Übungsblatt 14: Netzwerke und Zufallspfade - Userpage

Computerphysik WS 2012/2013
Prof. Dr. Roland Netz, FU Berlin
Übungsblatt 14:
Netzwerke und Zufallspfade
Alexander Schlaich, Matej Kanduc
29. Januar 2013
Allgemeine Hinweise
Abgabetermin für die Lösungen ist
• Sonntag, 03.02.2013, 24:00 Uhr.
In dieses Übungsblatt sind 5 Bonuspunkte eingebaut, das heißt Sie können 15 Punkte erzielen. Die zusätzlichen
Punkte werden jedoch nicht auf die zu erbringende Punktezahl für Ihren Leistungsnachweis
angerechnet, Sie können sich also verbessern.
14.1 Netzwerke (6 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir ein Zufallsnetzwerk (Random Network Model), ein System das
aus N Knoten besteht die miteinander verbunden sind. In der Informationstheorie werden diese
Verbindungslinien allgemein als Kanten bezeichnet. Ein Knoten kann dann mit maximal k max = N −1
anderen Knoten verbunden sein, so dass das Gesamtsystem aus maximal K max = N(N −1)/2 Kanten
besteht.
In einem Zufallsnetzwerk werden sind zwei Knoten mit einer Wahrscheinlichkeit p verbunden, so dass
der Erwartungswert der Anzahl von Verbindungen eines Knotens als 〈k〉 = p (N − 1) gegeben ist.
• 14.1.1 (1 Punkt): Implementieren Sie ein Modell eines Random Network. Verwenden Sie dazu
eine Matrix C der Dimension N × N, in der Sie Konnektivität zwischen den Knoten speichern,
C ij =
{
1 falls i und j verbunden sind
0 sonst.
(1)
Hinweis: Aufgrund der Symmetrie ist es ausreichend C als obere Dreiecksmatrix zu implementieren.
Die Diagonalelemente können Sie dann o.B.d.A. auf 0 setzen.
• 14.1.2 (2 Punkte): Verwenden Sie N = 500 und p = 0.02 und berechnen Sie die Anzahl der
Verbindungen k i eines Knotens i. Plotten sie die gemittelte normalisierte Verteilung P (k i ) als
Histogramm und vergleichen Sie mit der Poissonverteilung,
P (k) = 1 k! 〈k〉k e −〈k〉 . (2)
Mitteln Sie dabei dabei über mindestens 10 verschiedene Netzwerke.
Die Entfernung d zweier Knoten ist definiert als die Anzahl der Kanten des kürzesten Pfades, der die
beiden Knoten verbindet. Für große Netzwerke und kleine Werte p ≪ 1 ergibt sich das sogenannte
small world phenomenon, 〈d〉 N
∼ log N.
1

• 14.1.3 (3 Punkte): Mitteln Sie über alle Knotenpaare i, j und bestimmen Sie die mittlere Entfernung
〈d〉 N
zwischen zwei Knoten in einem Netzwerk der Größe 50 < N < 200 und plotten
Sie dann 〈d〉 N
in Abhängigeit von log N für pN ∈ {10, 20}. Mitteln Sie jeweils über mindestens
5 verschiedene Netzwerke.
Hinweis: Eine Möglichkeit die Entfernung zweier Knoten i und j für nicht zu große Netzwerke zu
bestimmen, ist die Konnektivitätsmatrix C als Ausgangspunkt für die Entfernungsmatrix D zu
nehmen, da hier die Werte d = 1 bereits vorhanden sind. Ausgehend von diesen Verbindungen
folgen Sie dann dem in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus Branch and Bound 1 , um iterativ
die Matrix mit den Elementen d ij zu füllen, wobei jeweils die kürzeste Entfernung gespeichert
wird.
14.2 Zufallspfade und Diffusion (4 Punkte)
Zufallspfade, sogenannte Random Walks, kommen in der Physik in vielen Teilgebieten wie beispielsweise
der Modellierung der Diffusion von Brownschen Teilchen vor. Wir betrachten nun zunächst die
eindimensionale Diffusion eines freien Teilchens auf einem Gitter, d.h. ausgehend von einer Startposition
x 0 kann sich das Teilchen auf einem Gitter mit einer Schrittweite δ = ±1 frei bewegen.
Der Erwartungswert der quadratischen Entfernung nach N Schritten beträgt dann
〈 〉
x 2 N = Nδ 2 , (3)
sodass mit Hilfe der Einstein-Beziehung die Diffusionskonstante ermittelt werden kann,
D = 1 〈 x
2 〉
2d lim . (4)
t→∞ t
Die Zeit, welche zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schritten vergeht, ist dabei τ = t/N und d ist
die Dimension des betrachteten Diffusionsprozesses.
• 14.2.1 (2 Punkte): Welchen Wert erwarten Sie für die Diffusionskonstante auf einem eindimensionalen
Gitter? Begründen Sie Ihre Antwort.
Implementieren Sie einen eindimensionalen Random Walk mit δ = ±1 und bestätigen Sie Ihre
Vermutung für D. Beachten Sie, dass für den Erwartungswert 〈 x 2〉 hinreichend viele individuelle
Pfade gemittelt werden müssen und für die numerische Berechnung N endlich bleiben
muss.
Plotten Sie 〈 x 2〉 und den analytischen Ausdruck sowie die Standardabweichung davon in Abhängigkeit
von N für 200, 500 und 2000 Mittelungen.:
• 14.2.2 (2 Punkte) Erweitern Sie ihr Programm so dass es auch Zufallspfade in zwei und drei
Dimensionen ausführt (auf einem Gitter sind keine Diagonalbewegungen möglich, also ist es
nur möglich die nächsten Nachbarn zu erreichen). In zwei Dimensionen sind mögliche Schritte
dann ( ( ) ( (
1 −1 0 0
, , , . (5)
0)
0 1)
−1)
Verifizieren Sie dass sich die Diffusionskonstante dabei nicht ändert. Erstellen Sie desweiteren
ein Histogramm der End-zu-End Entfernung der Teilchens. Was für eine Verteilung erwarten Sie
und wie hängt diese von der Dimension des Random Walk ab? Plotten Sie auch die analytische
Verteilungsfunktion.
1 siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Branch-and-Bound
Die Klasse der Probleme der Wegsuche wird in der Informationstheorie oft mit dem Problem des Handlungsreisenden
beschrieben, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Travelling_Salesperson für weitere Informationen.
2

14.3 Gambler’s ruin (3 Punkte)
Unter dem Gambler’s ruin versteht man im Spieltheorie den Erwartungswert des Spielkapitals im
Laufe des Spiels, wenn die Gewinne wieder investiert werden. Oft wird hierbei der Münzwurf betrachtet,
bei dem ein Spieler mit einem anfänglichen Betrag M gegen eine Bank antritt. Die Wahrscheinlichkeit
die Münze zu verlieren oder eine zusätzliche beträgt p = 0.5, somit kann die Entwicklung des
Vermögens des Spielers als eindimensionaler Zufallspfad mit einer adsorbierenden Randbedingung
bei x = 0 beschrieben werden. Der Spieler ist ruiniert, sobald sein Vermögen Null erreicht.
• 14.4.1 (1.5 Punkte): Erstellen Sie ein Histogramm des Endbetrages für den Fall, dass der Spieler
mit M = 20 Münzen beginnt. Man kann zeigen dass die Wahrscheinlichkeit, nach t Würfen den
Betrag x zu besitzen, gegeben ist durch
P (x, t) =
(
1
√ e − (x−M)2
4dt
4πDt
)
− e − (x+M)2
4dt . (6)
Vergleichen Sie Ihr Histogramm mit diesem Ausdruck.
• 14.3.2 (1.5 Punkte): Für den Fall des Parameters m = M/ √ 2Dt ≫ 1 kann man zeigen dass die
Wahrscheinlichkeit Q(t), dass das Spiel zur Zeit t noch läuft, gegeben ist durch
Q(t) ≈ e − 1 2 m2 m√ 2
π . (7)
Zeigen Sie mittels eines Plots anhand dieser Beziehung und mit Hilfe Ihrer Simulation, dass
ein Spieler mit Startkapital M = 5 gegen eine Bank mit unerschöpflichem Kapital im Mittel
immer verlieren wird (die Sterbewahrscheinlichkeit ist W (t) = 1 − Q(t)).
14.4 Rückkehrwahrscheinlichkeiten (2 Punkte)
Der Mathematiker Pólya formulierte 1921 sein Theorem zu Zufallspfaden: “Bei der Irrfahrt (. . . ) in
einer oder zwei Dimensionen kommt man fast sicher immer wieder zum Startpunkt zurück (obwohl
häufig erst nach sehr langer Zeit”. Das hat beispielsweise Auswirkungen auf die Suche nach einem
verlegten Gegenstand, den man zur Zeit t = 0 an einem Ort x = 0 verlegt hat und sich auf die Suche
nach diesem begibt.
• 14.4.1 (2 Punkte): Erstellen Sie einen Plot der Rückkehrwarscheinlichkeiten in 1, 2 und 3
Dimensionen in Abhängigkeit der logarithmischen maximalen Schrittzahl, log N, und zeigen
Sie damit Pólya’s Theorem. Wie Groß ist die Rückkehrwahrscheinlichkeit in 3 Dimensionen?
Hinweis: Verwenden Sie N = e i für i ∈ [0, 14] und mitteln Sie über mindestens 200 Pfade.
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