkt sich dieses quadratisch auf die 

Stellgrößen aus. Um dieses Problem zu beheben, sind Dead-Beat Regler notwendig, die nicht 

auf die kürzeste Einstellzeit ausgelegt sind. 

Vergleicht man zum Abschluss der beiden Beispiele die Sprungantworten der Regler, erhält 

man folgende Grafiken: 

Abbildung 3-38: Sprungantworten der Regler. Links Reglerantwort für PT1-Strecke und Rechts Reglerantwort für I²- 

Strecke 

In Abbildung 3-38, links erkennt man die Sprungantwort des Reglers für die PT 1 -Strecke. Hier 

fällt das integrale Verhalten mit einem Proportionalanteil auf. Es sind Ähnlichkeiten zu einem 

PI-Regler aus dem kontinuierlichen Zeitbereich zu erkennen. Im rechten Teil der Abbildung 

ist die Sprungantwort des Reglers für die I²-Strecke dargestellt. Es ist die abklingende 

Sprungantwort des Reglers zu erkennen. Um dieses Verhalten besser verstehen zu können, 

ist eine Betrachtung der Differenzengleichung von der Reglerübertragungsfunktion (3.140) 

hilfreich. 

(3.147) 

In Abbildung 3-38-rechts wurde die Reglerübertragungsfunktion mit einem Sprung getestet, 

d. h. . Die Sprungantwort des Reglers lässt sich mit der Differenzengleichung 

berechnen. 


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Theorie 



Tabelle 3-2: Sprungantwort des Dead-Beat Reglers der I²-Strecke 

Die Berechnung der Folge wurde nach vier Schritten abgebrochen. Bei der Ausgangsfolge 

handelt es sich um eine unendliche Sprungantwort, die jedoch gegen null konvergiert. 

Zusammenfassend lässt sich also sagen: Regler für Strecken mit integralem Verhalten haben 

kein integrales Verhalten. Umgekehrt lässt sich sagen, dass Regler für Strecken ohne 

integrales Verhalten ein integrales Verhalten haben. 

3.6.3.3 Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts 

Wie im Beispiel 2: I²-Strecke schon festgestellt wurde, können Stellgrößen, je nach Wahl der 

Abtastzeit, große Werte annehmen. Bei Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten 

Stellgrößenwerts lässt sich der erste Stellgrößenwert vorgeben. Dadurch lassen sich 

technische Grenzen der Stellglieder, wie z. B. maximaler Strom oder maximale Spannung, bei 

der Berechnung des Dead-Beat Reglers berücksichtigen. 

Durch Vorgabe von 

auch die Ausregelzeit 

Stellgrößenwerten, erhöht sich die Ordnung des Reglers und somit 

(3.148) 

Da sich die Ordnung des Reglers um die Anzahl der Stellgrößenvorgaben erhöht, folgt 

daraus: 

(3.149) 

Die endlichen Polynome und enthalten ein gemeinsames Polynom , 

somit ist ein Vergleich mit der Streckenübertragungsfunktion 

möglich. 

(3.150) 


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Theorie 



Da es sich um eine Stellgrößenvorgabe handelt, erhöht sich die Ordnung um eins. Somit lässt 

sich das Polynom 

beschreiben durch: 

Die Stellgrößenvorgabe sei . 

(3.151) 

Wie bei der Ableitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe, ist ein Vergleich der 

Streckenübertragungsfunktion notwendig. 

(3.152) 

(3.153) 

Wird nun das Polynom 

mit betrachtet, erhält man laut Gleichung (3.150) Folgendes: 

(3.154) 

(3.155) 

Koeffizientenvergleich zwischen Gleichung (3.155) und (3.154) liefert die Formeln für 

. 

und 

Wird die Gleichung (3.155) mit dem Polynom 

multipliziert, so erhält man: 

(3.156) 

(3.157) 

Durch Koeffizientenvergleich in Gleichung (3.142) ergibt sich: 

(3.158) 

(3.159) 


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Theorie 



In Gleichung (3.159) wird der Koeffizient 

Stellgrößenvorgabe gegeben. Daraus lässt sich 

bestimmt, dieser ist jedoch durch die 

berechnen: 

(3.160) 

Zur Bestimmung der Koeffizienten und muss noch der Zusammenhang für die 

Hilfsgröße 

abgeleitet werden. Auch bei diesem Dead-Beat Entwurf gilt Folgendes: 

(3.161) 

Durch Einsetzen von Bedingungen aus Gleichung (3.158) und (3.160) erhält man für 

Gleichung (3.161). 

(3.162) 

Durch Umstellen von Gleichung (3.162) und Division durch 

. Zusätzlich wird in Gleichung (3.160) eingesetzt. 

, erhält man Folgendes für 

(3.163) 

(3.164) 

Nun hat man alle Grundlagen geschaffen um Gleichungen für , , und 

herzuleiten. 

(3.165) 

(3.166) 


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Theorie 



Die Ableitung für und erfolgt nach demselben Muster: 

(3.167) 

(3.168) 

Nun sind alle Formeln für den Dead-Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe abgeleitet. 

Abschließend werden noch weitere Zusammenhänge abgeleitet. Für den Regler gilt nun: 

(3.169) 

Für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist wieder das Polynom 

entscheidend. 

(3.170) 

Für die Stellgrößenfolge des geschlossenen Regelkreises ist das Polynom 

ausschlaggebend. Wobei die erste Stellgröße gegeben ist. Die Stellgrößenvorgabe lässt 

sich je nach Aufgabenstellung einstellen. 

(3.171) 

Die Anwendung der abgeleiteten Formeln soll anhand eines weiteren Beispiels demonstriert 

werden. In diesem Beispiel soll eine Strecke mit PT 1 -Verhalten geregelt werden, da sich diese 

Strecke beim elektrischen Modell der Synchronmaschine wiederfindet. 

3.6.3.3.1 Beispiel 3: PT1-Strecke mit erster Stellgrößenvorgabe 

Anhand dieses Beispiels soll die Auswirkung der ersten Stellgrößenvorgabe auf das 

Regelverhalten des Gesamtsystems analysiert werden. Die Übertragungsfunktion der Strecke 

ist: 

Die Streckenparameter sowie die Abtastzeit lauten: 


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Theorie 



Die erste Stellgrößenvorgabe sei . 

Zuerst muss wie in Beispiel 1 die diskrete Streckenübertragungsfunktion unter 

Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds berechnet werden. Diese Umrechnung 

geschieht mit der bereits bekannten Formel (3.100). Zur besseren Übersicht wird 

mit 

der Substitution 

umgeschrieben. 

(3.172) 

Die und Parameter des Reglers lassen sich durch die Gleichungen (3.165) bis (3.168) 

bestimmen und liefern folgende Werte: 

(3.173) 

(3.174) 

(3.175) 

(3.176) 

Durch Einsetzen der und Parameter in Gleichung (3.169) erhält man: 

Der offene Regelkreis lässt sich aus Gleichungen (3.177) und (3.172) berechnen zu: 

(3.177) 

(3.178) 

Wird der Koeffizient der Streckenübertragungsfunktion in die Reglerübertragungsfunktion 

multipliziert, ergibt sich: 

(3.179) 

Zur Kompensation der Streckenpolstelle muss der Faktor 

werden. 

noch herausgezogen 


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Theorie 



(3.180) 

Nach der Kompensation ergibt sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises zu: 

(3.181) 

Daraus ergibt sich der geschlossene Regelkreis zu: 

(3.182) 

Aus Gleichung (3.182) lässt sich ablesen, dass das Polynom den Regelgrößenverlauf 

bestimmt. Zusätzlich lässt sich erkennen, dass im Vergleich zu Beispiel 1 das Polynom um 

eine Ordnung höher ist und somit zwei Abtastschritte braucht, bis der Regelgrößenverlauf 

stationär ist, wie es durch die Reglerauslegung gefordert ist. 

Aus dem geschlossenen Regelkreis lässt sich sofort die Ausgangsfolge bei einem 

Eingangswert 

berechnen. 

(3.183) 

Der Regelgrößenverlauf ist abhängig vom Stellgrößenwert . Für die im Beispiel 

verwendeten Streckenparameter ergibt sich folgende Ausgangsfolge in Abhängigkeit von 

(3.184) 

Mit dem Stellgrößenwert wird also indirekt auch die Ausgangsgröße beeinflusst. Jedoch 

ist hier der Faktor zu berücksichtigen. Stell-und Ausgangsgrößenwert sind somit 

voneinander abhängig, d. h., ein geforderter Ausgangsgrößenwert hat einen bestimmten 

Stellgrößenwert. Ist 

schwingt die Sprungantwort über. Diese Grenze entspricht der 

Stellgröße des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgaben, siehe Kapitel 3.6.3.2.1. Somit 

ist der Dead-Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe auf den Dead-Beat Regler ohne 

Stellgrößenvorgabe zurückzuführen. Wird in Gleichung (3.182) für 

eingesetzt erhält 

man folgendes Ergebnis, was dem Regelgrößenverlauf in Beispiel 1 entspricht. 

(3.185) 

Im Folgenden soll nun der Einfluss des Stellgrößenwerts auf den nachfolgenden 

Stellgrößenwert und auf den Regelgrößenverlauf betrachtet werden. Hierbei werden die 


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Theorie 



Folgen bei unterschiedlichen mit Matlab/Simulink simuliert. Die Simulationsergebnisse 

können anhand von (3.170) und (3.171) im Vorfeld ausgerechnet werden. Hierbei wird wie in 

der Simulation mit einer Sprunghöhe von eins gerechnet. 

Tabelle 3-3: Stellgrößen und Ausgangsgrößen bei unterschiedlichem y 0 

0,5 

1 

4 

1 

Abbildung 3-39: Sprungantworten bei y 0 =0,5 

In Abbildung 3-39 wurde der Regelkreis mit einem Stellgrößenwert von simmuliert. 

Im linken Teil der Abbildung ist die Stellgrößenfolge des Reglers zu sehen. Die Größe des 

ersten Folgewerts ist . Durch Vergleich mit Tabelle 3-3 werden die berechneten Werte 

bestätigt. 

1 


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Theorie 



Abbildung 3-40: Sprungantworten bei y 0 =1 

In Abbildung 3-40 wurde der Regelkreis mit einer Stellgrößenvorgabe simuliert. Die 

Simulationsergebnisse decken sich mit den berechneten Werten aus Tabelle 3-3. 

Abbildung 3-41: Sprungantworten bei y 0 =4 

Bei der Simulation mit ist das Überschwingen der Führungsübertragungsfunktion zu 

sehen, siehe Abbildung 3-41. Aufgrund des Überschwingens muss der Regler mit einem 

negativen Stellgrößenwert reagieren, sodass dieses Überschwingen ausgeregelt wird. Dieses 

Verhalten ist je nach Anwendung gewollt oder ungewollt. 

3.6.3.4 Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben 

In diesem Abschnitt wird der Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben abgeleitet. 

Dabei werden die ersten beiden Stellgrößen vorgegeben. Die Stellgrößen seien 

und 


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Theorie 



Durch die Vorgabe von zwei Stellgrößen ergibt sich die Ordnung 

aus Gleichung (3.149): 

. Dadurch erhält man 

(3.186) 

Die endlichen Polynome und enthalten diesmal das Polynom , 

welches die Ordnung 

hat, also zwei. 

(3.187) 

Mit: 

Wird zuerst die Streckenübertragungsfunktion mit dem Quotienten der Polynome 

gleichgestellt ergibt sich dieses: 

(3.188) 

(3.189) 

Wird durch 

dividiert ergibt sich: 

Koeffizientenvergleich innerhalb von Gleichung (3.190) ergibt die folgenden Formeln: 

(3.190) 

Das Polynom wird jetzt multipliziert: 

(3.191) 

(3.192) 


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Theorie 



Koeffizientenvergleich innerhalb von Gleichung (3.192) ergeben folgende Gleichungen für 

die Reglerkoeffizienten. 

(3.193) 

(3.194) 

Die beiden Koeffizienten und sind indirekt durch die Stellgrößenvorgabe bestimmt. Für 

den ersten Stellgrößenwert gilt: 

Für die zweite Stellgrößenvorgabe gilt dieses: 

(3.195) 

Der Koeffizient 

gilt laut (3.116): 

(3.196) 

ist nicht die zweite Stellgrößenvorgabe. Für die zweite Stellgrößenvorgabe 

(3.197) 

Aus Gleichungen (3.195) und (3.196) können die beiden Koeffizienten und bestimmt 

werden. 

(3.198) 

(3.199) 

Jetzt muss noch die unbekannte Hilfsgröße 

ebenfalls: 

bestimmt werden. Bei diesem Entwurf gilt 

(3.200) 

Werden die Gleichungen aus (3.193) hinzugenommen, so lässt sich die Summe umschreiben 

als: 

(3.201) 


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Theorie 



Werden die Summen aus (3.201) auf denselben Startwert korrigiert, so erhält man: 

(3.202) 

Durch Einsetzen der Bedingung aus (3.191) erhält man Folgendes für Gleichung (3.202). 

(3.203) 

Wird Gleichung (3.203) durch die bekannten Zusammenhänge vereinfacht, bekommt man 

folgende Gleichung: 

(3.204) 

Wird Gleichung (3.204) nach 

umgestellt erhält man diese Gleichung: 

(3.205) 

In Gleichung (3.205) ist nur noch eine unbekannte Hilfsgröße, diese kann jedoch durch 

Gleichung (3.199) ersetzt werden. Durch Umstellen erhält man die abschließende Gleichung 

für . 

(3.206) 

Zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten und sind nun alle fehlenden Größen berechnet. 

Nun werden zuerst die Koeffizienten bestimmt. Die beiden Koeffizienten und sind 

durch die Stellgrößenvorgaben schon bestimmt. Aus Gleichung (3.194) kennt man: 

Werden die bekannten Gleichungen (3.198), (3.199) und (3.191) in Gleichung (3.194) 

eingesetzt, erhält man diese Gleichung: 

(3.207) 


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Theorie 



Durch Vereinfachen und Einsetzten der in Gleichung (3.206) abgeleiteten Formel für , 

erhält man diese Gleichung für 

Für die anderen Gleichungen aus (3.194) lässt es sich wie folgt vereinfachen. 

(3.208) 

(3.209) 

(3.210) 

(3.211) 

Die Ableitung für die Koeffizienten folgt nach demselben Schema wie die Ableitung für die 

Koeffizienten. Aus diesem Grund wird darauf verzichtet und nur die fertigen Formeln 

angegeben. 

(3.212) 

(3.213) 

(3.214) 

Nun sind alle Gleichungen, die für den Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben 

relevant sind abgeleitet. 


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Theorie 



3.7 Raumzeigermodulation 

Dieses Kapitel soll in die Raumzeigermodulation einführen. Für tieferes Verständnis sei auf 

[14] verwiesen. 

Die Raumzeigermodulation ist ein Verfahren um mittels Pulswechselrichter eine dreiphasige 

PWM für ein synthetisches Drehspannungssystem zu erzeugen. Dies ist die Grundlage für 

eine feldorientierte Regelung von Drehfeldmaschinen. Die Modulation des Zeigers geschieht 

durch Pulsweitenmodulation der Endstufen Transistoren in der Leistungselektronik. 

U 1,2 U 3,4 U 5,6 

V1 

V3 

V5 

U 0 

V2 

V4 

V6 

U 31 

L1 

U 12 

L2 

U 23 

L3 

U V W 

Drehfeldmotor 

Abbildung 3-42: Leistungselektronik und Motor 

In der oberen Abbildung 3-42 ist die Leistungselektronik mit Motor zu erkennen. Die 

Leistungselektronik ist an eine Gleichspannung angeschlossen. Die Elektronik besteht aus 

drei Halbbrücken mit Transistoren, die als Schalter wirken. Die Transistoren werden durch 

die Steuerspannungen 

angesteuert. Hierbei ist durch Invertieren der 

Steuersignale sichergestellt, dass nie beide Transistoren in einer Halbbrücke gleichzeitig 

leitend sind. Dieser Fehlerfall hätte einen Kurzschluss zur Folge. Die Schaltelemente sind in 

dieser Abbildung durch Bipolare-Transistoren symbolisiert. Heutzutage werden in der 

Leistungselektronik IGBT-Transistoren verwendet. 

Die Leistungselektronik kann aufgrund ihres Aufbaus nur die Außenleiterspannungen 

zwischen den Ausgängen L1, L2 und L3 realisieren. Ist beispielsweise 

und 


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Theorie 



so ist die Spannung . Die Spannung entspricht jedoch der Außenleiterspannung. 

Der Drehfeldmotor ist durch die drei Spulen dargestellt, diese sind im Stern verschaltet. Der 

Motor ist an die Anschlüsse L1, L2, L3 der Leistungselektronik angeschlossen. 

Da die Leistungshalbleiter nur als Schalter betrieben werden, können die beiden 

Transistoren einer Halbbrücke durch einen Schalter angenähert werden. In Abbildung 3-43 

ist diese Näherung dargestellt. 

U 0 

1 1 1 

0 0 0 

L1 L2 L3 

-U 0 U 0 

0 

Abbildung 3-43: Leistungselektronik durch Schalter angenähert. Beispielhaft Standardvektor u 3 mit Spannungen 

Die Schalterstellung ist mit logisch eins und null beschriftet. Diese Beschriftung entspricht 

der Beschaltung in Abbildung 3-42. Ist in der ersten Halbbrücke das Spannungssignal 

positiv, so ist Transistor V1 leitend und V2 gesperrt, dies entspricht der Schaltstellung 1. Mit 

den drei Schaltern und je zwei Schaltstellungen werden 2³ Schaltzustände möglich. Die 

Schaltzustände lassen sich in Standardvektoren zusammenfassen. Die Außenleiterspannungen 

ergeben sich aus Gleichung (3.215). Die Strangspannungen lassen sich aus der 

Betrachtung des Ersatzschaltbild des Drehfeldmotors in Sternschaltung ableiten. 


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Theorie 



R L2 

u L2 

U 0 

R L1 

u L1 

R L3 

u L3 

Abbildung 3-44: Ersatzschalt des Drehfeldmotors in Sternschaltung. Beispielhaft für Standardvektor u 3 

In Abbildung 3-44 ist sind die drei Spulen des Drehfeldmotors durch drei Widerstände 

abgebildet, zusätzlich ist Standartvektor 

Strangspannungen unter der Annahme das 

geschalten. Dadurch lassen sich die einzelnen 

berechnen. 

Tabelle 3-4: Die Standardvektoren, ihre logischen Zustände und Spannungen 

L1 L2 L3 


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Theorie 



Die Vektoren und werden als Nullvektoren bezeichnet. Diese beiden Vektoren liefern 

keine Spannung am Ausgang der Leistungselektronik, d. h. 

. Die 

Schaltfolge der Vektoren sind mit dem Graycode codiert. Diese Codierung bietet den Vorteil, 

dass beim Übergang zum nächsthöheren bzw. niedrigeren Vektor nur ein Schaltvorgang 

nötig ist. Das wird ausgenützt, da die Schaltverluste in den Transistoren proportional mit den 

Schaltvorgängen steigen. In Abbildung 3-43 sind zusätzlich die Schaltzustände des 

Standardvektors mit den Außenleiterspannungen dargestellt. Die Außenleiterspannungen 

lassen sich für alle Schaltzustände ableiten. Zusätzlich gilt hierbei noch der Maschenumlauf. 

(3.215) 

Die Darstellung der Raumzeiger erfolgt im α/β-Koordinatensystem. Aufgrund der begrenzten 

Zwischenkreisspannung lässt sich nicht jeder Raumzeiger darstellen. Die Eckpunkte des 

Hexagons lassen sich aus den Strangspannungen in Tabelle 3-4 ablesen. Verbindet man die 

Eckpunkte erhält man das Hexagon. Soll Beispielsweise der Raumzeiger dargestellt werden, 

der sich nur in die β-Richtung erstreckt so sind die beiden Standardvektoren und zur 

Bildung des Sollvektors nötig. Aufgrund der PWM können die beiden Vektoren nur die halbe 

Pulsperiodendauer geschaltet sein. Geometrisch entspricht das einer Addition der 

Standardvektoren mit halber Länge, dabei erreicht man den Schnittpunkt der grauen Linie 

mit der β-Achse. Auf diese Art kann der Rand des Hexagons bestimmt werden und somit die 

maximal mögliche Stellspannung als Funktion des Winkels, siehe Abbildung 3-45. 


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Theorie 



Abbildung 3-45: Die Raumzeiger in α/β-Koordinaten 

Die räumliche Zuordnung der Raumzeiger ist in Abbildung 3-45 ersichtlich. Die beiden 

Nullvektoren wurden vernachlässigt. Die drei Standardvektoren , und sind die Basis 

der Standardvektoren. Die restlichen Vektoren ergeben sich somit als Summe aus zwei 

Strangspannungen. Die Spannung ergibt sich aus dem Inkreis des Hexagons. Die 

Spannung , welche direkt auf der α-Achse liegt, lässt sich laut Gleichung (3.23) 

beschreiben durch: 

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist bestimmt durch. 

(3.216) 

(3.217) 

Durch Anpassung an die Aufgabenstellung und Einsetzen von Gleichung (3.216) in (3.217) 

erhält man für den Radius des Inkreises die Formel für die maximale Spannung. 

(3.218) 


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Theorie 



ist die angelegte Gleichspannung des Wechselrichters. Die Verwendung der 

Innkreisspannung bietet den Vorteil, dass sich der Algorithmus zur Berechnung der 

Raumzeiger vereinfacht, da die maximale Stellspannung für jeden Winkel gleich ist. Der 

maximale Stellspannungsverlust ergibt sich zu: 

(3.219) 

Die Standardvektoren teilen das Hexagon in sechs Sektoren auf. Sektor eins befindet sich 

zwischen und , Sektor zwei befindet sich zwischen und usw. Diese Aufteilung ist 

im folgenden Abschnitt (3.7.1) von Bedeutung. 

3.7.1 Berechnung beliebiger Raumzeiger 

Um einen rotierenden Raumzeiger mit bestimmter Länge zu erhalten, sind die sechs 

Standardvektoren und die beiden Nullvektoren unzureichend. Es muss durch Addition von 

drei Vektoren möglich sein, einen Raumzeiger beliebiger Länge und Winkel zu erstellen. 

Hierbei wird die aus der Leistungselektronik bekannte Pulsweitenmodulation (PWM) 

verwendet. 

Abbildung 3-46: Raumvektor in Sektor 1 

Der Sollraumvektor lässt sich auf die beiden Standardvektoren und projizieren, 

siehe Abbildung 3-46. Dabei grenzen die Randvektoren 

den Sektor ab. 

Ist die Schaltdauer mit gegeben, so lassen sich die Schaltzeiten für und berechnen 

durch. 

(3.220) 


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Theorie 



(3.221) 

Ist der zu modulierende Vektor kleiner als , so muss für einen gewissen Zeitraum einer 

der beiden Nullvektoren geschaltet sein. Diese Zeit lässt sich berechnen aus der Formel: 

(3.222) 

Welcher Nullvektor geschalten wird, ist abhängig vom jeweiligen Sektor. Es wird der 

Nullvektor geschaltet, bei dem die wenigsten Schaltvorgänge nötig sind. Im Sektor eins 

lautet die Schaltreihenfolge, wie folgt: 

(3.223) 

Erfahrungen haben gezeigt, dass ein Hochschalten von nach und ein wieder 

Runterschalten zu am besten ist, da Start- und Endpunkt der Modulation identisch sind. 

Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein symmetrisches Pulsmuster. Beim 

symmetrischen Pulsmuster müssen jedoch die Zeiten von und halbiert werden, da 

diese zweimal vorkommen. 

Mit diesem Verfahren ist es nun möglich, einen rotierenden Raumzeiger mit variabler Länge 

zu modulieren. 

3.7.1.1 Der Aussteuerungsgrad 

Der Aussteuerungsgrad der Leistungselektronik ist eine Ausgangsgröße der 

Leistungselektronik. Diese gibt das Verhältnis zwischen der Zwischenkreisspannung 

der Ausgangsspannung an. 

und 

(3.224) 

Der Aussteuerungsgrad ist eine Größe, die für jede der Phasen einzeln berechnet wird. Da 

die Ausgangsspannung der Leistungselektronik eine Außenleiterspannung ist, ergibt sich das 

Maximum des Aussteuerungsgrad laut Gleichung (3.218) zu: 

(3.225) 


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Das Simulationsmodell 



4 Das Simulationsmodell 

Die Simulation des Regelkreises erfolgt in Matlab/Simulink. Die Motorparameter des Modells 

werden in einem Skriptfile eingelesen. In dieser Datei werden die für den Reglerentwurf 

notwendigen Parameter berechnet. 

In diesem Abschnitt wird zuerst das Simulationsmodell aus Simulink näher erläutert. Hierbei 

werden nicht alle Systeme des Regelungsmodells erläutert, sondern nur die für das 

Verständnis relevanten. Danach werden verschiedene Reglerentwürfe anhand ihrer 

Simulationsergebnisse bewertet. 

4.1 Modelldaten 

Beim simulierten Motor handelt es sich um einen Oberflächenmagnetmotor. 

Tabelle 4-1: Modelldaten des Simulationsmodells 

Motordaten Wert Kommentar 

Polpaarzahl 

Trägheitsmoment des Motors 

Simulationsparameter 

Zwischenkreisspannung 

Abtastzeit 


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4.2 Der Regelkreis 

Der vollständige Regelkreis der feldorientierten Regelung besteht aus mehreren 

Komponenten. Für den Regelkreis werden die beiden Stromregler als Dead-Beat Regler 

implementiert. Im Folgenden gilt: Index „x“ entspricht einem Istwert und Index „w“ einem 

Sollwert des Regelkreises. 

Abbildung 4-1: Die Struktur der feldorientierten Regelung 

Der in Abbildung 4-1 dargestellte Regelkreis zeigt die Struktur der Regelung. Der Flussregler 

gibt die beiden Sollstromwerte und für die Stromregelung vor. In der Flussregelung 

ist zusätzlich eine Strombegrenzung eingebaut, die den Betrag der beiden Ströme 

auf den maximal zulässigen Strombetrag 

Ankerstellbereich, so gibt die Flussregelung einen Sollstrom 

Motor die Nenndrehzahl 

Strom 

und 

begrenzt. Ist der Motor im 

vor. Überschreitet der 

, so gibt die Flussregelung einen flussschwächenden negativen 

vor. Die Flussregelung wurde aus einem anderen Motormodell übernommen und 

angepasst. Die verwendete Reglerstruktur hat Ähnlichkeiten mit einem kaskadierten 

Regelkreis. Jedoch ist die Flussregelung keine überlagerte Regelung zur Stromregelung, 


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sondern eine Regelung, die aufgrund der Ausgangsspannungen der beiden Stromregler den 

Sollstrom und vorgibt. 

Das Motormodell ist im Block „PMSM“ (Permanentmagnet Synchron Motor) implementiert. 

Das Motormodell ist als kontinuierliches Modell hinterlegt. Dieses Modell ist durch zwei 

Subsysteme in ein elektrisches und ein mechanisches Modell strukturiert. Die 

Synchronmaschine kann mit der Lastmaschine belastet werden. Hierbei gibt es zwei 

mögliche Belastungsarten. Die Synchronmaschine kann mit einer konstanten Drehzahl oder 

mit einem konstanten Moment belastet werden. Bei der Belastung mit einem Drehmoment 

gibt es die Möglichkeit ein Lastprofil abzufahren. Das verwendete Motormodel wurde 

komplett selbst erstellt. 

Im Block „Raumzeigermodulation und Leistungselektronik“ wird anhand der Spannungen 

und 

ein Pulsmuster erzeugt, welches die drei Halbbrücken der Leistungselektronik 

ansteuert. Die Zwischenkreisspannung der Leitungselektronik ist 

ebenfalls aus einen anderen Modell übernommen. 

. Dieser Block wurde 

In Simulink wurde das Simulationsmodell in zwei große Subsysteme gegliedert. Das 

Subsystem „engine“ ist das kontinuierliche Modell des Motors. Das Subsystem „control and 

power electronic“ ist ein diskretes System. Der Systemtakt in diesem Modell entspricht der 

PWM-Frequenz der Leistungselektronik. 


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Abbildung 4-2: Das Simulationsmodell in Simulink 

Das System „engine“ hat zwei Eingangsgrößen, das ist zum einen die Eingangsspannung 

und zum anderen das Lastmoment an der Motorwelle. Die Ausgangsgrößen 

sind der Iststrom des Motormodells 

und das Signal des Drehgebers 

. Aus diesem Signal kann durch Ableitung die mechanische 

Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden. Das Winkelsignal des 

mechanischen Winkels 

lässt sich ebenfalls aus diesem Signal gewinnen. Die 

restlichen Ausgangsgrößen sind für die Regelung nicht notwendig, jedoch zur 

Simulationsüberwachung sehr hilfreich. 

Das Subsystem „control and power electronic“ hat eine Motorspannung 

als 

Ausgangsgröße und als Eingangsgrößen den Iststrom 

und das Drehgebersignal 

. 

4.2.1 Das Motormodell 

Beim Motormodell handelt es sich um ein zeitkontinuierliches Modell. Das Modell ist 

aufgeteilt in ein elektronischen Modell und ein mechanisches Modell. Zusätzlich sind noch 

Subsysteme nötig, die die Clarke-Park-Transformation bzw. die Inverse-Clarke-Park- 

Transformation durchführen. Auf das Subsystem „elektrisches Modell“ wird hier nicht mehr 

weiter eingegangen, dieses wurde bereits ausführlich in Kapitel 3.5.2 behandelt. 


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Abbildung 4-3: Das Simulationsmodell der Synchronmaschine 

4.2.1.1 Das mechanische Modell 

Im mechanischen Modell des Motors wird aus dem Motormoment , das aus dem 

elektrischen Teilsystem kommt, und dem Lastmoment an der Welle die Drehzahl 

berechnet. Zusätzlich wird das Drehgebersignal 

und der mechanische Winkel 

berechnet. 

Abbildung 4-4: Das mechanische Teilsystem des Motormodells 

Im mechanischen Teilsystem kann zwischen den beiden unterschiedlichen Belastungsarten 

des Motors gewählt werden. Steht der Schalter auf eins wie in Abbildung 4-4 so kann der 

Motor mit dem Lastmoment 

belastet werden. In der anderen Schalterstellung dreht sich 


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der Motor mit einer konstanten Drehzahl. Somit kann einmal die Belastung mit einem 

bestimmten Moment simuliert werden und zum anderen die Belastung mit konstanter 

Drehzahl. Diese beiden Testmodi sind wichtig für die Bewertung der implementierten Regler. 

4.2.2 Regelung und Leistungselektronik 

Dieses Subsystem vereint die Leistungselektronik sowie die Strom-und Flussregelung. 

Bei diesem Subsystem handelt es sich bis auf das Subsystem „speed calc“ um zeitdiskrete 

Systeme. In diesem Subsystem wird aus dem Drehgebersignal 

mechanische Winkelgeschwindigkeit 

berechnet. 

die 

Abbildung 4-5: Das innere des Subsystem „control and power electronic" 

Die beiden Subsysteme „converter“ und „Control+PWM“ aus Abbildung 4-5 sind diskrete 

Systeme. Das Triggersignal ist ein Ausgangssignal des Converters. Da die Leistungselektronik 

mit der steigenden und der fallenden Flanke ein Ausgangssignal ausgibt, muss der Trigger 

des Subsystem „Control+PWM“ auf beide Flanken reagieren. Das System „converter“ 

erzeugt aus den beiden Eingangssignalen und dem begrenzten 

Aussteuerungsgrad das Pulsmuster der Leistungselektronik. Die 

Höhe der Spannung ist abhängig von der Zwischenkreisspannung . Die 

Pulsweitenmodulation kann über den Schalter „Pulsing on/off“ aktiviert werden. Das 


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Subsystem „Control+PWM“ erzeugt die PWM-Zeiten 

Zusätzlich ist der begrenzte Aussteuerungsgrad 

für die drei Phasen. 

eine Ausgangsgröße. 

Abbildung 4-6: Das innere des Subsystem „Control+PWM" 

Das Subsystem „Control+PWM“ aus Abbildung 4-5 besteht aus drei Subsystemen siehe 

Abbildung 4-6. Das System „three phases“ berechnet aus der Knotengleichung (3.18) die 

fehlende nicht gemessene Phase „s“. Das Subsystem „switching_times“ begrenzt den 

Aussteuerungsgrad auf seinen Maximalwert und gibt bei Begrenzung einmal ein binäres 

Signal und zusätzlich die Differenz aus. In diesem System 

werden auch die PWM-Zeiten 

berechnet. 

Im Innern des Blocks „motor control“ ist die Flussregelung und die Stromregelung 

abgebildet. 


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Abbildung 4-7: Das innere des Block „motor control" 

Das innere des Subsystem „motor control“ ist in Abbildung 4-7 dargestellt. Die Flussregelung 

ist hier vollständig abgebildet. Als Eingangsgröße des Flussreglers „modulation control“ dient 

der Aussteuerungsgrad in α/β Koordinaten . Der Flussregler hat als Ausgangsgröße 

nur den flussschwächenden Strom . Im Block „current limitation“ wird der 

Stromvektor 

auf seinen maximal zulässigen Wert begrenzt. Der Sollstromvektor 

dient als Eingangsgröße für das Subsystem „current control“. 

Der Windup-Wert 

und der Spannungswert 

das Subsystem „current control“. 

wird in das rotorfeste Koordinatensystem transformiert 

zurückgerechnet und ist eine Eingangsgröße für 


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Abbildung 4-8: Das innere des Subsystem „current control" 

Das System „current control“ besteht im Inneren aus dem Subsystem „Dead Beat Control“ 

und der Störgrößenaufschaltung „Control“ (siehe Kapitel 3.2.2.1). Die beiden 

Verzögerungsglieder sind nötig, da es sonst eine algebraische Schleife geben würde. Der 

aktuelle Wert des Aussteuerungsgrad erzeugt die Signale und . 

Da diese Signale erst im nächsten Zeittakt ausgewertet werden dürfen, müssen diese um 

jeweils einen Zeittakt verzögert werden. 


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Abbildung 4-9: Das innere des Subsystem „Dead Beat Control" 

In Abbildung 4-9 sind die beiden Dead Beat Regler zu erkennen. Aus den Eingangsgrößen 

und wird die Regeldifferenz gebildet. Die Eingangsgröße 

wird mit dem Faktor verstärkt und mit der diskreten Übertragungsfunktion „d-plant“ bzw. 

„q-plant“ in einen Strom umgeformt. Dieser Stromwert wird von der jeweiligen 

Regeldifferenz abgezogen. 

4.2.2.1 Störgrößenaufschaltung 

Beim Motormodell in d/q-Koordinaten handelt es sich um ein MIMO-System (Multiple Input 

Multiple Output). Aufgrund der Kreuzkopplung zwischen und wirkt eine Störgröße auf 

die jeweilige Strecke (vergleich Gleichung (3.65) und (3.66)). Die Störgrößenaufschaltung 

bietet den Vorteil, dass die d-Strecke und die q-Strecke des Motormodells getrennt 

voreinander betrachtet werden können. Dies erleichtert den Reglerentwurf. Es muss also 

auf die Spannung und auf die Spannung aufgeschaltet werden. Die 

Aufschaltung kompensiert die Kreuzkopplung, dadurch kann diese vernachlässigt werden. 

Die Störgrößenaufschaltung ist parallel zu den Dead-Beat Stromregelern, d. h., es wird auf 

die Ausgangsspannung des Reglers addiert (Abbildung 4-8). Aus Abbildung 3-26 lassen sich 

die Gleichung für die beiden Flüsse und ablesen. 

(4.1) 

(4.2) 


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Werden Gleichungen (4.1) und (4.2) in den jeweiligen Summand von (3.65) und (3.66) 

eingesetzt, so ergeben sich die folgenden Gleichungen: 

(4.3) 

(4.4) 

Gleichungen (4.3) und (4.4) als Simulink Blockschaltbild ergeben folgendes Bild. 

Abbildung 4-10: Störgrößenaufschaltung als Blockschaltbild 

In Abbildung 4-10 ist das innere des Subsystem „Control“ aus Abbildung 4-8 dargestellt. 

Nun stellt sich noch die Frage, ob der Sollstrom oder der Iststrom als Eingangsgröße für die 

Ströme und verwendet wird. 

4.2.2.2 Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung 

Es gibt die Möglichkeit den Sollstrom oder den Iststrom als Eingangsgröße für die 

Störgrößenaufschaltung zu wählen. Um dies praxisnah zu bestimmen, wird die 

Pulsweitenmodulation der Leistungselektronik aktiviert. Betrachtet man nur die Signale 

und so fällt auf, dass das Sollwertsignal glatter ist als das 

Istwertsignal (vergleiche beispielsweise Abbildung 4-41 und Abbildung 4-40). 

Aufgrund der PWM ist der Iststromwert mit Strom-Rippeln behaftet. Dieses würde sich auf 

die Ausgangsgröße der Störgrößenaufschaltung auswirken. 

Aufgrund dieser Beobachtung wird der Sollstromwert als Eingangsgröße für die 

Störgrößenaufschaltung verwendet. 


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4.2.2.3 Regler Windup 

In der Realität ist kein Regelkreis linear. Die wohl häufigste Nichtlinearität bei Regelkreisen 

ist die Stellgrößenbeschränkung, wie z.B. Ventil (offen/geschlossen), Pumpe (Stillstand/ 

Maximalleistung). Beim Regler Windup handelt es sich um eine Überreaktion des 

Integrierers im Regler [13]. Dies geschieht, sobald die Ausgangsgröße des Reglers begrenzt 

wird. Durch die Begrenzung ist das Ausgangssignal kleiner, als das eigentlich vom Regler 

erzeugte Signal. Dadurch erreicht die Strecke ihren Endwert verzögert und der Regler stellt 

seinen I-Anteil nach. Ein Regler Windup kann die Folge haben, dass der Regelkreis instabil 

wird. Es gibt verschiedene Verfahren den Regler Windup zu verhindern. Eine Möglichkeit ist, 

beim Überschreiten der Begrenzung den I-Anteil im Regler festzuhalten. Die andere 

Möglichkeit ist, den Differenzwert zwischen Stellgröße vor der Begrenzung und Stellgröße 

nach der Begrenzung zurückzuführen und von der Regeldifferenz abzuziehen. 

Abbildung 4-11: Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup 

In Abbildung 4-11 ist eine Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup dargestellt. Wird 

die Stellgröße des Reglers nicht begrenzt, so ist die Differenz gleich null und es wird nichts 

zurückgeführt. Ist die Stellgröße größer als die Begrenzung, so ist die Differenz ungleich null 

und der Wert wird verstärkt um den Faktor zurückgeführt und abgezogen. Die Wahl des 

Verstärkungsfaktors muss durch Messreihen ermittelt werden. 

Im Simulationsmodell sind beide Möglichkeiten zur Beseitigung des Regler Windup 

implementiert. Über das Signal 

kann bei geeigneter Reglerstruktur der 

Integralanteil festgehalten werden. Diese Art ist bei Dead Beat Reglern mit 

Stellgrößenvorgabe sehr aufwendig, da der Regler in eine Parallelstruktur zerlegt werden 

muss. Über das Signal 

kann die in Abbildung 4-11 gezeigte Struktur mit 


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einer Anpassung implementiert werden (vergleich Abbildung 4-8). Es muss zuerst noch das 

Spannungssignal über die diskrete Übertragungsfunktion der d- bzw- q- 

Strecke in ein Stromsignal umgewandelt werden, siehe Abbildung 4-9. 


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4.3 Dimensionierung der Dead Beat Regler 

In diesem Abschnitt werden die beiden Dead Beat Regler für den Strom 

und den Strom 

bestimmt. Da die Berechnung der Dead Beat Parameter, wie sie im Theorieteil 0 beschrieben 

wurde, für viele Stellgrößenvorgaben sehr aufwendig ist, wird ab einer Stellgrößenvorgabe 

von drei Stellgrößen ein numerisches Verfahren zur Berechnung der Regelparameter 

angewandt. Die Regelparameter werden in einem Matlab-Scriptfile berechnet. Aus den 

Stellgrößenvorgaben können mithilfe der bekannten Streckenparameter die Koeffizienten 

des Polynoms aus Gleichung (3.150) berechnet werden. Ist dieses Polynom bekannt, 

so wird mit der Matlabfunktion conv() das fehlende Polynom 

über die 

Polynommultiplikation zwischen den Streckenparametern und dem Polynom 

berechnet. 

Ziel der Reglerauslegung ist, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben so gering wie 

möglich zu halten. Die Analyse des Signals und die Ausgangsspannung des q- 

Reglers sind dabei wichtige Größen zur Bewertung des Reglers. 

4.3.1 Die Regelstrecke 

Bei der zu regelnden Strecke handelt es sich um das elektrische Modell des Synchronmotors, 

welches in Abschnitt 3.5.2.1 behandelt wurde. Aufgrund der Störgrößenaufschaltung kann, 

wie bereits beschrieben, die Kreuzkopplung im elektrischen Modell der Synchronmaschine 

vernachlässigt werden. Somit ergibt sich für die d-Stecke und die q-Strecke dieselbe 

Übertragungsfunktion. Die zu entwerfenden Stromregler für die d-Strecke und q-Strecke 

sind somit identisch, es muss also nur ein Regler entworfen werden. Aus Abbildung 3-26 

folgt somit die Übertragungsfunktion: 

(4.5) 

Mit den verwendeten Modellparametern aus Tabelle 4-1 ergibt sich: 

Die kontinuierliche Übertragungsfunktion wird mit Gleichung (3.100) in eine diskrete 

Übertragungsfunktion umgerechnet. Somit ergibt sich: 

(4.6) 


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(4.7) 

(4.8) 

Die Übertragungsfunktion der Strecke ist somit eine Strecke erster Ordnung. 

Nun werden die Pol-und Nullstellen (PST und NST) der Streckenübertragungsfunktion 

berechnet. 

Abbildung 4-12: Polnullstellendiagramm der Streckenübertragungsfunktion 

Aus Abbildung 4-12 ist die Stabilitätsbedingung für den Dead-Beat Entwurf erfüllt, da alle 

Polstellen innerhalb des Einheitskreis liegen. 

4.3.2 Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe 

Der Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe lässt sind anhand der in Abschnitt 3.6.3.2 

abgeleiteten Formeln berechnen. 


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Somit ergibt sich für den Regler folgende Struktur: 

(4.9) 

Tabelle 4-2: Dead Beat Parameter ohne Stellgrößenvorgabe 

Parameter Formel Wert 

In die Reglerübertragungsfunktion eingesetzt ergibt sich diese Übertragungsfunktion für den 

Dead-Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe. 

Das Polnullstellendiagramm des Reglers zeigt Folgendes: 

(4.10) 

Abbildung 4-13: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe 


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Betrachtet man Abbildung 4-13, so liegt die Polstelle des Integrators bei 1. Vergleicht man 

die beiden Polnullstellendiagramme (Abbildung 4-12 und Abbildung 4-13) miteinander, so 

erkennt man, dass die Polstelle der Streckenübertragungsfunktion von der Nullstelle des 

Reglers kompensiert wird und nur noch die Polstelle des Reglers vorhanden ist. 

Betrachtet man in Abbildung 4-9 die Eingangsgröße und die Ausgangsgröße des Reglers, so 

ist die Eingangsgröße ein Strom und die Ausgangsgröße eine Spannung. Daraus folgt, dass 

die Einheit des Stellgrößenpolynoms 

ist. Nun ist die maximale Stellspannung der 

Leistungselektronik durch Gleichung (3.218) auf begrenzt. Somit ist nach dem 

ohmschen Gesetz eine maximale Eingangsgröße von zulässig. Wird dieses Maximum 

überschritten, so kann die Leistungselektronik die Stellgröße nicht realisieren und das Signal 

ist eins bzw. 

ist ungleich null. 

4.3.2.1 Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe 

Der im vorherigen Abschnitt beschriebene Dead-Beat Regler wird nun in das 

Simulationsmodell eingebunden und simuliert. Die Simulationsparameter für alle weiteren 

Simulationen sind Folgende: 

Sprung des Sollstrom auf 

Sprung des Lastmoment auf 

Beides geschieht zum Zeitpunkt . Die Simulationsdauer beträgt . 

Zuerst wird das Anlaufverhalten des Motors anhand der Spannung betrachtet. Dabei 

erkennt man den Beschleunigungsvorgang des Motors. Aus der Frequenz der Spannung 

kann die Drehzahl des Motors berechnet werden. Da in Abbildung 4-14 die Frequenz 

immer höher wird, nimmt auch die Drehzahl zu. Die Hüllkurve dieser Spannung beschreibt 

die Stellspannung der Leistungselektronik. 


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Abbildung 4-14: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die Spannung u[rst] 

In Abbildung 4-14 ist ersichtlich, dass im Zeitraum bis die Spannung 

die maximalzulässige Spannung überschreitet. In diesem Zeitraum ist das Signal 

ungleich null und es wird ein Korrekturwert abgezogen, um ein Regler 

Windup zu vermeiden. Das Maximum der Überschreitung beträgt und ist im Vergleich 

zu vernachlässigbar klein, da es keinen großen Einfluss hat, ob der Motor mit 

oder mit betrieben wird. 


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Abbildung 4-15: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für i[dq] 

Der Verlauf des Stroms ist aus Abbildung 4-15 ersichtlich. Man erkennt in dieser 

Abbildung das Einsetzen der Flussregelung sehr gut. Ab dem Zeitpunkt 

beginnt 

der Flussregler einen negativen feldschwächenden Strom vorzugeben. Zusätzlich beginnt 

der Strom leicht zu schwingen, da durch die Schwächung des Flusses der Stromregler für 

den q-Strom dagegen arbeiten muss. Ab dem Zeitpunkt ist der maximale Strom 

erreicht und der Flussregler verringert den Strom , dadurch nimmt das 

Drehmoment ab. Betrachtet man den Momentanwert der beiden Ströme zum Zeitpunkt 

, so erkennt man, dass beide Ströme ihren Sollwert nicht erreichen. Der Strom 

liegt leicht unterhalb dem Sollwert von , der Strom leicht oberhalb dem 

Sollwert . Im stationären Fall wäre die Regeldifferenz aufgrund des I-Anteils im Regler 

gleich null. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Strecke nicht in einem stationären Zustand 

befindet, ergibt sich die Regelabweichung. Diese Regeldifferenz wird akzeptiert, da es sich 

beim simulierten Motor um einen Traktionsantrieb handelt, der fast nie in einen stationären 

Zustand gerät und dadurch immer eine kleine Regelabweichung zustande kommt. 


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Abbildung 4-16: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die mechanische Leistung 

In Abbildung 4-16 ist die mechanische Leistung des Motors dargestellt. Der Verlauf ist bis zur 

Simulationszeit linear, da ab diesem Zeitpunkt verringert wird, siehe Abbildung 

4-15. Dadurch wird das Drehmoment M des Motors und die Leistung geringer, obwohl die 

Winkelgeschwindigkeit 

laut Abbildung 4-17 steigt. 


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Abbildung 4-17: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für omega_mech 

Der Beschleunigungsvorgang des Motors ist in Abbildung 4-17 ersichtlich. Bis zu Zeitpunkt 

ist die Beschleunigung konstant. Ab diesem Zeitpunkt wird das Moment durch die 

Verringerung des Stroms ebenfalls kleiner. 


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Abbildung 4-18: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für u_limited 

Betrachtet man nun das Signal 

(Abbildung 4-18) so fällt auf, dass dieses zum 

Zeitpunkt 

auf den Wert eins geht, da die Leistungselektronik in die Begrenzung 

gerät. Dies liegt an dem zu hohen Wert für die erste Stellgröße des Dead Beat Reglers, siehe 

Tabelle 4-2. Aufgrund des Führungsgrößensprungs von null auf ergibt sich eine 

theoretische Stellgröße von , dies ist bei einer maximalen Stellspannung von 

nicht möglich. 

4.3.2.2 Fazit 

Die Simulationsergebnisse sehen plausibel aus. Der Motor beschleunigt, sobald ein Sollstrom 

geregelt wird. Leider ist bereits einen Abtastschritt nach dem Führungsgrößensprung die 

Leistungselektronik an ihrer Begrenzung. Deshalb ist dieser Entwurf in der Praxis nicht 

realisierbar und zu verwerfen. Es muss also ein Entwurf mit mindestens einer 

Stellgrößenvorgabe realisiert werden. Dabei wird versucht die Anzahl an Stellgrößen so 

gering wie möglich zu halten, da diese das System verlangsamen. 


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4.3.3 Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe 

Aufgrund des Ergebnisses im vorigen Abschnitt ist ein Dead-Beat Regler mit 

Stellgrößenvorgabe zu realisieren. Die Formeln für den Dead Beat Regler wurden im Kapitel 

3.6.3.3 bereits hergeleitet. Nun stellt sich nur die Frage, wie groß die Stellgrößenvorgabe 

sein soll. 

Hierzu wird angenommen, dass die maximale Änderung der Führungsgröße dem 

Statorstrom entspricht, d. h. der Motor kann nur von Stillstand auf maximalen Strom 

geschaltet werden oder umgekehrt. Dadurch wird ein direktes Umschalten der 

Führungsgröße von auf – ausgeschlossen, da dies beim Traktionsantrieb 

nicht der Realität entspricht. Aus dem ohmschen Gesetz ergibt sich der erste 

Stellgrößenwert somit zu: 

(4.11) 

Die restlichen Parameter des Dead Beat Reglers ergeben sich aus den Gleichungen (3.165), 

(3.166), (3.167) und (3.168). 

Tabelle 4-3: Dead Beat Parameter mit einer Stellgrößenvorgabe 

Parameter 

Formel 

Wert 

Aufgrund der Stellgrößenvorgabe erhöht sich die Ordnung des Reglers um eins auf zwei. Die 

Übertragungsfunktion ergibt sich zu: 

(4.12) 


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Betrachtet man für diesen Reglerentwurf das Polnullstellendiagramm, so erhält man: 

Abbildung 4-19: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit einer Stellgrößenvorgabe 

Beim Polnullstellendiagramm in Abbildung 4-19 ist diesmal die Nullstelle bei 

auffallend. Die Nullstelle zur Kompensation der Reglerpolstelle ist weiterhin vorhanden. Die 

beiden Polstellen des Reglers liegen innerhalb des Einheitskreises, somit ist der Regler stabil. 


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4.3.3.1 Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe 

Die Simulationsergebnisse sind ähnlich dem der Ergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe. Zur 

Bewertung wird nun das Signal 

analysiert. 

Abbildung 4-20: Simulationsergebnis des Dead Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe für u_limited 

In Abbildung 4-20 ist das Signal 

dargestellt. Dabei ist wieder auffallend, dass zu 

Beginn die Begrenzung der Leistungselektronik erreicht wird. Der genaue Zeitpunkt ist durch 

Zoomen in Abbildung 4-20 ersichtlich. 


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Abbildung 4-21: Simulationsergebnis von u_limited gezoomt 

Betrachtet man Abbildung 4-21 so erkennt man, dass zum Zeitpunkt 

, d.h. zwei 

Abtastschritte nach der Führungsgrößenvorgabe, das Signal 

auf eins geht. Daraus 

ist ersichtlich, dass die erste Stellgröße klein genug ist, um die Leistungselektronik nicht in 

die Begrenzung zu bekommen. Aufgrund des Verzögerungsglied ist das Signal 

einen Abtastschritt hinterher. Jedoch ist die zweite Stellgröße noch zu groß und muss 

ebenfalls durch eine Stellgrößenvorgabe begrenzt werden. 

4.3.3.2 Fazit 

Wie in Abbildung 4-21 dargestellt, ist die berechnete erste Stellgröße klein genug um die 

Leistungselektronik nicht in die Begrenzung zu bekommen. An dieser berechneten Größe 

kann für weitere Reglerentwürfe festgehalten werden. Der Reglerentwurf ist in der Praxis 

nicht realisierbar, da die Leistungselektronik beim Anlaufvorgang noch in die Begrenzung 

gerät. 


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4.3.4 Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben 

In Abschnitt 4.3.3 wurde gezeigt, dass eine Stellgrößenvorgabe nicht ausreichend ist, deshalb 

wird die Stellgrößenvorgabe auf zwei erhöht. Die Formeln für die Berechnung der 

Stellgrößenvorgaben wurden im Theorieteil in Abschnitt 3.6.3.4 berechnet. Nun sind die 

ersten beiden Stellgrößenvorgaben zu wählen. Für die erste Stellgrößenvorgabe wird der im 

Abschnitt 4.3.3 berechnete Wert beibehalten. Da es sich bei den Stellgrößenvorgaben um 

Delta Werte handelt, beschreiben alle Stellgrößenwerte eine Änderung der aktuellen 

Stellgröße. Der Zweite ist durch die Analyse der Simulationsergebnisse für eine 

Stellgrößenvorgabe abschätzbar. 

Abbildung 4-22: Simulationsergebnis der Regeldifferenz für den q-Regler beim Dead Beat Entwurf mit einer 

Stellgrößenvorgabe 

Betrachtet man in Abbildung 4-22 die Regeldifferenz für den Dead Beat Regler mit einer 

Stellgrößenvorgabe, so lässt sich erkennen, dass der zweite Eingangswert des Dead Beat 

Reglers auf 

Stellgrößenvorgabe auf 

gesunken ist. Um die Stellgröße nicht weiter auszureizen, wird die zweite 

gesetzt, damit wird der Stellgrößenwert gehalten. Dadurch wird 

sichergestellt, dass selbst bei maximaler Führungsgröße die Leistungselektronik nicht in die 

Begrenzung gerät. 


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Tabelle 4-4: Dead Beat Parameter mit zwei Stellgrößenvorgaben 

Parameter Formel Wert 

Die Übertragungsfunktion des Dead Beat Reglers ergibt sich somit zu: 

(4.13) 


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Das Polnullstellendiagramm des Dead-Beat Reglers aus Gleichung (4.13) ergibt sich zu: 

Abbildung 4-23: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit zwei Stellgrößenvorgaben 

Der Polnullstellenplan Abbildung 4-23 zeigt wieder die bekannte Nullstelle bei 0,926 und die 

Polstelle bei 1. Zusätzlich gibt es zwei Polstellen, die konjungiert komplex sind und zwei 

konjungiert komplexe Nullstellen. Da alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen, ist 

dieser Regler stabil. 

4.3.4.1 Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben 

Der im vorigen Abschnitt abgeleitete Dead Beat Regler wird nun in das Simulationsmodell 

eingebunden. Zur Bewertung des Entwurfs sind die Simulationsergebnisse von 

und von der Stellspannung 

des Dead-Beat Reglers für die q-Strecke entscheidend. 


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Abbildung 4-24: Simulationsergebnis von u_limited für den Dead Beat Entwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben 

Betrachtet man Abbildung 4-24, so erkennt man, dass zum Zeitpunkt 

das Signal 

zum ersten Mal auf den Wert eins springt. Vergleich man zu diesem Ergebnis die 

Stellspannung in Abbildung 4-25 des Reglers für die q-Strecke, so fällt auf, dass die 

Stellspannung der Leistungselektronik schon zum Zeitpunkt 

überschritten wird. 

Hier sieht man die Verzögerung um einen Abtastschritt im Signal . 


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Abbildung 4-25: Simulationsergebnis von u_q für den Dead Beat Entwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben 

Für den Peak in Abbildung 4-25 zum Zeitpunkt t=0,0502 ist der hohe Wert des 

Stellgrößenwerts 

verantwortlich. 

4.3.4.2 Fazit 

Mit dem Reglerentwurf für zwei Stellgrößenvorgaben gerät die Leistungselektronik in die 

Begrenzung. Das heißt, dieser Entwurf ist in der Praxis nicht realisierbar. Eine Abschätzung 

durch den Stellgrößenwert 

ergibt Folgendes: 

(4.14) 

Daraus folgt, dass noch fünf weitere Stellgrößenvorgaben nötig sind um ohne ein 

Ansprechen des Signals 

den Motor betreiben zu können. 

4.3.5 Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben 

Für eine Anzahl an Stellgrößenvorgaben größer als zwei, wird ein numerisches Verfahren zur 

Berechnung der Reglerparameter verwendet. Die ersten beiden Stellgrößenvorgaben 


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werden aus dem Reglerentwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben übernommen. Die dritte bis 

siebte Stellgrößenvorgabe wird ebenfalls auf den Wert 0 gesetzt. 

Tabelle 4-5: Regelparameter für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben 

Parameter Wert Parameter Wert 

Betrachtet man in Tabelle 4-5 die Parameter des Polynoms so fällt auf, dass der Wert 

von eine kleine positive Änderung der Stellgröße bewirkt. Ist der Sollstrom , 

dann reicht diese kleine positive Änderung aus, um die Leistungselektronik in die 

Begrenzung zu bekommen. Ist jedoch der Sollstrom kleiner als , so kann die 

Stellgröße noch erhöht werden und die Leistungselektronik kommt nicht in die Begrenzung. 

Die Übertragungsfunktion des Reglers ergibt sich zu: 

(4.15) 

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Setzt man die Werte aus Tabelle 4-5 in die Gleichung (4.15) ein, erhält man bei Betrachtung 

der Pol- und Nullstellen folgendes Diagramm: 

Abbildung 4-26: Polnullstellendiagramm für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben 

Das Polnullstellendiagramm in Abbildung 4-26 hat wieder die eine bekannte Nullstelle sowie 

die Polstelle bei eins. Alle Polstellen liegen innerhalb des Einheitskreises und deshalb ist 

dieser Regler stabil. 

4.3.5.1 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben 

Der in Abschnitt 4.3.5 abgeleitete Regler wird nun in das Simulationsmodell eingebunden. 

Nun werden zwei Messungen mit unterschiedlichen Simulationsparametern durchgeführt. 

Zuerst wird mit den neuen Simulationsparametern simuliert. Diese sind: 



Zum Zeitpunkt . 


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Abbildung 4-27: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben. Dabei 

sprang der Sollstrom iq_w auf 19,09 A 

In Abbildung 4-27 ist zu sehen, dass das Signal u_limited zum Zeitpunkt 

eins springt. Daraus folgt, dass der Stellgrößenwert 

zu groß ist, da gilt: 

auf 

(4.16) 

Somit kommt die Leistungselektronik in die Begrenzung, da die Stellgröße um 

groß ist. 

V zu 

Wird mit demselben Regler die Simulation mit den Simulationsparametern aus Abschnitt 

4.3.2.1 durchgeführt, so erhält man dieses Ergebnis für . 


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Abbildung 4-28: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben. Dabei 

sprang der Sollstrom iq_w auf 15 A 

Der Verlauf von u_limited ist in Abbildung 4-28 ersichtlich. Dabei ist zu sehen, dass bei 

berechnetem Regler die Leistungselektronik bei der Sprungaufschaltung nicht in die 

Begrenzung gerät. 

4.3.5.2 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver 

Pulsweitenmodulation 

Bis jetzt wurden die Simulationen ohne Pulsweitenmodulation durchgeführt. Nun soll das 

Simulationsergebnis mit aktiver PWM betrachtet werden. Dabei wird die Leistungselektronik 

mit einer PWM-Frequenz von angesteuert, was der Abtastfrequenz der zeitdiskreten 

Systeme entspricht. Die Simulationsparameter lauten hierfür: 



Zum Zeitpunkt bei aktiver PWM und einer Simulationszeit von . 


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Abbildung 4-29: Simulationsergebnisse für i[dq] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM aktiv 

Die Simulationsergebnisse in Abbildung 4-29 zeigen den Verlauf der Ströme und sowie 

den Betrag der Beiden. Da sich der Motor nicht im stationären Zustand befindet, ist die 

Regelabweichung von bzw. zu erkennen. Anhand der breiten Linienstärke erkennt man 

die Auswirkung der PWM-modulierten Spannung auf die Ströme, die hier mit sogenannten 

Strom-Rippeln behaftet sind. Vergleicht man Abbildung 4-29 mit Abbildung 4-15, so fällt auf, 

dass der Reglerentwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben langsamer ist als der ohne 

Stellgrößenvorgabe. Beim Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben wird der Strom 

von 

der Flussregelung ab dem Zeitpunkt 

geschwächt, beim Entwurf ohne 

Stellgrößenvorgabe jedoch schon bei . Dies liegt zum Einen an der Stellgrößenanzahl 

und zum Anderen an der größeren Regelabweichung zwischen Sollwert und Istwert der 

beiden geregelten Ströme. 


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Abbildung 4-30: Simulationsergebnisse für i[rst] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM aktiv 

Der Verlauf des Wechselstroms ist in Abbildung 4-30 zu sehen. An der Hüllkurve kann 

man den Betrag der beiden Ströme und sehr gut erkennen. Bis zum Zeitpunkt 

wird der Sollstrom von gehalten, dann setzt die Flussregelung ein prägt 

einen flussschwächenden negativen Strom ein. Dadurch steigt der Betrag und somit die 

Amplitude des Stroms . Wie gut die Stromregler arbeiten, ist daran zu erkennen, dass 

diese bis auf eine kleine Regelabweichung den Sollwert halten. 

4.3.5.3 Fazit 

In diesem Abschnitt ist der erste realisierbare Reglerentwurf abgeleitet worden. Dass bei 

maximaler Sprungaufschaltung die Leistungselektronik kurz in die Begrenzung gelangt ist, ist 

vernachlässigbar, da es sich dabei um eine Spannung von handelt, die noch 

zusätzlich gestellt werden müssten. Ist der Reglerentwurf noch nicht zufriedenstellend, so 

kann die Stellgrößenanzahl weiter erhöht werden, dadurch öffnen sich viele Freiheitsgrade 

bei der Auslegung der acht Stellgrößenvorgaben. 


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4.3.6 Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben 

Beim Reglerentwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben hat sich gezeigt, dass die 

Leistungselektronik nur noch bei maximaler Sollstromvorgabe in die Begrenzung gerät. Um 

dies zu beheben, wird die Anzahl an Stellgrößenvorgaben auf acht erhöht. Dadurch ergeben 

sich viele Freiheitsgrade, die bei der Wahl der Stellgrößen berücksichtigt werden können. So 

kann beispielsweise der erste Stellgrößenwert verringert und der maximale Stellgrößenwert 

erst mit der zweiten oder dritten Stellgröße erreicht werden. Oder es kann bereits früher 

angefangen werden die Stellgrößen wieder zu verringern um auf den Endwert zu gelangen. 

Der Endwert der Stellgrößenfolge beträgt: 

(4.17) 

n: Ordnung der Strecke m: Anzahl an Stellgrößenvorgaben 

Bei der Simulation der Regler werden zwei mögliche Varianten betrachtet. Bei Variante 1 

wird die Stellgrößenfolge in zwei Schritten auf ihr Maximum erhöht. Bei Variante 2 wird die 

Stellgrößenfolge näherungsweise linear abgebaut. 

Tabelle 4-6: Dead Beat Parameter bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 



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Die Stellgrößenfolge ergibt folgende Grafik: 

Abbildung 4-31: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 

Der Stellgrößenverlauf ist in Abbildung 4-31 ersichtlich. Man erkennt wie der Maximalwert 

der Stellgröße erst mit der zweiten Stellgrößenwert erreicht wird. Der Maximalwert wurde 

mit einem kleinen Sicherheitsfaktor versehen und auf den Wert von 

verringert. 

Werden die Parameter aus Tabelle 4-6 in die allgemeine Übertragungsfunktion des Dead- 

Beat Reglers eingesetzt, so ergibt sich dieses Polnullstellendiagramm: 


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Abbildung 4-32: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 

In Abbildung 4-32 sind die bekannten Pol- und Nullstellen wieder zu erkennen. Alle 

Polstellen liegen innerhalb des Einheitskreis und deshalb ist der Regler stabil. 

Für den Dead-Beat Regler aus Variante 2 ergeben sich folgende Parameter: 

Tabelle 4-7: Dead Beat Parameter für acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 



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Betrachtet man bei Variante 2 den grafischen Verlauf der Stellgrößenfolge erhält man: 

Abbildung 4-33: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 

Der Stellgrößenverlauf in Abbildung 4-33 erreicht mit der ersten Stellgröße das Maximum 

und nimmt ab der achten Stellgröße bis zum Endwert (Gleichung (4.17)) näherungsweise 

linear ab. 

Werden die Parameter aus Tabelle 4-7 in die Übertragungsfunktion des Dead-Beat-Reglers 

eingesetzt ergibt sich das folgende Polnullstellendiagramm: 


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Abbildung 4-34: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 

Im Folgenden werden Simulationsergebnisse mit unterschiedlichen Stellgrößenfolgen 

verglichen. 

4.3.6.1 Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben 

In diesem Abschnitt werden beide Varianten zueinander verglichen und Vor- bzw. Nachteile 

abgeleitet. 

Die Simulationsparameter sind: 



Zum Zeitpunkt und einer Simulationszeit von . 

Die unterschiedlichen Stellgrößenfolgen sind am besten zum Sprungzeitpunkt 

erkennen. 

zu 


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Abbildung 4-35: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 

Abbildung 4-36: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 


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Vergleicht man die Simulationsergebnisse aus Abbildung 4-35 und Abbildung 4-36 

miteinander erhält man folgendes Ergebnis. Der Spannungsverlauf von ist bei Variante 2 

schon zum Zeitpunkt 

auf den Maximalwert angestiegen. Dieser Wert wird für 

sieben Abtastschritte gehalten und danach auf den Endwert abgebaut. Der 

Spannungsverlauf von bei Variante 1 hat zum Zeitpunkt nur den halben 

Spannungswert und einen Abtastschritt später den Maximalwert erreicht. Dieser Wert wird 

wieder für sieben Abtastschritte gehalten und dann auf den Endwert verringert. Variante 2 

bietet den Vorteil, dass aufgrund der höheren Stellspannung beim ersten Stellgrößenwert 

der Motor schneller beschleunigt. 

Abbildung 4-37: Stromverlauf der Strome is[rst] bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 


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Vergleicht man Abbildung 4-37 und Abbildung 4-38 kann man für den Einschaltzeitpunkt 

einen wichtigen Vorteil von Variante 1 ableiten. Bei Variante 1 ist die 

Stromsteilheit im Einschaltzeitpunkt geringer als bei Variante 2. Die Stromsteilheit im 

Einschaltvorgang ist eine wichtige Kenngröße von Halbleiterbauteilen. Abgelesen aus den 

Simulationsgraphen ergeben sich folgende Stromsteilheiten im Einschaltvorgang: 

Tabelle 4-8: Stromsteilheiten für Variante 1 und Variante 2 im Intervall von t=0,05s bis t=0,0501s 

Variante 1 

Variante 2 

4.3.6.2 Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation 

Bis jetzt wurden alle Simulationsergebnisse gestützt auf konstante Sollwerte abgeleitet. In 

diesem Abschnitt werden die dynamischen Eigenschaften des Reglerentwurfs mit acht 


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Stellgrößenvorgaben und Variante 1 betrachtet. Zusätzlich ist die PWM aktiv. Die 

Simulationsparameter sind: 

Das Lastmoment als Rechteckpulse mit einer Frequenz von bei einem Duty 

Cycle von und einer Amplitude von 

Der Sollstrom nach Abbildung 4-39 

Die Simulationszeit beträgt . 

Abbildung 4-39: Stromprofil für den Strom iq_w bei der dynamischen Betrachtung des Regelkreis 

Der Sollstrom aus der Flussregelung ist in Abbildung 4-40 zu erkennen. Die Flussregelung gibt 

der Stromregelung den Sollstrom 

aus Abbildung 4-40 vor. Betrachtet man 

Abbildung 4-39 und Abbildung 4-40 so fällt auf, dass bis zum Zeitpunkt die Ströme 

aus den beiden Abbildungen identisch sind. Im Zeitraum von bis 

weicht der Ausgangsstrom der Flussregelung vom eigentlichen Sollstromprofil ab, da in 

diesem Intervall der negative Strom betragsmäßig zu groß ist und der Flussregler 

deshalb verringern muss um nicht über den maximalen Strom zu gelangen. 


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Abbildung 4-40: Sollstrom i[dq]_w nach der Flussregelung bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis 

Abbildung 4-41: Geregelter Iststrom i[dq]_x bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis 


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Der geregelte Stromverlauf von ist in Abbildung 4-41 erkennbar. Ein Vergleich von 

Abbildung 4-40 und Abbildung 4-41 zeigt, wie gut Stromregelung arbeitet. Der 

Sollstromverlauf wird sehr exakt abgebildet. Die Überschwinger zu den Zeitpunkten 

, und sind aufgrund der hohen Sollwertänderungen von . 

Zu Zeitpunkten mit geringerer Sollwertänderungen ( und ) ist kein 

Überschwingen zu erkennen. 

Abbildung 4-42: Die Winkelgeschwindigkeit omega_m bei dynamischer Betrachtung 

Zur dynamischen Betrachtung des Reglerentwurfs ist der Verlauf der Winkelgeschwindigkeit 

von Bedeutung, siehe Abbildung 4-42. Bei der Beurteilung des Verlaufs der 

Winkelgeschwindigkeit spielt nicht nur der momentbildende und somit beschleunigende 

Strom eine Rolle, sondern auch das Lastmoment . So ist z. B. im Intervall von 

bis 

der Momentbildendestrom gleich null. In diesem Zeitraum beschleunigt der 

Motor aufgrund des Lastmoments, da dieses bei negativen Drehzahlen beschleunigend 

wirkt. 


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Abbildung 4-43: Die mechanische Leistung P bei dynamischer Betrachtung 

Betrachtet man den Leistungsverlauf des Motors in Abbildung 4-43, so sind zwei Bereiche 

auffallend. In diesen Bereichen ist die mechanische Leistung negativ, d. h. der Motor gibt 

elektrische Leistung ab, er ist also im generatorischen Betrieb. Die Leistung ist in diesen 

Bereichen negativ, da der momentbildende Strom ein anderes Vorzeichen hat als die 

mechanische Winkelgeschwindigkeit (vergleich Abbildung 4-41 und Abbildung 4-42). 

4.3.6.3 Fazit 

Bei Dead Beat Entwurf mit acht Stellgrößenvorgaben erhöht sich der Freiheitsgrad bei der 

Auslegung der Stellgrößenfolge enorm. Dadurch ist es unmöglich, alle Kombinationen 

abzudecken. In diesem Abschnitt wurden beispielhaft zwei Stellgrößenfolgen betrachtet. 

Dabei bietet Variante 1 den Vorteil, dass die Stromsteilheit beim ersten Stellgrößenwert 

verringert werden kann. Und Variante 2 bietet den Vorteil, dass der Motor schneller 

beschleunigt. 

Größere Unterschiede zwischen den Simulationsergebnissen der beiden Varianten sind nicht 

erkennbar. 


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Die dynamische Betrachtung des Regelkreis zeigt, wie gut die beiden Stromregler arbeiten. 

Die Auswahl der Variante 2 zur Messreihe war aufgrund der Erkenntnisse willkürlich. 


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Gesamtfazit 



5 Gesamtfazit 

Die Messreihen in Kapitel 4 haben gezeigt, dass eine Dead-Beat Regelung möglich ist. Bei der 

Reglerdimensionierung sind jedoch Stellgrößenvorgaben zu berücksichtigen. Ab einer 

Stellgrößenanzahl von sieben ist eine in der Praxis realisierbare Regelung möglich. Bei einer 

Anzahl von sieben Stellgrößenvorgaben ist die Stellgrößenfolge fix gegeben. Wird die 

Stellgrößenvorgabe auf acht erhöht, so eröffnen sich viele Freiheitsgrade bei der Auslegung 

der Stellgrößen. Die Summe der Stellgrößen darf zu keinem Abtastschritt das Maximum 

überschreiten. 

Die Simulationsergebnisse der unterschiedlichen Stellgrößenfolgen bei acht Stellgrößen 

ergaben keine großen Unterschiede. Die Variante 1 bietet den Vorteil, dass die 

Stromsteilheit im ersten Abtastschritt verringert und somit ein Parameter aus dem 

Datenblatt der Leistungselektronik berücksichtigt werden kann. 

Die unterschiedlichen Dead-Beat Entwürfe sind nun am Motorenprüfstand zu bewerten. 

Dabei müssen die Motorparameter des Synchronmotors, welcher am Prüfstand verwendet 

wird in das Modell eingebunden werden. Die Zwischenkreisspannung 

anzupassen. 

ist ebenfalls 


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Abbildungsverzeichnis 



IV. 


Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine ............................................ 6 

Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine......................................... 7 

Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife .................... 8 

Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen .................. 9 

Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld ............................................................................. 9 

Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ..................................................... 11 

Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine .................................. 11 

Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors ................................... 12 

Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor .................................................................... 13 

Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine ...................... 14 

Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor ................................................................. 14 

Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine ..................... 15 

Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation ............................................. 16 

Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation ............................. 17 

Abbildung 3-15: Clarke Transformation ................................................................................... 18 

Abbildung 3-16: Die Park Transformation ................................................................................ 20 

Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3 .................... 23 

Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine ......................................................... 23 

Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz .................................... 24 

Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem ....... 25 

Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem ........... 25 

Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung ..................................... 26 

Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators ....................................................... 26 

Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für u d .............................................. 27 

Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für u q .............................................. 27 

Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink .................................... 30 

Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied .................................................................... 31 

Abbildung 3-28: Das Halteglied ................................................................................................ 33 


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Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT 1 -Glieds ....................................................................... 33 

Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts ........................................ 36 

Abbildung 3-31: Der Diracimpuls ............................................................................................. 37 

Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik ..................................................... 38 

Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis .................................................................................... 39 

Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich ................................. 39 

Abbildung 3-35: Simulationsaufbau in Simulink ...................................................................... 45 

Abbildung 3-36: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die PT 1 -Strecke ........... 46 

Abbildung 3-37: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die I²-Strecke .............. 48 

Abbildung 3-38: Sprungantworten der Regler. Links Reglerantwort für PT1-Strecke und 

Rechts Reglerantwort für I²-Strecke......................................................................................... 49 

Abbildung 3-39: Sprungantworten bei y 0 =0,5.......................................................................... 56 

Abbildung 3-40: Sprungantworten bei y 0 =1 ............................................................................. 57 

Abbildung 3-41: Sprungantworten bei y 0 =4 ............................................................................. 57 

Abbildung 3-42: Leistungselektronik und Motor ..................................................................... 62 

Abbildung 3-43: Leistungselektronik durch Schalter angenähert. Beispielhaft Standardvektor 

u 3 mit Spannungen ................................................................................................................... 63 

Abbildung 3-44: Ersatzschalt des Drehfeldmotors in Sternschaltung. Beispielhaft für 

Standardvektor u 3 .................................................................................................................... 64 

Abbildung 3-45: Die Raumzeiger in α/β-Koordinaten .............................................................. 66 

Abbildung 3-46: Raumvektor in Sektor 1 ................................................................................. 67 

Abbildung 4-1: Die Struktur der feldorientierten Regelung..................................................... 70 

Abbildung 4-2: Das Simulationsmodell in Simulink.................................................................. 72 

Abbildung 4-3: Das Simulationsmodell der Synchronmaschine .............................................. 73 

Abbildung 4-4: Das mechanische Teilsystem des Motormodells ............................................ 73 

Abbildung 4-5: Das innere des Subsystem „control and power electronic" ............................ 74 

Abbildung 4-6: Das innere des Subsystem „Control+PWM" .................................................... 75 

Abbildung 4-7: Das innere des Block „motor control" ............................................................. 76 

Abbildung 4-8: Das innere des Subsystem „current control" .................................................. 77 

Abbildung 4-9: Das innere des Subsystem „Dead Beat Control" ............................................. 78 

Abbildung 4-10: Störgrößenaufschaltung als Blockschaltbild.................................................. 79 

Abbildung 4-11: Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup ........................................... 80 


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Abbildung 4-12: Polnullstellendiagramm der Streckenübertragungsfunktion ........................ 83 

Abbildung 4-13: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe .. 84 

Abbildung 4-14: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die 

Spannung u[rst] ........................................................................................................................ 86 

Abbildung 4-15: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für 

i[dq] .......................................................................................................................................... 87 

Abbildung 4-16: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die 

mechanische Leistung .............................................................................................................. 88 


omega_mech ............................................................................................................................ 89 


u_limited .................................................................................................................................. 90 

Abbildung 4-19: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit einer Stellgrößenvorgabe 

.................................................................................................................................................. 92 

Abbildung 4-20: Simulationsergebnis des Dead Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe für 

u_limited .................................................................................................................................. 93 

Abbildung 4-21: Simulationsergebnis von u_limited gezoomt ................................................ 94 

Abbildung 4-22: Simulationsergebnis der Regeldifferenz für den q-Regler beim Dead Beat 

Entwurf mit einer Stellgrößenvorgabe ..................................................................................... 95 

Abbildung 4-23: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit zwei 

Stellgrößenvorgaben ................................................................................................................ 97 

Abbildung 4-24: Simulationsergebnis von u_limited für den Dead Beat Entwurf mit zwei 


Abbildung 4-25: Simulationsergebnis von u_q für den Dead Beat Entwurf mit zwei 


Abbildung 4-26: Polnullstellendiagramm für den Dead Beat Regler mit sieben 

Stellgrößenvorgaben .............................................................................................................. 101 

Abbildung 4-27: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben 

Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 19,09 A .................................... 102 

Abbildung 4-28: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben 

Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 15 A ......................................... 103 


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Abbildung 4-29: Simulationsergebnisse für i[dq] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM 

aktiv ........................................................................................................................................ 104 

Abbildung 4-30: Simulationsergebnisse für i[rst] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM 

aktiv ........................................................................................................................................ 105 

Abbildung 4-31: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 .............. 107 

Abbildung 4-32: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ..... 108 

Abbildung 4-33: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 .............. 109 

Abbildung 4-34: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ..... 110 

Abbildung 4-35: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ..................................... 111 

Abbildung 4-36: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ..................................... 111 


................................................................................................................................................ 112 


................................................................................................................................................ 113 

Abbildung 4-39: Stromprofil für den Strom iq_w bei der dynamischen Betrachtung des 

Regelkreis ............................................................................................................................... 114 

Abbildung 4-40: Sollstrom i[dq]_w nach der Flussregelung bei dynamischer Betrachtung des 

Regelkreis ............................................................................................................................... 115 

Abbildung 4-41: Geregelter Iststrom i[dq]_x bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis 115 

Abbildung 4-42: Die Winkelgeschwindigkeit omega_m bei dynamischer Betrachtung ........ 116 

Abbildung 4-43: Die mechanische Leistung P bei dynamischer Betrachtung ........................ 117 


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Tabellenverzeichnis 



V. Tabellenverzeichnis 

Tabelle 3-1: Transformationspaare .......................................................................................... 37 

Tabelle 3-2: Sprungantwort des Dead-Beat Reglers der I²-Strecke ......................................... 50 

Tabelle 3-3: Stellgrößen und Ausgangsgrößen bei unterschiedlichem y 0 ............................... 56 

Tabelle 3-4: Die Standardvektoren, ihre logischen Zustände und Spannungen ...................... 64 

Tabelle 4-1: Modelldaten des Simulationsmodells .................................................................. 69 

Tabelle 4-2: Dead Beat Parameter ohne Stellgrößenvorgabe ................................................. 84 

Tabelle 4-3: Dead Beat Parameter mit einer Stellgrößenvorgabe ........................................... 91 

Tabelle 4-4: Dead Beat Parameter mit zwei Stellgrößenvorgaben .......................................... 96 

Tabelle 4-5: Regelparameter für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben ... 100 

Tabelle 4-6: Dead Beat Parameter bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ............... 106 

Tabelle 4-7: Dead Beat Parameter für acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ................ 108 

Tabelle 4-8: Stromsteilheiten für Variante 1 und Variante 2 im Intervall von t=0,05s bis 

t=0,0501s ................................................................................................................................ 113 


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Literaturverzeichnis 



VI. 

Literaturverzeichnis 

[1] Porsche. (2011) Porsche. [Online]. 

http://www.porsche.com/germany/aboutporsche/porschehistory/milestones/ 

[2] Toyota. (2011) Toyota. [Online]. http://www.toyota.de/index.tmex 

[3] Ottmar Beucher, MATLAB und Simulink. Karlsruhe: Pearson Studium, 2005. 

[4] Ulrich Riefenstahl, Elektrische Antriebssysteme. Magdeburg: Vieweg+Teubner, 2010. 

[5] Eckhard Spring, Elektrische Maschinen. Darmstadt: Springer, 2009. 

[6] Rolf Fischer, Elektrische Maschinen. Esslingen: Hanser, 2009. 

[7] Peter Bastian et al., Fachkunde Elektrotechnik. Leinfelden-Echterdingen: Verlag Europa- 

Lehrmittel, 2004. 

[8] Gilbert Strang, Lineare Algebra. Cambridge: Springer, 2003. 

[9] Dierk Schröder, Elektrische Antriebe - Grundlagen. München: Springer-Verlag, 2009. 

[10] Thomas Frey and Martin Bossert, Signal- und Systemtheorie. Ulm: Vieweg+Teubner, 

2008. 

[11] Frank Dörrscheidt and Wolfgang Latzel, Grundlagen der Regelungstechnik. Stuttgart: 

Teubner, 1989. 

[12] Holger Lutz and Wolfgang Wendt, Taschenbuch der Regelungstechnik. Esslingen: Harri 

Deutsch, 2007. 

[13] Dierk Schröder, Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen. München: 

Springer Verlag, 2008. 

[14] Nguyen Phung Quang, Praxis der feldorientierten Drehstromantriebsregelungen. 

Dettingen: expert Verlag, 1993. 


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