Grundlagen der medizinischen Physik

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WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK substantielle Beschleunigung = Gesamtkraft auf dV ∂⃗u ∂t + (⃗u · ⃗∇)⃗u = ⃗g − 1 }{{} ρ Gravitation ⃗∇p }{{} Druckdifferenz Integration liefert Bernoulli-Gleichung p + 1 2 ρu2 = p 0 = const mit p 0 = Gesamtdruck (Graphik zur verjüngendem Rohr) Im dickeren Bereich dV = A 1 · ∆x 1 Energie zur Verschiebung über A 1 · W 1 = F 1 · ∆x 1 = p 1 · A 1 · ∆x 1 = p 1 · ∆V 1 Energie zur Verschiebung über A 2 · W 2 = F 2 · ∆x 2 = p 2 · A 2 · ∆x 2 = p 2 · ∆V 2 Wegen ∆V 1 = ∆V 2 und E = W = const. E kin,1 + W 1 = E kin2 + W 2 , mit m = ρ∆V : 1/2ρv 2 1 + p 1 = 1/2ρv 2 2 + p 2 = const. ⇒ Wenn Geschwindigkeit größer wird, muss der Druck kleiner werden. 3.1 Zähe Flüssigkeiten ⃗F r nicht mehr vernachlässigbar mit ⃗ F R ∝ η∆⃗u ∂⃗u ∂t + (⃗u⃗ ∇)⃗u = ⃗g − 1 ρ ⃗ ∇p + η ρ ∆⃗u Navier-Stokes-Gleichung: Vektoranalysis: (⃗u ⃗ ∇)⃗u = 1 2 Beispiele: }{{} ⃗∇u 2 − ∇ ⃗ × ( ∇ ⃗ × ⃗u) } {{ } räuml. Änderung Rotation→Wirbelbildung 1. Plattenviskosimeter: Nehme • laminare Strömung ⇒ keine Wirbelbildung • zeitlich konstant ⇒ subst. Ableitung verschwindet • Gravitation vernachlässigbar ⇒ ⃗g = 0 • kein Druckgradient ⇒ ⃗ ∇p = 0 ⇒ ∆⃗u = ⃗0 u y = 0, u z = 0, ∂u x x = 0, ∂u x ∂u z = 0 ∂ 2 u x ∂y 2 = 0 ⇒ u x(y) = c 1 y + c 2 Seite 24
WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK Randbedingungen: u x (0) = 0, u x (h) = u p ⇒ u x (y) = u p h · y 2. Strömungsprofil in zylinderförmigen Rohr Hohlzylinder mit Radius R, sei • stationär ⇒ D⃗u Dt = 0 • keine Gravitation ⇒ ⃗g = 0 • Druckdifferenz für Strömung ⇒ 0 = − ⃗ ∇p + η∆⃗u • In Zylinderkoordinate (r, ϕ) • Symmetriegründe: keine Azimuthabhängigkeit ⇒ u x (r) = R2 − r 2 4η ( − dp ) dx • Rotationsparaboloid mit Maximum bei r=0 • Strömungsverhalten in Rohren: Hagen-Poiseuille’sches-Gesetz Fluss durch Integration über Querschnitt: Φ = πR4 8η ( − dp ) dx ⇒ Φ ∝ R 4 : Verengung um 15% ⇒ halber Fluss → Arterienverkalkung!! Wirbelbildung, Reynoldszahl Objekt der Größe L: Flüssigkeit: um-/durchfließen mit Geschwindigkeit U. Variablensubstitution mit L und U, so → dimensionslose Größe: ∗ x = L · x∗, ∇ = 1 L · ∇∗ u = U · u∗, ∇ = 1 L 2 · ∆∗ t = L U · t∗, p ρ = U 2 · p∗ ρ ∂⃗u ∂t + (⃗u⃗ ∇)⃗u = − 1 ρ ⃗ ∇p + η ρ ∆⃗u U 2 ∂u∗ L∂t∗ + U 2 L (⃗u ∗ +⃗ ∇∗)⃗u∗ = − U 2 ∇ ⃗ ∗ ⃗p∗ + ηU 2 ρL ρL 2 U ∆ ∗ ⃗u∗ ∂u∗ ∂t∗ + (⃗u ∗ ∇∗)⃗u∗ ⃗ = − 1 ∇ ρ ⃗ ∗ p ∗ + η ρUL } {{ } 1 Re ∆ ∗ ⃗u∗ Seite 25
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