Grundlagen der medizinischen Physik

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WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 BIOMECHANIK Faser zu konstantem χ mit l = rϕ Längenänderung δl = χ dϕ = χ · l r → Hook’sches Gesetz σ(χ, x) = E · δl(χ) l(χ) = χ E r(x) * Tangentiale Zugspannung (für χ > 0)/Druckspannung(für χ < 0) wirkt im Querschnittsflächenelement dA = b dχ im Abstand χ von der neutralen Faser. Entsprechender Kraftanteil: dF (χ) = σ(χ) dA = σ(χ) · b dχ (∗) = b E χ r dχ Im Gleichgewicht: dF (entsteht durch F 0 = elastische Rückstellkraft) Rückstellkraft: Drehmoment auf Mittelpunkt des Stabes: dM y (χ, x) = −F (χ) · χ = −b E r(x) χ2 dχ Integration: M y (x) = −b E r(x) · ∫ +d/2 −d/2 χ 2 dχ = − Ebd3 12r(x) Im Gleichgewicht: Kompensation durch dasjenige, durch F 0 hervorgerufen: M y (x) = F 0 · (L − x) Damit: 1 r(x) = − 12F 0 (L − x) (**) Ebd3 Differentialgeometrie: r(x) einer Kurve z(x): 1 r(x) = − z ′′ (x) (1 + z ′2 (x)) 3 2 Bei kleinen Verbiegungen: z ′ Bruchspannung durch Einreißen an der Oberseite bei x = 0 Beeinflussung möglich? → Querschnittsgeometrie → Verbiegungseigenschaften → σ max Seite 10
WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 BIOMECHANIK Im Drehmoment steht: b ∫ +d/2 χ 2 dχ allgemein −→ ∫ χ 2 dy dχ =: B· Biete-/Flächenträgheitsmoment −d/2 Querschnitt Damit: M y (x) = EB r(x) ⇒ z(L) = L 3E · F0 B Max. Spannung: σ max = d 2B L F 0 Folge: Minimierung der Maximalspannung Betrachtungen zur Knochenform Querschnitt: Maximierung von B → Masse möglichst weg von der neutralen Faser ⇒ optimiertes Profil: Hohlzylinder ⇒ Bei Scherkräften auf Knochen: Röhrenknochen typisch: r a /r i ≈ 1, 8 B Hohlzylinder : 1 4 π(r4 a − r 4 i ) Beispiel: Biegespannung auf Femurkopf, σ max ? Biegemoment B = 3, 29 · 10 −7 m 4 Angreifende Kraft F 0 für m=75 kg; F 0 = 1/2F G · sin 40 ◦ = 1/3mg = 250N Also: σ max = σ(x = 0, χ = d/2 = r a ) = r a B L F 0 = 1MP a
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