blatt 03.pdf - am Institut für Theoretische Informatik, Algorithmik II - KIT

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Peter Sanders
T. Bingmann, C. Schulz
3. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2013
http://algo2.iti.kit.edu/AlgorithmenI2013.php
{sanders,bingmann,christian.schulz}@kit.edu
Aufgabe 1 (Amortisierte Analyse, 2 + 4 + 1)
Auf einer Datenstruktur wird eine Sequenz σ = (σ 1 , · · · , σ n ) von Operationen ausgeführt. Die Operation
σ i kostet i, wenn i eine Potenz von zwei ist, sonst 2. Mit anderen Worten:
a) Berechnen Sie die Kosten für 16 Operationen T (16).
b) Geben Sie eine geschlossene Form T (n) für die Kosten von n Operationen an. Nehmen Sie dabei
vereinfachend an, dass n = 2 m für ein m ∈ N ist.
c) Wie groß sind dann die amortisierten Kosten pro Operation? Schätzen Sie die amortisierten
Kosten auch in O-Notation ab.
Hinweis: 2 0 = 1.
Aufgabe 2
(Doppelt-verkettete Listen, 3 + 2 Punkte)
a) Sie sollen eine unbeschränkte Queue mittels einer doppelt-verketteten Liste konstruieren. Geben
Sie hierzu Pseudocode ”
Implementierungen“ eines Listen-Elements sowie von pushBack und
popFront an, so dass die Operationen jeweils nur konstante Zeit benötigen. Dabei darf keine
bereits fertig ”
implementierte“ Datenstruktur oder splice aus der Vorlesung verwendet werden,
d.h. Sie müssen alles selbst bauen.
b) Untersuchen Sie was mit einer doppelt-verketteten Liste passiert, wenn die in der Vorlesung
vorgestellte Funktion splice(a, b, t : Handle) fälschlicherweise mit t ∈ 〈a, . . . , b〉 aufgerufen wird,
wobei weiter a vor b in der Liste vorkommt. Zeichnen oder beschreiben Sie alle Fälle.
Aufgabe 3
(XOR Listen, 1 + 1 + 2 + 1 Punkte)
In der Vorlesung wurden doppelte verkettete Listen L mit zwei Zeigern pro Listenelement, x.prev
und x.next, implementiert. Nehmen Sie an, dass alle Zeigerwerte als k-bit Integer-Zahlen interpretiert
werden können. Nehmen Sie weiter für die Aufgabenstellung an, dass jedes Listenelement ein Feld key
hat, dass die eindeutige Identifizierung des Elements ermöglicht.
Hinweis: ⊕ ist die bitweise XOR-Operation
a) Gegeben sind zwei k-Bit-Integer I und J. Zeigen Sie: (I ⊕ J) ⊕ J = I
b) Erklären Sie, wie eine doppelt verkettete Liste mit nur einem Zeiger x.np pro Listenelement
implementiert werden kann. Hinweis: mit der Datenstruktur müssen nur die Funktionen aus
Teilaufgabe c) und d) effizient implementieren können.
c) Implementieren Sie die Funktion Search in O(|L|) und insertFront in O(1).
d) Beschreiben Sie, wie die Liste in O(1) gespiegelt werden kann.
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Aufgabe 4
(Unbounded Arrays, 2 Punkte)
Im Unterschied zur Vorlesung und zur Übung sei hier α = β = 2. Das bedeutet die Größe des
unbounded Arrays wird sofort halbiert, wenn er nur noch zur Hälfte gefüllt ist.
Geben Sie eine Folge von n Operationen an, so dass ein derart schlecht implementierter unbounded
Array mit diesen Operationen einen Aufwand von Θ ( n 2) verursacht. Zur Vereinfachung sei n eine
Zweierpotenz.
Zusatzaufgabe
(Speicherverwaltung, 5 Punkte)
Gegeben sei ein Programm, das zusammenhängende Speicherpakete der Größe 1 Block, 2 Blöcke und
4 Blöcke anfordern kann. Das Programm kann in jedem Schritt von ihm schon belegte Speicherpakete
freigeben und neue Speicherpakete anfordern. Dabei wird bei einer Freigabe immer das ganze Paket
freigegeben (bei einem 4 Blöcke großen Paket werden also immer alle 4 Blöcke gleichzeitig freigegeben).
Die Summe der angeforderten Speicherblöcke ist dabei nie größer als n. Einmal an das Programm
übergebene Blöcke dürfen nie geändert oder verschoben werden (es sei denn, das Programm gibt sie
frei).
Beispiel:
Sei n = 8 und seien 15 Speicherblöcke verfügbar, die anfangs alle leer sind.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Schritt 1: Das Programm fragt 8 Speicherpakete der Größe 1, 0 Speicherpakete der Größe 2 und 0
Speicherpakete der Größe 4 an.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Schritt 2: Das Programm gibt die Speicherpakete mit den Startadressen 0,2,4,6 frei und fragt 0 Speicherpakete
der Größe 1, 2 Speicherpakete der Größe 2 und 0 Speicherpakete der Größe 4 an.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Schritt 3: Das Programm gibt die Speicherpakete mit den Startadressen 1,5,8 frei.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Schritt 4: Das Programm fragt 1 Speicherpaket der Größe 4 an. Diese Anfrage kann jedoch nicht
befriedigt werden.
Sei nun ein Speicher der Größe 2n gegeben. Geben Sie eine Strategie zur Befriedigung von Speicheranfragen
an, und zeigen Sie, dass jede mögliche Folge von Speicheranfragen und Freigaben mit dieser
Strategie und mit 2n Speicher befriedigt werden kann. Das Programm weiß natürlich welches Speicherpaket
an welcher Stelle liegt. Gehen Sie davon aus, dass falls Ihre Strategie eine Schwachstelle hat,
diese durch das Programm gefunden wird. n sei durch 8 teilbar.
Wichtig: Da es sehr schwer ist zu entscheiden, ob eine Strategie in allen Fällen das Richtige tut, sollte
zu jeder Strategie auch ein Beweis geliefert werden.
Ausgabe: Mittwoch, 1.5.2013
Abgabe: Freitag, 10.5.2013, 12:45 im Briefkasten im Untergeschoss von Gebäude 50.34
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