Grundlagen der medizinischen Physik

WS 2013/14, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff 

Vorlesung: Grundlagen der med. Physik, inoffizielle Mitschrift 

by: Christian Krause, Matr. 1956616 

Inhaltsverzeichnis 


1 Geschichte der Physik in der Medizin 3 

2 Biomechanik 3 

2.1 Statik des Skeletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2.2 Heben / Drücken im Detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2.3 Elastizitätstheorie: Biegung eines Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.4 Muskeltätigkeit: mechanische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

3 Bio-Fluidmechanik 22 

3.1 Zähe Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.2 Blutkreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.3 Atmung + Pneumologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4 Physik der Sinne 40 

4.1 Ohr: Aufbau + Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.1.1 Außenohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.1.2 Mittelohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.1.3 Innenohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 


Einleitung 

Beispiel MRT: 

Physiker: 

• Kernspin 

• anregbar in Magnetfeldern durch Radiowellen 

• unterschiedliche Wasserstoffdichte 

– in verschiedenen Geweben 

– in gesunden und entarteten Geweben 

⇒ Protonenresonanz zur Darstellung von Gewebe 

Physik: oft zentrale Bedeutung 

Beispiel: Röntgenstrahlung 

Med. Phy: 

• angewandt 

• interdisziplinär 

Med.Phy ↔ Biophysik: 

Diognostik + Therapie ↔ generelles Studium: Zellen, Biomoleküle, Stoffwechselprozesse 

Med.Phy ↔ Medizinphysik: 

Deutliche Abgrenzung 

Med. Technik: 

• Entwicklung technischer Geräte zum Einsatz in der Medizin 

• Ausbildung mit technischem Charakter und ohne vertiefende Physikkenntnisse 

→ produktorientiert 

Med. Physik: Kenntnisse der grundlegenden Physik (QM, Atomphysik, Kernphysik, 

Festkörperphysik) 

→ erkenntnisorientiert 

Berufsfeld 

Physik schon immer wichtig für die Medizin 

Bedeutung steigt immer weiter: der Fortschritt der EDV → Modellierung komplexer Systeme 

• anspruchsvolle Geräte 

• Protonenbeschleuniger in der Tumortherapie 

• MRT/CT 

• Nanobiologie, Nanomedizin 

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 BIOMECHANIK 

1 Geschichte der Physik in der Medizin 

16. Jahrhundert: Sezieren von Leichen → innere Aufbau des Körpers → mechanisch, elektrisch, 

hydrodynamische Systeme 

Harvey: Entdeckung vom Blutkreislauf 

von Galen: venöses Blut aus Leber, aterielles Blut aus Herz 

17. Jahrhundert: 

• Descartes: Beschreibung Physiologie durch Mechanik 

• PEntwicklung Mikroskop 


• Euler: Gleichungen für gepulste Wellen in Arterien 


Helmholtz (Physikprofessor und Arzt) 

• Fokussiermechanismus im Auge 

• Bestimmung der Nervensignalgeschwindigkeit (30m/s) 

• Muskelarbeit trägt zur Körperwärme bei 

• Physiologische Grundlage des Tonempfindens 

Röntgen: Röntgenstrahlung 1. Nobelpreis Physik: 1901 


Insbesondere Tomographieverfahren 

CT Nobellpreis Medizin 1979: 3D-Rekonstruktion 

PET Position-Elektron-Tomographie 

MRT Magnetresonanztomographie 

• hohe Auflösung 

• keine Nebenwirkungen 

• → Nobelpreis Medizin 2003 

2 Biomechanik 

Erst Statik → Dynamik 

1. Skelett 

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• System von Stangen 

• relative Bewegungen über Gelenke 

• Kräfte über Sehnen (→ Drehmomente) 

2. Starrer Knochen → elastische Eigenschaften 

3. Bewegungsabläufe: mechanische, dynamische Modelle 

• Kinematik des Gehens 

• Muskeldynamik: physikalische Modelle 

2.1 Statik des Skeletts 

Gleichgewichtsbedingungen: 

• Kräfte ∑ i 

⃗F i = 0 

• Drehmomente ∑ i 

M i = ∑ i 

⃗r i × ⃗ F i = 0 

⇒ Bestimmung von Kräften: 

• Sehnen übertragen Kräfte der Muskeln 

• Muskelkräfte nur durch Kontraktion 

2.2 Heben / Drücken im Detail 

1) Heben eines Gewichts mit dem Unterarm, Drehmomente in Ellebogengelenk 

Muskel: ⃗ MM = ⃗r × ⃗ F M 

M M = a F M sin β = a F M sin (180 ◦ − ϑ) = a F M sin ϑ 

Gewicht: M W = L F W sin (90 ◦ − α) = L F W cos α = L F W cos α 

Halten des Gewichts M M = M W 

F M = F W · 

L 

a 

}{{} 

=8 

·cos α 

sin ϑ 

Typisch: a=0 ◦ , ϑ=70 ◦ ⇒ F M = 8, 5 · F W 

Kraft auf Gelenk 

F G = √ V 2 + H 2 mit V = F W − F V M und H = F H M 

F H M = F M cos (α + ϑ) 

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F V M = F M sin (α + ϑ) 

⇒ H = F M cos (α + ϑ) 

( 

⇒ V = F W − F M sin (α + ϑ) = F W 1 − l ) 

cos α 

a sin ϑ sin (α + ϑ) 

Mit α = 90 ◦ , ϑ=70 ◦ : 

V = −7F W , H = 0, 34F M = 2, 9F W ⇒ F G ≈ 7, 6F W , 

2) Kraft auf die Archillessehne 

• Einbeiniger Stand 

• Stand auf dem Fußballen 

Kräfte: 

F G 

F W 

≈ 7, 6 

• Gegenkraft zur Gewichtskraft F W 

• Körpergewicht auf den Talus F F 

• Kraft entlang der Archillessehne F A → Kompensation Drehmoment 

Kräftegleichgewicht: 

0 = x · F A · sin α − F F · sin ϑ 

0 = y · F A · cos α − F F · cos ϑ + F W 

Drehmomentgleichgewicht (bezogen auf Auflagepunkt des Schienbeins) 

Mit α = 7 ◦ ⇒ cos α ≈ 1 

F W · 0, 1m − F A · 0, 05m = 0 ⇒ F A = 2F W 

Damit: 

x · 2F W · sin 7 ◦ = F F sin ϑ = 0, 24F W 

y · F W (2 · cos 7 ◦ + 1) = F F cos ϑ = 3F W 

F F sin ϑ 

F F cos ϑ = tan ϑ = 0, 24F W 

3F W 

⇒ F F = 

= 0, 08 ⇒ 4, 5 ◦ 

3F W 

cos 4, 5 ≈ 3F W = F F ; 2 · F W = F A 

m = 80kg ⇒ an der Archillessehne “hängen“ 160 kg! ⇒ Reißen der Archillessehne 

3) Kräfte beim Gehen 

Kein Umfallen: Aufsetzpunkt des Fußes vertikal unterhalb des Körperschwerpunktes (≈ 

Bauchnabelhöhe) 

Betrag und Richtung der Kräfte: 

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− ⃗ R (auf dem Fermurkopf) − ⃗ F (entlang der Abduktorsehne) 

∡( ⃗ F , x) = 70 ◦ 

⃗W : Gewichtskraft des Körpers 

⃗N: Normalkraft des Bodens 

⃗W B : Gewichtskraft des Beins ≈ 1 7 ⃗ W 

Gesamtkraft auf das Bein: 

0 = ∑ i 

F y 

i 

= F · sin70 ◦ − R y − 1 7 W + N 

0 = ∑ i 

F x 

i 

= F · cos70 ◦ − R x 

0 = ∑ i 

M i = −F · sin70 ◦ · 7cm − 1 7 W · 3cm + W · 11cm = −6, 6F − 3 7 W + 11W 

⇒ F = 1, 6W 

Folge: normales Gehen: 1,6 faches Körpergewicht zieht an Abduktorsehne 

Erkenntnisse: Schwere Koffer in der linken Hand → rechter Fuß weiter innen, linker Fuß weiter außen 

→ höhere Belastung der Sehne im rechten Bein 

Gehstock: Entgegengesetzte Situation (Übung) 

Kraft auf Femurkopf 

R x = F cos70 ◦ = 0, 5W 

R y = F sin70 ◦ = 2, 4W 

⇒ R = 

√ 

R 2 x + R 2 y = 2, 5W (!) 

Richtung von R 

tan ϕ = R x 0, 55W 

= 

R y 2, 4W 

= 0, 23 ⇒ ϕ = 13◦ 

Knochengewebe im allgemeinen entlang Belastung → Knochenfasern in diesem Winkel 

∡ (Kopf, Oberschenkelknochen) 

140 ◦ bei jungen Erwachsenen 

120 ◦ bei Älteren → höheres Drehmoment auf Knochen → Oberschenkelhalsbruch 

Knochenaufbau 

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Weitere Funktionen: 

• mechanicsher Schutz (Schädel) 

• Signalübertragung (Mittelohr) 

Jeweilige Optimierung von Struktur + Form 

Knochen: Komposit 

• 65% Kalziumhydroxylapatit (→ “Ca gut für Knochen“) 

• 10% organische Matrix aus Kollagen: elastische Eigenschaften 

• 25% Wasser 

• zusätzlich Zellen innen + außen mit Blutversorgung 

Anorganische Anteile 

• 50% bei Kleinkindern 

• 60% Erwachsenen 

• 70% Alter 

⇒ Reduktion der Elastizität mit dem Alter 

Porösität 

> 30% schwammartig, innen 

< 30% kompakt, außen 

Aufbau in Leichtbauweise: Geflecht von 100µm dünnen Kalziumhydroxylapatitstäbchen → 100% 

Porösität 

Leichtbauweise: Weniger Masse bei gleicher Stabilität → Gewichtsersparnis 

Adaption “Intelligente“ Anpassung an Beanspruchung → 

• zusätzliche Kristalldrähtchen entlang Kraftlinien 

• bei wiederholter Dehnung > 0,1%: Einbau von Ca 

• Permanente Nichtbelastung: Abbau von Knochenmaterial 

Elastizität des Skeletts 

Elastizitätstheorie: Deformation fester Körper unter Kräften 

• Dehnung (volumenverändernd) 

• Stauchung (volumenverändernd) 

• Scherung (volumenkonstant) 

• Torsion (volumenkonstant) 

• Biegung (volumenkonstant) 

jeweils bei kleinen Kräften 

Wichtige Begriffe 

Seite 7




• Spannung σ = F A 

• Dehnung ε = ∆l 

l 

Beispiel: Zugspannung: Spannungs-Dehnungs-Diagramm 

kleine Dehnungen 

• elastischer Bereich 

• reversibel 

• Hooke’sches Gesetz σ = E · ε mit E: Elastizitätsmodul 

Höhere Dehnungen 

• plastischer Bereich 

• irreversibel 

• keine Linearität 

• Form hängt von Vorgeschichte ab 

Weitere Dehnungen 

• Bruch 

E: Maß für Steifigkeit, Typische Werte: 

Al 71 · 10 9 N/m 2 

Pb 19 · 10 9 N/m 2 

Holz 13 · 10 9 N/m 2 

Bandscheibe 5 · 10 6 N/m 2 

Knochen 17 · 10 9 N/m 2 

F=100N/mm 2 → ∆l 

l 

= 0, 6%, durch adaptive Fähigkeit bis 30% 

Beispiel: Scherspannung 

Scherspannung: τ := F A 

Im elastischen Bereich mit G: Schub-, Schermodul und ϑ = ∆x : τ = G · ϑ 

l 

Oft: G ≈ 1 3 E 

Typische Werte 

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Al 26 · 10 9 N/m 2 

Pb 7 · 10 9 N/m 2 

Knochen 9 · 10 9 N/m 2 

Weitere Knocheneigenschaften 

• Bruchspannung: 124 MPa 

• Maximalelongation 1,4% 

• Maximaldruck: 170 MPa 

• Maximalkontraktion: 1,8% 

• max. Scherspannung 54MPa 

2.3 Elastizitätstheorie: Biegung eines Balkens 

Bei Überbeanspruchung: Bruch 

• transversal: Biegung/Scherung 

• Torsion: Verdrehung (z.B. Skilaufen) 

• schiefwinklig: longitudinale Kompression 

• Experiment mit Grünholz: unvollständiger Knochenbruch → insbesondere bei Kindern 

Anwendungsbeispiel: Biegung eines Stabes 

• elementare Anwendung 

• Verständnis: Verbiegung + Bruch von Knochen 

– kein Eigengewicht des Stabes 

– waagerechtes Einspannen bei x=0 

– vertikale Kraft F 0 am Ende des Stabes 

– Form der Verbiegung: z(x) 

– maximale Spannung bei x 0 > Bruchspannung → Bruch bei x 0 

– z(x) raumfest 

• Neue Koordinate χ(x) 

– fest mit Stab verbunden 

– verbiegt sich mit 

– χ = 0 in der Mitte des Stabes 

Verbiegung 

• unterhalb (seiner Mitte) gestaucht 

• oberhalb gedehnt 

• Mitte bei x = 0 ≈ keine Längenänderung → “neutrale Faser“ 

An jeder Stelle x: 

• Krümmung durch lokalen Krümmungsradius 

• r(x) im Winkelintervall dϕ konstant 

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Faser zu konstantem χ mit l = rϕ 

Längenänderung δl = χ dϕ = χ · l 

r 

→ Hook’sches Gesetz σ(χ, x) = E · δl(χ) 

l(χ) = χ E 

r(x) * 

Tangentiale Zugspannung (für χ > 0)/Druckspannung(für χ < 0) wirkt im 

Querschnittsflächenelement dA = b dχ im Abstand χ von der neutralen Faser. 

Entsprechender Kraftanteil: dF (χ) = σ(χ) dA = σ(χ) · b dχ (∗) 

= b E χ r dχ 

Im Gleichgewicht: dF (entsteht durch F 0 = elastische Rückstellkraft) 

Rückstellkraft: Drehmoment auf Mittelpunkt des Stabes: dM y (χ, x) = −F (χ) · χ = −b E 

r(x) χ2 dχ 

Integration: M y (x) = −b E 

r(x) · 

∫ 

+d/2 

−d/2 

χ 2 dχ = − Ebd3 

12r(x) 

Im Gleichgewicht: Kompensation durch dasjenige, durch F 0 hervorgerufen: M y (x) = F 0 · (L − x) 

Damit: 

1 

r(x) = − 12F 0 

(L − x) (**) 

Ebd3 Differentialgeometrie: r(x) einer Kurve z(x): 

1 

r(x) = − z ′′ (x) 

(1 + z ′2 (x)) 3 2 

Bei kleinen Verbiegungen: z ′ Bruchspannung durch Einreißen an der Oberseite bei x = 0 

Beeinflussung möglich? → Querschnittsgeometrie → Verbiegungseigenschaften → σ max 

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Im Drehmoment steht: b 

∫ 

+d/2 

χ 2 dχ allgemein 

−→ 

∫ 

χ 2 dy dχ =: B· Biete-/Flächenträgheitsmoment 

−d/2 

Querschnitt 

Damit: M y (x) = EB 

r(x) ⇒ z(L) = L 

3E · F0 

B 

Max. Spannung: σ max = 

d 

2B L F 0 

Folge: Minimierung der Maximalspannung 

Betrachtungen zur Knochenform 

Querschnitt: Maximierung von B → Masse möglichst weg von der neutralen Faser ⇒ optimiertes 

Profil: Hohlzylinder 

⇒ Bei Scherkräften auf Knochen: Röhrenknochen 

typisch: r a /r i ≈ 1, 8 

B Hohlzylinder : 1 4 π(r4 a − r 4 i ) 

Beispiel: Biegespannung auf Femurkopf, σ max ? 

Biegemoment B = 3, 29 · 10 −7 m 4 

Angreifende Kraft F 0 für m=75 kg; F 0 = 1/2F G · sin 40 ◦ = 1/3mg = 250N 

Also: σ max = σ(x = 0, χ = d/2 = r a ) = r a 

B L F 0 = 1MP a




Beispiele 

• Optimierung einer Tartanbahn 

• Evolution 

Fisch Landgang 

−→ 

Reptilien Kriechen→Gehen −→ 

Beispielhaft im Detail: Gehen 

Gehen und Laufen/Rennen 

Gehen: Mindestens 1 Fuß mit Bodenkontakt 

Rennen: phasenweise kein Bodenkontakt 

Säugetiere Meeresgang 

−→ 

Meeressäuger 

Studium des Gehens: Kraftplatten: Messung aller Kraftkomponenten mittels x(t), y(t), z(t), wobei 

der Kraftanteil links und rechts zur Laufrichtung wenig interessant 

Damit Bestimmung vieler Größen: → zeitaufgelöste kin. Energie 

E kin,x = 1 2 mv2 x mit v x = dx(t) 

dt 

E kin,y = 1 2 mv2 y 

Mittels Filmen der Gehbewegung → Höhe des Schwerpunkts → E pot,y 

Komponenten der Gesamtenergie: 

E x = E kin,x 

E y = E kin,y + E pot 

Typische Geschwindigkeit: 4,5 km/h 

Nahezu gegenphasig für x und y → nur wenig Änderung der Gesamtenergie um max. 40 Joule 

Energieänderung pro Zyklus ≡ von Muskeln, extern geleistete Arbeit 

W ext = Variation von (E x + Ey) 

Zyklus 

Effiezienz von Gehen im Vergleich zum Laufen 

W x , W y : Energiezunahme pro Zyklus → Rückgewinnung: R = W x + W y − W ext 

W x + W y 

Maß für Anteil der Energie zum Gehen aus Gehbewegung selbst: R = 100%: Kein Energieverlust → 

“ballistisch“ 

R gehen ≈ 65% 

R(V ) : Höchste Rückgewinnung bei 5-6 km/h → zügiges Gehen 

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} 

8 km/h → 15 km/h (100m in 25s) 

R → 0 

Gehen → Laufen 

Freigesetzte pot + kin. Energie geht der Vorwärtsbewegung verloren → Ersetzen durch Muskelarbeit 

⇒ Rennen deutlich ineffizienter als Gehen. 

Grund: Beim Rennen E kin,x und E y in Phase ⇒ Umwandlung E pot,y → E kin,x nicht mehr möglich 

E kin,x : nur geringe Variation 

E total : große Änderungen 

⇒ Beim Rennen viel mehr Muskelarbeit zum Anheben des Körpers 

→ zum Abnehmen: (leichter) Dauerlauf (Energieineffizient) 

Mechanisches Modell: Ballistisches Gehen 

• R=65% 

• Muskeln: 

– fast keine Arbeit in der Schwingphase 

– Überwiegend aktiv in der doppelten Stützphase, d.h. beide Füße mit Bodenkontakt 

⇒ Ballistisches Modell geeignet für Schwingphase 

Beschreibung: Physikalisches Pendel mit 3 Gelenken 

• Fußgelenk 

• Kniegelenk 

• Femurkopf 

Zyklus: 

Beginn: Bodenberühung beider Füße (1) 

Dann: Schwingphase (2) mit 

• Starrem Stützbein 

– keine Bewegung um Kniegelenk 

– Drehung um Auflagepunkt 

• Schwungbein - freies Schwingen um 

– Hüftgelenk 

– Kniegelenk 

Randbegingungen zur Analyse: 

• keine Bodenberührung des Schwunfußes während Schwingphase 

• Winkel α zwischen Ober- und Unterschenkel 0 ≤ α ≤ 125 ◦ (0 ◦ gestreckt) 

• Am Ende der Schwingphase (3) bei Bodenberührung des Schwungfußes muss α = 0 ◦ sein, d.h. 

gestrecktes Bein 

→ Qualitative Diskussions der Lösung: 

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T n : max. Schwingzeit bei gestrecktem Schwingbein 

√ 

θ 

T n = π · mit θ: Trägheitsmoment, z: Abstand Schwerpunkt - Hüftgelenk 

mgz 

Beinlänge: 1m ⇒ T n ≈ 0, 85s 

Mehrere Lösungs“typen“ möglich: 

S L : Schrittweite, auf Beinlänge normiert 

T s : normierte Schrittdauer 

• Gebiet links von A E kin,y so hoch → beide Füße ohne Bodenberühung → “Gehen“ mehr 

• Grauer Bereich: Realistische Lösungen, steigende T s → α wird größer; rechte Grenze α = 125 ◦ 

• links von B und unterhalb des grauen Bereiches, d.h. Schrittlänge < halbe Beinlänge: Ziehen 

des Schwungbeins mit Bodenberührung der Zehen oder Schwungbein beim Aufsetzen nicht 

gestreckt im Rahmen des Modells keine “normalen“ Schritte 

T s gegen Körpergröße 

Fazit: 

• einfaches Modell 

• trotzdem gute Modellierung des Gehens 

Modell: Nutzen für Vorhersage 

Beispiel: Gehen auf dem Mond: Geringerer Energiegewinn der pot. Energie bei Aufwärtsbewegung 

→ weniger Energie in die Vorwärtsbewegung → verlängerte Schwingdauer → langsameres Gehen 

g Mond 

g Erde 

≈ 1 6 

√ 

T n,Mond gMond 

= ≈ 2, 45 

T n,Erde g Erde 

2.4 Muskeltätigkeit: mechanische Modellierung 

Kontraktion: Verkürzung von Sarkomeren → Muskelkraft 

1. Aufbau und Funktion 

2. makroskopisches Muskelmodell 

3. Kontraktionsmechanismus: mechanisch, mikroskopisch → für Sarkomere 

Muskelaufbau 

3 Muskelarten: 

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• Herzmuskel (nicht steuerbar) 

• weiche Muskeln (z.B. Darm) (nicht steuerbar) 

• Skelettmuskeln: bewußte Steuerung durch Nervensignale 

Muskelfasern: schnelle und langsame mit etwa Faktor 2, angeordnet zu Bündeln → mehrere 100 

Myofibrillen mit Ø≈ 1µm 

→ gestapelte Zylinder, Höhe 2,5 µm: Sarkomere → Trennung durch z-Scheiben 

Kontraktion: Aktin- und Myosineiweißfäden: axial, parallel im Sarkomer 

Sarkome: 2x 2000 Aktinfilamente Ø5nm 

• bürstenartig von jeder z-Scheibe 

• dazwischen parallel 1000 Myosinfilamente Ø10 nm 

• Myosinfilamente ohne Kontakt mit z-Scheibe 

3. Bereiche: 

• z-Bereich: Sarkomerdeckel + Aktin (I-Band) 

• H-Bereich: In der Mitte nur Myosin (A-Band) 

• A-Bereich: Überlappen beider Filamente (A-Band) 

Gleitfilamenttheorie (1954): 

Kontraktion durch: Myosin- und Aktinfilamente schieben sich ineinander, maximale Verkürzung 20% 

→ Verkleinerung der H- und z-Bereiche, A-Band behält länge bei 

Mechanismus 

Myosinfilament 

• 150 Myosinmoleküle mit Myosinköpfchen 

• Köpfe: Brücken zum Aktin 

Ruderbewegung: 

• Greifen 

• Ziehen zur Sarkomermitte 

• Loslassen → Verkürzung um 1% ⇒ 20 Ruderschläge bis maximale Verkürzung 

Chronologische Abfolge 

1. Nervenimpuls 

2. Anlagerung am Aktin → Freilegen von Bindungspunkten → Bindung der Myosinköpfe am 

Aktin 

3. Korrelierte Kontraktion 

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4. Loslassen einzelner Köpfe, Kontraktion bleibt erhalten 

Energiequelle: ATP → P + ADP 

Untersuchung: Nervenimpuls → Antwort des Muskels 

Isometrische (konstante Länge) Kraftentwicklung (Messung F(t)) 

Anregung: elektrischer Puls 10 ms → Ca 2+ -Ausschüttung → Kontraktion → Zuckung 100 ms 

Mittlere Kraft ⃗ F ≠ 0: 

• Folge von Nervenimpulsen 

• mit hinreichend hoher Frequenz 

• isolierte Muskel 

• Sättigung 

Menschen: maximale (d.h. sinnvolle) Frequenz 30 - 40 Hz 

1860: Bestimmung durch Helmholtz: durch “Lauschen“ am Arm → Selbstversuch machen 

Permanent angeregter Zustand: tetanisiert 

(+) Skelettmuskel (-) Herzmuskel 

Makroskopoisches Muskelmodell 

Skelettmuskeln: max. Spannung ≈ 20 N/cm 2 

• unabhängig vom Muskel 

• unabhängig vom Lebewesen 

Kraft F im tetanisierten Zustand: hängt ab von Kontraktionsgeschwindigkeit v: 

v ↑⇒ F ↓ 

“Hill’sche Kraftkurve“, Muskelleistung P = F · v, P maximal bei v ≈ 40%v max 

Hill: (F + a)(v + b) = (F 0 + a)b mit F 0 : isometrische Kraft, Leistung damit: P = v(bF 0 − av) 

v + b 

Beschreibung möglich für: 

• alle Muskelarten 

• alle Tiere (außer Insekten) 

• sehr universell! 

→ Erklärung zahlreicher Anwendungen (z.B. Gangschaltung beim Fahrrad) 

Also: Stoßdämpfer im Muskel (oder Reibung) F R ∝ v 

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Ersatzschaltbild unter isometrischen Bedingungen 

Muskel: Kraftquelle F 0 (t), Stoßdämpfer parallel mit Dämpfung b 

Dazu in Serie: Sehne: elastisch, Federkonstante k 

Isometrisch: x 1 + x 2 = const. 

Messung F (t) durch F 0 mit Aktivierungspulsen 

Sehne: F = k · ∆x 2 

Muskel: F = F 0 + bẋ 

Kraftquelle: Beschreibung druch Rechteckimpulse 

F 0 (t) = 

{ 

F0 bei 0 < t ≤ c 

0 bei t ≤ 0 und t > c 

Isometrie: ẋ 1 = −ẋ 2 

−∆ẋ 2 = −ẋ 2 = − ˙ F 

k 

⇒ F (t) + b k ˙ F (t) = F 0 (t) mit Anfangsbedingung: F (0) = 0 

Damit F (t) = F 0 (1 − e − kt 

b ) 

0 < t ≤ c 

Nach t = c · F 0 (t) = 0 ⇒ F (t) = F (c) · e − k(t−c) 

b 

t > c 

Wegen Stetigkeit bei t = c: F (c) = F 0 (1 − e − kc 

b ) 

Dadurch: 

• Zuckung verlängert durch Dämpfung 

• Tetanisierung möglich 

Anwendungsbeispiel: 

Optimierung Tartanbahn auf Laufgeschwindigkeit 

Modell: Bein (obere Feder, parallel zu Stoßdämpfer) auf Boden (untere Feder) 

Beinmuskelparameter so, dass reale Laufdynamik 

Beobachtung: Höhere Laufgeschwindigkeit durch kurze Kontaktzeit Boden - Fuß 

Abbildung: Fuß-Boden-Kontaktzeit als Funktion der Bodenfederkonstante (=Härte) 

• Kontaktzeit nimmt ab mit zunehmender Härte 

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• Minimum bei mittlerer Härte 

• wieder leichter Anstieg zu höher Härte 

Im Minimum: 2% höhere Laufgeschwindigkeit 

100m: 9,8s gut, 9,6s Weltklasse 

Mikroskopisches Modell Beschreibung: Sarkomerkontraktion mit Gleitfilamenttheorie 

Mechanisches Modell zur Simulation der 

• mikroskopoischen Bewegung der Myosinköpfe 

• ihre Bindung an das Aktin 

Forderung: Reproduktion Hill’sche Kraftkurve 

Denn Muskelkontraktion = ∑ Myosinköpfe/Aktin 

Modell beantwortet u.a.: 

• Herkunft der Reibungskraft 

• Abnahme der Kraft mit zunehmender Kontraktionsgeschwindigkeit 

Kraft-Dehnungskurve (Abstand z-Schreiben) 

Normaler “Betriebsmodus“ 

• Bereich B-C 

• (Anfang B-A) 

Modell: Nur Bereich B-C 

Voraussetzungen 

• Berücksichtigung nur des Sarkomers 

• Vernachlässigung elastischer Effekte der Sehne 

• konstante Zahl an Myosinköpfe im Aktinbereich 

• vollständige Aktivierung (bei konstanter Ca + -Konzentration) 

• isotonische Kraftentwicklung, d.h. konstante Kontraktionsgeschwindigkeit 

Myosinkopf 

Frei: Bewegung unter Einfluss von je 1 Feder nach links + nach rechts. Bei Bindung an das Aktin: 

zusätzliche Kraft 

Möglicher aktiver Punkt des Aktins: Abstand x zur } mittleren {{ } Position des Myosinkopfs. 

F =0 

Maximale Auslenkung des Myosinkopfes: h 

Seite 18




⇒ Bindung nur möglich, wenn x ≤ h 

n(x): Anteil der Brücken (an Aktin gebundener Myosinkopf in [x, x + dx]) 

Beiträge zur Kraft: 

• nur Myosinbrücken 

• keine losen Myosinköpfe 

Änderung von n(x) als Funktion von t hängt ab von: 

• Myosinköpfen, die noch keine Brücken bilden ∝ 1 − n(x) 

• Myosinköpfen in Brücken ∝ n(x) 

Damit Ansatz: dn(x) 

dt 

= f(x) · (1 − n(x)) − g(x) · n(x) 

mit f(x), g(x): phänomenologische Gewichtungsfaktoren 

• Wahl so: plausibles und realistisches Verhalten 

• Charakterisierung: Brückenbildung, -lösung 

Annahmen: 

⎧ 

f 1 ⎪⎨ 

f(x) = 

h x für 0 ≤ x ≤ h 

⎪⎩ 

0 für x ≤ 0 und x ≥ h 

⎧ 

⎪⎨ g 2 für x ≤ 0 

g(x) = 

⎪⎩ 

g 1 

h x für x > 0 

Entscheidend für Funktionieren: Asymmetrie von f und g nahe x = 0 

−f = 0 für x ≤ 0: Asymmetrie in der Kraftentwicklung 

−g > 0 für x ≤ 0: Aufbrechen von Brücken 

−g(x ≤ 0) = g 2 mit g 2 > g 1 (h): Auflösung nach Vollendung der Ruderbewegung 

Mit v und F konstant: 

dn 

dt = dn 

dx · dx dn 

= −v · 

dt dx 

mit negativem Vorzeichen wg. Kontraktion 

⇒ −v · dn = f(x)(1 − n(x)) − g(x) n(x) = f(x) − (f(x) + g(x)) · n(x) 

dx 

Zur Lösung Unterteilung in 3 Bereiche: 

Seite 19




1. x > h : f(x) = 0, g(x) = g 1 

h · x 

2. 0 ≤ x ≤ h : f(x) = f 1 

h x, g(x) = g 1 

h · x 

3. x < 0 : f(x) = 0, g(x) = g 2 

Zusätzlich: Stetigkeit von n(x) bei x = 0 und x = h 

Lösen in den 3 Bereichen 

1. x > h: keine Brückenbildung: n(x) = 0 

2. −v dn 

dx = f 1 

h · x − 1 h (f 1 + g 1 ) · x · n(x) 

a) Allgemeine Lösung des homogenen Teils: 

dn 

dx = f 1 + g 1 

· x · n(x) ⇒ n(x) = A · e (f 1 +g 1 )x2 

2hv 

hv 

b) Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 

Wähle n(x) = B = const. 

0 = f 1 

h · x − f 1 + g 1 

· x · B ⇒ B = f 1 

h 

f 1 + g 1 

c) Lösung der DG: Lösung der homogenen Gleichung + spez. Lösung der inhomogenen 

Gleichung 

n(x) = A · e (f 1 +g 1 )x2 

2hv + f 1 

f 1 + g 1 

Wegen Stetigkeit n(x = h) = 0 

A = − f 1 

e (f 1 +g 1 )h2 

2hv ⇒ n(x) = f ( 

) 

1 

1 − e (f 1 +g 1 )(x2 −h 2 ) 

2hv 

f 1 + g 1 f 1 + g 1 

3. x < 0 

−v dn 

dx = −g 2n(x) ⇒ dn 

dx = g 2 

v n(x) ⇒ n(x) = C · e g 2 

v x 

Stetigkeit bei x = 0: nutze Lösung aus Bereich (2) 

C = n(0) = − f ( 

) 

1 

1 − e (f 1 +g 1 )h2 

2hv 

f 1 + g 1 

⇒ n(x) = f ( 

) 

1 

1 − e (f 1 +g 1 )h 

2v 

f 1 + g 1 

e g 2 

v x 

Seite 20




Normierung auf Sarkomerlänge s 

x → x s , h → h s , v → v s , 

Kontraktionsgeschwindigkeit: V = 2 v s 

Setze: Φ = (f 1 + g 1 )h 

s 

Damit: 

⎧ 

f 

( 1 

1 − e − 2Φ V 

f 1 + g 1 

⎪⎨ ( 

n(x) = f 1 

1 − e Φ V 

f 1 + g 1 

) 

e 2g 2 

sV x x < 0 

( x 

2 

h 2 −1 )) 

0 ≤ x ≤ h 

⎪⎩ 

0 x > h 

V = 0: konstante Wahrscheinlichkeit für Myosinbrücke für 0 ≤ x ≤ h 

V > 0: Myosinbrücke, entstanden bei x > 0, verschoben nach x < 0, dann aufbrechen 

V ↑: Resultierende Kraft verringert 

• kontraktile Kraft nur durch Myosinbrücken mit x > 0, für x > 0 entgegengesetzte Kraft 

• Rudern der Myosinköpfe → verringerte Zeit für Kraftentwicklung 

n(x) → F 

Myosinkopf lenkt Feder aus: F = k · x 

Sei: 

m: Anzahl der Myosinbrücken /m 3 

s/2: halbe Sarkomerlänge 

ll Abstand der Bindungspunkte entlang der Aktinfaser l > h 

⇒ 1 Zyklus (1 Ruderschlag) bei Muskelverkürzung um l 

Arbeit W = F · l 

Wird geleistet von: 

• allen gebundenen Myosinköpfen 

• mit unterschiedlicher Auslenkung 

⇒ F · l = 

∫ 

+∞ 

m s 2 n(x) · kx dx Seite 21 

−∞



by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 BIO-FLUIDMECHANIK 

⇒ F = msk 

2l 

∫ 

+∞ 

−∞ 

n n(x) dx = msk 

2l 

⎛ ⎞ 

f 1 h 2 

⎝1 − ... ⎠ 

f 1 + g 1 2 }{{} 

=0: V =0 

⇒ Hyperbolischer Verlauf der Hill-Kurve nur phänomenologisch 

Beste Anpassung für: 

g 2 

f 1 + g 1 

= 3, 9 , 

f 1 

= 3 f 1 + g 1 16 , kh 2 

2l 

= 3 4 

Isometrischer Fall (V = 0) 

max. Kraft: F 0 = mskh2 

4l 

f 1 

f 1 + g 1 

3 Bio-Fluidmechanik 

Strömende Medien in Lebewesen: 

• Blutkreislauf 

• Atmung 

Flüssigkeiten: inkompressibel 

Gas: kompressibel 

Elementare Hydrodynamik: 

• homogen 

• starre Wände 

• Viskosität geschwindigkeitsabhängig 

⇒ Blug in Adern: kein einfaches System 

Grundbegriffe Hydrodynamik 

• Strömungsgeschwindigkeit: Vektorfeld ⃗u(⃗r, t); wenn stationär: ⃗u(⃗r, t) = ⃗u(⃗r) 

• Stromlinie: Tangente an jedem Punkt, keine Überschneidung, aber Durchmischung 

• Trajektorie: stetige Kurve ⃗r(t) eines Volumenelementes; stationärer Fall:= Stromlinmie 

• Laminare Strömiung: sauber getrennte Stromlinien 

Turbulente Strömung: Durchmischung 

• Intrinsische Reibungskraft: ⃗ F R : tangentiale Kraft bei unterschiedlichem ⃗u. In Realität: ⃗ F R ≠ 0 

– ⃗ F R = 0: Ideale Flüssigkeit 

– ⃗ F R ≠ 0: zähe Flüssikeit 

– Laminar: ⃗ F R >> Beschleunigungskraft 

– Turbulent: ⃗ F R Beschleunigungskraft 

• Viskosität η: Stärke der inneren Reibung 

• Fluidität: 1/η 

• kinematische Zähigkeit: η/ρ mit ρ: Dichte des Mediums 

Bestimmung von η 

Seite 22




Messung mit Viskosimeter: Scherkraft F x ∝ u p 

h 

mit h: Abstand zur festen Ebene 

Differentiell: F x = η du x 

dy 

η konstant: Newton’sche Flüssigkeit 

Typische Werte: 

Wasser 

Honig 

Luft 

Glas 

1 mPa· s 

10.000 mPa· s 

0,017 mPa· s 

10 19 mPa· s 

1 Poise:= 0,1 Pa·s 

1 mPa· = 1 cP 

Substantielle Ableitung 

Mögliche Definition dV 

• in Euler-Koordinaten: dV raumfest 

– (x, y, z, t) unabhängige Koordinaten 

– Strömung in das / aus dem dV 

• in Lagrange-Koordinaten: dV teilchenfest 

– Mitbewegung mit dem Stromlinienfeld (x(t), y(t), z(t)) 

– Formänderung möglich 

Sei α Variable (z.B. p, T, ⃗u) 

Im Lagrangebild: Änderung von α als Funktion von t 

• zeitliche Änderung innerhalb von dV 

• dV an anderenm Ort in anderer Umgebung 

Innerhalb dt Änderung von α um δα: 

δα = ∂α 

∂t δt + 

∑ 

j=x,y,z 

∂α 

∂j δj 

Division durch δt und δj 

∂t = u j 

∂α 

∂t + 

∑ 

j=x,y,z 

Ideale Flüssigkeit 

∂α 

∂j u j = ∂α 

∂t (⃗u · ⃗∇)α =: Dα 

Dt 

⃗F R = 0, Lagrangebild, α = ⃗u 

subst. Ableitung 

Seite 23




substantielle Beschleunigung = Gesamtkraft auf dV 

∂⃗u 

∂t + (⃗u · ⃗∇)⃗u = 

⃗g − 1 }{{} ρ 

Gravitation 

⃗∇p 

}{{} 

Druckdifferenz 

Integration liefert Bernoulli-Gleichung 

p + 1 2 ρu2 = p 0 = const mit p 0 = Gesamtdruck 

(Graphik zur verjüngendem Rohr) Im dickeren Bereich dV = A 1 · ∆x 1 

Energie zur Verschiebung über A 1 · W 1 = F 1 · ∆x 1 = p 1 · A 1 · ∆x 1 = p 1 · ∆V 1 

Energie zur Verschiebung über A 2 · W 2 = F 2 · ∆x 2 = p 2 · A 2 · ∆x 2 = p 2 · ∆V 2 

Wegen ∆V 1 = ∆V 2 und E = W = const. 

E kin,1 + W 1 = E kin2 + W 2 , mit m = ρ∆V : 

1/2ρv 2 1 + p 1 = 1/2ρv 2 2 + p 2 = const. 

⇒ Wenn Geschwindigkeit größer wird, muss der Druck kleiner werden. 

3.1 Zähe Flüssigkeiten 

⃗F r nicht mehr vernachlässigbar mit ⃗ F R ∝ η∆⃗u 

∂⃗u 

∂t + (⃗u⃗ ∇)⃗u = ⃗g − 1 ρ ⃗ ∇p + η ρ ∆⃗u 

Navier-Stokes-Gleichung: Vektoranalysis: (⃗u ⃗ ∇)⃗u = 1 2 

Beispiele: 

}{{} 

⃗∇u 2 − ∇ ⃗ × ( ∇ ⃗ × ⃗u) 

} {{ } 

räuml. Änderung Rotation→Wirbelbildung 

1. Plattenviskosimeter: Nehme 

• laminare Strömung ⇒ keine Wirbelbildung 

• zeitlich konstant ⇒ subst. Ableitung verschwindet 

• Gravitation vernachlässigbar ⇒ ⃗g = 0 

• kein Druckgradient ⇒ ⃗ ∇p = 0 

⇒ ∆⃗u = ⃗0 

u y = 0, u z = 0, 

∂u x 

x 

= 0, ∂u x 

∂u z 

= 0 

∂ 2 u x 

∂y 2 = 0 ⇒ u x(y) = c 1 y + c 2 

Seite 24




Randbedingungen: u x (0) = 0, 

u x (h) = u p 

⇒ u x (y) = u p 

h · y 

2. Strömungsprofil in zylinderförmigen Rohr 

Hohlzylinder mit Radius R, sei 

• stationär ⇒ D⃗u 

Dt = 0 

• keine Gravitation ⇒ ⃗g = 0 

• Druckdifferenz für Strömung 

⇒ 0 = − ⃗ ∇p + η∆⃗u 

• In Zylinderkoordinate (r, ϕ) 

• Symmetriegründe: keine Azimuthabhängigkeit 

⇒ u x (r) = R2 − r 2 

4η 

( 

− dp ) 

dx 

• Rotationsparaboloid mit Maximum bei r=0 

• Strömungsverhalten in Rohren: Hagen-Poiseuille’sches-Gesetz 

Fluss durch Integration über Querschnitt: 

Φ = πR4 

8η 

( 

− dp ) 

dx 

⇒ Φ ∝ R 4 : Verengung um 15% ⇒ halber Fluss → Arterienverkalkung!! 

Wirbelbildung, Reynoldszahl 

Objekt der Größe L: Flüssigkeit: um-/durchfließen mit Geschwindigkeit U. 

Variablensubstitution mit L und U, so → dimensionslose Größe: ∗ 

x = L · x∗, 

∇ = 1 L · ∇∗ 

u = U · u∗, ∇ = 1 L 2 · ∆∗ t = L U · t∗, p 

ρ = U 2 · p∗ 

ρ 

∂⃗u 

∂t + (⃗u⃗ ∇)⃗u = − 1 ρ ⃗ ∇p + η ρ ∆⃗u 

U 2 ∂u∗ 

L∂t∗ + U 2 

L (⃗u ∗ +⃗ ∇∗)⃗u∗ = − U 2 ∇ ⃗ ∗ ⃗p∗ 

+ ηU 2 

ρL ρL 2 U ∆ ∗ ⃗u∗ 

∂u∗ 

∂t∗ + (⃗u ∗ ∇∗)⃗u∗ ⃗ = − 1 ∇ 

ρ ⃗ ∗ p ∗ + 

η 

ρUL 

} {{ } 

1 

Re 

∆ ∗ ⃗u∗ 

Seite 25




mit Re = ρUL 

η 

Reynoldszahl, dimensionslos 

Folge: 

• Systeme mit identischer Reynoldszahl → identische Bewegungsgleichungen → gleiches 

Verhalten, unabhängig von 

– Ausdehnung 

– Viskosität 

→ Windkanalversuche 

• Wirbel durch (⃗u ∗ ⃗ ∇∗)⃗u∗ Term klein halten → Reibungsterm groß → Re klein 

Jedes System: kritische Reynoldszahl Re c mit Re > Re c : Turbulenzen, z.B. Wasser im Rohr: 

Re c ≈ 2300 → Erhöhung von Re: 

• Objekt größer 

• schnelleres Fließen 

• kleinere Viskosität 

Alternativ: Re = ρUL 

η 

= ρU 2 L 3 

ηL 2 U = 

2E kin 

W Reibung 

laminar: E kin klein oder W Reibung groß 

3.2 Blutkreislauf 

Blut in Adern: 

• nicht homogen (gelöste Teilchen) 

• dehnbare Wände 

• gepulster Druck 

• nicht-Newton’sch (η ≠ const.) 

• Daten: 

– ≈ 6 l im Körper 

– Ø4-5 mm 

– Länge ≈ 100 km 

Zusammensetzung 

Grundsubstanz: Blutplasma 

• 90% Wasser, 10% Proteine 

• homogen 

• Newton’sch mit η P lasma ≈ 10 cP ≈ η H2 O 

Gelöste Teilchen: 

• diverse in kleinen Mengen → verschiedene Aufgaben 

• Blutzellen 

Blutzellen 

Seite 26




• Erythrozyten (rote Blutkörperchen) 

– Anteil ≈ 45% → Hämatokrit 

– in der Mitte eingerichtete Scheiben 

– Ø≈ 7,5 µm 

– Höhe ≈ 2,8 µm 

– Dichte: 5 · 10 6 /mm 3 

– Aufgabe: 

∗ Bindung O 2 in der Lunge 

∗ Abgabe im Körper 

∗ Abgabe CO 2 in der Lunge 

– Bildung im Knochenmark 

– Lebensdauer ca. 4 Monate 

– Entsorgung in Leber + Milz 

• Leukozyten (weiße Blutkörperchen) 

– kugelförmig 

– Øeinige µm 

– Aufgabe: Infektbekämpfung 

– Dichte: 5 · 10 3 /mm 3 

• Thrombozyten (Blutplättchen) 

– Ø2, 5µm 

– Aufgabe: Blutgerinnung 

– Dichte 2 · 10 5 /mm 3 

• Komposition 

– abhängig von Durchmesser der Ader → nichtkonstantes η 

Schema Blutkreislauf 

• verzweigtes Rohrsystem 

• elastische Wände 

• selektiv durchlässige Wände 

• nicht-Newton’sche Flüssigkeit 

• Pumpe: Herz 

• zwei gekoppelte (→ im Herzen) Kreisläufe: rot=O 2 -reich, blau=O 2 -arm 

Kleiner Kreislauf 

• Herz → Lunge → Herz 

• In Lunge: 

– CO 2 -Abgabe 

– O 2 -Aufnahme 72% → 97% des Sättigungswerts 

• Minimaldruck 5mmHg, Maximaldruck 25 mmHg (1mmHG = 133 Pa = 1,33 hPa) 

Großer Kreislauf Herz → Körper → Herz 

• Blutfluss Parallelschaltung mit Anteil 

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Herz: 

Darm 35% 

Nieren 20% 

Gehirn 15% 

Muskeln 15% 

Haut/Knochen 10% 

Herzgefäße 5% 

• Minimaldruck 70 mmHg 

• Maximaldruck 120 mmHg 

• Pumpleistung 

– typisch 5l/min 

– zwischen 2l und 20 l/min 

• kein symmetrischer Aufbau bzgl. beider Kreisläufe 

• Pumpenzyklus 

– Systole (Zusammenziehen des Herzmuskels) 

∗ alle Herzklappen geschlossen 

∗ Druckanstieg in den Herzkammern (Ventrikel) 

∗ bis Öffnung Aortaklappe → Austreiben des Blutes → Druckabbau 

– Diastole (Entspannung) 

∗ Öffnung Mitralklappe (Vorhof ↔ Ventrikel) 

∗ Blut aus kleinem Kreislauf → Ventrikel 

In 70 Jahren 2 Milliarden Zyklen 

Hydrodynamisches Verhalten Druck+Geschwindigkeit 

• Variation von p mit der Herzfrequenz 

• zunehmende Entfernung vom Herzen: → Rückgang oszillatorischer Anteil → p ≈ const. in 

Kapiallaren + Venen 

• diese Dämpfung durch 

– elastische Wände 

– Muskeln um Ader 

• Geschwindigkeit 

– Aorta 25 cm/s 

– Kapillare ≤ 0,5 mm/s 

– Lungenkapillare 2 mm /s → gegingerer Strömungswiderstand → niedrigerer Druck 

• Druck unterschiedlich für verschiedene Gefäße 

Systole Diastole [mmHg] 

große Aorta 100-140 60-70 

Arterienkapillare 30 30 

Venenkapillare 10 10 

große Vene 1-3 1-3 

• zusätzlich Schweredruck 70 mbar (Kopf) linear −→ 250 mbar (Füße) 

• Blutdruckzunahme im Alter 

– Verengung durch Arterienverkalkung 

– verringerte Wandelastizität (Compliance) 

• Typische Blutdruckmessung 

– große Arterie 

– in Herzhöhe 

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• Standardmeßgeräte: Sphygmomanometer 

• Genauere Messungen: invasiv 

• Fließgeschwindigkeit: Doppler-Sonographie 

Viskosität 

• keine Konstante 

• Abhängigkeit von: 

– Hämatokrit 

– Scherrate j = dv x 

dy 

• Blutplasma (H = 0) η1, 2cP unabhängig von j 

• zunehmender Hämatokrit: η steigt stark an mit ∝ 1 j 

• bei hoher Scherrate (j >> 10/s): η = const.) 

• bei abnehmender Scherrate: η starker Anstieg → Problem für dünne Kapillare 

• Ausweg: Abnahme des Hämatokrits 

• Untere Grenze für Gefäßdurchmesser: Größe der Erythrozyte (≈ 7, 5µm) 

• Formänderung: 

– Paraboloidform 

– Reihenanordnung 

Blutfluß: physikalische Modellierung 

Strömungsprofil 

j(η): Streckspannung τ mit τ > τ 0 : nur Scherung, kein Blutfluß 

→ Casson-Gleichung √ j = (√ τ − √ τ 0 

) 

· 

“Casson-Konstante“ 

1 

√ η 

mit 

1 

√ η 

verallgemeinerte Viskosität 

Bei hohen Scherspannungen (τ 0




Quantitativ 

Stationärer Zustand ⇒ Kräftegleichgewicht: Kräfte auf Flüssigkeitszylinder mit Radius r 

• ∆p auf Boden und Deckel 

• Scherspannung τ tangential am Mantel 

Konstantes Strömungsprofil, du 

dr < 0 

τ · 2πr = −πr 2 dp 

dx ⇒ τ = −r dp 

2 dx 

τ W and = − a 2 

dp 

dx mit a: Aderradius, τ 0 = − r c dp 

2 dx 

Wenn τ W and < τ 0 : kein Fluß, nur Deformation 

• Casson-Gleichung √ τ = √ j √ η + √ τ 0 

• √ √ 

τ = − r dp 

2 dx 

• j = − du 

dr 

(√ 

⇒ − du 

dx = 1 η · − r 2 

Integration und u(a) = 0, 

) 

dp 

dx − √ 2 

τ 0 

( 

r c = − 2τ 0 

dp 

dx 

) 

u x (r) = − 1 ( 

dp 

(a 2 − r 2 ) − 8 ) 

rc (a 

4η dx 

3√ 3/2 − r 3/2 ) + 2r c (a − r) für r c ≤ r ≤ a 

Damit u x (a) = 0 

u x (r c ) = u c = − 1 dp 

4η dx 

∫ a 

Damit Fluß φ = 2π 

• − dp 

dx ≤ 2τ 0 

a 

0 

( ) 

(√ √ ) 3 √a 1√ a − rc + rc mit u(0 ≤ r ≤ r c ) = u c = const. 

3 

u(r)r dr Für: 

nur Scherung Φ = 0 

• − dp 

dx ≥ 2τ 0 

a Φ = πa 4 

8η 

dp 

dx 

} {{ } 

H−P Korrekturfaktor 

F (ξ) 

F (ξ) = 1 − 16 √ 4 ξ + 

7 3 ξ − 1 

21 ξ4 mit ξ = 2τ ( 

0 

− dp ) −1 

a dx 

Seite 30




Zunahme ξ → Abnahme F → Fluß sinkt 

Zunahme z.B. durch Abnahme Druckdifferenz → unterhalb Minimaldruck: keine Strömung, nur 

Deformation 

Warum Casson und nicht Hagen-Poiseuille? 

Ursache Mikroskopisch: Erythrozyten 

Bei kleinen Scherraten: Bildung von Stapeln (wie Geldrollen) 

Höhere Scherraten: keine Stapelbildung → eher Newton’sch 

Viskosität von Blut: erstaunlich gering → Deformierbarkeit von Erythrozyten 

Bei Sichelzellen-Anämie 

• sauerstoffarme Erythrozyten 

• sichelförmige Gestalt 

• Verlust der Elastizität → Anstieg der Viskosität → Messung → Diagnose von Krankheiten 

Elastische Wände 

2 wichtige Auswirkungen: 

1. Dämpfung + Harmonisierung des gepulsten Flusses 

2. Zeitweise Umwandlung E kin → E elast → Verringerung E kin → Reduzierung Re → 

Unterdrückung Wirbelbildung 

Blut in Adern: Re c = 400 

Re > Re c 

• Verengungen 

• Verzweigungen 

• Herzklappe → Flußverengung → Probleme! 

Modellierung elastische Wände 

• Herzschlag → Fluß Φ in Arterie → Ausdehnung 

• Venen, Kapillaren: In dieser Situation harte Wände 

• Beschreibung der Wirkung elastischer Wände: “Windkesselmodell“ 

• Windkessel: Behälter 

– Aufnahme eines Fluids aus Quelle mit zeitabhängigem Fluß 

– Speichern 

– Ausgabe einer homogenisierten Flußrate 

Technische Anwendungen: 

• Heizungssystem 

• Feuerwehrspritzen 

Seite 31




• Ölpipelines 

Im Blutkreislauf: 

• Ausdehnung der Aorta 

• Aufnahme zusätzlichen Blutes 

• Abschwächung der Druckpulse 

Im elastischen Bereich: Hook’sches Gesetz: Dehnung ∝ Spannung, d.h. Blutdruck ∆V ∝ p 

dV 

dt = k · dp 

dt 

k: Materialkonstante der Aderwand 

Druck am Eingang des Gefäßes p(t) 

Flußwiderstand R am Ende des elastischen Bereiches R = p Φ 

Damit Kontinuitätsgleichung: Φ = k · dp(t) 

dt 

+ p(t) 

R 

Hineinfließen= erhöhung Blutvolumen im Windkessel + Abfluß 

ṗ + 1 

kR p = Φ k 

1) Lösung des homogenen Teil 

ṗ + 1 

t 

p = 0 ⇒ p(t) = λ · e− kR 

kR 

Inhomogene Lösung (Variation der Konstanten) 

ṗ + 1 

kR p = Φ t 

, p(t) = λ(t)e− kR 

k 

⇒ ṗ(t) = ˙λ(t)e − t 

kR − λ(t) 

1 

kR e− t 

kR 

Einsetzen: ˙λ(t)e − t 1 

kR −λ(t) 

kR e− t 1 

kR + 

kR e− t 

kR 

} {{ } 

=0 

˙λ(t) = Φ(t) 

k 

λ(t) = 1 k 

∫ t 

0 

· e− t 

kR 

Φ(τ)e τ 

kR dτ + λ0 

Damit: p(t) = 1 ∫ t 

k e− t 

kR 

0 

Φ(τ)e τ 

kR dτ + λ0 e − t 

kR 

= Φ(t) 

k 

Seite 32




Bei t = 0: p(t = 0) = λ 0 = p 0 

Exemplarisches Beispiel: p(t = 0) = λ 0 = p 0 = 0 

Damit: p(t) = Φ ∫ t 

0 

k e −t 

kR 

( ) 

p(t) = RΦ 0 1 − e − t 

kR 

0 

e τ Φ 

] 

0 

kR dτ = 

k e− t 

kR 

[kR e − t 

kR − kR 

Bei starren Wänden (k = 0): p(t) = RΦ 0 = const. 

Dynamik der Druckpulse 

• I.a. analytisch nicht lösbar 

• 2 Ansätze zur Veranschaulichung 

• keine Gravitation 

• starre Wände 

• laminare Strömung 

• Geschwindigkeitskomponente nur in axialer Richtung x u x 

• keine Wirbel 

Navier-Stokes: 

∂⃗u 

∂t + (⃗u⃗ ∇) ⃗u = ⃗g − 1 ∇p 

} {{ } 

}{{} ρ ⃗ + η ρ ∆⃗u 

=0(laminar) =0(keine Grav.) 

→ ∆f = ∂2 f 

∂r 2 + 1 ∂f 

r 

ρ ∂u x 

∂t 

∂r + 1 ∂ 2 f 

r 2 ∂ϕ 

}{{} 

2 

=0 

= − ∂p ( ∂ 2 

∂x + η u x 

∂r 2 + 1 r 

+ ∂2 f 

∂ϑ 2 

}{{} 

=0 

) 

∂u x 

∂r 

Nichtstationäre, pulsierende Strömung 

Sei Druckänderung sinusförmig: 

∂p(x, t) 

∂x 

= p ′ 0 e iωt 

dann auch Geschwindigkeit u x (r, t) = u x (r)e iωt mit Randbedingung u x (R) = 0 

Also: ∂u x 

∂t 

= iωu x (r) e iωt 

∂u x 

∂r = ∂u x(r) 

eiωt 

∂r 

( ∂ 

Einsetzen: iωϕu x (r) = −p ′ 2 u x (r) 

0 + η 

∂r 2 + 1 r 

) 

∂u x (r) 

∂r 

Seite 33




Setze: y = 1 R , α = R √ ωp 

η 

⇒ r = yR, ω = α2 

R 2 · η 

ϕ 

∂ 

∂r = 1 R · ∂ 

∂y 

∂ 2 

∂r 2 = 1 ∂ 2 

R 2 ∂y 2 

Einsetzen 

∂ 2 u x 

∂r 2 

+ 1 y 

∂u x 

∂r − iα2 u x = p ′ R 2 

0 

η 

Bessel-Diff.gleichung → Lösung bekannt 

( 

u x (r, t) = p′ 0 R2 

iηα 2 1 − J 0(αy √ ) 

i) 

J 0 (α √ e iωt mit J 0 : Besselfunktion nullter Ordnung der ersten Art 

i) 

J 0 (x) = 1 π 

∫ π 

0 

cos(τ − xsin(τ))dτ 

Zuerst Änderungen am Rand, dann in der Mitte. Mit zunehmendem α 

• in der Mitte zunehmend flacher 

• dort Schwingungen in Phase wie kompakter Körper 

Elastische Wände 

Moens-Korteweg-Modell 

• u x (r) = const (stimmt für großes α) 

• nur kleine Dehnung: ∆r




⇒ ∂2 u x 

∂x ∂t = 1 ∂ 2 p 

ρ ∂x 2 (1) 

Wegen Massenerhaltung von Flüssigkeiten → Kontinuitätsgleichung 

∂ρ 

∂t + ∂ 

∂x (ρu x) = 0 

Fluid inkompressibel: Flüssigkeit in das Volumen = Flüssigkeit aus dem Volumen + vergrößerter 

Aderquerschnitt 

Mit ρ = 

m 

x · A(x) 

Kontinuitätsgleichung für Querschnittsfläche: 

∂A 

∂t + ∂ 

∂x (A u x) = 0 

∂A ∂p 

∂p 

∂t + u x 

∂A 

∂x 

}{{} 

≈0 

Also: 

∂u x 

∂x = − 1 ∂A ∂p 

∂ 

A ∂p ∂t ∣∂t 

∂ 2 u x 

∂x ∂t = − 1 ∂A ∂ 2 p 

A ∂p ∂t 2 

+A ∂u x 

∂x = 0 

(1) einsetzen: ∂2 p 

∂t 2 + A ρ 

→ Wellengleichung! 

( ) ∂A −1 

· ∂2 p 

∂p ∂x 2 = 0∂t 

⇒ Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = 

√ 

A 

ρ 

( ) ∂A −1 

∂p 

Moens-Korteweg-Geschwindigkeit → Elastizität + Geometrie der Ader 

Dehnung eines Zylinder durch Innendruck 

∆r = p r2 0 

E · d 

mit d : Wandstärke, E : Elastizitätsmodul 

Gedehnte Querschnittsfläche 

A + ∆A = π(r 0 + ∆r) 2 ≈ πr0 2 + 2πr 0 ∆r = πr0 

2 + 2πr3 0 

}{{} E · d p 

} {{ } 

A 

∆a 

Seite 35




Damit: ∂A 

∂p = 2πr3 0 

E · d = 2Ar 0 

E · d 

Damit: v = 

√ 

A 

ρ 

E · d 

= 

2Ar 0 

√ 

E · d 

2ρr 0 

Entfernen vom Herzen → d r 

steigt → v steigt (Impulsgeschwindigkeit!, nicht Fließgeschwindigkeit) 

Man findet: Aorta 4 m/s, Beinarterie 10 m/s 

Blutfluss in engen Gefäßen 

• sinkende Gefäßdurchmesser → Verringerung Hämatokrit → starke Erniedrigung der Viskosität 

• bei unter 520 µm → Kompensation der Flußverringerung durch kleinere Durchmesser 

• Nahe der Gefäßwand: Konzentration der Erythrozyten verringert wegen hoher Scherrate 

• Damit bei Verzweigung: Abgriff von Blut mit im Mittel geringerem Hämatokrit 

“Plasmaskimming“ 

• In sehr engen Gefäßen (< 15µ m) leichte Zunahme der Viskosität 

– 2 Blutzellen nebeneinander nicht mehr möglich 

– kein überholen mehr möglich, keine Geldrollenbildung/verkeilen etc. 

Messung des Blutflusses 

• Doppler-Sonographie 

• Elektrische Messungen 

Gelöste Ionen wie Na + , Ca + , K + , Cl − → Leitfähigkeit 

ρ Blut 

spez = 1, 5Ωm 

Knochen: > 40Ωm 

Gewebe: > 6Ωm 

Hall-Effekt: U Hall = dBev 

Durch Messen der Hall-Spannung kann auf die Geschwindigkeit des Blutflusses geschlossen werden. 

Indikatortechniken → Marker: 

• Zusatz detektieren von außen 

• geringe Toxizität 

• Durchlauf Blutkreislauf ≈ 1 Minute, dadurch entweder 

– Messzeit < 1 Minute 

– kurze Lebensdauer 

∗ Abbau in der Niere 

∗ kurze Halbwertszeit 

∗ kurze Floureszenz-Lebensdauer 

Beispiele 

• Indocyanin-Grün 

• TC-99: 

Seite 36




– T 1/2 ≈ 6h 

– schneller Abbau 

– γ-Emitter (nur!) 

– → Einbringen in den Körper: 

– Bolus-Injektion 

∗ definiertes Markervolumen V M 

∗ kurze Injektionszeit 

∗ Fluß Φ, Gefäßvolumen V G 

c(t) = V M,detektiert(t) 

⇒ V M = Φ 

⇒ Φ = 

∞∫ 

0 

V G 

∫ ∞ 

V 0 

M 

c(t) dt 

c(t) dt 

V G = Φ · t mit t = 

∞∫ 

0 

∞∫ 

0 

t · c(t) dt 

c(t) dt 

Zu lösende Probleme: Kurze Messzeit 

Messung des Sauerstoffgehaltes im Blut 

Standardmethode: optische Oximetrie → Lichtabsorption (Sauerstoffgehalt) → Farbänderung 

O 2 + Hämoglobin (Hb) → Oxyhämoglobin (HbO 2 ) 

Absorptionskoeffizient α 

α(Hb) 

α(HbO 2 

(λ = 800nm) ≈ 1 

α(Hb) 

α(HbO 2 

(λ = 660nm) ≈ 10 

⇒ Messung α(800nm) und α(660nm) → Bestimmung O 2 -Gehalt 

Messung 

• in Blutprobe 

• in vivo: 

– Ohrläppchen 

– Fingerkuppe 

Transmissionsmessung mit LEDs → simultane Pulsmessung, da Blutstrom mit dem Puls oszilliert 

Weiteres Flüssigkeitssystem 

Lymphsystem: Transportsystem für Körperflüssigkeiten 

Seite 37




Passives System: Bewegung durch Muskelkontraktion, Klappen gegen Rückfluß 

Abgabe in Venen → Blut → Niere 

3.3 Atmung + Pneumologie 

• Kompressibles Fluid 

Atmungssystem 

• Nase + obere Atemwege 

– Cilien, bedeckt mit Schleim: Herausfiltern von Verunreinigungen 

– Partikel ≥ 2µm 

– kleinere Partikel (“Feinstaub“) dringen weiter vor → Verschmutzung der Lunge 

• Luftröhre 

• Bronchien: verzweigtes Röhrensystem 

• Lungenbläschen (Alveolen) 

– feines Adernetz 

– Trennung: dünne Membran 

∗ Diffusion von O 2 und CO 2 

∗ Antrieb durch Dichtegradient 

∗ Dauer Diffusionsprozess: 300 ms 

Luftfluß 

Antrieb: Über-/ Unterdruck → Zwerchfell, zusätzlich Muskeln 

• Bauchbereich 

• oberer Brustkorb 

Kinderlähmung (Polio), bis 1960 meist verbreitet → Muskeln ohne Funktion → “Eiserne Lunge“ 

Luftaufnahme aus physikalischer Sicht 

Charakterisierung durch bestimmte Volumina 

• Atemzugvolumen V a ≈ 0, 5l 

f ≈ 0, 25Hz, pro Minute ≈ 7l, 280 ml O 2 Aufnahme, 230 ml CO 2 Abgabe 

• Vitalkapazität V m 4-5l 

f ≈ 0, 4 Hz, pro Minute 24 Atemzüge = 120l 

• Residualvolumen V r , Totraum 1-2l 

• Totalkapazität V z = V m + V r 

Atemfrequenz = Eigenfrequenz des Atmungssystem 

• Gedämpfte Schwingung 

• Masse: Atmungsssystem, Organe, Gewebe 

• Federkonstante: gemitteltes Elastizitätsmodul E 

mẍ + Ex = 0 

Seite 38




x(t) = x 0 · sin 

(√ 

E 

m t ) 

mit Eigen- (d.h. Atemfrequenz) 

f A = 1 

2π 

√ 

E 

m 

E: charakteristische Größe für organisches Gewebe mit E ≈ 25kg · s −2 → Konstante für alle 

Lebewesen 

⇒ f A ∝ 1 √ m 

• Menschen f A ≈ 15/min ⇒ beteiligte Massen m Atmung ≈ 10kg 

1 

Wenn m Atmung ∝ m Lebewesen ⇒ f A ∝ √ 

mLebewesen 

• Elefant m=3000 kg, f A =3/min 

• Maus m=300g, f A =300/min 

pneumo: Lunge 

tacho: Geschwindigkeit 

spiro: Atem 

pletho: voll (sein) 

Spirometrie 

• Messung Atemgasvolumen 

• Umgestülpte zyl. Glocke 

– luftdicht abgeschlossen 

– beweglich 

• Höhe → Volumen 

• Ausatmen in Zylinder → V a , V m 

• Problem bei Langzeitmessungen, da abgeschlossenes Volumen CO 2 -Zunahme, O 2 -Abnahme 

Pneumotachometer 

• Kontakt zur Außenwelt 

• Atmen über rohr mit Membran 

• Membran: geeichter Flußwiderstand 

R · dV 

dt = ∆p(t) 

Messung 

V (t) = 1 R 

∫ t 

0 

∆p(τ) dτ 

Messung des Residualvolumens V r 

Meßgas: Diffusion in V r 

• ungiftig 

Seite 39



by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 PHYSIK DER SINNE 

• nicht: Lunge → Blut 

• schnelle Diffusion → leichtes Gas 

⇒ Helium 

Nach Ausatmen Zugabe 10% Helium → nach 2 Minuten vollstäöndige Durchmischung 

Massebilanz: V spiro · C Beginn 

He 

= (V spiro + V r ) · C Ende 

He 

Mit Massenspektrometer C He → V r 

Ganzkörper-Plethysmograph 

→ V r , Abgeschlossene Kabine, Patient atmet Luft von außen durch Ventilsystem 

Beim Einatmen: Körpervolumen steigt → Druckanstieg 

Kammervolumen V K , Zugabe Eichvolumen → Druckänderung → V K 

p k · V K = (p K + ∆p K )(V K − ∆V K ) 

⇒ Lungenvolumen V L (= V a , = V m ) 

V L = −∆V K = − ∆p KV K 

p K + ∆p K 

Bestimmung V r : 

1. maximales Ausatmen 

• Komprimierung auf V r 

• mit Druck p 0 

2. vor Beginn des Einatmens: Ventil zu 

3. Einatmen 

• Expandieren der Lunge 

• ohne Gaszufluß → Unterdruck p L,min 

• immer p L V L = const. 

p 0 V r = p L,min (V r + V m ) 

⇒ V r = 

p L,min 

· V m 

p 0 − p L,min 

4 Physik der Sinne 

Wahrnehmung: Reiz → Sensor/Rezeptor → Nervenimpuls 

3 Gruppe von Rezeptoren 

1. Exteroceptoren (an Körperoberfläche) 

Seite 40




• Geruch (chem.) 

• Geschmack (chem.) 

• Hören (eher physik.) 

• Sehen (eher physik.) 

• Tasten (eher physik.) 

2. Proprioceptoren 

• im Inneren des Körper 

• nicht in Organen 

• Sensoren: 

– Muskellänge 

– Gelenkstellung 

– Blutdruck 

3. Enteroceptoren 

• im Inneren von Organen 

• Erzeugung von Empfindungen: 

– Hunger 

– Durst 

– Blasendruck 

Hören und Audiologie, Grundlagen Schall, Schallausbreitung in Luft 

Schall: Dichte-, Druckwelle in einem deformierbaren Medium → Wellengleichung 

Herleitung Wellengleichung 

dV = A dx, Druck → Auslenkung um χ(x) 

Lagrangebild: dV ′ = A · (dx + ∆χ) = A · (dx + χ(x + dx) − χ(x)) 

Änderung von dV, p, ρ, nicht aber m 

⇒ ρ 0 A} {{ dx} 

= (ρ 0 + ∆ρ) A · (dx + χ(x + dx) − χ(x)) 

} {{ } 

dV 

dV ′ 

Taylorentwicklung: χ(x + dx) = χ(x) + ∂χ 

∂x dx + . . . 

( 

⇒ ρ 0 dx = (ρ 0 + ∆ρ) dx + χ(x) + ∂χ ) 

∂x dx − χ(x) 

( 

ρ 0 = (ρ 0 + ∆ρ) 1 + ∂χ ) 

∂χ 

= ρ 0 + ∆ρ + ρ 0 

∂x 

∂x + ∆ρ∂χ 

} {{ ∂x} 

∂χ 




Kompressionsverhalten von Gasen: 

κ = 1 ρ 0 

· ∆ρ 

∆p 

⇒ ∆p = 1 

κρ 0 

∆ρ 

p(x) = p 0 + 1 

κρ 0 

∆ρ 

∂p 

∂x = 1 

κρ 0 

∂ρ 

∂x 

(∗∗) 

Navier-Stokes: 

∂⃗u 

∂t + (⃗u⃗ ∇)⃗u = ⃗g − 1 ρ ⃗ ∇p + η ρ ∆⃗u 

∂u x 

∂t 

= − 1 ∂p 

ρ ∂x 

Mit u x = ∂χ 

∂t 

(∗ ∗ ∗) 

(∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) 

∂2 χ 

∂t 2 = 1 ∂ 2 χ 

κρ 0 ∂x 2 

√ 1 

Wellengleichung mit der Schallgeschwindigkeit v s = 

κρ 0 

Lösung: χ(x, t) = χ 0 cos(kx − ωt) mit ω = v s · k 

1 atm, 25 ◦ C, v s = 343m/s 

Schallschnelle: v 0 = ωχ 0 

Geschwindigkeit einzelner Luftmoleküle 

Druck: ∆p = ∆p 0 · sin(kx − ωt) mit ∆p 0 = ρ 0 v 0 v s 

Schallimpedanz z: Impedanz verallgemeinerter Widerstand 

Akustik: z = ∆p 0 

v 0 

= ρ 0v s v 0 

v 0 

= ρ 0 v s 

Wasser: z = 1, 5 · 10 6 Ns/m 3 , Luft: z = 430Ns/m 3 

Energiedichte ε, Intensität I 

ε = 

Druckenergie + Energie 

, keine Dissipation, d.h. ∆ε = 0 

Volumen 

Seite 42




Nun: Zeitpunkt: E kin maximal 

∆p 2 0 

ε = mv2 0 

2V = 1 2 ρ 0v0 2 = 1 2 ρ 0 vs 

2 

Intensität/Schallpegel I 

I : 

Energie 

Zeit · Fläche 

I = ε · v s = 1 2 ρ 0v 2 0v s = 1 2 zv2 0 = 1 2 zω2 χ 2 0 

Schallwellen an Grenzflächen 

I in = I trans + I refl mit Impedanz z 1 an der einlaufenden/reflektierten und z 2 an der transmittierten 

Welle 

z 1 χ 2 in = z 2 χ 2 trans + z 1 χ 2 refl 

stetige Auslenkung: χ in + χ refl = χ trans 

I trans 

I in 

= z 2χ 2 trans 

z 1 χ 2 in 

χ refl = χ trans − χ in 

z 1 χ 2 in = z 2 χ 2 trans + z 1 (χ trans − χ in ) 2 = z 2 χ 2 trans + z 1 χ 2 trans + z 1 χ 2 in − 2z 1 χ trans χ in 

0 = (z 1 + z 2 )χ 2 trans − 2z 1 χ trans χ in 

χ trans 

χ in 

= 2z 1 

z 1 + z 2 

Damit: I trans 

= z 2 4z1 

2 · 

I in z 1 (z 1 + z 2 ) 2 = 4z 1z 2 

(z 1 + z 2 ) 2 

χ refl 

χ in 

= χ trans − χ in 

χ in 

= χ trans 

χ in 

− 1 = 2z 1 

z 1 + z 2 

− 1 = z 1 − z 2 

z 1 + z 2 

I refl 

= z ( ) 2 

1 χrefl 

· = (z 1 − z 2 ) 2 

I in z 2 χ in (z 1 + z 2 ) 2 

Reflexion umso größer, je größer die Unterschiede der Impedanz, Beispiel: Luft-Wasser-Grenzfläche: 

i trans 

I in 

≈ 11000 

Einheiten in der Audiologie 

Detektion des Ohrs: 

• Frequenzen 20 Hz ... 20 kHz 

Seite 43




• Schallpegel: 10 −13 W/m 2 ... 1W/m 2 (von Hörschwelle bei 3,4 kHz bis Schmerzgrenze) → für 

Intensitäten log. Skala sinnvoll! 

x Bel := log 10 

I 

I 0 

mit Referenzintensität I 0 = 10 −12 W/m 2 (Hörschwelle bei 1 kHz) 

Üblich: Angabe in Dezibel dB 

I[dB] = 10 · I[B] = 10 · log I I 0 

Bei Angabe der Amplitude A : x dB = 10 · log A2 

A 2 0 

Einheit Phon: 

= 20 · log A A 0 

Zusätzliche Wichtung spektraler Empfindlichkeiten des Ohrs. Intensität I und Phon gleich bei 1kHz. 

4.1 Ohr: Aufbau + Funktion 

Umwandlung: einlaufende Schallwelle Ohr −→ Nervenimpulse → Intensität + Frequenz 

Unterteilung: Außen-, Mittel-, Innenohr 

4.1.1 Außenohr 

Einseitig geschlossenes Rohr, Wellengleichung + Randbedingungen (wie bei Orgelpfeife) 

• Knoten an Trommelfell 

• Bauch am Ausgang 

• besonders hohe Empfindlichkeit bei stehender Welle → ungerade Harmonische Grundfrequenz 

λ 1 = 4l = 12cm, f 1 = v s 

= 343m = 2, 9kHz mit l = Gehörgang-Länge = 3 cm 

λ 1 0, 12m 

λ 3 = 4/3l, f 3 = 8, 6kHz 

Außenohr → Mittelohr: Trommelfell, Hörschwelle bei 3,4 kHz, Auslenkung um 1 Å 

4.1.2 Mittelohr 

• Luftgefüllte Kammer (Paukenhöhle) 

• Abschluss nach Außen (Trommelfell) und Innen (ovales + rundes Fenster) 

• Druckausgleich möglich über Eustachische Röhre, schmerzempfinden ∆p > 80 mbar 

• Wesentliche Elemente für Hörfunktion: 3 Gehörknöchelchen in Kontakt 

– Hammer: am Trommelfell angewachsen 

– Amboß: beweglich über Sehnen 

Seite 44




– Steigbügel: Fuß im ovalen Fenster 

Funktion Impedanzanpassung zwischen Schall 

• in der Luft 

• Flüssigkeit im Innenohr 

⇒ ansonsten I trans ≈ 0 

Verstärkung 

• A Trommelfell 

A ovales Fenster 

= 60mm2 

3mm 2 = 20 

• Auslenkung Steigbügel 

Auslenkung Trommelfell 

= 1, 3 

• Auslenkung gesamt: ≈ 26 

Impedanzanpassung zwischen 20 Hz und 20 kHz 

• kleinere Frequenzen: Knöchelchen zu hart 

• hohe Frequenzen: Masse zu groß 

Übertragungscharakteristik (siehe Folien) 

4.1.3 Innenohr 

Aufbau 

• oberer Bereich: Labyrinth (Gleichgewichtssinn): 3 senkrecht zueinander stehende Schleifen 

• Schnecke (Cochlea): Schallimpuls → Nervenimpuls 

Audiologie: Diagnostik des Hörens → Schädigungen? 

Hörtests 

• Reinton-Audiometrie 

• Messung der Hörschwelle I(f) 

• Luft-/Knochenleitung 

• Tympanometrie: fest: I, f 

gemessen I refl. (P Aussenohr ) bei variiertem Außendruck 

• Otoakustik: Anregung Trommelfell gepulst / zeitliche Verzögerung → nichtlineare Antwort des 

Trommelfells 

außen ↔ Gehirn 

Hörhilfen 

• Hörgeräte: Mikrofone → Verstärker (personalisiert) → Lautsprecher 

Seite 45




• BTE (behind the ear) 

• ITE (in the ear) 

• CIC (completely in the channel) 

Seite 46

Grundlagen der medizinischen Physik

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