Grundlagen der medizinischen Physik

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WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK • Ölpipelines Im Blutkreislauf: • Ausdehnung der Aorta • Aufnahme zusätzlichen Blutes • Abschwächung der Druckpulse Im elastischen Bereich: Hook’sches Gesetz: Dehnung ∝ Spannung, d.h. Blutdruck ∆V ∝ p dV dt = k · dp dt k: Materialkonstante der Aderwand Druck am Eingang des Gefäßes p(t) Flußwiderstand R am Ende des elastischen Bereiches R = p Φ Damit Kontinuitätsgleichung: Φ = k · dp(t) dt + p(t) R Hineinfließen= erhöhung Blutvolumen im Windkessel + Abfluß ṗ + 1 kR p = Φ k 1) Lösung des homogenen Teil ṗ + 1 t p = 0 ⇒ p(t) = λ · e− kR kR Inhomogene Lösung (Variation der Konstanten) ṗ + 1 kR p = Φ t , p(t) = λ(t)e− kR k ⇒ ṗ(t) = ˙λ(t)e − t kR − λ(t) 1 kR e− t kR Einsetzen: ˙λ(t)e − t 1 kR −λ(t) kR e− t 1 kR + kR e− t kR } {{ } =0 ˙λ(t) = Φ(t) k λ(t) = 1 k ∫ t 0 · e− t kR Φ(τ)e τ kR dτ + λ0 Damit: p(t) = 1 ∫ t k e− t kR 0 Φ(τ)e τ kR dτ + λ0 e − t kR = Φ(t) k Seite 32
WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK Bei t = 0: p(t = 0) = λ 0 = p 0 Exemplarisches Beispiel: p(t = 0) = λ 0 = p 0 = 0 Damit: p(t) = Φ ∫ t 0 k e −t kR ( ) p(t) = RΦ 0 1 − e − t kR 0 e τ Φ ] 0 kR dτ = k e− t kR [kR e − t kR − kR Bei starren Wänden (k = 0): p(t) = RΦ 0 = const. Dynamik der Druckpulse • I.a. analytisch nicht lösbar • 2 Ansätze zur Veranschaulichung • keine Gravitation • starre Wände • laminare Strömung • Geschwindigkeitskomponente nur in axialer Richtung x u x • keine Wirbel Navier-Stokes: ∂⃗u ∂t + (⃗u⃗ ∇) ⃗u = ⃗g − 1 ∇p } {{ } }{{} ρ ⃗ + η ρ ∆⃗u =0(laminar) =0(keine Grav.) → ∆f = ∂2 f ∂r 2 + 1 ∂f r ρ ∂u x ∂t ∂r + 1 ∂ 2 f r 2 ∂ϕ }{{} 2 =0 = − ∂p ( ∂ 2 ∂x + η u x ∂r 2 + 1 r + ∂2 f ∂ϑ 2 }{{} =0 ) ∂u x ∂r Nichtstationäre, pulsierende Strömung Sei Druckänderung sinusförmig: ∂p(x, t) ∂x = p ′ 0 e iωt dann auch Geschwindigkeit u x (r, t) = u x (r)e iωt mit Randbedingung u x (R) = 0 Also: ∂u x ∂t = iωu x (r) e iωt ∂u x ∂r = ∂u x(r) eiωt ∂r ( ∂ Einsetzen: iωϕu x (r) = −p ′ 2 u x (r) 0 + η ∂r 2 + 1 r ) ∂u x (r) ∂r Seite 33
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