Grundlagen der medizinischen Physik

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WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK Setze: y = 1 R , α = R √ ωp η ⇒ r = yR, ω = α2 R 2 · η ϕ ∂ ∂r = 1 R · ∂ ∂y ∂ 2 ∂r 2 = 1 ∂ 2 R 2 ∂y 2 Einsetzen ∂ 2 u x ∂r 2 + 1 y ∂u x ∂r − iα2 u x = p ′ R 2 0 η Bessel-Diff.gleichung → Lösung bekannt ( u x (r, t) = p′ 0 R2 iηα 2 1 − J 0(αy √ ) i) J 0 (α √ e iωt mit J 0 : Besselfunktion nullter Ordnung der ersten Art i) J 0 (x) = 1 π ∫ π 0 cos(τ − xsin(τ))dτ Zuerst Änderungen am Rand, dann in der Mitte. Mit zunehmendem α • in der Mitte zunehmend flacher • dort Schwingungen in Phase wie kompakter Körper Elastische Wände Moens-Korteweg-Modell • u x (r) = const (stimmt für großes α) • nur kleine Dehnung: ∆r
WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK ⇒ ∂2 u x ∂x ∂t = 1 ∂ 2 p ρ ∂x 2 (1) Wegen Massenerhaltung von Flüssigkeiten → Kontinuitätsgleichung ∂ρ ∂t + ∂ ∂x (ρu x) = 0 Fluid inkompressibel: Flüssigkeit in das Volumen = Flüssigkeit aus dem Volumen + vergrößerter Aderquerschnitt Mit ρ = m x · A(x) Kontinuitätsgleichung für Querschnittsfläche: ∂A ∂t + ∂ ∂x (A u x) = 0 ∂A ∂p ∂p ∂t + u x ∂A ∂x }{{} ≈0 Also: ∂u x ∂x = − 1 ∂A ∂p ∂ A ∂p ∂t ∣∂t ∂ 2 u x ∂x ∂t = − 1 ∂A ∂ 2 p A ∂p ∂t 2 +A ∂u x ∂x = 0 (1) einsetzen: ∂2 p ∂t 2 + A ρ → Wellengleichung! ( ) ∂A −1 · ∂2 p ∂p ∂x 2 = 0∂t ⇒ Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = √ A ρ ( ) ∂A −1 ∂p Moens-Korteweg-Geschwindigkeit → Elastizität + Geometrie der Ader Dehnung eines Zylinder durch Innendruck ∆r = p r2 0 E · d mit d : Wandstärke, E : Elastizitätsmodul Gedehnte Querschnittsfläche A + ∆A = π(r 0 + ∆r) 2 ≈ πr0 2 + 2πr 0 ∆r = πr0 2 + 2πr3 0 }{{} E · d p } {{ } A ∆a Seite 35
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